Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
|
|
- Hannu Tikkanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia relaatioita Olkoon D joukko. Silloin: - 1-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa D:n osajoukko. - 2-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat järjestettyjä pareja (kahden pituisia jonoja; 2-jonoja) (a, b), missä a ja b ovat D:n alkioita. Ts. 2-paikkainen relaatio on mikä tahansa D 2 :n osajoukko. - 3-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat 3-jonoja (a, b, c), missä a, b ja c ovat D:n alkioita, eli 3-paikkainen relaatio on mikä tahansa D 3 :n osajoukko n-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat n-jonoja (a 1, a 2,..., a n ), missä jokainen a i on D:n alkio, eli n-paikkainen relaatio on mikä tahansa D n :n osajoukko. Esimerkkinä, olkoon D luonnollisten lukujen joukko, D = {0, 1, 2, 3,... }. - 1-paikkaisia relaatioita ovat muun muassa: on pariton: {1, 3, 5, 7,... } on parillinen: {0, 2, 4, 6,... } on jaollinen kolmella: {0, 3, 6, 9,... } on eri kuin 0: {1, 2, 3, 4,... } - Mutta myös {0}, {1}, {2},... ovat 1-paikkaisia relaatioita joukossa D, kuten myös tyhjä joukko, 1
2 - 2-paikkaisia relaatioita ovat esimerkiksi: on pienempi kuin: {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3),... } on suurempi kuin: {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2),...} - Myös {(0, 1)}, {(0, 2)}... ovat 2-paikkaisia relaatioita. - 3-paikkaisia relaatioita ovat esim.: on pienempi kuin... ja suurempi kuin... {(1, 2, 0), (1, 3, 0), (2, 3, 0), (1, 4, 0),... } on luvun... ja luvun... summa {(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1)... } jne. Huomautus. Tyhjä joukko on myös 2-paikkainen relaatio universumissa D, sillä D 2 (koska tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko). Yleisesti ottaen, kaikille n, tyhjä joukko on n-paikkainen relaatio. Tyhjä joukko on se relaatio, johon mikään n-jono ei kuulu. Mallin käsite Logiikassa malli on matemaattinen struktuuri, joka esittää jokaisen sellaisen maailman piirteen, joka on relevantti lauseen totuuden ja epätotuuden kannalta. Kun aakkosto L on annettu, L-mallin tehtävä on spesifioida: Universumi D Aakkoston L yksilövakioiden ja predikaattisymbolien tulkinnat Määritelmä (L-malli) Olkoon L aakkosto. L-malli M = (D, I) koostuu kahdesta elementistä: universumista D, joka on epätyhjä joukko alkioita (ts. D ), sekä tulkintafunktiosta I, joka liittää jokaiseen L:n yksilövakioon ja predikaattisymboliin tulkinnan seuraavasti: 1. Jos c on L:n yksilövakio, niin c:n tulkina I(c) on jokin universumin alkio, eli I(c) D 2. Jos P on L:n n-paikkainen predikaattisymboli, niin P :n tulkinta I(P ) on jokin n-paikkainen relaatio universumissa D (I(P ) D n ) ) Huomaa, että P voi myös olla tyhjä, ts. on mahdollista, että I(P ) =. Esimerkki 1 Olkoon L = {c 0, c 1, c 2, c 3, P, R}, jossa P on 1-paikkainen ja R on 2-paikkainen. Rakennamme L-mallin M = (D, I) valitsemalla universumiksi D = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma} 2
3 ja tulkintafunktion I seuraavalla tavalla: I(c 0 ) = Lontoo I(c 1 ) = Lontoo I(c 2 ) = P ariisi I(c 3 ) = Rooma ja I(P ) = {Lontoo, P ariisi} I(R) = {(P ariisi, Lontoo)(Lontoo, P ariisi)} Kun L-malli M = (D, I) on annettu, jokainen 1-paikkainen predikaattisymboli P jakaa universumin D kahteen osaan: alkiot, joilla on ominaisuus P (ts. alkiot jotka kuuluvat P :n ekstensioon I(P )) ja alkiot, joilla ei ole ominaisuutta P. Samalla tavalla jokainen 2-paikkainen predikaattisymboli R jakaa kaikki universumin parien joukot kahteen osaan: pareihin, jotka ovat keskenään relaatiossa R (ts. parit jotka kuuluvat R:n ekstensioon I(R)) ja pareihin, jotka eivät ole keskenään relaatiossa R. Malliteoreettiselle tulkinnalle on ominaista se, että aakkoston symbolien tulkinta muuttuu mallista toiseen. Tyypillinen tapaus on sellainen, että universumi pysyy samana mutta tulkintafunktio muuttuu. Esimerkki 2 Olkoon L = {c 0, c 1, P } missä P on 1-paikkainen predikaattisymboli. Olkoon D = {Aatami, Eeva}. Tässä on taulukko L-malleista, jotka saadaan kun L:n symbolien tulkinta muuttuu (tässä D 1 = D 2 =... = D 5 = D): M c 0 c 1 P (D 1, I 1 ) Aatami Eeva (D 2, I 2 ) Aatami Eeva {Aatami} (D 3, I 3 ) Aatami Eeva {Eeva} (D 4, I 4 ) Aatami Eeva {Aatami, Eeva} (D 5, I 5 ) Eeva Eeva jne Tulkinnan M 1 = (D 1, I 1 ) mukaan yksilövakio c 0 viittaa Aatamiin ja yksilövakio c 1 viittaa Eevaan. - Tulkinnan M 5 = (D 5, I 5 ) mukaan yksilövakio c 0 viittaa Eevaan ja yksilövakio c 1 viittaa myös Eevaan. - Tulkinnan M 2 = (D 2, I 2 ) mukaan predikaattisymbolin P ekstensio koostuu Aatamista. - Tulkinnan M 3 = (D 3, I 3 ) mukaan predikaattisymbolin P ekstensio koostuu Eevasta. 3
4 jne. Toinen tyypillinen esimerkki on sellainen, että jonkun annetun mallin universumi muuttuu. Silloin luonnollisesti myös tulkintafunktio muuttuu. Esimerkiksi universumissa D = {Aatami} mikään kielen L yksilövakio ei voi viitata Eevaan, joka ei kuulu universumiin. Atomilauseiden totuus mallissa Oletamme, että aakkosto L on annettu ja myös L-malliM = (D, I) on annettu. Muistamme, että L-atomilauseet ovat muotoa R(t 1, t 2,..., t n ), missä R on n-paikkainen predikaattisymboli ja jokainen termi t i on yksilövakio (atomilauseissa ei esiinny muuttujia lainkaan). Sanomme, että atomilause R(t 1, t 2,..., t n ) on tosi mallissa M joss jono, joka koostuu termien tulkinnasta kuuluu predikaattisymbolin R ekstensioon eli jos Tarkastellaan, mitä se tarkoittaa seuraavissa erity- Tämä on yleinen muoto. istapauksissa: (I(t 1 ), I(t 2 ),..., I(t n )) I(R) n = 1 : Kun R on 1-paikkainen predikaattisymboli ja t 1 on yksilövakio, R(t 1 ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 )) I(R). Koska voimme korvata (a):n tässä a:lla (siis poistaa sulut, sillä voimme samaistaa 1-jonot (a) ja alkiot a), tämä tarkoittaa, että R(t 1 ) on tosi mallissa M joss I(t 1 ) I(R). n = 2 : Kun R on 2-paikkainen predikaattisymboli ja t 1 ja t 2 ovat yksilövakioita, R(t 1, t 2 ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 ), I(t 2 )) I(R). n = 3 : Kun R on 3-paikkainen predikaattisymboli ja t 1, t 2 ja t 3 ovat yksilövakioita, R(t 1, t 2, t 3 ) on tosi mallissa M joss ((I(t 1 ), I(t 2 ), I(t 3 )) I(R). jne. Esimerkki 3 Olkoon L = {c 0, c 1, c 3, P, R} ja L-malli M = (D, I) kuten esimerkissä 1. a) Kysymys: Onko atomilause P (c 0 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmän mukaan P (c 0 ) on tosi mallissa M joss I(c 0 ) I(P ). Huomaamme, että I(c 0 ) = Lontoo ja I(P ) = {Lontoo, P ariisi}, ja siten I(c 0 ) I(P ). Siispä atomilause P (c o ) on tosi mallissa M. b) Kysymys: Onko atomilause R(c 0, c 2 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmään mukaan lause R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M joss (I(c 0 ), I(c 2 )) I(R) Tiedetään, että I(c 0 ) = Lontoo, I(c 2 ) = P ariisi ja I(R) = {(P ariisi, Lontoo), (Lontoo, P ariisi)}, joten (I(c 0 ), I(c 2 )) I(R). Siispä lause R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M. 4
5 c) Kysymys: Onko atomilause P (c 3 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmän perusteella P (c 3 ) on tosi mallissa M joss I(c 3 ) I(P ). I(c 3 ) = Rooma. Koska Rooma / I(P ), lause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M. Kun aakkosto L on annettu, atomilauseiden joukko aakkostossa L (L-atomilauseet) on myös annettu. Myös aakkoston L totuusfunktionaalisten lauseiden joukko on annettu. Olemme nyt valmiina määritelemään sellaisten lauseiden totuus mallissa M: Määritelmä. Olkoon L aakkosto ja M = (D, I) L-malli. Määritellään relaatio lause A on tosi mallissa M jossa A on totuusfunktionaalinen lause: 1. Atomilause R(t 1, t 2,..., t n ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 ), I(t 2 ),..., I(t n )) I(R) 2. A on tosi mallissa M joss ei pidä paikkaansa, että A on tosi mallissa M (ts. A ei ole tosi mallissa M) 3. A B on tosi mallissa M joss A tai B on tosi mallissa M. 4. A B on tosi mallissa M joss A on tosi mallissa M ja B on tosi mallissa M. 5. A B on tosi mallissa M joss jos A on tosi mallissa M, niin myös B on tosi mallissa M (ekvivalenttisti: jos A ei ole tosi mallissa M tai B on tosi mallissa M) Esimerkki 4 Olkoon L ja M kuten aiemmassa esimerkissä 1. Olemme nähneet esimerkissä 6, että atomilause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M. Edellisen määritelmän kohdan (2) perusteella päättelemme, että lause P (c 3 ) on tosi mallissa M. Tutkimme atomilauseen R(c 0, c 3 ) totuutta mallissa M kohdan (1) perusteella. R(c 0, c 3 ) on tosi mallissa M joss (I(c 0 ), I(c 3 )) I(R). Koska I(c 0 ) = Lontoo, I(c 3 ) = Rooma ja I(R) = {(P ariisi, Lontoo), (Lontoo, P ariisi)} näemme, että (I(c 0 ), I(c 3 )) / I(R). Kohdan (2) perusteella päättelemme, että lause R(c 0, c 3 ) on tosi mallissa M. Olemme nähneet aikaisemmin, että atomilauseet P (c 0 ) ja R(c 0, c 2 ) ovat tosia mallissa M. Kohdan (4) perusteella päättelemme, että lause P (c 0 ) R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M. Koska lause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M, päättelemme kohdan (4) perusteella, että lause P (c 3 ) R(c 0, c 2 ) ei ole tosi mallissa M. Kohdan (2) perusteella, päättelemme, että lause (P (c 3 ) R(c 0, c 2 )) on tosi mallissa M. Atomikaavojen totuus mallissa Oletetaan, että predikaattilogiikan aakkosto L on kiinnitetty, kuten myös aakkoston malli M = (D, I). Olkoon L = {c 0, c 1, P } ja M = M 4 = (D 4, I 4 ) kuten 5
6 esimerkissä 2. Yritämme määritellä lauseen xp (x) totuuden mallissa M. Intuitiivisesti se on tosi silloin, kun kaavat P (Aatami) ja P (Eeva) ovat tosia mallissa M. Toisin sanoen, lause xp 0 (x) on tosi mallissa M joss kaikki universumin alkiot kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Ajatus on oikea, mutta sen toteutus ei toimi tässä muodossa, sillä P (Aatami) ja P (Eeva) eivät ole L-kaavoja: 1-paikkainen L-atomikaava saadaan ainoastaan 1-paikkaisesta predikaattisymbolista ja yksilövakoista. Aatami ja Eeva eivät kuitenkaan ole yksilövakioita. Parempi strategia on sanoa: xp (x) on tosi mallissa M joss P (c 0 ) ja P (c 1 ) ovat tosia mallissa M ja nämä puolestaan ovat tosia mallissa M joss sekä Aatami että Eeva kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Lopputulos on intuitiivisesti oikea: xp (x) on tosi mallissa M joss kaikki universumin alkiot kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Nyt voimme yrittää määritellä kaavan xp (x) totuuden mallissa M seuraavalla tavalla: (*) L-kaava xp (x) on tosi mallissa M joss kaikille aakkoston L yksilövakioille c pätee, että kaava P (c) on tosi mallissa M ( P (c) saadaan kaavasta P (x) sijoittamalla x:n tilalle yksilövakio c.) Vaikka tämä strategia toimii tässä esimerkissä, se ei toimi yleisessä tapauksessa, sillä kaikilla universumin alkiolla a ei välttämättä ole nimeä (eli kieleen kuuluvaa yksilövakiota c, siten että I(c) = a). Esimerkiksi jos L = {c 0, c 1, P } ja M = (D, I), missä D = {P irjo, Jaana, Risto} I(c 0 ) = {P irjo} I(c 1 ) = {Risto} I(P ) = {P irjo, Risto} sekä P (c 0 ) että P (c 1 ) ovat tosia mallissa M, mutta oikesti lause xp (x) ei ole tosi mallissa M (vaikka jos käyttäisimme (*)-tyylistä määritelmää, se olisi tosi!). Siksi tarvitsemme yleisen tavan kuvata kielen muuttujia mallin universumin alkiolle. Tätä tarkoitusta palvelee tulkintajonon käsite. Kun M = (D, I) on L-malli, tulkintajono w mallissa M on funktio, joka kuvaa jokaisen L:n muuttujan x i jollekin universumin D alkiolle: siis w(x i ) D. Tulee huomata, että tulkintajono on eri käsite kuin tulkintafunktio. Aiemmin esitetty tulkintafunktio antaa tulkinnan kielen yksilövakioille ja predikaattisymboleille. Tulkintajono sen sijaan antaa arvot muuttujille. Esimerkki 5 Olkoon L,M = (D, I),D = {P irjo, Jaana, Risto} kuten edellä. Seuraavalla tavalla määritelty funktio w on eräs D:n tulkintajono: w(x) = P irjo w(y) = Jaana w(z) = Risto w(t) = Risto, kaikille muille muttujille 6
7 Tulkintajonon käsitteen avulla voimme nyt antaa yleisen määritelmän kaikille jonkin kielen ei-loogisten vakioiden tulkinnalle kielen mallissa. Määritelmä Olkoon M = (D, I) L-malli ja w tulkintajono mallissa M. L- termin t tulkinta mallissa M tulkintajonolla w (merkitään t M,v ) on: t M,w = w(x), jos ton muuttuja x t M,w = I(c), jos ton yksilövakio c. Predikaattisymbolin P tulkinta mallissa M tulkintajonolla w (merkitään P M,w ) on: P M,w = I(P ) Esimerkki 6 Tutkitaan aakkostoa L = {c 0, c 1, c 2, c 3, P, R} olkoon M = (D, I) L-malli, missä D = {F in, Swer, N or, Den} ja tulkinnalle I pätee seuraava: I(c 0 ) = F in, I(c 1 ) = Swe, I(c 2 ) = Nor, I(c 3 ) = Den, I(P ) = {F in, Den} ja I(R) = {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), Den, Den)}. Olkoon lisäksi w sellainen D:n tulkintajono, että w(x) = F in, w(y) = Swe, w(z) = Nor ja w(t) = Den, kaikille muille muttujille. Nyt voimme luetella tulkinnat kaikille kielen L ei-loogisille simboleille mallissa M tulkintajonolla w : c M,w 0 = I(c o ) = F in Myös: c M,w 1 = I(c 1 ) = Swe c M,w 2 = I(c 2 ) = Nor c M,w 3 = I(c 3 ) = Den x M,w = w(x) = F in y M,w = w(y) = Swe z M,w = w(z) = Nor t M,w = w(t) = Den P M,w = I(P ) = {F in, Den} R M,w = I(R) = {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), Den, Den)} 7
8 Ennen kuin siirrymme tarkastelemaan tulkintajonon hyödyllisyyttä predikaattilogiikan totuusarvojen ratkaisemisassa, on hyvä ottaa käyttöön uusi merkintätapa sille, että haluamme muuttaa tulkintajonoa. Olkoon M malli, w sen tulkintajono ja a D. Merkitsemme nyt w[x/a] tarkoittaen sitä tulkintajonoa, joka on muuten sama kuin w, mutta muuttujalla x se saa arvon a. Siis { w(y), kun x y w[x/a](y) = a, kun x = y Esimerkki 7 Olkoon L, M ja w kuten edellisessä esimerkissä. Nyt tulkintajono w[t/n or] antaa seuraavat tulkinnat kielen L muuttujille mallissa M: x M,w[t/Nor] = w[t/nor](x) = w(x) = F in y M,w[t/Nor] = w[t/nor](y) = w(y) = Swe t M,w[t/Nor] = w[t/nor](t) = Nor Näillä käsitteillä ja merkintätavoilla voimme määritellä toteuttamisrelaation ja sen avulla totuuden predikaattilogiikan kielelle L. Määritelmä (Tarskin toteuttamisrelaatio). Olkoon M = (D, I) kielen L malli sekä A ja B kielen L kaavoja. Mallin M tulkintajono w toteuttaa kaavan C tulkinnassa M, w (merkitään M, w C) kun: 1. Jos C on P (t 1,..., t n ), niin M, w C joss (t M,w 1,..., t M,w n ) P M,w. 2. Jos C on A, niin M, w C joss M, w A. 3. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A tai M, w B. 4. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A tai M, w B. 5. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A, tai M, w B. 6. Jos C on xa, niin M, w C joss M, w[x/a] A kaikilla a D. 7. Jos C on xa, niin M, w C joss M, w[x/a] A jollakin a D. Määritelmä (Lauseen totuus mallissa) 1. Sanomme, että L-lause C on tosi L-mallissa M (merkitään M C), jos M, w C jokaiselle mallin M tulkintajonolle w. 2. Sanomme, että lausejoukko X on tosi mallissa M (merkitään M X), jos M A jokaiselle A X. Esimerkki 8 Olkoon L, M ja w kuten esimerkissä Toteuttaako w kaavan P (c 0 )? 2. Toteuttaako w kaavan P (x)? 3. Toteuttaako w kaavan P (y)? 8
9 4. Toteuttaako w kaavan R(c 1, c 3 )? 5. Toteuttaako w kaavan P (z) P (t)? 6. Toteuttaako w kaavan yp (y)? 7. Toteuttaako w kaavan yp (y)? 8. Toteuttaako w kaavan y zr(y, z)? 1. Toteuttamisrelaation määritelmän 1. kohdasta saamme, että M, w P (c 0 ) joss c M,w 0 P M,w joss I(c 0 ) I(P ) joss F in {F in, Den}. Koska selvästi F in {F in, Den}, päättelemme, ettäm, w P (c 0 ). 2. Vastaavalla tavalla kuin kohdassa 1. saamme seuraavan väittämäketjun määritelmän kohdasta 1: M, w P (x) joss x M,w P M,w joss w(x) I(P ) joss F in {F in, Den}. Koska viimeinen ehto pitää paikkansa, päättelemme, että M, w P (x). 3. Edellisen kohdan tavalla saamme, että M, w P (y) joss y M,w P M,w joss w(y) I(P ) joss Swe {F in, Den}. Koska viimeinen näistä ei pidä paikkaansa, päättelemme että M, w P (y) ja siten M, w P (y). 4. Määritelmästä saamme, että M, w R(c 1, c 3 ) joss (c M,w 1, c M,w 3 ) R M,w joss joss (I(c 1 ), I(c 3 )) I(R) (Swe, Den) {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), (Den, Den)}. Viimeinen näistä pätee, joten M, w R(c 1, c 3 ). 5. Määritelmän kohdan 5. nojalla M, w P (z) P (t) joss M, w P (z) tai M, w P (t) joss w(z) / {F in, Den} tai Den {F in, Den}. Koska itseasiassa molemmat ehdot pätevät, M, w P (z) P (t). 6. Määritelmän kohdan 7. nojalla M, w yp (y) joss jollakin a D: M, w[y/a] P (y) joss jollakin a D: a I(P ) joss jollakin a D: a {F in, Den}. Valitaan a = F in, jolloin päättelemme, että M, w yp (y). 7. Määritelmän kohdan 6. nojalla M, w yp (y) joss kaikilla a D: M, w[y/a] P (y) joss kaikilla a D: a I(P ) joss kaikilla a D: a {F in, Den}. Koska Swe / {F in, Den}, päättelemme, että M, w yp (y). 9
10 8. Määritelmän kohdan 7. nojalla M, w y zr(y, z) joss jollakin a D: M, w[y/a] zr(y, z) joss jollakin a D: jollakin b D : joss jollakin a D, jollakin b D: joss jollakin a D, jollakin b D: M, w[y/a][z/b] R(y, z) (y M,w[y/a][z/b], z M,w[y/a][z/b] I(R) (a, b) {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), (Den, Den)}. Valitaan a = F in ja b = Nor ja päättelemme, että M, w y zr(y, z). Esimerkki 9. Olkoon aakkosto L = {P } ja L-malli M = (D, I), missä D = {Aatami, Eeva}, I(P ) = {Aatami} ja I(G) = {Eeva}. Olkoon w tulkintajono mallissa M siten että w(x) = Aatami ja w tulkintajono siten, että w (x) = Eeva. Määritelmän mukaan: M, w P (x) joss w(x) I(P ) joss Aatami {Aatami}. Päättelemme, että M, w P (x). Toisaalta: M, w P (x) joss w (x) I(P ) joss Eeva {Aatami}. Päättelemme, että M, w P (x). Huomaamme siis, että tulkintajono w toteuttaa kaavan P (x) mutta tulkintajono w ei toteuta sitä. Tämä ei koskaan voi tapahtua lauseiden kohdalla. Osoitamme, että M, w xp (x): M, w xp (x) joss jollakin a D : M, w[x/a] P (x) joss jollakin a D : x w[x/a] I(P ) joss jollakin a D : a I(P ) joss jollakin a D : a {Aatami}. Valitaan a = Aatami, jolloin päättelemme, että M, w xp (x). Osoitamme nyt, että myös M, w xp (x) (oikeastaan kaikki tulkintajonot mallissa M toteuttavat lauseen xp (x) ). M, w xp (x) joss jollakin a D : M, w [x/a] P (x) joss jollakin a D : x w [x/a] I(P ) joss jollakin a D : a I(P ) joss jollakin a D : a {Aatami}. Valitaan a = Aatami, jolloin päättelemme, että M, w xp (x). Esimerkin tarkoitus on osoittaa (todistamme tämän myöhemmin), että lauseiden kohdalla aina pätee: jos jokin tulkintajono toteuttaa lauseen mallissa M, niin kaikki tulkintajonot toteuttavat sen. Olemme nähneet, että tilanne on erilainen kaavoissa, joissa on vapaita muuttujia. On hyvin mahdollista, että jokin tulkintajono toteuttaa kaavan P (x) mutta toinen ei. Määritelmä (Looginen seuraus). 1. L-lause A on validi (loogisesti tosi, tautologia), merkitään A, jos A on tosi kaikissa L-malleissa M = (D, I), (M A) 2. Olkoon X joukko L-lauseita. L-lause A on lausejoukon X looginen seuraus, merkitään X A, jos kaikissa L-malleissa, joissa X on tosi (M X), myös A on tosi (M A). 10
11 (1) on selvästi (2):n erikoistapaus, missä X =. Määritelmästä seuraa, että X A (A ei ole X:n looginen seuraus) joss on olemassa L-malli M siten, että M X mutta M A. Vastaavasti L-lause A ei ole validi, (merk. A), joss on olemassa L-malli M siten, että M A. Esimerkki 10 Osoitetaan, että { xp (x)} P (c). Oletetaan, että M = (D, I) on sellainen malli, että M { xp (x)}, ja olkoon w sen tulkintajonon. Määritelmän mukaan tällöin M xp (x), ja siten myös M, w xp (x). Mutta M, w xp (x) joss kaikille a D : M, w[x/a] P (x), jolloin erityisesti M, w[x/i(c)] P (x). Edelleen M, w[x/i(c)] P (x) joss x w[x/i(c) I(P ) joss I(c) I(P ). Mutta jos I(c) I(P ), niin M, w P (c) ja edelleen M P (c), sillä P (c) on lause. Siispä { xp (x)} P (c). Esimerkki 11 Osoitetaan, että { xp (x) xg(x)} x(p (x) G(x)): Tämä tehdään rakentamalla malli M siten, että M xp (x 1 ) xp (x), ja M x(p (x) G(x)). Olkoon M = (D, I), missä D = {u, v}, I(P ) = {u} ja I(G) = {v}. On selvää, että jokaiselle tulkintajonolle w pätee, M, w xp (x) xg(x), sillä sekä M, w xp (x), että M, w xg(x) pätevät. Kuitenkaan millekään tulkintajonolle w ei päde, että M, w x(p (x) G(x)), sillä jos näin olisi, niin olisi sellainen a D, että M, w[x/a] P (x) G(x), mistä seuraisi, että a {u} ja a {v}, mikä on mahdotonta, sillä sellaista a ei ole olemassa. Lause Olkoon M = (D, I) kielen L malli ja A kielen L kaava. Jos w ja w ovat mallin M universumin tulkintajonoja siten, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A, niin pätee, että w toteuttaa kaavan joss w toteuttaa kaavan A. Todistus. Induktiolla kaavan rakenteen suhteen. TapausA on muotoa R(t 1,..., t n ). Olkoon w ja w tulkintajonoja siten, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A. Tiedämme, että t M,w = t M,w kaikilla i {1, 2,..., n}, sillä jos t i on vakio c j, niin selvästi c M,w j = c M,w j = I(c j ) Jos taas t i on muuttuja y, niin oletuksemme nojalla w(y) = w (y) ja siten y M,w = y M,w. Tästä saadaan seuraava väiteketju: M, w = R(t 1,..., t n ) joss (t M,w 1,..., t M,w ) I(R) joss (t M,w 1,..., t M,w n ) I(R) joss M, w = R(t 1,..., t n ). Tapaus A on muotoa B. Induktio-oletus on: (*) Kaikille tulkintajonoille s, s mallissa M: Jos s(y) = s (y) aina, kun y esiintyy vapaana kaavassa B, niin M, s = B joss M, s = B. Oletetaan, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa B. Silloin pätee myös, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa B (kaavoilla B ja B on samat vapaat muuttujat). Siten induktio-oletuksen 11
12 etujäsen on tosi (kun s:n tilalle laitetaan w ja s :n tilalle laitetaan w ), joten myös sen takajäsenen täytyy olla tosi, eli (a) M, w = B joss M, w = B mistä seuraa, että (b) M, w B joss M, w B mistä määritelmän nojalla seuraa, että (c) M, w = B joss M, w = B. Tapaukset A on muotoa B C, B C, ja B C todistetaan samalla tavalla. Tapaus A on muotoa xb. Induktio-oletus on (*). Oletetaan, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A. Oletamme aluksi, että M, w = xb eli M, w[x/a] = B, jollakin a D. Selvästi tulkintajonot w[x/a] ja w [x/a] yhtyvät kaikilla kaavassa B vapaina esiintyvillä muuttujilla, eli induktio-oletuksen etujäsen on tosi (kun s:n tilalle laitetaan w ja s :n tilalle laitetaan w ). Siispä myös sen takajäsen on tosi, eli M, w[x/a] = B joss M, w [x/a] = B. Mutta M, w[x/a] = B, joten M, w [x/a] = B. Tästä seuraa toteuttamisrelaation määritelmän mukaan, että M, w = xb. Käänteinen implikaatio (oletetaan ensin, että M, w = xb ja todistetaan, että M, w = xb ) todistetaan samalla tavalla. Tapaus A on muotoa xb todistetaan samalla tavalla. Nyt meidän on mahdollista vakuuttumisen lisäksi todistaa, että jos jokin tulkintajono w toteuttaa lauseen A, niin kaikki tulkintajonot toteuttavat. Korollaari. Olkoon A L-lause. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: 1. M A 2. M, w A jollakin M:n tulkintajonolla w. 3. M, w A kaikilla M:n tulkintajonoilla w. Todistus. ehdot 1. ja 3. ovat määritelmän mukaan ekvivalentteja. On enää osoitettava, että 2. ja 3. ovat ekvivalentteja. Selvästi ehdosta 3. seuraa 2. ehto, joten riittää osoittaa, että ehdosta 2. seuraa 3. ehto. Oletetaan, että M, w A jollakin w, ja olkoon w mielivaltainen tulkintajono. Koska A:ssa ei ole vapaita muuttujia (A on lause), niin triviaalisti w(x) = w (x) aina, kun x on vapaana kaavassa A. Siten edellisen lauseen nojalla meillä on: M, w = A joss M, w = A. Koska oletimme, että M, w = A, pätee myös M, w = A w, ja koska w oli mielivaltainen tulkintajono, M, w A kaikilla tulkintajonoilla w. Huomaamme, että korollarista seuraa, että seuraavatkin ehdot ovat ekvivalentteja - M A - M, w A jollakin universumin D tulkintajonolla w. 12
13 - M, w A kaikilla universumin D tulkintajonoilla w. Esimerkki 12. Olkoon x A ja xa L-lauseita. Osoitetaan, että { x A} xa Määritelmän mukaan väite pitää kaikkansa, joss jokaiselle L-malllille M, jolle pätee M x A, pätee myös M xa. Oletetaan, että M x A. Siis (i) jokaiselle w : M, w x A. Olkoon w mielivaltainen M:n tulkintajono. Osoitetaan, että M, w xa, mikä on sama kuin M, w xa. Tämän todistamiseksi teemme vastaoletuksen: M, w xa. Siis M, w [x/a] A jollakin a D. Olkoon b tällainen D:n alkio. Väitteestä (i) seuraa, että M, w x A ja tästä edelleen, että M, w [x/a] A kaikilla a D. Mutta tällöin erityisesti M, w [x/b] A, mikä on ristiriita. Siis ei voi olla niin, etttä M, w xa, joten M xa. Esimerkki 13. Olkoon x A ja xa kuten edellisessä esimerkissä. Osoitetaan, että { xa} x A. Olkoon M sellainen L-malli, että M xa. Osoitamme, että M, w x A, kun w on mielivaltainen tulkintajono mallissa M. Eli osoitamme, että M, w[x/a] A jokaisella a D. Olkoon a mielivaltainen D:n alkio. Meidän on siis osoitettava, että M, w[x/a] A. Mutta näin on oltava, sillä jos olisikin niin, että M, w[x/a] A, niin toteuttamisrelaation määritelmän nojalla M, w xa, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että M xa. Siispä M x A. Harjoitus Olkoon L = {P, R}. Luo sellainen L-malli M = (D, I) jossa lauseet xp (x) ja x yr(x, y) ovat tosia, ts. M xp (x) ja M x yr(x, y) mutta lause x yr(x, y) on epätosi, ts. M x yr(x, y) 2. Osoita että { x yr(x, y)} xr(x, x). 3. Osoita, että { xp (x) xg(x)} x(p (x) G(x)) 4. Osoita että { x(p (x) G(x))} xp (x) xg(x) 5. Ratkaise tehtävät (3) ja (4) semanttisten puitten menetelmän avulla. 6. Osoita, että x(x = x) 7. Osoita, että x y(x = y) 8. *(Ekstratehtävä)*: Rakenna malli lausejoukolle { x yr(x, y), x R(x, x), x y z((r(x, y) R(y, z)) R(x, z))} 13
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotLogiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.
Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotModaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sanna Kari Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 2002 Sisältö 1 Johdanto
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotT Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 7 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 Olkoot G ja H äärellisiä verkkoja, joilla kummallakin on l yhtenäistä komponenttia Olkoot G i, i {0,,l 1}, verkon G ja H i,
LisätiedotTodistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.
Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotJohdatus logiikkaan 2
Johdatus logiikkaan 2 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 Mallit ja aakkostot 3 1.1 Mallit................................... 3 1.2 akkostot ja L-mallit.......................... 6 2 Kaavat 7 3 Semantiikka
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotDFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet
säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotRamseyn lauseen ensimmäinen sovellus
Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
Lisätiedot