Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee, että solmut j b ovt vierekkäisiä verkoss 1, jos j vin jos solmut f() j f(b) ovt vierekkäisiä verkoss 2. Kuvust f snotn tällöin isomorfismiksi. Esimerkki..1. Kuvn. verkot j ovt isomorfiset. Tutkimll kuv. nimittäin huomtn, että verkon solmu θ voidn kiepsutt solmujen α j β yläpuolelle, jolloin verkko näyttää smlt kuin verkko. α γ β θ ε δ Kuv.: Verkot j ovt isomorfiset. Osoitetn verkkojen j isomorfisuus vielä täsmällisesti. Määritellään F : {1, 2,,,, } {α, β, γ, δ, ε, θ} seurvsti: F(1) = θ F(2) = γ F() = δ F() = ε F() = α F() = β. Kuvus F on injektio, sillä mitään kksi eri lkiot eivät kuvudu smksi. Kuvus F on myös surjektio, sillä jokiselle mlin {α, β, γ, δ, ε, θ} lkiolle kuvutuu jokin lkio. Siis F on bijektio. Solmujen vierekkäisyyttä koskevn ehdon tutkimiseksi muodostetn kummnkin verkon vierusmtriisi. Verkon vierusmtriisi A voidn muodost tvlliseen tpn. Verkon vierusmtriisiss A järjestetään rivit j srkkeet kuvuksen F mukisesti järjestykseen F(1), F(2), F(), F(), F(), F(): θ γ δ ε α β 1 0 1 0 1 0 0 θ 0 1 0 1 0 0 A : 2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A : γ 1 0 1 0 0 1 δ 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ε 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 α 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 β 0 1 0 0 1 0 1
vitn, että näin muodostetut vierusmtriisit ovt smt. Tämä trkoitt, että kikill, b {1, 2,,,, } pätee, että solmut j b ovt vierekkäisiä verkoss, jos j vin jos solmut F() j F(b) ovt vierekkäisiä verkoss. Näin on osoitettu, että isomorfisuuden määritelmän..12 molemmt ehdot täyttyvät. Siis edellä trksteltu kuvus F on isomorfismi j verkot j ovt isomorfiset. Luse..1. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj j f : V 1 V 2 on isomorfismi. Tällöin verkoiss 1 j 2 on yhtä mont solmu verkoiss 1 j 2 on yhtä mont viiv kikill V 1 pätee, että deg()=deg(f()). Todistus. Oletuksen nojll kuvus f : V 1 V 2 on bijektio, joten joukoss V 1 j V 2 on yhtä mont lkiot. Siis verkoiss 1 j 2 on yhtä mont solmu. Oletetn, että V 1. Solmun ste deg() on solmust lähtevien viivojen lukumäärä. Se on siis sm kuin solmun vierekkäisten solmujen lukumäärä verkoss 1. Kuv.9: Solmun ste on sm kuin solmun vierekkäisten solmujen lukumäärä. Oletuksen nojll kikill, b V 1 pätee, että solmut j b ovt vierekkäisiä verkoss 1, jos j vin jos solmut f() j f(b) ovt vierekkäisiä verkoss 2. Tämä trkoitt, että solmull f() on verkoss 2 yhtä mont vierekkäistä solmu kuin solmull verkoss 1. Solmust f() lähtee siis yhtä mont viiv kuin solmust. Siis deg(f()) = deg(). Kosk f : V 1 V 2 on bijektio j kikill V 1 pätee, että deg() =deg(f()), on solmujen steiden summ sm molemmiss verkoiss. Esimerkin.. mukn verkon viivojen määrä sdn jkmll solmujen steiden summ khdell. Tästä seur, että verkoiss 1 j 2 on sm määrä viivoj. Luseen..1 vull voidn joisskin tpuksiss osoitt, että trksteltvt verkot eivät ole isomorfiset. Tätä hvinnollistetn seurvss esimerkissä. Esimerkki..1. Trkstelln kuvn.10 verkkoj j. Niissä molemmiss on viisi solmu j kuusi viiv, mutt verkoss jokisen solmun ste on vähintään kksi, kun ts verkoss solmun ste on yksi eli deg() =1. Siis verkot j eivät ole isomorfiset luseen..1 nojll. 19
d e c b Kuv.10: Verkot j eivät ole isomorfiset. Esimerkki..1. Trkstelln kuvn.11 verkkoj j. Niissä molemmiss on khdeksn solmu j kymmenen viiv. Lisäksi kummsskin verkoss on neljä solmu, joiden ste on kksi, j neljä solmu, joiden ste on kolme. d c 7 f g e h b Kuv.11: Verkot j eivät ole isomorfiset. Näytetään, etteivät verkot j kuitenkn ole isomorfiset. Tehdään vstoletus, että ne ovt isomorfiset. Tällöin on olemss isomorfismi F : V V verkon solmujen joukost verkon solmujen joukkoon. Trkstelln verkon solmu 1, jonk ste on kolme. Luseen..1 mukn solmu 1 kuvutuu isomorfismiss F joksikin verkon kolmisteiseksi solmuksi eli solmuksi, d, e ti f. vitn, että näistä jokisell on kksi vierekkäistä kolmisteist solmu j yksi vierekkäinen kksisteinen solmu. Esimerkiksi solmun vierussolmujen steet ovt deg(d)=deg(e)= j deg(b)=2. Vstv tilnne on solmuill d, e j f. Solmull 1 puolestn on kksi vierekkäistä solmu, joiden ste on kksi: solmut 2 j. Luseen..1 mukn tällöin myös deg(f(2)) = deg(f()) = 2. Toislt isomorfisuuden määritelmän mukn solmut F(2) j F() ovt solmun F(1) vierussolmuj verkoss. Tämä on ristiriidss sen knss, että verkon jokisell kolmisteisell solmull on tsn yksi kksisteinen vierussolmu. Vstoletus johti ristiriitn, joten lkuperäinen väite on tosi. Siis verkot j eivät ole isomorfiset. 10
Määritelmä..17. Oletetn, että on yksinkertinen verkko j n N, n 1. Verkon solmujen jono v 1,...,v n on polku solmust v 1 solmuun v n, jos jonon jokisest solmust on kri jonon seurvn solmuun. Polun v 1,...,v n pituus on polkuun liittyvien krien lukumäärä eli n 1. Polku v 1,...,v n on sykli, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) polun pituus on vähintään kksi (2) polun ensimmäinen j viimeinen solmu ovt smt eli v 1 = v n () mikään muist solmuist v 2,...,v n 1 ei esiinny poluss usemmin kuin kerrn. Polku on yksinkertinen, jos se on sykli ti jos mikään sen solmuist ei esiinny poluss usemmin kuin kerrn. Esimerkki..1. Trkstelln kuvn.12 verkko. 7 Kuv.12: Verkko. Polun 1,,, 7,,,, 7,, 2 pituus on yhdeksän. Tämä polku ei ole sykli, kosk sen ensimmäinen j viimeinen solmu ovt eri solmut. Lisäksi esimerkiksi solmu esiintyy poluss kksi kert, joten polku ei ole yksinkertinen. Polku 2,, 7,,, 1, on yksinkertinen, sillä mikään solmu ei esiinny siinä usemmin kuin kerrn. Sen pituus on kuusi. Tämäkään polku ei ole sykli, kosk sen ensimmäinen j viimeinen solmu ovt eri solmut. Polun,, 1,,, 7, pituus on kuusi. Se on sykli, kosk sen ensimmäinen j viimeinen solmu ovt smt eikä mikään muist solmuist esiinny poluss usemmin kuin kerrn. Kosk tämä polku on sykli, se on yksinkertinen. Jono 1,, 7, ei ole verkon polku, kosk verkoss ei ole krt solmust solmuun 7. Määritelmä..19. Yksinkertinen verkko on yhtenäinen, jos sen minkä thns khden eri solmun välillä on polku. 11
Esimerkki..20. Kuvn.12 verkko on yhtenäinen, mutt kuvn.1 verkko ei ole. Verkoss ei esimerkiksi ole polku solmust solmuun. 7 Kuv.1: Verkko. 12