MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Transkriptio

1 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

2 Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf Gripenbergin ja Harri Varpasen laatimiin saman kurssin aikaisempiin kalvosarjoihin. Kiitokset heille käyttöön antamastaan materiaalista! Otaniemessä Riikka Kangaslampi 1 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

3 Joukko-oppi

4 Joukko Matematiikan kaikki rakenteet ja niitä koskevat väitteet voidaan ilmaista joukkojen avulla. Esimerkki 1 N = {0, 1, 2, 3,...} on luonnollisten lukujen joukko. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} on kokonaislukujen joukko, Z + = {1, 2, 3,...} positiiviset ja Z = {..., 3, 2, 1} negatiiviset kokonaisluvut. { } Q = p q : p, q Z, q 0 on rationaalilukujen joukko. R on reaalilukujen joukko. Joukkoja voi määritellä millaisia haluaa, vaikkapa A = { lammas, klemmari, 16, π, ikuisuus } 2 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

5 Joukko Joukko-opissa peruskäsite on eli x A kun alkio x kuuluu joukkoon A ja x / A kun alkio x ei kuulu joukkoon A. Merkintätapoja: {2, 4, 5, 8} on joukko jonka alkiot ovat 2, 4, 5 ja 8. {lauseke : ehto} on joukko johon kuuluu lausekkeen antamat alkiot kun ehto on voimassa, esim. { x 2 : 2 < x < 10, x on kokonaisluku } = {9, 16, 25,..., 81}. Tyhjä joukko: = {} on joukko, johon ei kuulu yhtään alkiota, eli x on aina epätosi. A = B jos on totta, että x A jos ja vain jos x B, esimerkiksi {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1}. 3 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

6 Joukko-opin perusmerkintöjä Yhdiste tai unioni: x A B jos ja vain jos x A tai x B. A B Leikkaus: x A B jos ja vain jos x A ja x B. A B Joukkoerotus: x A \ B jos ja vain jos x A mutta x / B. A B Komplementti: A c = Ω \ A jos A Ω ja on selvää mikä Ω on. A 4 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

7 Joukko-opin perusmerkintöjä Osajoukko: A B jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. B A Aito osajoukko: A B, jos A B, mutta A B. Huom: Usein osajoukkoa merkitään A B, jolloin aito osajoukko on A B. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Potenssijoukko: P(A) on joukon kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Tulojoukko: A B = {(a, b) : a A, b B}, missä (a, b) on järjestetty pari eli kahden alkion lista, jossa a on ensimmäisenä ja b toisena. 5 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

8 Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 2 Jos A = {0, 2, 4}, B = {1, 3, 5} ja C = {0, 1, 2, 3, 4}, niin A C ja B C. Esimerkki 3 Jos A = {1, 2, 3}, niin P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. Esimerkki 4 {0, 1} {2, 1} = {(0, 2), (0, 1), (1, 2), (1, 1)}. 6 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

9 Joukko-opin perusmerkintöjä Merkintä A tarkoittaa joukon A alkioiden lukumäärää. Esimerkki 5 Jos A = 5 ja B = 9, niin mitkä seuraavista eivät kelpaa luvuksi A B missään tilanteessa? a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 14 f) 20 Vastaus: a,b ja f. 7 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

10 Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 6 Päteekö A (B C) = (A B) (A C)? Tutki piirtämällä Venn-diagrammit joukoista A, B C, A (B C), A B, A C ja (A B) (A C), kun A, B ja C ovat kuten alla. A B C Vastaus: kyllä 8 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

11 Perusjoukko Kylässä on miespuolinen parturi, joka ajaa niiden ja vain niiden miesten parran, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako parturi oman partansa? (ns. Russelin paradoksi) Joukko-oppi ei aina ole niin yksinkertaista! Käytännössä joukot ovat aina tietyn perusjoukon (eng. domain of discourse, universal set of discourse) osajoukkoja. Russellin paradoksi voidaan välttää vaatimalla taustalle perusjoukko X, jonka osajoukkoja kaikki tarkasteltavat joukot ovat. 9 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

12 Indeksöity joukkoperhe Olkoon X perusjoukko ja A 1, A 2, A 3,... X joukkoja. Tällöin on indeksöity joukkoperhe. {A k } k=1 Merkitään A k = {x X : x A k jollakin k Z + } k=1 A k = {x X : x A k kaikilla k Z + } k=1 10 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

13 Indeksöity joukkoperhe Esimerkki 7 Olkoon X = R ja A k = [0, 1 k ] (suljettu väli). Osoita, että a) b) k=1 A k = [0, 1] k=1 A k = {0} Todistus taululla 11 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

14 Logiikka

15 Väitelause Määritelmä 8 Väitelause (eng. statement) on lause, joka on joko tosi tai epätosi. Esimerkki 9 Väitelauseita: 2 Z, 5 = 2, luvun π miljoonas desimaali on 7. Nämä eivät ole väitelauseita: Onko = 4? Tämä lause on epätosi. Usein väitelauseet ovat muotoa kaikille x A pätee P(x) tai jollekin x A pätee P(x). Nämä lyhennetään usein x A : P(x) ja x A : P(x). 12 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

16 Esimerkkejä väitelauseista x R : x 2 > 0 a R : x R : ax = x n Z : m Z : m = n + 5 n Z : m Z : m = n + 5 Mistä tahansa bileistä löytyy kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä. Keskustelutehtävä: Mitkä näistä väitteistä ovat totta? Tosia toinen ja kolmas, epätosia ensimmäinen ja neljäs. Viides jätetään myöhemmäksi. 13 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

17 Negaatio Miten muodostaa negaatio väitteelle kaikille x A pätee P(x)? (1) Esimerkki 10 Esitetään väite jokainen luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa kaikille x N pätee P(x), missä P(x) = x voidaan esittää alkulukujen tulona. Negaatio tälle on on olemassa luonnollinen luku, jota ei voida esittää alkulukujen tulona eli jollekin x N ei päde P(x). 14 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

18 Negaatio Yleisesti: Olkoon B niiden alkioiden joukko, joille P(x) pätee. Tällöin väite (1) saa muodon A B. Tämän negaatio on A B, ts. jollekin x A pätee x / B. Siten väitteen (1) negaatio on jollekin x A ei päde P(x). Samoin väitteen jollekin x A pätee P(x) negaatio on kaikille x A pätee ei-p(x) eli millekään x A ei päde P(x). Edellä palautettiin negaation muodostaminen (voi olla vaikeaa) osajoukkouden määritelmään ja sen negaatioon (helppoa). 15 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

19 Loogiset konnektiivit Väitelauseita voi yhdistää loogisilla konnektiiveilla: Lisäksi jo tutut kvanttorit: implikaatio = ekvivalenssi negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai kaikille jollekin 16 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

20 Loogiset konnektiivit Sopimus Implikaatio P Q on matematiikassa tosi aina, kun P on epätosi. Esimerkki 11 Väite x R : (x 2 < 0 x = 23) on tosi, koska x 2 < 0 on epätosi kaikilla x R. Implikaation totuustaulu: P Q P = Q E E T E T T T E E T T T 17 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

21 Loogiset konnektiivit Identtisesti tosia lauseita sanotaan tautologioiksi. Esimerkki 12 Seuraavat lauseet ovat tautologioita, mikä voidaan nähdä esimerkiksi totuustaulun avulla: P P (kaksoiskiellon poisto) P P (vaihtoehtopakko) (P = Q) ( Q = P) (kontraponointilaki) (P Q) ((P = Q) (Q = P)) (ekvivalenssilaki) Esimerkiksi ekvivalenssilain mukaan kahden väitteen yhtäpitäväksi osoittaminen voi tapahtua osoittamalla ne erikseen toistensa seurauksiksi. 18 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

22 Loogiset konnektiivit Esimerkki 13 Tutkimusmatkailija saapuu rehtien ja retkujen saarella T-risteykseen, jossa maleksii yksi saaren asukas. Miten matkailija saa yhdellä kysymyksellä selville, onko kaupunki oikealla vai vasemmalla? Merkitään: P = kaupunki on oikealla ja Q = asukas on retku ja kysytään päteekö P Q. P Q P Q asukkaan vastaus kyllä E E T T E T E T T E E E T T T E 19 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

23 Kontrapositio Määritelmä 14 Väitteen jos P, niin Q eli P = Q kontrapositiivinen väite on jos ei-q, niin ei-p eli Q = P. Esimerkki 15 Väitteen (perusjoukkona R) jos x > 0, niin x 3 0 kontrapositio on jos x 3 = 0, niin x / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

24 Kontrapositio Lause 16 Väite ja sen kontrapositio ovat loogisesti yhtäpitäviä. Todistus. Merkitään väitettä P Q. Väite on epätosi ainoastaan yhdessä tapauksessa eli silloin, kun P on tosi ja Q on epätosi. Tarkastellaan sitten kontrapositiota ( Q) ( P). Kontrapositio on vastaavasti epätosi silloin, kun Q on tosi ja P on epätosi. Toisin sanoen kontrapositio on epätosi täsmälleen silloin, kun Q on epätosi ja P on tosi. Koska väite ja kontrapositio ovat tosia / epätosia samoissa tilanteissa, lause on todistettu. 21 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

25 Käänteinen väite Määritelmä 17 Väitteen P = Q käänteinen väite on Q = P. Huomio. Käänteinen väite on eri asia kuin väitteen kontrapositio. Väite ja sen kontrapositio ovat yhtäpitäviä, mutta väitteen totuusarvosta ei voi päätellä käänteisen väitteen totuusarvosta yhtään mitään. Esimerkki 18 Reaalilukuja koskevan väitteen jos x > 0, niin x 3 0 (tosi) käänteinen väite on jos x 3 0, niin x > 0 (epätosi). 22 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

26 Todistamisesta Matematiikan väitelauseet voidaan aina esittää muodossa A B, toisin sanoen muodossa x X : x A = x B. Tällaisen väitteen suora todistus on yksisuuntainen päättelyketju, joka lähtee oletuksesta x A ja etenee johtopäätökseen x B. Väitteen epäsuora todistus käyttää hyväksi yhtäpitävää kontrapositiota B c A c eli x X : x / B = x / A. Toisin sanoen tehdään vastaoletus x / B ja edetään jälleen yksisuuntaisella päättelyketjulla ristiriitaan x / A. Väite A B on epätosi täsmälleen silloin, kun x A x B on epätosi jollekin x X. Siten väitteen A B todistaminen vääräksi edellyttää, että löydämme vastaesimerkin: alkion x A, jolle x / B. Tarkemmin: harjoitus / 23 R. Kangaslampi MS-A0402