1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b) <. Bolznon luseen [A1] nojll pisteiden j b välissä on piste ξ, missä f(ξ) =. Eräs tvnominen todistusmenetelmä käyttää relilukujen supremum-täydellisyysksioom seurvsti: Oletetn, että f() < j f(b) >. Asetetn A := {x [, b] f(x) < }. Tällöin A on epätyhjä (kosk A) j (ylöspäin) rjoitettu joukko, joten sillä on pienin ylärj ξ := sup A. Se, että ξ on yhtälön f(x) = juuri todetn epäsuorsti: Jos olisi f(ξ), niin f(ξ) > ti f(ξ) <. Jos f(ξ) >, niin jtkuvuuden nojll f(x) > josskin pisteen ξ ympäristössä (ξ δ, ξ +δ). Mutt tällöin ξ δ olisi joukon A ylärj. (Luvun ξ vlinnn nojll f(x) kikille x ξ; nyt f(x) kikille x ξ δ.) Jos ts f(ξ) <, niin jtkuvuuden nojll f(x) < josskin pisteen ξ ympäristössä (ξ δ, ξ + δ). Mutt tällöin joukon A ylärj olisi vhintään ξ + δ. Yllä olevn päättelyn vull voidn siis näyttää, että yhtälöllä f(x) = on rtkisu, kunhn f on jtkuv jollkin välillä j välin päätepisteissä se svutt erimerkkiset rvot. Yllä olev todistus ei kuitenkn ole konstruktiivinen; se ei nn minkäänlist pu juuren ξ määräämiseen. Ns. hrukointi eli sisäkkäisten välien perite on tässä suhteess pljon prempi menetelmä. Oletetn, että f() < j f(b) >. Asetetn :=, b := b. (1) Asetetn c := 1 ( + b ). () Jos f(c) =, niin c on yhtälölle hettu juuri. (3) Jos f(c) >, niin setetn 1 :=, b 1 := c. (4) Jos f(c) <, niin setetn 1 := c, b 1 := b. (5) Toistetn edelliset päättelyt kohdst (1) lken niin, että korvtn luvull 1 j b luvull b 1. Näin sdn ksvv lukujono ( j ) j j vähenevä lukujono (b j ) j, joille on voimss j < b j, b j j = j (b ) j f( j ) < sekä f(b j ) >. Näistä ehdoist (jtkuvuuden knss) seur, että jonoill on sm rj-rvo ξ := lim j j = lim j b j j f(ξ) = lim j f( j ) sekä f(ξ) = lim j f(b j ). Siis f(ξ) =, eli hluttu juuri löydetään. Lisäksi tämä menetelmä nt mhdollisuuden määrätä likirvot j j b j juurelle ξ, joten menetelmä on konstruktiivinen. 1.1. Seknttimenetelmä. [5, luku II, ], [4, 6.3.b], [1, 1.1] Myös Regul flsi ( väärä sijinti ; khden virheen menetelmä). Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio j x, x 1 [, b], joille f(x ) f(x 1 ) <. Bolznon luseen nojll pisteiden x j x 1 välissä on piste ξ, missä f(ξ) =. Seknttimenetelmän iden on korvt funktion f kuvj pisteitä (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävällä jnll. Likirvon yhtälön f(x) = juurelle ξ voidn pitää pisteitä (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävän jnn j x-kselin leikkuskoht, joss olkoon x = x. Suorn yhtälö on y f(x ) = f(x 1) f(x ) x 1 x (x x ), 1 Viimeksi muutettu 3.1.11. 1
joten leikkuspisteelle (x, ) sdn x 1 x (1.1) x = x f(x 1 ) f(x ) f(x ). Tämän kvn mukisesti voidn edetä (eli sdn lgoritmi): (1) Vlitn pistepri x, x 1 väliltä [, b] niin, että f(x ) f(x 1 ) <. () Määrätään x kvn (1.1) mukisesti. (3) Jos f(x 1 ) f(x ) <, vihdetn prin (x, x 1 ) tillle (x 1, x ). (4) Jos f(x 1 ) f(x ) >, niin f(x ) f(x ) <, jolloin prin (x, x 1 ) tillle otetn (x, x ). (Jos f(x 1 ) f(x ) =, niin x on yhtälön f(x) = juuri.) (5) Toistetn, kunnes mx{ x x, x 1 x } on riittävän pieni. Trkstelln seurvksi juuren ξ likirvon x trkkuutt, t.s. selvitetään kuink iso ξ x on muiden suureiden vull ilmistun. Tässä oletetn, että f on välillä [, b] kksi kert jtkuvsti differentioituv. Pisteet (x, f(x )) j (x 1, f(x 1 )) yhdistävän suorn yhtälö on y = L(x), kun L(x) := (x x ) f(x 1 ) (x x 1 ) f(x ) x 1 x, x [, b]. Osoitetn luksi, että jokiselle x [, b] on olemss η x [, b] (vieläpä niin, että η x on pienimmällä pisteet x, x j x 1 sisältävällä välillä) niin, että f(x) L(x) = 1 f (η x )(x x )(x x 1 ). Oletetn yksinkertisuuden vuoksi, että x on pisteiden x j x 1 välissä. Nimittäin, kun setetn u(z) := f(z) L(z) c (z x )(z x 1 ) j luku c vlitn niin, että u(x) =, niin tällöin on u(x) = u(x ) = u(x 1 ) =. Muist, että L(x ) = f(x ) j L(x 1 ) = f(x 1 ). Rollen luseen nojll pisteiden x j x välissä on η siten, että u (η ) =. Vstvsti pisteiden x j x 1 välissä on η 1 siten, että u (η 1 ) =. Tällöin η η 1. Kun Rollen lusett sovelletn derivttn u j pisteisiin η j η 1, löydetään η x siten, että u (η x ) =. Mutt u (z) = f (z) c, joten c = 1 f (η x ). Luse 1.1. Oletetn, että f on välillä [, b] C -funktio, ξ pisteiden x, x 1 [, b] välissä olev yhtälön f(x) = juuri j x pisteiden x j x 1 välissä olev yhtälön L(x) = juuri. Oletetn lisäksi, että f (x) kikille x [, b]. Tällöin pisteiden x j x 1 välissä on olemss pisteet η j ζ siten, että ξ x = 1 f (η) f (ζ) (x x )(x x 1 ). Erityisesti, jos lisäksi on olemss vkiot m > j M > siten, että f (x) m j f (x) M kikille x [, b], niin ξ x 1 M m x x x x 1. Todistus. Kun edellistä putulost sovelletn pisteeseen x = x, sdn f(x ) = f(x ) L(x ) = 1 f (η x )(x x )(x x 1 ). Toislt välirvoluseen nojll f(x ) = f(x ) f(ξ) = f (ζ)(ξ x )
3 jollekin pisteiden x j x 1 välissä olevlle pisteelle ζ. Pisteeksi η käy siis η x. Jälkimmäinen väite seur välittömästi sdust yhtälöstä. 1.. Newtonin menetelmä I. [1, luku II, ] [5, luku II, 4] [4, 6.3.; 6.3.d], [11, 4.7], [1, 1.11] Myös Newtonin j Rphsonin menetelmä. Menetelmän ide on geometrisesti seurv: Olkoon x likirvo yhtälön f(x) = juurelle. Korvtn funktion f kuvj pisteeseen x piirretyllä tngentilln eli suorll, jonk yhtälö on y f(x ) = f (x ) (x x ). Tämän tngentin j x-kselin leikkuskoht, joss olkoon x = x 1, nt uuden likirvon yhtälön f(x) = juurelle, t.s. x 1 = x 1 f (x ) f(x ). Huom, että tähän tulokseen päästään myös seknttimenetelmästä, kun yhtälössä (1.1) nnetn x 1 x. Luse 1.. Oletetn, että f on välillä [, b] C -funktio j että (i) f() f(b) < ; (ii) f (x) kikille x [, b]; (iii) f (x) kikille x [, b] ti f (x) kikille x [, b]; (iv) jos c on välin [, b] päätepiste, joss f (x) s pienemmän rvon, niin Olkoon x [, b] j määritellään jono f(c) f (c) b. (1.) x k+1 = x k 1 f (x k ) f(x k). Tällöin jono (x k ) k=1 suppenee kohti yhtälön f(x) = (inot) juurt. Todistus. Oletetn, että f() <, f(b) > j f (x) (muut tpukset jätetään lukijn tehtäväksi). Tällöin f on idosti ksvv j c = b. Olkoon ξ pisteiden j b välissä olev yhtälön f(x) = ino juuri. Olkoon luksi x [, ξ]. Ksvvuuden nojll on f(x ), joten x 1 = x f(x )/f (x ) x. Osoitetn, että x k ξ j x k+1 x k kikille k N. Kun k =, molemmt väitteet toteutuvt (x ξ on oletus). Jos x k ξ, niin välirvoluseen nojll f(x k ) = f(ξ) f(x k ) = (ξ x k ) f (η) jollekin η (x k, ξ). Oletuksen f (x) nojll derivtt f on vähenevä, joten f (η) f (x k ). Siis f(x k ) (ξ x k ) f (x k ), Menetelmä on peräisin Isc Newtonilt vuodelt 1669, yhtälönä x 3 x 5 =.
4 t.s. x k+1 = x k f(x k )/f (x k ) x k + (ξ x k ) = ξ. Kosk f(x) välillä [x, ξ], on f(x k+1 ) j x k+ = x k+1 f(x k+1 )/f (x k+1 ) x k+1. Molemmt väitteet toteutuvt siis myös indeksille k + 1. Ksvvll j rjoitetull jonoll (x k ) k= [x, ξ] on rj-rvo ξ [x, ξ]. Kun yhtälössä (1.) nnetn k, sdn ξ = ξ f(ξ )/f (ξ ), jost seur f(ξ ) =. Kosk ξ on yhtälön f(x) = ino välillä [, b] olev juuri, on ξ = ξ. Jos x [ξ, b], sdn välirvoluseen nojll f(x ) = f (η)(x ξ) jollekin η (ξ, x ). Kosk f on vähenevä, on f (η) f (x ), joten f(x ) f (x )(x ξ) j x 1 = x f(x )/f (x ) x (x ξ) = ξ. Toislt f(x ) f(b) = f (η )(x b) jollekin η (x, b), joten Oletuksen (iv) nojll sdn f(x ) f(b) f (b)(b x ). x 1 = x f(x ) f (x ) x f(x ) f (b) x f(b) f (b)(b x ) f (b) x (b )+(b x ) =. Siis x 1 [, ξ]. Se, mitä edellä todistettin tpuksess x [, ξ] pätee nyt jonolle (x k ) k=1. Esimerkki 1.3. Yhtälön x = rtkisulle Newtonin menetelmä nt likirvot, kun vlitn x = (lskut Mximll, liukulukulikirvot 4 numeron trkkuudell), =.b 3 = 1.5b 17 = 1.416666666666666666666666666666666666667b 1 577 = 1.414156867459839156867459839157b 48 665857 = 1.41413563746899166955788913491117b 4783 88673188897 = 1.41413563739548816896355343615b 671356648 15758448391863335317 = 1.41413563739548816887496987857b 111198484434986813793811 Huom lleviivtut desimlit; oikeiden desimlien lukumäärä näyttäisi likimin kksinkertistuvn jokisess viheess. Hrukointi yhtä monell itertioll lähtien liikkeelle välistä [1, ] nt rtkisuksi välin 1.465 < < 1.41875. Newtonin menetelmä on siis selvästi nopempi.
Esimerkki 1.4. Luseen ehdoist viimeisen merkitys selvinnee prhiten esimerkillä. Olkoon f(x) = sin x j x = 5/3 1.66. Newtonin menetelmällä sdn x j f(x j ) f (x j ) x = 1.666666666666667, sin x =.995479577517649, cos x =.957 x 1 = 1.65445718, sin x 1 =.483769991965, cos x 1 =.8771, x = 1.619499567779, sin x =.465658883555, cos x =.9989 x 3 = 1.566336898378, sin x 3 = 3.371598 1 5, cos x =.9999999994. Pisteessä x derivtt f (x ) = cos x on itseisrvoltn pieni, j osmäärä f(x )/f (x ) = x 1 x iso, joten piste x 1 on kukn pisteestä x. Viimeisen ehdon trkoitus on siis vrmist, että likirvo x k+1 ei krk kus. 5 1.5 sin(x) cos(5/3)*(x-5/3)+sin(5/3) 1.5 -.5-1 4 6 8 1 1 Edeltä ilmenee, että Newtonin menetelmä on vrsin tehoks menetelmä neliöjuurien lskemiseen (inkin ; HT: kikki juuret n onnistuvt). Muinisill bbylonilisill oli jo lähes 4 vuott sitten käytössään jokin kohtlisen hyvä lgoritmi neliöjuurien lskemiseen, luultvsti erikoistpus Newtonin menetelmästä. Bbylonilisist svituluist käy ilmi, että he tunsivt luvulle likirvon 1; 4, 51, 1 esitettynä 6-kntisen lukun eli seksgesimlilukun 3. Smisess svituluss kerrotn, että neliön, jonk sivun pituu on 3, hlkisijn pituus on 4; 5, 35 smoin 6-kntisen lukun. Ks. [1, I.] 1.3. Peräkkäiset itertiot. [17, luku XVIII, 1, Shrinking lemm], [4, 6.3.c], [11, 4.1 4.3], [1, 1.11] Kun Newtonin menetelmällä etsitään yhtälön F (x) = juuri, peräkkäisten itertioiden menetelmällä etsitään funktion f kiintopisteitä, t.s. yhtälön f(x) = x rtkisuj. Peräkkäisten itertioiden menetelmää voidn siis käyttää yhtälön F (x) = juurien määräämiseen, kun F esitetään muodoss F (x) = f(x) x. 3 Siis 1 + 4 6. Virhe on pieni, lle 6 1 7. Seksgesimlilukujen käyttö on 3 jtkunut mtemtiikss pitkään. Esimerkiksi Euler nt funktion x x sin x lokliksi äärirvoksi 116 14 1 35 47 (viimeisten seksgesimlien pitäisi oll 3 38 ; vrt. [1, s. 97, HT.4]). Seksgesimlilukujen käyttö on vieläkin vrsin rkipäiväistä. 6 + 51 6 + 1 x
Peräkkäisten itertioiden menetelmä toimii vrsin yleisessä muodoss j sellisen se on esitetty ll olevss luseess. Metrinen vruus on joukko X, jonk pisteille x, y X on määritelty metriikk d, jolle (ks. [EA, 1.5]) (1) d(x, y), d(x, x) = j d(x, y) >, kun x y; () d(x, y) = d(y, x), j (3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Metrisen vruuden X jono (x k ) k=1 on Cuchyn jono, jos jokiselle ε > on olemss k ε Z + siten, että d(x j, x k ) < ε, kun j, k k ε. Metrinen vruus X on täydellinen 4, jos sen jokinen Cuchyn jono suppenee, t.s. jokisell Cuchyn jonoll on rj-rvo joukoss X. Yksinkertisin esimerkki täydellisestä metrisestä vruudest on euklidinen vruus R n vrustettun tvllisell euklidisell metriikll ([EA, 4.7]). Smoin jokinen euklidisen vruuden R n suljettu osjoukko X on täydellinen. Seurv luse (j sen todistus) knntt luksi käydä läpi tpuksess, missä X on euklidisen vruuden R n suljettu osjoukko j d euklidisen vruuden R n tvllinen euklidinen metriikk. Luse 1.5 (Bnchin kiintopisteluse). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen vruus j f : X X kutistv kuvus, t.s. on olemss k (, 1) siten, että d(f(x), f(y)) k d(x, y) kikille x, y X. Tällöin kuvuksell f on täsmälleen yksi kiintopiste, t.s. piste z X, jolle f(z) = z. j Todistus. Olkoon x X. Määritellään jono (x n ) n=1 rekursiivisesti Kun n = m + r > m, on x n := f(x n 1 ), n Z +. d(x n, x m ) = d(f(x n 1 ), f(x m 1 )) k d(x n 1, x m 1 ) k m d(x r, x ) d(x r, x ) d(x r, x r 1 ) + d(x r 1, x r ) + + d(x 1, x ) (k r 1 + k r + + 1) d(x 1, x ) 1 1 k d(x 1, x ). Näistä epäyhtälöistä seur, että jono (x n ) n=1 on Cuchyn jono. Kosk X on täydellinen, on jonoll rj-rvo z = lim n x n X. Kosk kutistv kuvus on jtkuv, on z = lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(z). n n n Siis z on kiintopiste. Jos myös z olisi kiintopiste, olisi Kosk k < 1, on oltv d(z, z ) =. d(z, z ) = d(f(z), f(z )) k d(z, z ). 4 Metrinen vruus on korrektimmin ilmistun pri (X, d), kosk smiseen joukkoon X voidn määritellä useit metriikoit d, joiden määräämät topologit sttvt poiket toisistn hyvinkin oleellisesti. 6
Luseen oletuksist on tärkeä huomt (esimerkiksi tpuksess X R n suljettu), että kuvuksen f kuvjoukko f(x) on joukon X osjoukko, j että luku k on (pisteistä x j y riippumton) vkio. Lisäksi pelkkä ehto d(f(x), f(y)) < d(x, y) kikille x, y X, ei riitä. Peräkkäisten itertioiden menetelmä on iemmin ollut esillä (Picrdin j Lindelöfin menetelmän nimellä) differentiliyhtälöiden kurssill [DY,.7] olemssoloj yksikäsitteisyysluseen yhteydessä. Seurvss on lyhyt hhmotelm differentiliyhtälöiden olemssololuseelle käyttäen kiintopistelusett. Olkoot D R voin j f : D R jtkuv funktio. Olkoon (x, y ) D. Differentiliyhtälöiden kurssill [DY,.7] on osoitettu, että lkurvotehtävä { y = f(x, y) (1.3) on yhtäpitävä integrliyhtälön y(x ) = y (1.4) y(x) = y + f(t, y(t)) dt x knss (tämä on helppo todet suorn). Vlitn > j b > siten, että I := [x, x + ] B(y ; b) D, missä B(y ; b) on suljettu y -keskinen, b-säteinen pllo (yksiulotteisess tpuksess B(y ; b) on suljettu väli; yleisesti D R n+1 = R x R n y on voin, f : D R n on jtkuv j B(y ; b) R n ). Oletetn, että (i) f on rjoitettu joukoss I, f(x, y) M kikille (x, y) I; j (ii) f toteutt Lipschitz-ehdon muuttujn y suhteen, f(x, y 1 ) f(x, y ) L y 1 y kikille (x, y 1 ), (x, y ) I. Olkoon I δ := [x δ, x + δ], kun < δ. Olkoon E kikkien välillä I δ määriteltyjen jtkuvien funktioiden muodostm vektorivruus (yhteenlsku j luvull kertominen määritellään tvnomiseen tpn pisteittäin). Vektorivruudest E sdn normivruus, kun funktiolle y : I δ R setetn y := sup x I δ y(x). Kosk jonon suppeneminen normin suhteen trkoitt sm kuin tsinen suppeneminen, suppenee vruuden E jokinen Cuchyn jono normin suhteen. Ks. [A3, luseet 3.3, 3.4 j 3.5]. Joukko E vrustettun metriikll d(y 1, y ) := y 1 y on tällöin täydellinen metrinen vruus. Olkoon K := {y E y(x ) = y j y(x) B(y ; b) kikille x I δ }. Tällöin K on vruuden E suljettu osjoukko. Määritellään kuvus S : K E settmll 5 (Sy)(x) := y + x f(t, y(t)) dt. 5 Tällist kuvust S, jonk muuttujn on funktio y, j jonk rvo Sy on funktio, kutsutn usein operttoriksi, tässä tilnteess integrlioperttoriksi. 7
Kosk f on jtkuv, on Sy jtkuv, jos se ylipäätään on hyvinmääritelty. Tätä vrten tulee oll (t, y(t)) D kikille t I δ. Tämä puolestn seur ehdost y K, kosk tällöin y on välillä I δ I määritelty jtkuv funktio, jolle y(t) B(y ; b) kikille t I δ. Siis (t, y(t)) I B(y ; b) D. Osoitetn, että Sy K, kun δ vlitn sopivsti (oletetn, että x > x ): (Sy)(x) y = f(t, y(t)) dt f(t, y(t)) dt M dt = M x x. x x x Siis (Sy)(x) y M δ b kikille x I δ, kun δ b/m. Selvästi Sy on jtkuv j (Sy)(x ) = y, joten Sy K. Osoitetn, että S on kutistv: ( (Sy 1 )(x) (Sy )(x) = f(t, y1 (t)) f(t, y (t)) ) dt x x f(t, y 1 (t)) f(t, y (t)) dt x L y 1 (t) y (t) dt L δ y 1 y. Kutistvuusehto Sy 1 Sy k y 1 y toteutuu, kun k := L δ < 1. Siis, kun δ b/m j k = L δ < 1, voidn Bnchin kiintopistelusett 1.5 sovelt kutistvn kuvukseen S : K K Kuvuksen S kiintopiste y toteutt integrliyhtälön (1.4), joten se on lkurvotehtävän (1.3) rtkisu. 1.4. Newtonin menetelmä II. [17, luku XVIII, 1, HT 6] Olkoon U R n voin joukko j f = (f 1,..., f m ): U R m differentioituv kuvus. Muist, että kuvuksen f derivtt Df(x) pisteessä x U on linerikuvus Df(x): R n R m j että sitä vstv mtriisi (stndrdikntojen suhteen) on Jcobin mtriisi 1 f 1 (x)... n f 1 (x) mt Df(x) =..... 1 f m (x)... n f m (x) Linerikuvuksen L: R n R m normi määritellään settmll L L := sup{ Lu u 1}. (Kurssill Differentililskent 1 tälle normille on käytetty merkintää L.) Linerikuvuksen normille tärkeä ominisuus on Lx L L x kikille x R n. Trkstelln seurvksi yhtälön f(x) = likimääräistä rtkisemist, kun f on voimess joukoss U R n määritelty C 1 -kuvus f = (f 1,..., f n ): U R n. Jos f on linerikuvus, on yhtälön f(x) = y rtkevuutt j rtkisemist trksteltu linerilgebrn kurssill [LAG1]. Tässä tpuksess yhtälöllä f(x) = y on yksi j vin yksi rtkisu jokiselle y R n, jos j vin jos f on bijektio. Muist, että linerikuvukselle f on Df(x) = f kikille x R n. Jos f ei ole linerikuvus, käytetään derivtn määritelmän mukist linerisointi-ide: korvtn f(x) pisteen x lähellä kuvuksell x f(x ) + Df(x )(x x ) (käänteiskuvusluse [IL1, luse 8.4] knntt myös pitää mielessä). 8
Derivtn määritelmän nojll f(x) f(x ) + Df(x )(x x ), kun x x. Jos tässä f(x) j derivtt Df(x ) on bijektio (t.s. det Df(x ) = J f (x ) ), niin x x (Df(x )) 1 f(x ). Seurvn luseen todistuksess trvitn pun nlyysin peruslusett vektorirvoiselle jtkuvsti differentioituvlle kuvukselle g : [, b] R m : g(b) g() = b g (t) dt. Tässä jtkuvn kuvuksen g = (g 1,..., g m ): [, b] R m integrli määritellään komponenteittin b ( b b ) g(t) dt := g 1 (t) dt,..., g m (t) dt. Lisäksi trvitn epäyhtälö b g(t) dt b g(t) dt. Lyhyt todistus: Olkoon I := b g(t) dt. Tällöin Cuchyn, Bunjkovskin j Schwrzin epäyhtälön nojll on ( b ) b b I = (I I) = I g(t) dt = (I g(t)) dt I g(t) dt. Yleistys välirvoluseelle: Olkoot G R n voin, f : G R m C 1 -kuvus j x, x G siten, että niitä yhdistävä jn J(x, x ) G. Soveltmll nlyysin peruslusett kuvukseen g : [, 1] R m, g(t) := f(x + t (x x)) t Df(x)(x x), sdn (vrt. [DL1, luse 6.4] j siitä kuvukseen z f(z) Df(x)(z x) soveltmll stv seurust) f(x ) f(x) Df(x)(x x) = g(1) g() = g (t) dt (1.5) = ( Df(x + t (x x)) Df(x) ) (x x) dt Df(x + t (x x)) Df(x) L x x dt. Luse 1.6. Olkoot x R n, r > j f : B(x ; r) R n C 1 -kuvus. Oletetn, että on olemss luvut c > j C > siten, että (i) Df(x) Df(x ) L C x x kikille x, x B(x ; δ); (ii) derivttkuvus Df(x) on bijektio j (Df(x)) 1 L c kikille x B(x ; δ). Tällöin on olemss vin luvuist c j C riippuv luku δ > siten, että jos f(x ) δ, niin on voimss: kun määritellään jono (x k ) k= settmll (1.6) x k+1 = x k (Df(x k )) 1 f(x k ), 1 on x k B(x ; r) kikille k N; jono (x k ) k= suppenee kohti pistettä ξ B(x ; r); 9
3 f(ξ) =. Jos lisäksi c C < 1, niin piste ξ on yhtälön f(x) = ino juuri plloss B(x ; c δ). Luseen oletukset trkoittvt seurv: Oletus f(x ) δ trkoitt, että x on yhtälön f(x) = juuren likirvo. Oletus (i) merkitsee, että derivtt Df(x) ei heilu voimkksti. Relikselill derivttkuvus Df(x): R R on luvull f (x) kertolsku j (Df(x)) 1 L = 1/f (x), joten oletus (ii) trkoitt, että derivtt f (x) pysyy kukn nollst. Vert myös kurssin [IL1] käänteiskuvuslusett koskeviin trksteluihin. Jos f on kksi kert differentioituv j n = 1, voidn oletust (i) yksinkertist välirvoluseen vull: Df(x) Df(x ) L = f (x) f (x ) = f (x ) x x jollekin luvulle x lukujen x j x välissä. Jos nyt toinen derivtt f on rjoitettu, f (t) C kikille t B(x ; r) = (x r, x + r), niin ehto (ii) toteutuu. Luseen todistus. Osoitetn luksi, että kun x k, x k+1 B(x ; r), niin (1.7) x k+1 x k c f(x k ) j f(x k ) C x k+1 x k. Määritelmästä (1.6) j oletuksest (ii) sdn x k+1 x k = Df(x k ) 1 f(x k ) Df(x k ) 1 L f(x k ) c f(x k ) Kosk f(x k ) = Df(x k )(x k+1 x k ), sdn nlyysin perusluseen vull (merkitään h := x k+1 x k ; vrt. (1.5)) f(x k+1 ) = f(x k ) + = f(x k ) + Df(x k )h + = joten oletuksen (i) nojll sdn f(x k+1 ) Df(x k + t h)h dt (Df(x k + t h) Df(x k ))h dt, Df(x k +t h) Df(x k ) L h dt Epäyhtälöt (1.7) ovt siis voimss. (Df(x k + t h) Df(x k ))h dt 1 Ct h dt = C x k+1 x k. Ongelmllisemp on osoitt, että rekursiivisesti kvll (1.6) määritellyt x k B(x ; r) kikille k N, kun δ on riittävän pieni j f(x ) δ. Kun epäyhtälöistä (1.7) ensimmäisessä setetn k =, on x 1 x c f(x ) c δ. Siis pitää oll c δ < r. Epäyhtälöistä (1.7) sdn x k+1 x k c f(x k ) c C x k x k 1... c C ( c C ) ( c C ) k 1... x 1 x k ( c C ) 1++4+ + k 1 ( c C = x 1 x k = ) k 1 x1 x k.
11 Kosk x 1 x c f(x ) c δ, sdn ( c C ) k 1 ( c C ) k 1 ( x k+1 x k x1 x k (c δ) c C δ ) k k 1 = c δ. Kun merkitään q := c C δ, on x n+1 x x k+1 x k k= = c δ 1 qn 1 q. Jos nyt c C δ 1, on q 1 j c δ q k 1 c δ k= n 1 x n+1 x c δ 1 qn 1 q c δ (1 qn 1 ) c δ, joten x n+1 B(x ; c δ). Riittää siis vlit δ > niin, että c δ < r. Epäyhtälöstä x n+1 x m x k+1 x k k=m = c δ qm 1 q n 1 q c δ q k 1 c δ k=m c δ q m 1 j= n 1 q j j= m 1 seur, että jono (x n ) n= on Cuchyn jono. Siis jono (x n ) n= suppenee j se rjpisteelle ξ on voimss ξ B(x ; c δ). Kun epäyhtälöprin (1.7) jälkimmäisessä epäyhtälössä nnetn k, sdn f(ξ) =. Osoitetn, että piste ξ on yhtälön f(x) = ino juuri η plloss B(x ; c δ), kun c C < 1. Oletetn, että myös η B(x ; c δ) on yhtälön f(x) = juuri. Kosk f(η) =, sdn jonon (x k ) k= vlinnn (1.6), välirvoepäyhtälön (1.5) j oletuksen (i) nojll Df(x k )(η x k+1 ) = f(η) f(x k ) Df(x k )(η x k ) Toislt, oletuksen (ii) nojll sup Df(z) Df(x) L η x k z J(x k,η) C η x k. η x k+1 = (Df(x k )) 1 Df(x k )(η x k+1 ) c Df(x k )(η x k+1 ). Näistä khdest epäyhtälöstä sdn η x k+1 c Df(x k )(η x k+1 ) c C η x k. Kun k, sdn η ξ c C η ξ. Kosk nyt c C < 1, on tämä mhdollist vin, kun η ξ =, t.s. η = ξ. q j
Huomutus 1.7. Jos f on kksi kert differentioituv, seur oletus (i) toisen kertluvun derivtn rjoittuneisuudest seurvsti. Olkoot luksi G R n voin j f : G R m kksi kert differentioituv kuvus, t.s. f on jtkuvsti differentioituv j osittisderivtt j f, 1 j n, ovt differentioituvi joukoss G. Kun setetn g : [, 1] R m, g(t) := Df(x + t v)u = n j jf(x + t v) u j, niin g(1) g() = Df(x + v)u Df(x)u j g (t) = k j f(x + t v) u j v k. joten Välirvoepäyhtälön [DL1, luse 6.4] nojll g(1) g() sup g (t), t [,1] t [,1] j,k=1. Df(x + v)u Df(x)u sup k j f(x + t v) u j v k j,k=1 Jos oletetn, että j k f(x) µ kikille x G, sdn krkesti rvioiden k j f(x + t v) u j v k k j f(x + t v) u j v k n µ u v. j,k=1 j,k=1 Siis Df(x+v)u Df(x)u n µ u v, mistä sdn linerikuvuksen normin määritelmän nojll Df(x + v) Df(x) L n µ v. Luseen oletus (i) siis on voimss vkiolle C = n µ. Luonnollisempi ehto stisiin käyttämällä toisen kertluvun derivtt, jok on läheistä suku toisen kertluvun differentilille [DL1, määr. 8.]: 6 d xf(u) := k j f(x) u j u k. j,k=1 Kun setetn (vrt. [17, luku XVII, 5]) (D f(x))(v, u) := k j f(x) u j v k, niin edellä ollut epäyhtälö s muodon j,k=1 Df(x + v)u Df(x)u sup (D f(x + t v))(v, u). t [,1] Tässä esiintyvä kuvuksen f toinen derivtt B := D f(x) pisteessä x on bilinerikuvus R n R n R m. Kikkien bilinerikuvusten R n R n R m joukko merkitään L (R n ; R m ) j se on normivruus, kun bilinerikuvukselle B määritellään B L := sup{ B(v, u) v 1, u 1}. 6 Kurssill Differentililskent 1 korkemmn kertluvun derivttojen sijn on määritelty vin korkemmn kertluvun differentilit, kosk ne riittävät (j vin niitä trvitn) Tylorin kvn. Kosk Tylorin kv puolestn trvitn vin relirvoisten funktioiden äärirvoteorin, on korkemmn kertluvun differentilitkin määritelty vin relirvoisille funktioille. 1
Bilinerikuvuksen normin perusominisuus on (vstv kuin linerikuvuksen normill) B(v, u) B L v u. Siis Df(x + v)u Df(x)u sup D f(x + t v) L v u, t [,1] joten linerikuvuksen normin määritelmän nojll Df(x + v) Df(x) L sup D f(x + t v) L v. t [,1] Oletukseen (i) liittyen sdn riittävä ehto: jos D f(x) L C kikille x B(x ; r), niin ehto (i) toteutuu. Seurus 1.8. Jos f : U E on C -kuvus, jolle f(x ) = j Df(x ) on kääntyvä, niin on olemss η > j δ > siten, että kun y δ, niin yhtälöllä f(x) = y on rtkisu x B(x ; η). Todistus. Sovelletn Newtonin menetelmää kuvukseen g(x) := f(x) y. Oletuksien nojll g (x) 1 j g (x) ovt rjoitettuj josskin pisteen x ympäristössä. Kun g(x ) = f(x ) y = y δ j δ on kuten edellä, on yhtälöllä g(ξ) = rtkisu ξ B(x ; c δ). Vlitn η := c δ. 13