TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Mtä opmme? / Tässä luvussa tarkastellaa seuraava todeäkösyyslaskea kovergesskästtetä: () Melke varma kovergess () Kvadraatte kovergess () Stokaste kovergess (v) Jakaumakovergess Todeäkösyyslaskea kovergesskästtede avulla päästää tarkastelemaa satuasmuuttuj jooje asymptoottsta käyttäytymstä. Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Mtä opmme? / Melke varma kovergess ja stokastse kovergess sovelluksea tarkastelemme suurte lukuje lakeja, jotka koskevat rppumattome ja samo jakautuede satuasmuuttuje artmeettse keskarvo asymptoottsta käyttäytymstä, ku satuasmuuttuje lukumäärä aetaa kasvaa rajatta. Jakaumakovergess sovelluksea tarkastelemme keskestä rajaarvolausetta, joka mukaa rppumattome ja samo jakautuede satuasmuuttuje summa jakauma lähestyy ormaaljakaumaa, ku yhteelaskettave lukumäärä aetaa rajatta kasvaa. Keskee raja-arvolause o ehkä tärke perustelu ormaaljakauma keskeselle asemalle tlastoteteessä. Keskese raja-arvolausee seurauksa tarkastellaa bom-, hypergeometrse ja Posso-jakautuede satuasmuuttuje rajakäyttäytymstä. TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 TKK (c) Ilkka Mell (004) 4 Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Estedot Estedot: ks. seuraava lukuja: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Normaaljakaumasta johdettuja jakauma Momettemäfukto ja karakterste fukto Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Lsätedot Suurte lukuje lak o vtattu tlastollse stablteet kästtee matemaattsea formulota seuraavssa luvussa: Todeäkösyyslaskea peruskästteet Jakaume tuusluvut Keskestä raja-arvolausetta o sovellettu luvussa Jatkuva jakauma estettäessä mte bom-, hypergeometrsta ja Posso-jakauma vodaa approksmoda ormaaljakaumalla. TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 6
TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä >> Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Avasaat Hekko kovergess Jakaumakovergess Kvadraatte kovergess Melke varma kovergess Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje joo Stokaste kovergess Varma kovergess TKK (c) Ilkka Mell (004) 8 Kovergesskästtetä Satuasmuuttujat Olkoo ( S, F,Pr) todeäkösyyskettä ja olkoo (mtalle) fukto otosavaruudesta S reaallukuje joukkoo R : : S R Tällö o satuasmuuttuja. Jos haluamme korostaa stä, että satuasmuuttuja o otosavaruude S kuvaus reaallukuje joukkoo R, merktsemme (s) R, s S Kovergesskästtetä Satuasmuuttujat: Kommetteja Satuasmuuttuja o fuktoa täys määrätty, mutta sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu. Satuasmuuttuja kuvaa satuaslmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa. Satuasmuuttuja lttää jokasee satuaslmö tulosvahtoehtoo reaalluvu (umeerse kood). TKK (c) Ilkka Mell (004) 9 TKK (c) Ilkka Mell (004) 0 Kovergesskästtetä Satuasmuuttuje joot / Kovergesskästtetä Satuasmuuttuje joot / Tarkastelemme jatkossa satuasmuuttuje,, 3, muodostama jooja ja de kovergessa. Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo e ole lukujoo mssää tavaomasessa melessä, vaa se o lukujooje joukko. Satuasmuuttuje,, 3, muodostamassa joossa jokasee otosavaruude alkoo s S lttyy lukujoo (s), (s), 3 (s), Lukujoo (s), (s), 3 (s), vo kovergoda, ku s A S ja hajaatua, ku s A c S Tämä havato muodostaa tose lähtökohda todeäkösyyslaskea kovergesskästtede tarkastelulle. Tose lähtökohda muodostaa satuasmuuttuje,, 3, jakaume ja de kovergess tarkastelu. TKK (c) Ilkka Mell (004) TKK (c) Ilkka Mell (004)
TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 Kovergesskästtetä Varma kovergess Kovergesskästtetä Melke varma kovergess Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo varmast koht satuasmuuttujaa, jos lm ( s) = ( s) s S Huomautus: Satuasmuuttuje jooje varmaa kovergessa käytetää la rajottavaa kovergess muotoa va harvo. Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht satuasmuuttujaa, jos Pr(lm = ) = Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (a.s.) a.s. jossa lyhee a.s. = almost surely. TKK (c) Ilkka Mell (004) 4 Kovergesskästtetä Melke varma kovergess: Esmerkk /3 Ltetää otosavaruude S = [0, ] osaväleh todeäkösyydet seuraavalla tavalla: Pr[a, b] = b a, 0 a b Määrtellää satuasmuuttuja otosavaruudessa S kaavalla (s) = s, s S Fukto ( ) o dette kuvaus. Määrtellää satuasmuuttuje, =,, 3, joo seuraavast:, ku s = 0 ( s) = s, ku 0 < s< 0, ku s = Kovergesskästtetä Melke varma kovergess: Esmerkk /3 Satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo : kasvaessa rajatta koht rajamuuttujaa, ku s = 0 lm ( s) = s, ku 0 < s< 0, ku s = Olkoo joukko A = {s S lm (s) (s)} de otosavaruude S = [0, ] alkode (pstede) s joukko, jossa satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo e kovergo koht satuasmuuttuja (s) arvoa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Kovergesskästtetä Melke varma kovergess: Esmerkk 3/3 Satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo kovergo koht satuasmuuttujaa (s), jos 0 < s <, mutta e kovergo koht satuasmuuttujaa (s), jos s = 0 ta s =. Ste A = {s S lm (s) (s)} = {0, } Koska Pr(A) = 0 vomme saoa, että satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo kovergo koht satuasmuuttujaa (s) muualla pats ollamttasessa joukossa A. Ste olemme todstaeet, että satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht satuasmuuttujaa (s): (a.s.) TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo kvadraattsest koht satuasmuuttujaa, jos lm E ( ) = 0 Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (q.m.) q.m. jossa lyhee q.m. = quadratc mea. TKK (c) Ilkka Mell (004) 8
TKK (c) Ilkka Mell (004) 9 Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess: Esmerkk / Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma ja samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvot ja varasst ovat E( ) = µ Var( ) = σ Määrtellää satuasmuuttuje,, 3,, artmeette keskarvo kaavalla =, =,,3, = Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess: Esmerkk / Koska satuasmuuttujat,, 3,, oletett rppumattomks ja llä o sama odotusarvo ja varass, de artmeette keskarvo =Σ / odotusarvo ja varass ovat E( ) = µ Var( ) = σ / Koska σ E[( µ ) ] = Var( ) = 0 satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje =Σ / muodostama joo, =,,3, kovergo kvadraattsest koht satuasmuuttuje,, 3, yhtestä odotusarvoa µ: µ (q.m.) TKK (c) Ilkka Mell (004) 0 Kovergesskästtetä Stokaste kovergess Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo stokastsest koht satuasmuuttujaa, jos kaklle ε > 0 pätee lm Pr( > ε ) = 0 Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (P) P jossa lyhee P = probablty. Kovergesskästtetä Stokaste kovergess: Esmerkk /3 Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa N(µ, σ ) oudattava satuasmuuttuja, jode odotusarvot ja varasst ovat E( ) = µ Var( ) = σ Määrtellää satuasmuuttuje,, 3,, artmeette keskarvo kaavalla Tällö =, =,,3, = N(, / ) µ σ TKK (c) Ilkka Mell (004) TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästtetä Stokaste kovergess: Esmerkk /3 Kaklle ε > 0 pätee Pr( µ > ε ) = Pr( µ ε < < µ + ε) ε µ ε = Pr < <+ σ / σ / σ / ε ε = Pr < Z <+ σ / σ / ε ε = Φ Φ σ / σ / 0, ku jossa Φ(z) o stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja Z kertymäfukto. Kovergesskästtetä Stokaste kovergess: Esmerkk 3/3 Koska kaklle ε > 0 pätee Pr( µ > ε) 0, ku satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje =Σ / muodostama joo, =,,3, kovergo stokastsest koht satuasmuuttuje,, 3, yhtestä odotusarvoa µ: µ (P) TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 TKK (c) Ilkka Mell (004) 4
TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 Kovergesskästtetä Jakaumakovergess / Kovergesskästtetä Jakaumakovergess / Olkoo,, 3, joo satuasmuuttuja, jode kertymäfuktot ovat F (x), F (x), F 3 (x), Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht satuasmuuttujaa, joka kertymäfukto o F (x), jos lm F( x) = F( x) jokasessa satuasmuuttuja kertymäfukto F (x) jatkuvuuspsteessä x el sellasessa psteessä x, jossa F (x) o jatkuva. Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (L) F ( x) L jossa L = (probablty) law. Krjame L tlalla käytetää joskus krjata D: D = dstrbuto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Kovergesskästtetä Jakaumakovergess: Esmerkk / Olkoo,, 3, joo satuasmuuttuja, jode kertymäfuktot ovat 0, ku x < 0 x F ( x) =, ku 0 x 0, ku x> Koska x x lm = e lm F( x) = e x, x 0 Kovergesskästtetä Jakaumakovergess: Esmerkk / Fukto x F( x) = e, x 0 o ekspoettjakauma Exp() kertymäfukto. Ste satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht satuasmuuttujaa ~ Exp(): ~ Exp() TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 TKK (c) Ilkka Mell (004) 8 Kovergesskästtetä Kovergesskästtede yhteydet / Kovergesskästtetä Kovergesskästtede yhteydet / Vodaa osottaa, että todeäkösyyslaskea kovergesskästtellä o seuraavat yhteydet: () Melke varma kovergess (a.s.) mplko stokastse kovergess (P). () Kvadraatte kovergess (q.m.) mplko stokastse kovergess (P). () Stokaste kovergess (P) mplko jakaumakovergess el heko kovergess (L). (v) Melke varma ja kvadraattse kovergess yhteydestä e voda saoa mtää ylestä. Todstamme seuraavassa kohda (). Kovergesskästtede yhteydet vodaa esttää seuraavaa kaavoa: Melke varma kovergess (a.s.) Stokaste kovergess (P) Jakaumakovergess (L) Kvadraatte kovergess (q.m.) TKK (c) Ilkka Mell (004) 9 TKK (c) Ilkka Mell (004) 30
TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess mplko stokastse kovergess: Todstus / Oletetaa, että satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo kvadraattsest koht satuasmuuttujaa, jollo lm E ( ) 0 = Tarkastellaa todeäkösyyttä Pr( > ε ) Markov epäyhtälöstä (ks. lukua Jakaume tuusluvut) ja kvadraattse kovergess määrtelmästä seuraa, että Pr( > ε ) E ( ) 0 ε Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess mplko stokastse kovergess: Todstus / Koska Pr( > ε ) 0 satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo stokastsest koht satuasmuuttujaa suoraa stokastse kovergess määrtelmä perusteella. TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Suurte lukuje lat Kovergesskästtetä >> Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Avasaat Hekko suurte lukuje lak Melke varma kovergess Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje joo Stokaste kovergess Vahva suurte lukuje lak TKK (c) Ilkka Mell (004) 33 TKK (c) Ilkka Mell (004) 34 Suurte lukuje lat Vahva suurte lukuje lak / Suurte lukuje lat Vahva suurte lukuje lak / Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma ja samo jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo: E( ) = µ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo: = = Tällö pätee vahva suurte lukuje lak: Satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje = Σ / muodostama joo kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht satuasmuuttuje yhtestä odotusarvoa µ: a.s. µ Huomautus: Vahva suurte lukuje la todstus o vaatva ja svuutetaa; Se sjaa todstamme seuraavassa heko suurte lukuje la. TKK (c) Ilkka Mell (004) 35 TKK (c) Ilkka Mell (004) 36
TKK (c) Ilkka Mell (004) 37 Suurte lukuje lat Vahva suurte lukuje lak: Kommetteja Vahva suurte lukuje lak lmastaa use sao seuraavast: Samo jakautuede satuasmuuttuje artmeette keskarvo lähestyy muuttuje lukumäärä kasvaessa rajatta muuttuje yhtestä odotusarvoa melke kakkalla el se otosavaruude S osajoukko, jossa kovergessa e tapahdu o ollamttae. Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak / Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass: E( ) = µ, D ( ) = σ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo: = = TKK (c) Ilkka Mell (004) 38 Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak / Tällö pätee hekko suurte lukuje lak: Satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje =Σ / muodostama joo kovergo stokastsest koht satuasmuuttuje yhtestä odotusarvoa µ: P µ Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak: Todstus Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass: E( ) = µ, D ( ) = σ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo: = = Tshebyshev epäyhtälö (ks. lukua Jakaume tuusluvut) mukaa σ Pr( µ > ε) ε Koska epäyhtälö okea puol 0, ku, P µ TKK (c) Ilkka Mell (004) 39 TKK (c) Ilkka Mell (004) 40 Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak: Kommetteja Hekko suurte lukuje lak lmastaa use sao seuraavast: Samo jakautuede satuasmuuttuje artmeette keskarvo lähestyy muuttuje lukumäärä kasvaessa muuttuje yhtestä odotusarvoa sellasella tavalla, että pokkeame todeäkösyys satuasmuuttuje yhtesestä odotusarvosta tulee yhä peemmäks el pokkeamat tulevat yhä harvasemmks. Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Kommetteja Suurte lukuje lakeja vodaa ptää matemaattsea formulota tlastollse stablteet kästteelle (ks. lukua Todeäkösyyslaskea peruskästteet). Suurte lukuje lat koskevat satuasmuuttuje asymptoottsta käyttäytymstä samaa tapaa ku keskee raja-arvolause. Vahva suurte lukuje lak mplko heko suurte lukuje la. Suurte lukuje laesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojakautuesuus-ja rppumattomuusoletuksa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 4 TKK (c) Ilkka Mell (004) 4
TKK (c) Ilkka Mell (004) 43 Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk /5 Olkoo A otosavaruude S jok tapahtuma ja oletetaa, että Pr(A) = p Tällö Pr(A c ) = Pr(A) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja :, jos A tapahtuu = 0, jos A e tapahdu Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o x x f( x) = Pr( = x) = p q,0< p<, q = p, x= 0, jote satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p (ks. lukua Dskreettejä jakauma): ~ Beroull(p) E() = p Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk /5 Tostetaa edellsellä kalvolla määrteltyä Beroull-koetta kertaa ja oletetaa, että koetostot ovat rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A sattumsta koetostoje akaa. Oletukse mukaa Pr(A) = p, Pr(A c ) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttujat, =,,, :, jos A tapahtuu kokeessa = 0, jos A e tapahdu kokeessa Satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p):,,, ~ Beroull(p), =,,, E( ) = p, =,,, TKK (c) Ilkka Mell (004) 44 Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk 3/5 Olkoo Y = = satuasmuuttuje, =,,, summa. Koska luku estyy summassa täsmällee yhtä mota kertaa ku tapahtuma A sattuu : koetosto akaa, satuasmuuttuja Y kuvaa tapahtuma A estymste frekvessä el lukumäärää - kertasessa Beroull-kokeessa. Satuasmuuttuja Y oudattaa Bomjakaumaa parametre ja p (ks. lukua Dskreettejä jakauma): Y ~ B(, p) E(Y) = p Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk 4/5 Satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo Y = = = kuvaa tapahtuma A estymste suhteellsta frekvessä el suhteellsta lukumäärää -kertasessa Beroull-kokeessa. Tlastoteteessä satuasmuuttujat, =,,, tulktaa havaoks sama Beroull-kokee tostosta. Tällö suhteellselle frekvesslle Y/ käytetää tavallsest merktää f pˆ = jossa f o tapahtuma A havattu frekvess, ku tarkastelu kohteea oleva satuaslmö o tostuut kertaa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 45 TKK (c) Ilkka Mell (004) 46 Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk 5/5 Vahva suurte lukuje la mukaa suhteelle frekvess pˆ = f / kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht tapahtuma A todeäkösyyttä p: a.s. pˆ = f / p = Pr( A) Koska vahva suurte lukuje lak mplko heko suurte lukuje la, tedämme, että tapahtuma A suhteelle frekvess kovergo myös stokastsest koht tapahtuma A todeäkösyyttä. Koska tapahtuma A havattu suhteelle frekvess pˆ = f / kovergo koht tapahtuma A todeäkösyyttä Pr(A) = p, ku havatoje lukumäärä kasvaa rajatta, saomme, että suhteelle frekvess tarketuu havatoje lukumäärä kasvaessa kohde tapahtuma A todeäkösyyttä. Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat >> Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa TKK (c) Ilkka Mell (004) 47 TKK (c) Ilkka Mell (004) 48
TKK (c) Ilkka Mell (004) 49 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause Johdato / Avasaat Approksmot Asymptootte Hekko kovergess Jakaumakovergess Kertymäfukto Normaaljakauma Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje summa Stadardotu ormaaljakauma Theysfukto Olkoo, =,,, joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa N(µ, σ ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuje summa Y o ormaale: Y = = ~N( µ, σ ) Kysymys: Mtä vodaa saoa rppumattome, samaa jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakaumasta, jos ko. satuasmuuttujat evät oudata ormaaljakaumaa? TKK (c) Ilkka Mell (004) 50 Keskee raja-arvolause Johdato / Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee formulot /3 E-ormaalste satuasmuuttuje summa e yleesä ole ormaale. Kutek, jos yhteelaskettava o tarpeeks paljo, satuasmuuttuje summa o (hyv yles ehdo) approksmatvsest ormaale. Tämä o keskese raja-arvolausee oleae ssältö. Koska moa satuasmuuttuja vodaa ptää usea rppumattoma tekjä summaa, ataa keskee rajaarvolause seltykse emprselle havaolle de ormaalsuudesta. Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo ja varass ovat E( ) = µ, =,,3, D( ) = σ, =,,3, Olkoo Y = = satuasmuuttuje, =,,, summa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee formulot /3 Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee formulot 3/3 Summa Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) = µ D( Y ) = σ Stadardodaa summa Y : Y µ Z = σ Aetaa Tällö satuasmuuttuja Z jakauma lähestyy stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ). Ste keskee raja-arvolause saoo, että µ = lm Pr z =Φ( z) σ jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Merktä: µ = a N(0,) σ TKK (c) Ilkka Mell (004) 53 TKK (c) Ilkka Mell (004) 54
TKK (c) Ilkka Mell (004) 55 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus /9 Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja. Oletetaa, että satuasmuuttujlla, =,, 3, o (yhtee) momettemäfukto (ks. lukua Momettemäfukto ja karakterste fukto) jossak orgo ympärstössä. Olkoot satuasmuuttuje, =,, 3, odotusarvo ja varass E( ) = µ, =,,3, D( ) = σ, =,,3, Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus /9 Olkoo Y = + + + satuasmuuttuje, =,,, summa. Summamuuttuja Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) = µ D( Y ) = σ Stadardodaa summa Y : Y µ Z = σ Stadardodu muuttuja Z odotusarvo ja varass ovat E( Z ) = 0 D( Z ) = TKK (c) Ilkka Mell (004) 56 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 3/9 Srrytää tarkastelemaa keskstettyjä satuasmuuttuja T = µ, =,,3 Satuasmuuttuje T odotusarvo ja varass ovat E( T ) = 0, =,,3, D( T ) = σ, =,,3, Keskstettyje muuttuje T avulla stadardotu muuttuja Z vodaa krjottaa muotoo Y µ Z = σ + + + µ = σ = ( T+ T + + T ) σ Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 4/9 Satuasmuuttuje, =,, 3, momettemäfukto olemassaolosta jossak orgo ympärstössä seuraa kesktettyje muuttuje T = µ, =,,3 momettemäfukto olemassaolo jossak orgo ympärstössä. Olkoo mt () = E( e tt ) satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtee momettemäfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 57 TKK (c) Ilkka Mell (004) 58 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 5/9 Koska rppumattome satuasmuuttuje summa momettemäfukto o summa tekjöde momettemäfuktode tulo, satuasmuuttuja Y µ Z = = ( T+ T + + T ) σ σ momettemäfukto m (t) vodaa esttää muodossa t m () t = m σ jossa ss m(t) o satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtee momettemäfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 59 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 6/9 Satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtesellä momettemäfuktolla m(t) o jossak pstee t = 0 ympärstössä vomassa sarjakehtelmä α mt () = + αt+ t + tη() t jossa k α k = E( T ), k =,,3, o satuasmuuttuje T, =,, 3, k. (orgo-) momett ja η(t) 0, ku t 0. Koska α = E( T ) = 0, =,,3, α = E( T ) = D ( T) = σ, =,,3, α σ mt () = + αt+ t + tη() t = + t + tη() t TKK (c) Ilkka Mell (004) 60
TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 7/9 Sjotetaa satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtese momettemäfukto m(t) sarjakehtelmä mt () = + σ t + tη() t satuasmuuttuja Y µ Z = = ( T+ T + + T ) σ σ momettemäfukto lausekkeesee t m () t = m σ Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 8/9 Saamme sjotukse tuloksea lausekkee σ t t t m () t = + + η σ σ σ t t t = + + η σ σ jossa t lm 0 η = σ jokaselle kteälle t. TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 9/9 Ekspoettfukto omasuukse perusteella t t t t m () t = + + η e σ σ Koska t / e o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) momettemäfukto, satuasmuuttuje Y µ Z = σ muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ): L Z Z N(0,) / Keskee raja-arvolause Kommetteja /3 Keskese raja-arvolausee mukaa usea satuasmuuttuja summa o (tety ehdo) approksmatvsest ormaale (lähes) rppumatta yhteelaskettave jakaumasta. Huomautus: Yhteelaskettave e tarvtse olla edes jatkuva, vaa e vovat olla jopa dskreettejä. TKK (c) Ilkka Mell (004) 63 TKK (c) Ilkka Mell (004) 64 Keskee raja-arvolause Kommetteja /3 Keskee raja-arvolause Kommetteja 3/3 Approksmaato hyvyys rppuu yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärästä, de jakaumasta ja ertysest de jakauma voudesta. Approksmaato hyvyys paraee, ku yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärä kasvaa. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o symmetre, approksmaato o hyvä jo suhteellse pellä yhteelaskettave lukumäärllä. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o epäsymmetre, hyvä approksmaato vaat eemmä yhteelaskettava. Keskee raja-arvolause koskee satuasmuuttuje asymptoottsta käyttäytymstä samaa tapaa ku suurte lukuje lak. Keskesessä raja-arvolauseessa estyvä rajakäyttäytymse muoto o esmerkk jakaumakovergesssta el hekosta kovergesssta. Keskesestä raja-arvolauseesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa leveetää samojakautuesuus-ja rppumattomuusoletuksa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 65 TKK (c) Ilkka Mell (004) 66
TKK (c) Ilkka Mell (004) 67 Keskee raja-arvolause Artmeettse keskarvo approksmatve jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa: Rppumattome samo jakautuede satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo = = o suurlle (mutta äärellslle) approksmatvsest ormaale parametreaa µ ja σ /: σ N µ, a Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause >> Keskese raja-arvolausee seurauksa TKK (c) Ilkka Mell (004) 68 Keskese raja-arvolausee seurauksa Keskese raja-arvolausee seurauksa De Movre ja Laplace raja-arvolause Avasaat Approksmot Asymptootte Bomjakauma Hekko kovergess Hypergeometre jakauma Jakaumakovergess Kertymäfukto Normaaljakauma Posso-jakauma Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje joo Satuasmuuttuje summa Stadardotu ormaaljakauma Theysfukto Olkoo B(, p) ja q = p. Ste E( ) = p Var( ) = pq Keskese raja-arvolausee mukaa p lm Pr z =Φ( z) + pq jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Tätä keskese raja-arvolausee seurausta o tapaa kutsuta De Movre ja Laplace raja-arvolauseeks. TKK (c) Ilkka Mell (004) 69 TKK (c) Ilkka Mell (004) 70 Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa bomjakaumaa B(, p) vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla N(µ, σ ) jossa µ = p σ = pq, q = p Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 Jos ss B(, p) De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa suurlle b p a p Pr( a< b) Φ Φ pq pq jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 TKK (c) Ilkka Mell (004) 7
TKK (c) Ilkka Mell (004) 73 Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b+ / p a / p Pr( a< b) Φ Φ pq pq Korjaustekjä / ottame mukaa perustuu she, että dskreettä bomjakaumaa approksmodaa jatkuvalla ormaaljakaumalla. Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma 4/4 Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b+ / p Pr( b) = F ( b) Φ pq jossa F o bomjakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a+ / p a / p Pr( = a) = f ( a) Φ Φ pq pq jossa f o bomjakauma pstetodeäkösyysfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 74 Keskese raja-arvolausee seurauksa Hypergeometrse jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma / Hypergeometre jakauma HyperGeom(N, r, ) lähestyy perusjouko koo N kasvaessa rajatta bomjakaumaa B(, p) jossa p = r/n Keskese raja-arvolausee seurauksa Hypergeometrse jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma / Ste hypergeometrsta jakaumaa HyperGeom(N, r, ) vodaa suurlle N approksmoda ormaaljakaumalla N(µ, σ ) jossa r µ = N r r σ = N N TKK (c) Ilkka Mell (004) 75 TKK (c) Ilkka Mell (004) 76 Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma ja ormaaljakauma Olkoo Posso(λ). Ste E( ) = λ Var( ) = λ Keskese raja-arvolausee mukaa λ lm Pr z =Φ( z) λ + λ jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 Posso-jakaumaa koskeva raja-arvolausee mukaa Posso-jakaumaa Posso(λ) vodaa suurlle λ approksmoda ormaaljakaumalla N(µ, σ ) jossa µ = λ σ = λ TKK (c) Ilkka Mell (004) 77 TKK (c) Ilkka Mell (004) 78
TKK (c) Ilkka Mell (004) 79 Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 Jos ss Posso(λ) Posso-jakaumaa koskeva raja-arvolausee mukaa suurlle λ b λ a λ Pr( a< b) Φ Φ λ λ jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b+ / λ a / λ Pr( a< b) Φ Φ λ λ Korjaustekjä / ottame mukaa perustuu she, että dskreettä Posso-jakaumaa approksmodaa jatkuvalla ormaaljakaumalla. TKK (c) Ilkka Mell (004) 80 Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma 4/4 Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b + / λ Pr( b) = F ( b) Φ λ jossa F o Posso-jakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a+ / λ a / λ Pr( = a) = f ( a) Φ Φ λ λ jossa f o Posso-jakauma pstetodeäkösyysfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 8