Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10

Transkriptio

1 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 7-9 tulee palauttaa seuraavan alkuviikon harjoituksiin paperilla tai pdf-muodossa kurssin MyCourses-sivuille tiistaihin klo.00 mennessä. Sama kellonaika on myös viikoittaisten verkkotehtävien dl, joskin verkkotehtävät kannattaa tehdä ennen palautettavia kotitehtäviä. Haastetehtävä on vapaaehtoinen lisätehtävä. Sen voi halutessaan palauttaa MyCoursesiin ti klo mennessä luennoitsijan tarkastettavaksi. Alkuviikko: funktiot ja mahtavuudet Tuntitehtävä : Olkoon f : Z Z Q, f(m, n) = a) Määritä perustellen alkukuva f ({0}). b) Onko f injektio? Entä surjektio? Perustele. m n +. a) Alkukuva f ({0}) on joukko {(m, n) f(m, n) = 0}. Tässä nimittäjä on aina nollasta poikkeava, joten funktio saa arvon nolla jos ja vain jos osoittaja saa arvon nolla. Näin ollen alkukuva on {(m, n) m = 0, n Z}. b) Injektio on kuvaus, jossa kuhunkin maalijoukon alkioon kuvautuu korkeintaan yksi määrittelyjoukon alkio. Selvästikään f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f(, ) = f(, ) Surjektio on kuvaus, jossa jokaiseen maalijoukon alkioon kuvautuu vähintään yksi määrittelyjoukon alkio. f on surjektio, sillä mikä tahansa maalijoukon alkio p saadaan seuraavasti: q ) Jos q on positiivinen, valitaan m = p, n = q. ) Jos q on negatiivinen, valitaan m = p, n = q. (Tämän voinee ratkaista myös jollain vähemmän teknisellä päättelyllä.) Tuntitehtävä : a) Määrittele rekursiivisesti kertomafunktio f(n) = n! ja summafunktio g(n) = n i= i, n N. b) Määritellään lukujono (a n ) siten, että a 0 =, a = ja a n = a n a n kaikilla n. Osoita induktiolla, että a n = n kaikilla n 0.

2 a) Kertomafunktio voidaan määritellä asettamalla f(0) =, f(n) = n f(n ), kun n. Summafunktio voidaan määritellä asettamalla g() =, g(n) = n + g(n ), kun n. b) Todistetaan väite induktiolla. Perusaskel: a 0 = = 0 ja a = =, eli väite pätee kun n = 0 ja n =. Induktio-oletus: Väite a n = n pätee kaikilla n k, missä k. Induktioväite: Väite pätee, kun n = k +, eli pätee a k+ = k+. Induktioväitteen todistus: a k+ = a k a k = k k käytetty ind.oletusta arvoilla n = k ja n = k = k k = k = k+ Kotitehtävä : Olkoon f, f, f,... Fibonaccin luvut, eli f = f = ja f n = f n + f n, n. Osoita induktion avulla, että f n n kaikilla n Z +. Todistetaan väite induktiolla. Perusaskel: f = = 0, f = = 0 =, eli väite pätee, kun n = tai n =. Induktio-oletus: Olkoon k. Oletetaan, että väite pätee kaikilla n k. Induktioväite: Väite pätee, kun n = k +, eli f k+ (k+). Induktioväitteen todistus: f k+ = f k + f k k + (k ) käytetty ind.oletusta arvoilla n = k ja n = k = k ( + ) k = k = k = (k+) Kotitehtävä : Todista, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. (Todistuksia löytyy kirjallisuudesta, netistä yms. Ei tarvitse keksi pyörää uudelleen: voit valita jonkin aiemman todistuksen, ymmärtää sen ja valmistautua selittämään sen muillekin.) Katso esim. Wikipedia: "Cantorin diagonaaliargumentti"

3 Loppuviikko: verkot Kotitehtävä : Verkot (V, E) ja (V, E ) ovat isomorfiset (eli kyse on samasta verkosta), jos on olemassa bijektio ψ : V V siten että verkossa (V, E) on kaari solmujen a ja b välillä jos ja vain jos verkossa (V, E ) on kaari solmujen ψ(a) ja ψ(b) välillä. Mitkä seuraavista verkoista ovat isomorfisia ja mitkä eivät ole? Perustele ja määritä bijektio, jos sellainen löytyy. (a) (b) (c) Verkko (b) ei ole isomorfinen verkon (a) eikä verkon (c) kanssa, koska sekä verkossa (a) että verkossa (c) on syklejä, joissa on kolme solmua, mutta sellaisia ei löydy verkosta (b). Verkot (a) ja (c) ovat sen sijaan isomorfiset, ja isomorfismiksi voidaan valita esim. funktio, jonka määrittelyjoukko on (a):n verkon solmut ja joka on sellainen, että ψ() =, ψ() =, ψ() = ψ() =, ψ() =, ψ() =. Tuntitehtävä : a) Piirrä kaikki suuntaamattomat ei-isomorfiset puut, joissa on solmua. b) Kahdella (suuntaamattomalla) verkolla on naapurimatriisit ja Piirrä vastaavat verkot. Ovatko nämä verkot isomorfiset? Perustele! a) Puu on (verkkoteoriassa) määritelmän mukaan verkko, joka on yksinkertainen ja sellainen, että jokaisesta solmusta on täsmälleen yksi yksinkertainen polku jokaiseen toiseen solmuun.

4 Jos verkossa on solmu, jolla on naapuria, niin se on seuraavanlainen: Jos verkon solmun naapureiden maksimilukumäärä on niin verkko on seuraava: Jos taas millään solmulla ei ole enempää kuin naapuria, niin verkko on seuraava: b) Jos A on verkon naapurimatriisi niin A(i, j) = jos ja vain jos solmujen i ja j välillä on kaari. Verkot näyttävät esimerkiksi tällaisilta: (a) (b) Kappas, nämähän ovat samat verkot kuin edellisessä tehtävässä! Ne ovat siis isomorfiset, kuten tuossa tehtävässä osoitettiin. Kotitehtävä 7: a) Määritä alla olevien verkkojen jokaisen solmun asteluku ja kirjoita molempien verkkojen kohdalla nämä luvut jonona ei-kasvavassa suuruusjärjestyksessä. Ovatko jonot identtiset? b) Ovatko alla olevat verkot isomorfiset? Perustele!

5 g h c d a e f k b 8 9 i j a) Solmun asteluku tarkoittaa niiden solmujen lukumäärää, joihin siitä on kaari. Asteluvut vasemmanpuolisessa verkossa ovat,,,,,,,,, ja eli järjestyksessä [,,,,,,,,,, ]. Oikeanpuolisessa verkossa naapureiden lukumäärät ovat,,,,,,,,, ja eli järjestyksessä [,,,,,,,,,, ]. Nämä jonot ovat identtiset. b) Jos verkot olisivat isomorfiset, niin olisi olemassa solmujen välinen bijektio siten, että naapurit pysyvät naapureina, jolloin siis myös asteluku pysyy muuttumattomana kun siirrytään bijektion mukaan verkosta toiseen. Tästä seuraisi, että (a)-kohdan jonot olisivat identtiset. Mutta se seikka, että nämä jonot tässä tapauksessa ovat identtiset ei takaa, että verkot ovat isomorfiset. Verkot eivät nimittäin ole isomorfiset, koska vasemmanpuolisessa verkossa on solmu, jonka kaikilla :llä naapurilla on naapuria, kun taas oikeanpuolisessa verkossa kaikilla solmuilla, joilla on naapuria, on myös ainakin naapuria, joilla itsellään on naapuria. Kotitehtävä 8: Professori Luupää ja hänen puolisonsa Janne ovat järjestäneet kahvikutsut neljälle muulle pariskunnalle. Jotkut ihmiset kättelevät tavatessaan toisiaan, mutta ketkään eivät kättele omia puolisoitaan. Kutsujen päätyttyä professori kysyy muilta monenko ihmisen kanssa he ovat kätelleet ja saa yhdeksän erilaista vastausta. Montako ihmistä Janne kätteli? Janne kätteli ihmistä. Tämä selviää vaikkapa seuraavasti: Piirretään tilanteesta verkko, jossa jokainen juhliin osallistunut henkilö on yksi solmu, linkki henkilöiden välillä tarkoittaa kättelyä. Nimetään solmut A, A, B, B,..., E, E, jossa saman

6 kirjaimen omaavat solmut edustavat tietyn pariskunnan osapuolia. Puolisot eivät kättele toisiaan, joten samakirjaimisten solmujen välillä ei voi olla linkkiä. Koska prof. Luupää saa yhdeksän erilaista vastausta, ja maksimimäärä kättelyille, joita yksi henkilö voi tehdä, on kahdeksan (0 henkeä yhteensä, mutta kukaan ei kättele itseään eikä puolisoaan), niin vastauksissa esiintyvät kaikki lukumäärät nollasta kahdeksaan. Yleisyyttä menettämättä voidaan olettaa, että vaikkapa A kättelee 8 henkeä (punaiset linkit kuvassa). Tällöin ainoa mahdollisuus 0 henkeä kätteleväksi on A, sillä kaikki muut kättelevät ainakin A:stä. Nyt joku muista kättelee 7 henkeä, eli kaikki muut paitsi puolisonsa, A:n ja itsensä. Voidaan olettaa, että tämä 7 kättelevä on vaikkapa B, uudet kättelyt kuvassa sinisellä. Ainoa mahdollisuus vain yhden kättelyn tekemään on tällöin B. B B C A C A D D E E Kuva : Juhlijat ja kättelyt kokonaisuudessaan Jatketaan vastaavasti: Joku jäljellä olevista C-E kättelee kuusi henkeä, olkoon tämä C (vihreät linkit lisätty). Tällöin vain C on mahdollinen kättelemään kaksi, muut jäljellä olevat kättelevät jo ainakin kolmea. Viisi kättelyä suorittavan voidaan jäljellä olevista olettaa olevan vaikkapa D (oranssit linkit), jolloin D on ainoa mahdollisuus kolmelle kättelylle. Henkilöt E ja E eivät voi kätellä enää ketään, sillä toisiaan he eivät kättele ja kaikkien muiden kättelyt on jo käyty läpi. He kumpikin kättelevät neljää juhlijaa. Näin ollen koska professori Luupää saa muilta yhdeksän eri vastausta kättelyiden määrästä, hänen täytyy olla toinen neljää kätelleistä, ja hänen puolisonsa siis samoin näistä toinen. Janne kättelee siis neljä henkeä.

7 Kotitehtävä 9: Todista väittämä bileistä löytyy aina kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä eli todista, että suuntaamattomalle, yksinkertaiselle, äärelliselle verkolle, jolle V, löytyy aina kaksi solmua, joilla on sama asteluku. Olkoon verkon solmujen lukumäärä V = n. Tällöin yksinkertaisen verkon solmujen asteluku voi olla enintään n ja asteluvut valitaan joukosta D = {0,,,..., n }. Todistetaan käyttämällä induktiota. Ensin todistetaan tapaus n =. Tällöin on kaksi mahdollisuutta: joko molemmat henkilöt tuntevat toisensa tai he eivät tunne toisiaan. Molemmissa tapauksissa solmuilla on sama asteluku, joko tai 0. Seuraavaksi oletetaan, että väite pätee, kun n = m ja todistetaan, kun n = m +. Olkoon siis (V, E) verkko, jolle V = n = m +. Jos minkään solmun asteluku ei ole 0, asteluvut valitaan joukosta D = {,,..., n } ja tällöin kyyhkyslakkaperiaatteen mukaan löytyy vähintään kaksi solmua, joilla on sama asteluku. Jos yhden solmun asteluku on 0, väite pätee induktio-oletuksen mukaan muulle verkolle, sillä muut verkon solmut linkkeineen muodostavat verkon, jossa on m solmua. Näin muusta osasta verkkoa löytyy kaksi solmua samalla asteluvulla, ja väite pätee myös koko verkolle. Jos kahden tai useamman solmun asteluku on 0, väite pätee suoraan, sillä kahdella solmulla on sama aste. Haastetehtävä 0: Olkoon (V, E) on verkko, jossa on m solmua V = {v,... v m }, ja {, {v j, v k } E, A(j, k) = 0, {v j, v k } / E. sen naapurimatriisi. a) Osoita, että A n (j, k) on n-pituisten polkujen lukumäärä solmusta v j solmuun v k, kun n. b) Olkoot λ i, i =,..., m, naapurimatriisin A ominaisarvot. Osoita, että m i= λ i on verkon linkkien lukumäärä ja m i= λ i on verkon linkkien muodostamien kolmioiden (eli - syklien) lukumäärä. Verkkotehtävät : Muistathan myös verkkotehtävät! Kolmas tehtäväsarja sulkeutuu ti.. klo.00. 7