MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia ym. Summa-, tulo ja loeroperiaate G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 Misi jouo-oppi ei ole niin ysinertaista uin miltä näyttää? Niin auan un tarasteltavissa jouoissa on vain äärellisen monta aliota, uten jouossa {,,, 7}, ongelmia ei juuri esiinny mutta lassinen vastaesimeri on ns. Russellin paradosi: Määritellään A = { x : x / x }. Jos A A niin x / x ei päde un x on A ja A:n määritelmän muaan A / A ja olemme saaneet aiaan ristiriidan. Jos sen sijaan A / A niin ehto x / x on voimassa un x on A joten A A ja taas tulosena on ristiriita. Vastaavanlaisia ongelmia syntyy jos sanomme Tämä on valhe tai jos puhumme parturista, joa leiaa hiuset aiilta niiltä, jota eivät itse leiaa hiusiaan. Jouot ja impliaatiot Oloon A = {,,, }, B = { 0,, } ja C = { x : x on oonaisluu }. Mitä seuraavista väitteistä ovat tosia? (a) x A C x B aiilla x? (b) A B C A? (c) On olemassa y C siten, ettei päde y B y A? (d) y / B y / A aiilla y C? Vastaus: (a) Kosa A C = {,, } niin pätee A C mutta osa / B niin tämä väite ei päde (ja väite sanoo, että A C B). (b) Kosa A mutta / B niin ei päde A B ja näin ollen impliaatio A B C A on tosi. (c) Väite y B y A ei päde jos ja vain jos y B ja y / A eli y B \ A = {0} ja 0 / C joten väite on epätosi. (d) Tämä väite on epätosi osa esim. C ja / B mutta A joten / A on epätosi. Toisella G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7
Päättelysäännöt ja todistuset logiiassa Todistus on lista lauseista joissa joainen lause on joo asiomi (eli oletetaan olevan tosi) tai johdettu aiaisemmistä lauseista päättelysääntöjen avulla. Esimerisi ns. modus ponens eli x x y y on täreä päättelysääntö ja perustuu siihen, että (x AND (x y)) y on tautologia, eli aina tosi riippumatta x:n ja y:n totuusarvoista. Tämä (uten muutin päättelysäännöt) äytetään siten, että jos todistuslistassa on jo lauseet a ja a b niin listaan lisätään lause b. Päättelysäännöt ja todistuset logiiassa Oloot p ja q asi lausetta. Nyt todistamme, että q on tosi jos p AND (NOT p) on tosi, eli jos oletetaan ristiriitainen väite voidaan todistaa mitä vaan. Päättelysääntöinä äytämme tässä (a) x OR y NOT x y (b) x AND y x (c) x x OR y (d) x AND y y AND x G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 6 / 7 Päättelysäännöt ja todistuset logiiassa, jat. Todistus näyttää nyt seuraavanlaiselta: () p AND (NOT p): Oletus () p: () ja (b) missä x = p ja y = NOT p () p OR q: () ja (c) missä x = p ja y = q () (NOT p) AND p: () ja (d) missä x = p ja y = NOT p () NOT p: () ja (b) missä x = NOT p ja y = p (6) q: (), () ja (a) missä x = p ja y = q. Näin lause q on tullut todistetusi. Esimeri: Potenssijouo Oloon P(X ) jouon X osajouojen jouo, eli A P(X ) jos ja vain jos A X. Jos nyt X ja Y ovat asi jouoa niin ono toinen jouoista P(X ) \ P(Y ) ja P(X \ Y ) toisen osajouo? Kosa tyhjä jouo on joaisen jouon osajouo niin P(X \ Y ). Samoin P(Y ) joten / P(X ) \ P(Y ). Tästä seuraa, että aina pätee P(X \ Y ) P(X ) \ P(Y ). Jos X = Y niin P(X ) = P(Y ) joten P(X ) \ P(Y ) = P(X \ Y ) = { } osa tyhjä jouo on joaisen jouon osajouo. Mutta jos esimerisi X = {0, } ja Y = {0} niin P(X ) \ P(Y ) = {{0, }, {}} mutta X / P(X \ Y ) = {{}, } joten tässä tapausessa P(X ) \ P(Y ) P(X \ Y ) Lopputulos on siis että aina pätee P(X \ Y ) P(X ) \ P(Y ) mutta riippuu jouoista X ja Y päteeö P(X ) \ P(Y ) P(X \ Y ) vai ei. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 7 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 8 / 7
Järjestetyn parin oordinaatit Parin [x, y] (tai (x, y)) ensimmäinen oordinaatti on (tietenin) x ja toinen on y. Jos parin määritelmäsi otetaan {{a}, {a, b}} niin voidaan määritellä prediaatit E(p, x) ja T (p, y) jota sanovat, että x on p:n ensimmäinen oordinaatti ja y on p:n toinen oordinaatti seuraavalla tavalla: (tai lyhyemmin z p (x z)) ja E(p, x) = z((z p) (x z)) T (p, y) = z((z p) AND (y z)) AND u v ((u p) AND (v p) AND NOT (u == v) NOT (y u) OR NOT (y v)), missä u == v on prediaatti, joa sanoo, että u on sama jouo uin v. Lyhyemmin tämän voi esittää muodossa T (p, y) = z p (y z) AND u p v p (NOT (u == v) (y / u) OR (y / v)). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. ym., maalisuuta osa I 0 9 / 7 Indutio Osoitamme indution avulla, että i = + + + + n = i= n(n + ), n. Väite P(n) on siis n i= i = n(n+) ja n 0 =. Näin ollen väite P(n 0 ) on sama uin = (+) miä pitää paiansa. Oletamme seuraavasi, että P() on tosi ja. Kosa P() pätee, niin i= i = (+) mistä seuraa, että + i = i= ( + ) i + ( + ) = + ( + ) i= ( ) = ( + ) + ( + )( + ) = = ( + )(( + ) + ), joa taas meritsee sitä, että P( + ) on tosi. Indutioperiaatteen nojalla toteamme, että P(n) pätee aiilla n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 0 / 7 Esimeri: Osittaisjärjestys Oloon X join (ei-tyhjä) jouo ja P(X ) sen aiien osajouojen muodostama jouo (eli ns. potenssijouo). Jouossa P(X ) meillä on relaatio : A B jos ja vain jos A on B:n osajouo. Tämä relaatio on osittaisjärjestys osa se on reflesiivinen: A A, antisymmetrinen: Jos A B ja A B niin on olemassa x B siten että x / A jolloin B A, transitiivinen: Jos A B ja B C niin joainen A:n alio on B:n alio ja osa joainen B:n alio on C:n alio niin joainen A:n alio on C:n alio, eli A C. Lisäsi tällä relaatiolla on muitain ominaisuusia uten, että jos A, B P(X ) niin jouoille A ja B löytyy pienin yläraja, eli jouo C siten, että A C, B C (eli C on yläraja) ja jos A D ja B D niin C D (eli C on pienin yläraja). Selvästiin C = A B. Vastaavasti löytyy myös suurin ala-raja, joa (tietenin) on A B. Esimeri: Evivalenssiluoat Jouossa X = { [m, n] : m, n Z, n 0 } voimme määritellä evivalenssirelaation siten, että [m, n ] [m, n ] jos ja vain jos n = m n. Nämä evivalenssiluoat ovat rationaaliluvut osa m = m täsmälleen silloin un m n = m n. n n G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7
Injetiot ja surjetiot X f a b c d e Y X g a b c d Y Listat, luujonot ja arteesiset tulot funtioina Lista [a, b, c, d] on funtio f, jona määrittelyjouo on {,,, } (tai {0,,, }) siten, että f () = a, f () = b, f () = c ja f () = d. Luujono (a n ) n=0 = (a 0, a, a, ) on funtio f, jona määrittelyjouo on N 0 siten, että f (n) = a n aiilla n N 0. Jos X j on jouo joaisella j J missä J on (toinen) jouo niin arteesinen tulo j J X j on jouo, johon uuluu täsmälleen aii funtiot f : J j J X j siten, että f (j) X j. Funtio f : X Y on injetio ( joaiseen Y :n alioon tulee oreintaan ysi suunnattu aari ) mutta se ei ole surjetio osa X :stä ei löydy yhtään aliota x, siten, että f (x) = d. Funtio g : X Y on surjetio ( joaiseen Y :n alioon tulee vähintään ysi suunnattu aari ) mutta se ei ole injetio osa g() = g() ja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Esimeri: Funtio, aluuva, ym. Oloon f funtio: {,,,, } {,,,, } siten, että f () =, f () =, f () =, f () = ja f () =. Matlab/Octavessa voimme esittää tämän funtion vetorina f=[,,,,]. Jos A = {,, } niin voimme lasea f (A) = f (A) = { y : y = f (x), x A } omennolla f([,,]) joa antaa tulosesi [,,] joa on tulittava jouona {, }. Jos B = {,, } niin B:n aluuva f (B) = { x : f (x) B } = {, } ja voimme lasea tämän omennolla find(f== f== f==) tai omennolla find(sum(ff==[,,],)). Huomaa, että riippumatta siitä miten valitsemme jouon B niin aina pätee esimerisi f (B) {} (eli tässä tapausessa f ei ole surjetio) osa jos / B niin / f (B) ja jos B niin {, } f (B). Esimeri: Aluuva ja injetiivisyys Jos f : X Y on surjetio niin f : P(Y ) P(X ) on injetio missä f (B) = { x X : f (x) B }. Misi? Jos B B niin on olemassa y B siten, että y / B tai on olemassa y B siten, että y / B. Oletamme nyt, että y B mutta y / B. Kosa f on surjetio niin on olemassa x X siten, että f (x) = y. Tästä seuraa, että x f (B ) mutta x / f (B ) joten olemme osoittaneet, että jos B B niin f (B ) f (B ) eli f on injetio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 6 / 7
Esimeri: Iso-O Jos f O(n ) ja g O(n ) niin f g O(n ) osa f (n) C f n un n N f ja g(n) C g n un n N g joten f (n)g(n) C f C g n + un n max(n f, N g ). Jos f (n) = n ja g(n) = n niin f O(n ), g O(n ) ja on (tietenin?) pienin luu p siten, että f g O(n p ). Mutta jos on pienin luu p f siten, että f O(n p f ) ja on pienin luu p g siten, että g O(n pg ) niin siitä ei välttämättä seuraa, että olisi pienin luu p siten, että f g O(n p ) osa voimme esimerisi valita f (n) = { n, n on pariton 0, n on parillinen, ja g(n) = { 0, n on pariton n, n on parillinen jolloin f (n)g(n) = 0 aiilla n ja f g O(n p ) aiilla p Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 7 / 7 Montao vertailua tarvitaan, jotta löytäisimme luvun, jona suuruusjärjestysnumero on p jos jouossa on n luua? Jos p = (pienin luu) tai p = n (suurin luu) niin n vertailua riittää mutta miä on tilanne yleisessä tapausessa? Seuraavasi osoitamme, että jos p n niin tarvittavien vertailujen luumäärä uuluu jouoon O(n), eli on olemassa vaio C siten, että vertailujen luumäärä on oreintaan Cn emmeä välitä ovinaan paljon siitä miä tämä vaio on: Oletamme että tarvitaan oreintaan C vertailua un jouossa on < n luua. Jaamme luvut osajouoihin joissa on luua: Ei vertailuja. Määritämme näiden osajouojen mediaanit: O(n) vertailua. Määritämme mediaanien mediaani: C( n + ) vertailua. Jaamme luvut ahteen jouoon, riippuen siitä ovato ne suurempia tai pienempiä uin mediaanien mediaani: O(n) vertailua. Kumpiin näistä jouoista sisältää oreintaan ( 7 )n + O() = n + O() luua! 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 8 / 7 Montao vertailua tarvitaan, jotta löytäisimme luvun, jona suuruusjärjestysnumero on p jos jouossa on n luua?, jat. Jouojen alioiden luumäärien perusteella tiedämme missä jouossa haemamme luu on ellei se ole mediaanien mediaani ja miä sen järjestysnumero siinä on joten haemme sen osajouosta: C 7 0n + CO() vertailua. Olemme äyttäneet O(n) + Cn + C + O(n) + 7 0 Cn + CO() = 9 Cn + CO() + O(n) 0 = 9 0 Cn + (C + n)c 0, vertailua missä c 0 on vaio. Jos n 0c 0 voimme järjestää luvut äyttäen n log (n) n log (0c 0 ) (0c 0 )n vertailua ja siten löytää haemamme luu joten jos valitsemme C 0c 0 jolloin c 0 niin un n > 0c 0 eli c 0 < 0n toteamme että 9 0 Cn + (C + n)c 0 9 0 Cn + 0 Cn + Cn = Cn 0 ja indutiopäättely toimii. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 9 / 7 0 C Z ja Q N 0 = Z osa f : N 0 Z missä f (0) = 0, f ( ) = ja f () = un on bijetio. N 0 = Q osa voimme onstruoida bijetion seuraavalla tavalla: 0 Jos hyppäämme niiden luujen yli, jota jo ovat listalla, niin saamme seuraavan bijetion: f (0) = 0, f () =, f () =, f () =, f () =, f () =, f (6) =, f (7) =, f (8) =, f (9) = (eiä = ), f (0) =, f () = (eiä = ), f () =, jne. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 0 / 7
Esimeri: Laatioperiaate Oloon S jouon {,,, n, n} osajouo siten, että S = n +. Silloin jouoon S uuluu asi luua eri a ja b siten, että a jaaa b:n tai päinvastoin, (eli a b tai b a). Misi? Voimme esittää S:n luvut muodossa j q j missä j 0. q j < n ja q j on pariton, j =,,, n + ja lisäsi [ i, q i ] [ j, q j ] un i j. Jouossa {,,, n, n} on ainoastaan n paritonta luua. Laatioperiaatteen muaan on olemassa luvut i j siten, että q i = q j jolloin i j. Jos nyt i < j niin luu i q i jaaa luvun j q j. Pari epäyhtälöä Oloot A, B ja C olme jouoa. Kosa A B C A B niin A B C A B. Samoin pätee A B C B C ja A B C A C. Kosa (A B) (A C) = A (B C) A niin A (A B) (A C) = A B + A C A B A C, josta seuraa, että A B C A B + A C A. Vaihtamalla A, B ja C esenään saadaan myös epäyhtälöt A B C A B + B C B ja A B C A C + B C C. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Esimeri: Otoset Tentissä valvojat jaavat 0 tehtäväpaperia 60:lle tenttijälle. Monellao tavalla tämä on mahdollista? Tässä oletetaan, että tehtäväpaperit ovat identtiset mutta tenttijät eivät ole. Ensimmäinen, järevä, vaihtoehto on että joaiselle tenttijälle annetaan oreintaan ysi paperi. Silloin on ysymys siitä monellao tavalla voimme 60 henilön jouosta valita ne 0, jota saavat paperin. Tässä on yse valinnasta palauttamatta ( ) un ( järjestysellä ) ei ole meritystä, joten 60 60 vaihtoehtoja on = 0 0 Toinen, vähemmän järevä, vaihtoehto on, ettei aseteta mitään rajoitusia sille montao paperia sama henilö voi saada. Silloin valvojat valitsevat 0 ertaa tenttijän, jolle paperi annetaan, jouosta, jossa on 60 aliota, palauttaen eiä valintajärjestysellä ( ole ) meritystä. Vaihtoehtojen 0 + 60 09! luumääräsi tulee silloin = 60 9! 0!. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Surjetioiden A B luumäärä un A = m ja B = n Oloon B = {b, b,, b n }, F = B A aiien funtioiden A B jouo ja F j = (B \ {b j }) A F aiien funtioiden A : B \ {b j } jouo eli niiden F :n alioiden f jouo joille pätee, että f (x) b j aiilla x A. Surjetioiden jouo on siten F \ n j= F j. Nyt F j F j F jr on jouo (B \ {b j, b j, b jr }) A johon uuluvat aii funtiot A B jota eivät saa arvoja b j,, b jr. Jos j < < j r n niin F j F j F jr = (n r) m. Kosa on ( n r) eri tapaa valita indesit j < < j r n niin seulaperiaatteesta seuraa, että surjetioiden A B luumäärä on ( ( ) n n m ( ) )(n r+ r) m = r r= ( n ( ) r = r=0 ) (n r) m =0 Huomaa, että un m < n ei ole surjetioita A B joten silloin n r=0 ( )n r ( n r) r m = 0, miä ehä ei ole aivan ilmeistä. ( ) n ( ) n m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7
Misi n ( n =0 ) ( ) n m = 0 un m < n? Binomiaavan nojalla pätee ( e t ) ( ) n n = e t ( ) n, joten jos f (t) = ( e t ) n niin f (m) (t) = =0 =0 ( ) n e t ( ) n m ja f (m) (0) = =0 ( ) n ( ) n m. Seuraavasi osoitamme, että f () (t) = (e t ) n p (e t ) un 0 n missä p on polynomi. Tämä pätee selvästiin un = 0 jolloin p 0 (x) = ja jos f () (t) = (e t ) n p (e t ) ja < n niin f (+) (t) = (n )(e t ) n e t p (e t ) + (e t ) n p (et )e t = (e t ) n p + (e t ), missä p + (x) = (n )xp (x) + (x )xp (x) on myös polynomi. Nyt voimme todeta, että jos m < n niin f (m) (0) = (e 0 ) n m p m (0) = 0 ja väite seuraa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 / 7 Esimeri Montao erilaista sellaista viiden peliortin riviä (normaalista ortin paasta) on olemassa, jossa esiintyy täsmälleen asi uningatarta? Valitsemme ensin( ne) asi paiaa, joihin uningattaret tulevat. Vaihtoehtoja on = 0. Sitten valitsemme uningattaret näihin paioihin ja nyt vaihtoehtojen luumäärä on = osa on otettava huomioon missä järjestysessä ne tulevat. Lopusi valitsemme muut olme orttia 8:n ortin jouosta jolloin vaihtoehtojen luumääräsi tulee 8 7 6 = 0776 Tuloperiaatteen nojalla erilaisten rivien luumääräsi tulee 0 0 776 = 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 6 / 7 Monellao tavalla voidaan sijoittaa identtistä palloa n:ään identtiseen laatioon? Oloon A(, n) tämä luumäärä. Kosa voimme sijoittaa 0 palloa :een laatioon vain yhdellä tavalla niin A(, ) = un 0. Jos = 0 niin aii laatiot ovat tyhjiä ja meillä on vain ysi vaihtoehto eli A(0, n) = aiilla n. Oleta nyt, että ja n. Oloon j (j 0) pallojen luumäärä siinä laatiossa missä on vähiten palloja. Eri j:n arvoilla saadaan varmasti erilaisia vaihtoehtoja. Nyt sijoitamme ensin j palloa joaiseen laatioon ja sen jäleen jäljellä olevat n j palloa niihin n :een laatioon joissa voi olla enemmän un j palloa ja tämä on mahdollista A( n j, n ):llä eri tavalla. Jos j > n niin n j < 0, joten reursioyhtälösi tulee n A(, n) = A( n j, n ). j=0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä. maalisuuta ym., osa I 0 7 / 7