Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Transkriptio

1 Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen etäisyyden arvona on täsmälleen siinä tapauksessa, kun tarkasteltavat solmut ovat verkon G eri komponenteissa. Jos verkko G on epäyhtenäinen, voidaan suoraan tulkita ehtojen rad(g) = ja diam(g) = olevan voimassa. Tällöin kysytty epäyhtälö toteutuu. Täten voidaan jatkossa olettaa verkon G olevan yhtenäinen. Olkoon a jokin verkon G keskinen solmu eli sellainen solmu, että arvo sup d G (a,x) : x V(G) N on pienin mahdollinen. Tällöin ehto rad(g)=sup d G (a,x) : x V(G) toteutuu. Toisaalta on diam(g)=sup d G (x,y) :(x,y) V(G) 2 sekä pätee d G (a,x) : x V(G) d G (x,y) :(x,y) V(G) 2. Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto d G (x,y) d G (x,a)+d G (a,y) 2rad(G). Jäljellä olevan epäyhtälön diam(g) 2rad(G) huomataan olevan tosi supremumin määritelmän perusteella. Todistuksessa ei olennaisesti tarvittu verkkojen erityispiirteitä. Havaittu tulos voidaan suoraviivaisesti laajentaa myös yleisiin metrisiin avaruuksiin. Äärellisten ja yhtenäisten verkkojen tapaus vastaa tällöin rajoitetun metriikan tilannetta. Tehtävä 3 : 2 Olkoon G verkko, jossa on vähintään kaksi solmua. Verkon G mahtavuudelle ei aseteta ylärajaa, joten tarkastelussa käytetään kardinaalilukuja yleisenä joukkojen mahtavuuden mittana. Jos verkko G on äärellinen, voidaan tarkastelussa rajoittua käyttämään luonnollisia lukuja. 1

2 Osoitetaan aluksi epäyhtälön κ(g) λ(g) olevan voimassa. Olkoon k jokin sellainen kardinaali, jolla verkko G on k-solmuyhtenäinen. Osoitetaan nyt väitteen k λ(g) olevan tosi. Tehdään vastaoletus, että l on sellainen kardinaali, jolla pätee l < k ja jolla verkko G ei ole l-särmäyhtenäinen. Särmäyhtenäisyyden määritelmän nojalla on olemassa joukko F E(G) siten, että pätee F <l ja että verkko G F ei ole yhtenäinen. Väittämä F 1toteutuu, sillä muutoin vähintään kaksi solmua sisältävä verkko G olisi epäyhtenäinen ja toisaalta l-yhtenäisyyden nojalla myös yhtenäinen. Olkoon edelleen A kaikkien niiden joukkoon F kuuluvien särmien kokoelma, joiden molemmat päätepisteet ovat verkon G F samassa yhtenäisessä komponentissa. Käsitellään ensin tilanne, jossa jollakin verkon G solmulla a on väittämä a / e voimassa joukon F \ A jokaisella särmällä e. Olkoon C a se verkon G (F \ A) yhtenäinen komponentti, johon solmu a kuuluu. Merkitään kirjaimella K joukkoa x V(C a ) :x,y F jollakin y V(G)\V(C a ). Tällöin ehto K F < k toteutuu. Toisaalta verkko G K on epäyhtenäinen. Muutoin olisi nimittäin olemassa sellaiset solmut x V(C a ) ja y V(G)\V(C a ), joilla väite x, y E(G)\ F toteutuisi. Tämä tilanne olisi kuitenkin ristiriidassa epäyhtenäisen verkon G (F\ A) komponentin C a valinnan kanssa. Verkko G ei vastoin oletusta ole k-solmuyhtenäinen. Täten väitteen k λ(g) on oltava tosi. Jatkossa voidaan olettaa, että verkon G jokainen solmu on jonkin joukon F\A särmän päätepiste. Olkoon verkon G solmu b mielivaltainen ja olkoon C b verkon G (F\ A) yhtenäinen komponentti, johon solmu b kuuluu. Olkoon solmu x V(G) sellainen, että ehto b,x E(G) toteutuu. Jos on b,x / F, niin jollakin solmulla y V(G)\V(C b ) pätee ehto x,y (F \ A). Toisin sanoen solmun b jokaista naapurisolmua kohti on jokin sellainen joukon F särmä, joka ei liity mihinkään toiseen solmun b naapurisolmuun. Tällöin pätee deg G (b) F eli solmun b naapuruston N G (b) mahtavuus on vähemmän kuin k. Toisaalta verkko G N G (b) ei ole yhtenäinen, sillä b on sen eristetty solmu. Vastoin oletusta verkko G ei siis ole k-solmuyhtenäinen. Väitteen k λ(g) on osoitettu olevan voimassa kaikissa tapauksissa. Lisäksi supremumin määritelmän nojalla myös väite κ(g) λ(g) pätee. 2

3 Osoitetaan vielä epäyhtälön λ(g) δ(g) olevan voimassa. Olkoon l sellainen kardinaali, että verkko G on l-särmäyhtenäinen. Näytetään ehdon l δ(g) olevan tosi. Tehdään vastaoletus, että verkon G jollakin solmulla a pätee deg G (a) < l. Olkoon F kaikkien solmusta a lähtevien särmien joukko. Tällöin verkko G F on epäyhtenäinen, sillä solmu a on sen erakkosolmu. Toisaalta on F < l, joten vastoin oletusta verkko G ei ole l-särmäyhtenäinen. Saadun ristiriidan perusteella on oltava l δ(g). Näin ollen saadaan λ(g) δ(g) eli haluttu lopputulos. Tehtävä 3 : 3 Osoitetaan, että jokaisella k Z + ja n N on olemassa sellainen verkko, jonka minimiaste on vähintään n ja joka ei kuitenkaan ole k-solmuyhtenäinen. Olkoon luku n N kiinnitetty. Muodostetaan verkko G valitsemalla solmujoukoksi joukko sekä särmäjoukoksi joukko (x,k) : x V(K n+1 ) k 0,1 (x,k),(y,k) :x,y E(Kn+1 ) k 0,1. Toisin sanoen verkko G koostuu kahdesta erillisestä yhtenäisestä komponentista, jotka molemmat ovat isomorfisia täydellisen verkon K n+1 kanssa. Tällöin toisaalta jokaisesta verkon G solmusta on särmä jokaiseen muuhun saman komponentin solmuun, joita on tasan n kappaletta. Siis ehto δ(g) = n toteutuu. Verkko G ei kuitenkaan ole yhtenäinen, joten se ei voi olla k-yhtenäinen millään k Z +. Olkoon joukko A N ja kuvaus f : A N sellaisia, että jokaisella k Apätee, että jos verkko G on äärellinen ja sen minimiaste on vähintään f(k), niin verkko G on k-solmuyhtenäinen. Edellä osoitetun perusteella on oltava A 0, joten tehtävässä kysyttyä ehdon A=N toteuttavaa kuvausta ei ole olemassa. Ylimääräisenä tuloksena havaitaan tapauksen A = 0 olevan mahdollinen. Olkoon nimittäin G sellainen verkko, että ehto δ(g) 1 toteutuu. Tällöin verkko G ei ole tyhjä, sillä siinä on vähintään yksi särmä. Verkko G on siten 0-yhtenäinen. 3

4 Tehtävä 3 : 4 Olkoon aluksi T mielivaltainen äärellinen puu. Jos on (T)=0, niin puussa T on yhtenäisyyden nojalla korkeintaan yksi solmu eikä siis yhtään lehteä. Määritelmän mukaan puun T lehtiä ovat nimittäin tasan ne solmut x T, joilla ehto deg T (x)=1 toteutuu. Jatkossa voidaan siis olettaa ehdon (T) 1olevan voimassa. Olkoon alkio a jokin ehdon deg T (a)= (T) toteuttava puun T solmu. Olkoon edelleen joukkox 1,..., x (T) solmun a kaikkien naapurisolmujen joukko ilman toistoja lueteltuna. Jokaisella k 1,..., (T) olkoon P k pisin puun T polku, jonka päätepisteinä ovat x k sekä jokin solmu y k ja jolla särmä a,x k ei esiinny. Osoitetaan nyt, että joukkoy 1,..., y (T) sisältää (T) kappaletta puun T lehtiä. Olkoon indeksi k 1,..., (T) kiinnitetty. Tällöin solmu y k on puun T lehti. Siihen nimittäin tulee särmä joko solmusta a tai polkua P k pitkin, joten ehto deg T (y k ) 1 on tosi. Toisaalta solmun y k aste ei voi olla tätä suurempi. Polku P k on pisin mahdollinen, joten ehdosta deg T (y k ) 2 seuraisi, että solmusta y k olisi särmä johonkin toiseen polulla P k jo olevaan solmuun. Tässä tapauksessa saataisiin ristiriitaisesti muodostettua puun T sykli. Solmu y k on siis lehti. Perustellaan vielä, että joukon y 1,..., y (T) solmut ovat kaikki eri alkioita. Oletetaan vastaoletuksena joukon 1,..., (T) lukujen i ja j olevan sellaisia, että ehdot i j ja y i = y j pätevät. Tällöin puussa T on jokin sellainen polku P solmujen x i ja x j välillä, joka ei kulje solmun a kautta. Polku P ei voi olla tyhjä, sillä x i ja x j ovat eri alkioita. Kulkemalla polkua P pitkin sekä särmiä x i,a ja a,x j käyttäen saadaan jälleen ristiriitaisesti puun T sykli. Näin ollen on saatu perusteltua, kuinka puussa T on vähintään (T) lehteä. Osoitetaan vielä, ettei vastaava tulos kuitenkaan päde, mikäli tarkasteltavassa puussa on vähintään numeroituvasti ääretön määrä solmuja. Olkoon H sellainen verkko, jonka pistejoukko on Z ja jonka särmäjoukko on m,m+1 : m Z. Tällöin verkko H on sekä syklitön että yhtenäinen ja siten puu. Sen jokaisella solmulla x pätee deg H (x)=2, joten yksikään solmuista ei ole lehti. Toisaalta myös ehto (T) = 2 0 toteutuu. Verkkoon voidaan lisätä äärettömiä haaroja, jolloin maksimiastetta voidaan edelleen kasvattaa lisäämättä yhtään lehteä. 4

5 Tehtävä 3 : 5 Käsitellään aluksi ennen varsinaisen väitteen tutkimista eräs tehtävän varsinaista ratkaisua selkeyttävä lyhyt aputulos. Lemma. Olkoon H puu ja olkoon x 0,y 0,z 0 V(H) mielivaltainen. Olkoon P x solmujen x 0 ja y 0 välinen polku, P y solmujen y 0 ja z 0 välinen polku ja P z solmujen z 0 ja x 0 välinen polku. Tällöin ehto V(P x ) V(P y ) V(P z ) toteutuu. Todistus. Oletetaan vastaoletuksena ehdon V(P x ) V(P y ) V(P z )= toteutuvan. Tällöin erityisesti solmut x 0 ja y 0 sekä z 0 ovat kaikki eri alkioita. Olkoot joukon V(H) sisältämät osajoukot x 0,..., x k ja y 0,..., z l sekä z 0,..., z m ilman toistoja lueteltuja sekä sellaisia, että pätee P x =( x0,..., x k, x0,x 1,...,x k 1,x k ), P y =( y0,..., y l, y0,y 1,...,y l 1,y l ) sekä P z =( z0,..., z m, z0,z 1,...,z m 1,z m ). Olkoon seuraavaksi r joukon i 0,..., k : x i V(P y ) pienin alkio, s joukon i 0,..., l : y i V(P z ) pienin alkio ja t joukoni 0,..., m : z i V(P x ) pienin alkio. Nämä luvut ovat positiivisia. Lisäksi jollakin u 1,..., k pätee x u = z t, jollakin v 1,..., l on y v = x r ja edelleen jollakin w 1,..., m pätee z w = y s. Olkoon C verkko, jonka solmujoukkona on x u,..., x r 1,y v,..., y s 1,z w,..., z t 1 ja jonka särmäjoukko saadaan edellisestä esityksestä ottamalla mukaan luettelon kaikkien peräkkäisten jäsenten muodostamat särmät ja lopuksi särmä z t 1,x u. Tällöin verkko C on vastoin oletusta puun H sykli. Saatu ristiriita osoittaa halutun väitteen olevan voimassa. Olkoon puu T mielivaltainen. Kokoelman T kuitenkin oletetaan lisäksi olevan äärellinen ja epätyhjä. Tyhjän kokoelman tapauksessa yhteistä leikkauspistettä ei tunnetusti löydy. Tehtävän väite ei myöskään päde, jos kokoelma T on ääretön. Tämä todistetaan eräässä neljännen harjoituskerran tehtävässä. 5

6 Osoitetaan induktiolla kokoelman D koon suhteen, että jos puun T alipuiden epätyhjä kokoelma D on sellainen, että sen jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan, niin kokoelman D puilla on yhteinen solmu. Väite toteutuu suoraan, jos tällaisessa kokoelmassa on vain yksi jäsen. Oletetaan induktio-oletuksena, että luku n Z + on sellainen, että jokaisella puun T alipuiden epätyhjällä kokoelmalla, jonka koko on n ja johon kuuluvat puut leikkaavat pareittain toisiaan, on kokoelman kaikille puille yhteinen solmu. Olkoon puun T alipuiden kokoelma D sellainen, jonka koko on n+1 ja jonka jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan. Näytetään, kuinka kokoelmasta D voidaan tuottaa sellainen uusi kokoelma, joka täyttää induktio-oletuksen ehdot. Olkoot A ja B kokoelmand kaksi eri jäsentä ja olkoon x niiden jokin yhteinen solmu. Käytetään merkintää A B siitä epätyhjästä verkosta, joka on solmujoukon V(A) V(B) virittämä puun T aliverkko ja jopa alipuu. Jokainen puun T aliverkko on nimittäin syklitön. Olkoot toisaalta v ja w jotkin joukon V(A) V(B) solmut. Jos ne molemmat ovat puussa A tai puussa B, niin niiden välillä on polku puiden A ja B yhtenäisyyden nojalla. Muussa tapauksessa solmuista v ja w molemmista on polku solmuun x. Näiden polkujen ensimmäisen yhteisen solmun kautta saadaan edelleen polku solmujen v ja w välille. Täten verkko A B on puu. Oletuksen nojalla kahdella kokoelman D\A, B jäsenellä on vähintään yksi yhteinen solmu. Olkoon toisaalta C D\A, B mielivaltainen. Osoitetaan, että myös puut C ja A B leikkaavat keskenään. Kokoelmasta D tehdyn oletuksen perusteella on olemassa solmu y V(A) V(C) ja solmu z V(B) V(C). Puiden yhtenäisyydestä seuraa, että on olemassa puun A polku P A solmujen x ja y välillä, puun B polku P B solmujen z ja x välillä sekä vastaavasti puun C polku P C solmujen y ja z välillä. Aputuloksen nojalla ehto V(P A ) V(P B ) V(P C ) toteutuu, sillä tarkastellut polut ovat puun T polkuja. Tällöin saadaan V(A) V(B) V(C). Kokoelman(D\A, B) (A B) jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan ja sen koko on n. Induktio-oletuksen nojalla kyseisen kokoelman puilla on ainakin yksi yhteinen solmu. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee jokaisella vaaditut ehdot toteuttavalla kokoelmallad. Erityisesti kokoelmant puilla on yhteinen solmu. 6

7 Tehtävä 3 : 6 Osoitetaan suoraan tehtävän väitettä vahvempi tulos, että jokaisessa epätyhjässä äärellisessä puussa T on sellainen solmu tai särmä, joka pysyy paikallaan puun T jokaisessa automorfismissa eli isomorfismissa puulta T itselleen. Esitetään tälle tulokselle kaksi eri todistusta, jotka palautuvat samaan ajatukseen eräästä puun osajoukosta. Luonnollisesti on oletettava tarkasteltavan puun olevan epätyhjä. Todistetaan väite ensin induktiolla puun koon suhteen. Olkoon nyt T epätyhjä äärellinen puu, jossa on korkeintaan kaksi solmua. Jos on V(T) =x, niin puun T ainoa automorfismi(x,x) pitää solmun x paikallaan. Jos taas on V(T)=x,y ja x y, niin puun T ainoat automorfismit (x,x),(y,y) ja (x,y),(y,x) pitävät särmän x, y paikallaan. Jälkimmäisessä tapauksessa särmä x, y on olemassa puun T yhtenäisyyden nojalla. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n 2,3,4,... olevan sellainen, että jokaisessa epätyhjässä äärellisessä puussa, jossa on korkeintaan n solmua, pysyy jokin solmu tai särmä paikallaan jokaisessa automorfismissa. Olkoon T sellainen puu, jossa on tasan n + 1 solmua. Merkitään kirjaimella L puun T lehtien joukkoa ja osoitetaan, että väite voidaan palauttaa induktio-oletukseen poistamalla puusta T joukon L kaikki solmut. Perustellaan väitteen L V(T) olevan tosi. Puun T jokaisella solmulla x pätee deg T (x) 1, sillä puussa T on vähintään kaksi solmua ja se on yhtenäinen. Jos puun T jokaisella solmulla x olisi deg T (x) 2, niin kurssikirjan lauseen perusteella puussa T olisi ristiriitaisesti sykli. Täten väite L toteutuu. Jos toisaalta olisi L = V(T), niin puun T jokaisesta solmusta lähtisi tasan yksi särmä, jolloin havainnosta V(T) = deg T (x)=2 E(T) =2 V(T) 2 x V(T) saataisiin V(T) = 2, mikä olisi ristiiradassa oletuksen V(T) 3 kanssa. Olkoon nyt H joukon V(T)\ L virittämä puun T aliverkko, jolloin H on puun T aliverkkona syklitön. Olkoot toisaalta x ja y verkon H solmuja. Niiden välillä on jokin polku P puussa T. Tällöin polku P on myös verkon H polku. Nimittäin 7

8 polun P jokaisella solmulla z, jolla ehto z / x,y toteutuu, pätee deg T (z) 2 ja siis myös z / L. Näin ollen verkko H on epätyhjä äärellinen puu. Olkoon f puun T mielivaltainen automorfismi. Ensimmäisen harjoituskerran tehtävän 1 ratkaisuehdotuksen yhteydessä esitetyn päättelyn perusteella jokaisella solmulla x V(T) on solmuilla x ja f(x) keskenään sama aste. Täten kuvauksen f rajoittuma joukkoon L on injektio joukolle L. Joukko L on äärellinen, joten kyseinen rajoittuma on itse asiassa bijektio. Kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\L on siten myös joukon V(T)\L bijektio. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\ L on puun H automorfismi. Joukon V(T)\L kaikilla alkioilla x ja y pätee x,y E(H) x,y E(T) f(x), f(y) E(T) f(x), f(y) E(H) f (V(T)\L) (x), f (V(T)\L) (y) E(H), sillä f on puun T automorfismi. Siten kuvauksen f rajoittuma joukkoon V(T)\ L on puun H automorfismi. Toisaalta puu H on epätyhjä ja siinä on korkeintaan n solmua. Nyt induktio-oletuksen nojalla puussa H on jokin solmu tai särmä, jonka jokainen verkon H automorfismi pitää paikallaan. Erityisesti siis myös kuvaus f rajoittumansa kautta pitää kyseisen solmun tai särmän paikallaan. Näin ollen jokainen puun T automorfismi pitää tämän solmun tai särmän paikallaan. Induktioaskeleen on osoitettu onnistuvan. Yleisen induktioperiaatteen nojalla haluttu väite pätee tällöin jokaisella epätyhjällä äärellisellä puulla. Todistuksesta voidaan huomata, kuinka eräs puun automorfismeissa paikallaan pysyvä solmu tai särmä vaikuttaisi tietyssä mielessä sijaitsevan kyseisen puun keskellä. Erilaisia paikallaan pysyviä solmuja ja särmiä voi löytyä muualtakin. Äärettömien verkkojen tapauksessa tehtävän väite ei kuitenkaan päde. Olkoon G se verkko, jonka solmujoukkona onzja särmäjoukkona m,m+1 : m Z, jolloin verkko G on puu. Lisäksi voidaan määritellä bijektio f : Z Z asettamalla f(m)=m+1 jokaisella m Z. Verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee x,y E(G) x y =1 f(x) f(y) =1 f(x), f(y) E(G), 8

9 joten kuvaus f on puun G automorfismi. Jokaisella alkiolla m Z kuitenkin pätee m f(m) sekäm,m+1 f(m), f(m+1), joten yksikään verkon G solmuista tai särmistä ei pysy automorfismissa f paikallaan. Näin ollen tehtävän väite ei päde yleisessä tapauksessa edes numeroituvasti äärettömissä puissa. Todistetaan tehtävän väite seuraavaksi myös eräällä vaihtoehtoisella tavalla, jonka Topi Talvitie esitti harjoitusryhmän kokoontumisessa. Kyseisessä todistuksessa annetaan suoraan määritelmä eräälle osajoukolle, joka säilyy automorfismeissa. Käsitellään aluksi eräs aputulos. Lemma. Olkoot G ja H yhtenäisiä verkkoja ja olkoon f : V(G) V(H) jokin niiden välinen isomorfismi. Tällöin verkon G kaikilla solmuilla x ja y on ehto d G (x,y)=d H ( f(x), f(y)) voimassa. Todistus. Olkoot x ja y verkon G solmuja. Väite pätee suoraan tapauksessa x=y, joten voidaan olettaa ehdon x y olevan voimassa. Olkoon P solmujen x ja y välinen lyhyin polku verkossa G. Olkoon osajoukko x 0,..., x m V(G) ilman toistoja lueteltuna sellainen, että pätee x 0 = x ja x m = y sekä m=d G (x,y) ja P=( x0,..., x m, x0,x 1,...,x m 1,x m ). Kuvaus f on isomorfismi, joten verkossa H on solmujen x ja y välillä polku ( f(x0 ),..., f(x m ), f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x m 1 ), f(x m ) ). Tämä osoittaa väitteen d G (x,y) d H ( f(x), f(y)) olevan voimassa. Kuvauksen f käänteiskuvaus on verkkojen H ja G isomorfismi, joten vastaavasti pätee myös ( ) ( d H f(x), f(y) dg f 1 ( f(x) ), f 1( f(y) )) = d G (x,y). Näin ollen haluttu väite toteutuu. Siirrytään nyt varsinaisen tehtävän todistukseen. Olkoon T epätyhjä äärellinen puu ja olkoon A V(T) puun T keskisten solmujen joukko. Määritellään kuvaus g: V(T) N asettamalla g(x)=maxd T (x,y) : y V(T) jokaisella x V(T). Tällöin joukko A on luvun rad(g) alkukuva kuvauksen g suhteen. Verkko T on 9

10 epätyhjä, joten jollakin solmulla x V(T) arvo g(x) on pienin mahdollinen, jolloin siis pätee x A. Täten joukko A on epätyhjä. Osoitetaan, että joukon A kaikilla eri alkioilla a ja b on väite d T (a,b)=1 tosi. Oletetaan nyt vastaoletuksena, että joukon A joillakin alkiolla a ja b on voimassa ehto d T (a,b) 2. Tällöin on olemassa puun T solmu x, joka on solmujen a ja b välisellä lyhyimmällä polulla ja on solmun a naapurisolmu. Tällöin on x / a, b. Olkoon puun T solmu y mielivaltainen. Verkko T on puu, joten tunnetusti verkko T a,x on epäyhtenäinen ja sillä on kaksi epäyhtenäistä komponenttia. Lisäksi solmut a ja b ovat eri komponenteissa. Solmun a sisältävä komponentti olkoon C a ja solmun b sisältävä komponentti olkoon C b. Komponenttien C a ja C b välillä ei ole polkua, joten jos on y C a, niin solmujen y ja b välinen polku puussa T sisältää välttämättä särmäna,x. Tällöin pätee d T (x,y)<d T (b,y). Vastaavasti tapauksessa y C b on ehto d T (x,y)<d T (a,y) voimassa. Kuitenkin tiedona,b A nojalla on d T (a,y) rad(g) ja d T (b,y) rad(g). Täten on d T (x,y) < rad(g). Solmu y on mielivaltainen, jolloin saadaan ristiriita luvun rad(g) määritelmän kanssa. Näin ollen väittämän deg T (a,b) 1 on oltava voimassa. Edelleen puun T yhtenäisyyden sekä oletuksen a b perusteella väite deg T (a,b)=1 toteutuu. Nyt voidaan perustella epätyhjässä joukossa A olevan enintään kaksi alkiota. Edellisen päättelyn nojalla solmujoukon A virittämä puun T aliverkko on nimittäin täydellinen verkko, jolloin tapauksessa A 3 puussa T olisi sykli. Täten väite 1 A 2on välttämättä tosi. Olkoon toisaalta f puun T mielivaltainen automorfismi. Olkoon puun T solmu x mielivaltainen. Edeltävän aputuloksen nojalla pätee g(x)=g( f(x)), joten väite x A g(x)=rad(g) g ( f(x) ) = rad(g) f(x) A on voimassa. Täten ehto f(a)=a toteutuu. Joukko A pysyy siis paikallaan puun T jokaisessa automorfismissa. Jos joukko A sisältää vain yhden solmun a, niin tämä solmu pysyy siis paikallaan puun T kaikissa automorfismeissa. Jos taas a ja b ovat joukon A kaksi eri alkiota, pysyy särmä a,b paikallaan jokaisessa automorfismissa. Kysytty väite on täten voimassa. 10