MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O Kombiatoriia ym. Summa-, tulo ja loeroperiaate G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I / 6 Jouot Jouo-opissa perusäsite o eli x A u alio x uuluu jouoo A ja x / A u alio x ei uulu jouoo A. Meritätapoja: {, 4, 5, 8} o jouo joa aliot ovat, 4, 5 ja 8 ja {4, 5,... 04} o jouo, joa aliot ovat aii ooaisluvut j joille pätee 4 j 04. { x A : P(x } tai { x : x A, P(x } o jouo joho uluvat e jouo A aliot joille väite P(x o tosi ja yleisemmi { lausee : ehto } o jouo joho uuluu lauseee atamat aliot u ehto o voimassa, esim. { x : < x < 0, x o ooaisluu } = {9, 6, 5,..., 8}. Tyhjä jouo: = {} o tyhjä jouo joho ei uulu yhtää aliota, eli x o aia epätosi. A = B jos o totta, että x A jos ja vai jos x B, eli esimerisi {,,, } = {,, }. Ei-egatiiviset ooaisluvut jouoia: Jos o luu 0 ii { } o luu, {, { }} o luu, {, { }, {, { }}} o luu je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I / 6 Jouo-opi perusmeritöjä Yhdiste tai uioi: x A B jos ja vai jos x A tai x B. Leiaus: x A B jos ja vai jos x A ja x B. Jouoerotus: x A \ B jos ja vai jos x A mutta x / B. Osajouo: A B jos joaie A: alio o myös B: alio. Potessijouo: P(A o jouo aiie osajouoje muodostama jouo. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Komplemetti: A c = Ω \ A jos A Ω ja o selvää miä Ω o. Yhdiste tai uioi: x j J A j jos ja vai jos x A j jollai j J. Leiaus: x j J A j jos ja vai jos x A j aiilla j J. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I4 / 6 A B A A B B A B A
Huom! Usei irjoitetaa A B: sijasta A B ja silloi irjoitetaa A B u A o B: aito osajouo, eli A B mutta A B. Stadardimeritöjä N 0 = {0,,,,...} o luoolliste luuje (missä 0 o muaa jouo. Meriällä N taroitetaa josus N 0 ja josus {,,,...} = N 0 \ {0}. Z = {...,,, 0,,,,...} o ooaisluuje jouo. Q = { p q : p, q Z, q 0 } o ratioaaliluuje jouo. R o reaaliluuje jouo. Misi jouo-oppi ei ole ii ysiertaista ui miltä äyttää? Edellä o esitetty s. aiivi jouo-oppi missä esimerisi pidetää selvää, että luoolliset luvut muodostavat jouo ja ii aua u tarasteltavissa jouoissa o vai äärellise mota aliota tai äsitellää luoolliste luuje jouoa, ogelmia ei juuri esiiy. Mutta lassie esimeri, joa osoittaa että myös s. asiomaattie jouo-oppi o tarpee, o s. Russelli paradosi: Määritellää A = { x : x / x }. Jos A A ii x / x ei päde u x o A ja A: määritelmä muaa A / A ja olemme saaeet aiaa ristiriida. Jos se sijaa A / A ii ehto x / x o voimassa u x o A jote A A ja taas tulosea o ristiriita. Vastaavalaisia ogelmia sytyy jos saomme tämä lause o epätosi tai jos puhumme parturista, joa leiaa hiuset aiilta iiltä, jota eivät itse leiaa hiusiaa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I5 / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I6 / 6 Propositiologiia eli lausealyyli Jos a ovat b lauseita tai väitteitä, jota voivat olla tosia tai epätosia mutta ei mitää siltä väliltä ii Lause a AND b o tosi u a o tosi ja b o tosi Lause a OR b o tosi u a o tosi tai b o tosi (ja myös u molemmat ovat tosia. Lause NOT a o tosi u a ei ole tosi eli a o epätosi. Lause a b o tosi u (NOT a OR b o tosi, eli u b o tosi tai a o epätosi. Lause a b u (a b AND (b a o tosi. Matemaattisessa logiiassa äytetää yleisesti AND: sijasta, OR: sijasta ja NOT: sijasta. Impliaatio Logiia lause a b ei täysi vastaa joapäiväise ieleäytö jos a ii b osa se o tosi u a o epätosi eiä sillä välttämättä ole mitää teemistä syy-seuraus suhtee assa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I7 / 6 Jouot ja impliaatiot: Esimerejä Oloo A = {,,, 4 }, B = { 0,, 4 } ja C = { x : x o ooaisluu }. Mitä seuraavista väitteistä ovat tosia? (a x A C x B aiilla x? (b A B C A? (c O olemassa y C site, ettei päde y B y A? Vastaus: (a Kosa A C = {,, 4 } ii pätee A C mutta osa / B ii tämä väite ei päde (ja väite saoo, että A C B. (b Kosa A mutta / B ii ei päde A B ja äi olle impliaatio A B C A o tosi. (c Väite y B y A ei päde jos ja vai jos y B ja y / A eli y B \ A = {0} ja 0 / C jote väite o epätosi. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I8 / 6
Päättelysääöt ja todistuset logiiassa Todistus o lista lauseista joissa joaie lause o joo asiomi (eli oletetaa oleva tosi tai johdettu aiaisemmistä lauseista päättelysäätöje avulla. Esimerisi s. modus poes eli x x y y o täreä päättelysäätö ja perustuu siihe, että (x AND (x y y o tautologia, eli aia tosi riippumatta x: ja y: totuusarvoista. Tämä (ute muuti päättelysääöt äytetää site, että jos todistuslistassa o jo lauseet a ja a b ii listaa lisätää lause b. Päättelysääöt ja todistuset logiiassa Oloot p ja q asi lausetta. Nyt todistamme, että q o tosi jos p AND (NOT p o tosi, eli jos oletetaa ristiriitaie väite voidaa todistaa mitä vaa. Päättelysäätöiä äytämme tässä (a x OR y NOT x y (b x AND y x (c x x OR y (d x AND y y AND x G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. ja esimerejä syysuuta 05 ym., osa I9 / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa0 I / 6 Päättelysääöt ja todistuset logiiassa, jat. Todistus äyttää yt seuraavalaiselta: ( p AND (NOT p: Oletus ( p: ( ja (b missä x = p ja y = NOT p ( p OR q: ( ja (c missä x = p ja y = q (4 (NOT p AND p: ( ja (d missä x = p ja y = NOT p (5 NOT p: (4 ja (b missä x = NOT p ja y = p (6 q: (, (5 ja (a missä x = p ja y = q. Näi lause q o tullut todistetusi. Prediaattilogiia Lause x P(x o tosi u P(x o tosi aiilla x. Lause x P(x o tosi u o olemassa x site, että P(x o tosi. Prediaattilogiia o lausealyyli laajeus, jossa operaatiode eli oetiivie (NOT, AND, OR, ja lisäsi äytetää uiversaali- ja esistessi vattorit ( aiilla ja ( o olemassa, ja lauseide lisäsi äytetää muuttujia x, y,... ja prediaatteja P, Q,.... Prediaateilla o äärellie määrä argumetteja, esim. P(x, Q(x, y, je., ja prediaatti joide argumettie luumäärä o 0 o lause. Prediaattie lisäsi voidaa äyttää futioita joide arvot uuluvat samaa äsiteltävää aihepiirii ( domai of discourse ui muuttujat. Futio, jolla ei ole muuttujaa o vaio. Fuiot ja vaiot voidaa esittää prediaattie avulla, mutta se o usei ömpelö vaihtoehto. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6
Prioriteettijärjestys Jos ei äytetä suluja, joilla tietei o orei prioriteetti, ii loogiset oetiivit evaluoidaa tavallisesti seuraavassa järjestysessä: Esi NOT, sitte ja, sitte AND ja OR ja lopusi ja. x A ja x A Lauseet x A (P(x ja x A (P(x ovat lyheteitä lauseista x (x A P(x, x (x A AND P(x, ja taroittavat (tietei että aiilla A: aliolla x pätee P(x ja o olemassa A: alio x, jolla P(x pätee. Negaatio NOT, oetiivit AND ja OR seä vattorit ja Kaiilla lauseilla a ja b pätee NOT (a AND b (NOT a OR (NOT b, NOT (a OR b (NOT a AND (NOT b, eli esimerisi NOT (a AND b o tosi täsmällee silloi u NOT a OR NOT b o tosi ja lause NOT (a AND b NOT a OR NOT b o tautologia osa se o tosi riippumatta a: ja b: totuusarvoista. Samoi aiilla prediaateilla P pätee NOT ( x(p(x x(not P(x, NOT ( x(p(x x(not P(x. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa4 I / 6 Suora, ääteie suora ja epäsuora päättely Suorassa päättelyssä johdetaa väite suoraa oletusista. Jos pitää osoittaa, että oletusesta a seuraa väite b, ii ääteisessä suorassa, eli otrapositiivisessa, päättelyssä osoitetaa, että jos väite b ei ole tosi ii silloi oletus a ei myösää ole tosi. Tämä perustuu siihe että lause a b o evivaletti lausee (NOT b (NOT a assa. Epäsuorassa päättelyssä oletetaa, että väite b ei päde ja johdetaa siitä ristiriita. Tässä siis osoitetaa (aetuilla oletusilla että lause (NOT b (c AND (NOT c o tosi. Mutta tämä lause o (NOT (NOT b OR (c AND (NOT c ja osa (c AND (NOT c o epätosi ii (NOT (NOT b eli b o tosi. Kääteie suora päättely o erioistapaus epäsuorasta päättelystä osa ristiriidasi tulee a AND (NOT a jos oletetaa, että a b ei ole tosi eli a AND (NOT b o tosi ja osoitetaa, että (NOT b (NOT a o tosi. Esimeri suorasta ja epäsuorasta todistusesta (a Väite: Jos 0 < a < ii a < a. Suora todistus: a > 0 osa a <. a ( a > 0 osa a > 0 ja ( a > 0. a < a osa a ( a = a a > 0 jolloi a = a a + a > a. (b Väite: Jos 0 < a < ii a > a. Epäsuora todistus: Vastaoletus: a a. a = a a osa a ja a > 0 ja futio x x o asvava välillä [0,. a ( a = a a 0 osa a a. a 0 osa a > 0 u a < ja u jaamme positiivisellä luvulla epäyhtälö pysyy muuttumattomaa. a 0 o ristiriidassa oletuse a > 0 assa jote vastaoletus ei pidä paiasa. Huomaa, ettei tällaisissa todistusissa ole olemassa ysi aioa oiea luumäärä välivaiheita tai välivaiheide perusteluita! Tavoite o, että todistusesta tulee vauuttava ja ymmärrettävä ja se taas riippuu luijastai. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa5 I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa6 I / 6
Esimeri: Potessijouo Oloo P(X jouo X osajouoje jouo, eli A P(X jos ja vai jos A X. Jos yt X ja Y ovat asi jouoa ii oo toie jouoista P(X \ P(Y ja P(X \ Y toise osajouo? Kosa tyhjä jouo o joaise jouo osajouo ii P(X \ Y. Samoi P(Y jote / P(X \ P(Y. Tästä seuraa, ettei osaa päde P(X \ Y P(X \ P(Y (eli aia pätee P(X \ Y P(X \ P(Y. Jos X = Y ii P(X = P(Y jote P(X \ P(Y = P(X \ Y = { } osa tyhjä jouo o joaise jouo osajouo. Mutta jos esimerisi X = {0, } ja Y = {0} ii P(X \ P(Y = {{0, }, {}} mutta X / P(X \ Y = {{}, } jote tässä tapausessa P(X \ P(Y P(X \ Y Lopputulos o siis ettei osaa päde P(X \ Y P(X \ P(Y mutta riippuu jouoista X ja Y päteeö P(X \ P(Y P(X \ Y vai ei. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa7 I / 6 Esimeri: Järjestety pari oordiaatit Pari [x, y] (tai (x, y erityisesti jos yseessä o xy-taso piste esimmäie oordiaatti o (tietei x ja toie o y. Jos pari määritelmäsi otetaa [a, b] = {{a}, {a, b}} ii voimme määritellä prediaatit E(p, x ja T (p, y, jota saovat, että x o p: esimmäie oordiaatti ja y o p: toie oordiaatti seuraavalla tavalla: (tai lyhyemmi z p (x z ja E(p, x = z((z p (x z T (p, y = z((z p AND (y z AND u v ((u p AND (v p AND NOT (u == v NOT (y u OR NOT (y v, missä u == v o prediaatti, joa saoo, että u o sama jouo ui v. Lyhyemmi tämä voimme esittää muodossa T (p, y = z p (y z AND u p v p (NOT (u == v (y / u OR (y / v. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa8 I / 6 Idutioperiaate Jos P( o väite (joa aiilla 0 o joo tosi tai epätosi ja (a P( 0 o tosi (b P( + o tosi jos P( o tosi (eli P( P( + o tosi u 0 ii P( o tosi aiilla 0. Josus o tarpee ottaa idutio-oletusesi väite, että P(j o tosi u 0 j se sijaa että pelästää oletetaa, että P( o tosi. Misi idutioperiaate toimii? Oloo E = { Z : 0, P( ei ole tosi }. Oletamme, että E ei ole tyhjä, eli että P( ei ole tosi aiilla 0. Silloi jouossa E o piei alio. Oloo tämä luu. (a-ohda ojalla 0 jote > 0 jolloi = 0. Kosa oli piei alio jouossa E väite P( o tosi jolloi (b-ohdasta seuraa, että P( + = P( o tosi. Mutta osa E ii tämä o ristiriita jote oletus, että E ei ole tyhjä ei pidä paiasa vaa P( o tosi aiilla 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa9 I / 6 Idutio: Esimeri Osoitamme idutio avulla, että i = + + +... + = i= ( +,. Väite P( o siis i= i = (+ ja 0 =. Näi olle väite P( 0 o sama ui = (+ miä pitää paiasa. Oletamme seuraavasi, että P( o tosi ja. Kosa P( pätee, ii i= i = (+ mistä seuraa, että + i = i= ( + i + ( + = + ( + i= ( = ( + + ( + ( + = = ( + (( + +, joa taas meritsee sitä, että P( + o tosi. Idutioperiaattee ojalla toteamme, että P( pätee aiilla. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa0 I / 6
Karteesie tulo Kahde jouo X ja Y arteesie tulo X Y o jouo joho uuluvat aii järjestetyt parit [a, b] (tai (a, b missä a X ja b Y, eli X Y = { [a, b] : a X ja b Y }. Järjesty pari [a, b] määritelmäsi otetaa tässä jouo {{a}, {a, b}}. (Muitai mahdollisuusia o olemassa ja harvoi tätä määritelmää todella joudutaa äyttämää. Relaatiot Relaatio jouosta X jouoo Y (tai relaatio jouossa X jos Y = X o arteesise tulo X Y osajouo. Vero? Vero, eli graafi muodostuu jouosta solmuja ja jouosta iide väilisiä aaria (tai liejä, esim äi: 4 Suuatussa verossa joaisella aarella o lähtösolmu ja ohdesolmu u suutaamattomassa verossa ei tehdä eroa lähtö- ja ohdesolmu välillä. Suuattu vero o järjestetty pari [V, E] (V = vertex, E = edge missä V o jouo (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä ja E V V, eli E o relaatio jouossa V. Suutaamato vero o järjestetty pari [V, E] missä V o jouo (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä ja E { {a, b} : a V, b V }. Suutaamato vero voidaa myös ajatella oleva suuattu vero missä relaatio E o symmetrie, eli [a, b] E [b, a] E. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 Relaatioide esitystapoja Jos X = {,, } ii W = {[, ], [, ], [, ], [, ]} o relaatio X :ssä ja tätä relaatiota voi esittää veroa 0 0 tauluoa tai matriisia 0 0 0 Jos X = R ja W o relaatio aidosti pieempi ui ii W = { [x, y] : x, y R, x < y } ja xy-taso osajouoa se äyttää seuraavalaiselta: G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 Erilaisia relaatioita jouossa X Relaatio W jouossa X o reflesiivie jos [x, x] W aiilla x X. symmetrie jos [x, y] W [y, x] W aiilla x ja y X. trasitiivie jos [x, y] W AND [y, z] W [x, z] W aiilla x, y ja z X. atisymmetrie jos [x, y] W AND x y [y, x] / W eli [x, y] W AND [y, x] W x = y aiilla x ja y X. asymmetrie jos [x, y] W [y, x] / W aiilla x ja y X. totaalie tai täydellie jos [x, y] W OR [y, x] W aiilla x ja y X. evivalessirelaatio jos W o reflesiivie, symmetrie ja trasitiivie. osittaisjäjestys jos W reflesiivie, atisymmetrie ja trasitiivie. Usei irjoitetaa [x, y] W : sijasta xwy esim. x y eiä [x, y]. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa4 I / 6
Esimeri: Osittaisjärjestys Oloo X joi (ei-tyhjä jouo ja P(X se aiie osajouoje muodostama jouo (eli s. potessijouo. Jouossa P(X meillä o relaatio : A B jos ja vai jos A o B: osajouo. Tämä relaatio o osittaisjärjestys osa se o reflesiivie: A A, atisymmetrie: Jos A B ja A B ii o olemassa x B site että x / A jolloi B A, trasitiivie: Jos A B ja B C ii joaie A: alio o B: alio ja osa joaie B: alio o C: alio ii joaie A: alio o C: alio, eli A C. Lisäsi tällä relaatiolla o muitai omiaisuusia ute, että jos A, B P(X ii jouoille A ja B löytyy piei yläraja, eli jouo C site, että A C, B C (eli C o yläraja ja jos A D ja B D ii C D (eli C o piei yläraja. Selvästii C = A B. Vastaavasti löytyy myös suuri ala-raja, joa (tietei o A B. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa5 I / 6 Evivalessiluoat Jos X o ei-tyhjä jouo ja o evivalessirelaatio jouossa X, eli o reflesiivie, symmetrie ja trasitiivie, ii se jaaa jouo X osajouoihi Y j, j J joita utsutaa evivalessiluoisi site, että j J Y j = X, Y j Y = jos j, a b a ja b uuluvat samaa jouoo Y j. Usei ajatellaa, että asi aliota jota ovat evivalettia, eli iide muodostama pari uuluu relaatioo, ovati samat jolloi jouo X sijasta tarastellaa jouoa { Y j : j J }, joa aliot ovat evivalessiluoat. Esimeri: Evivalessiluoat Jouossa X = { [m, ] : m, Z, 0 } voimme määritellä evivalessirelaatio site, että [m, ] [m, ] jos ja vai jos = m. Nämä evivalessiluoat ovat ratioaaliluvut osa m = m täsmällee silloi u m = m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa6 I / 6 Futiot Jos X ja Y ovat jouoja ii futio f : X Y o relaatio jouosta X jouoo Y eli X Y : osajouo site, että joaisella x X o olemassa y Y site, että [x, y] f. jos [x, y ] f ja [x, y ] f ii y = y. Tavallisesti futio esitetää site, että [x, y] f jos ja vai jos y = f (x (vaia xf tms. voisi olla parempi meritätapa jos luetaa vasemmalta oiealle. Toisi saoe, futio f jouosta X jouoo Y o säätö, joa joaisella x X ataa vastausesi ysiäsitteise alio y = f (x jouosta Y. Jos f : X Y o futio ii X o se määrittely- eli lähtöjouo ja Y o se maalijouo. Y X = { f : f o futio jouosta X jouoo Y }. Jos f : X Y o futio ja A X ii f A : A Y o futio f rajoitettua jouoo A eli relaatioa f A = { [x, y] : [x, y] f, x A }. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa7 I / 6 Aoyymit futiot Voidaa puhua esim. luvusta ilma seaatumise vaaraa, mutta jos puhutaa lauseeesta x + ei ole välttämättä selvää taroitetaao futiota, joa ataa tulosesi argumettisa joho o lisätty vai tämä futio arvo u argumetti o x. Jos taroitetaa futiota eiä se arvoa ii voidaa irjoittaa x x + tai @(xx+ tai fuctio(x{retur x+;} tai jotai muuta vastaavaa. Ijetiot, surjetiot ja bijetiot Futio f : X Y o ijetio jos f (x = f (x x = x aiilla x, x X. surjetio jos aiilla y Y o olemassa x X site, että f (x = y. bijetio jos se o seä ijetio että surjetio. Evivaletti määritelmä o, että f : X Y o ijetio jos x x f (x f (x aiilla x, x X ja f o surjetio jos arvojouo f (X = { f (x : x X } o sama ui maalijouo Y eli f (X = Y. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa8 I / 6
Ijetiot ja surjetiot 4 X f a b c d e Y 4 5 X g a b c d Y Listat, luujoot ja arteesiset tulot futioia Lista [a, b, c, d] o futio f, joa määrittelyjouo o {,,, 4} (tai {0,,, } site, että f ( = a, f ( = b, f ( = c ja f (4 = d. Luujoo (a =0 = (a 0, a, a,... o futio a, joa määrittelyjouo o N 0 site, että a( = a aiilla N 0. Jos X j o jouo joaisella j J missä J o (toie jouo ii arteesie tulo j J X j o jouo, joho uuluu täsmällee aii futiot f : J j J X j site, että f (j X j aiilla j J. Futio f : X Y o ijetio ( joaisee Y : alioo tulee oreitaa ysi suuattu aari mutta se ei ole surjetio osa X :stä ei löydy yhtää aliota x, site, että f (x = d. Futio g : X Y o surjetio ( joaisee Y : alioo tulee vähitää ysi suuattu aari mutta se ei ole ijetio osa g( = g(5 ja 5. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa9 I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa0 I / 6 Esimeri: Futio, aluuva, ym. Oloo f futio: {,,, 4, 5} {,,, 4, 5} site, että f ( =, f ( = 4, f ( =, f (4 = 4 ja f (5 = 4. Matlab/Octavessa voimme esittää tämä futio vetoria f=[,4,,4,4]. Jos A = {,, 5} ii f (A = f (A = { f (x : x A } = {, 4} ja voimme lasea tämä omeolla f([,,5] joa ataa tulosesi [,4,4] joa o tulittava jouoa {, 4}. Jos B = {,, } ii B: aluuva f (B = { x : f (x B } = {, } ja voimme lasea tämä omeolla fid(f== f== f== tai omeolla fid(sum(f==[,,],. Huomaa, että riippumatta siitä mite valitsemme jouo B ii aia pätee esimerisi f (B {} (eli tässä tapausessa f ei ole surjetio: P({,,, 4, 5} P({,,, 4, 5} osa jos / B ii / f (B ja jos B ii {, } f (B. Esimeri: Aluuva ja ijetiivisyys Jos f : X Y o surjetio ii f : P(Y P(X o ijetio missä f (B = { x X : f (x B }. Misi? Jos B B ii o olemassa y B site, että y / B tai o olemassa y B site, että y / B. Oletamme yt, että y B mutta y / B. Kosa f o surjetio ii o olemassa x X site, että f (x = y. Tästä seuraa, että x f (B mutta x / f (B jote olemme osoittaeet, että jos B B ii f (B f (B eli f o ijetio. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6
Yhdistetyt futiot ja ääteisfutiot Jos f : X Y ja g : Y Z ovat asi futiota ii h = g f : X Z o futio h(x = g(f (x. Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z W ovat futioita ii (h g f = h (g f jote tämä futio voidaa myös irjoittaa muodossa h g f. Jos f : X Y sellaie futio, että o olemassa futio g : Y X site että (g f (x = x ja (f g(y = y aiilla x X ja y Y ii f o äätyvä, g o f : ääteisfutio ja tavallisesti irjoitetaa g = f. Futio f : X Y o äätyvä jos ja vai jos se o bijetio. Jos f : X Y o äätyvä ii (f = f eli ääteisfutio o myös äätyvä ja se ääteisfutio o f. Huomaa,ettei f ole sama futio ui h(x = f (x joa edyllyttää että Y : (tai aiai arvojouo elemeteillä o ääteeisalioita miä o esim. tilae jouossa R \ {0} mutta ei jouossa Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa I / 6 Reursiivie futio: Esimeriä Fibiboacci luvut Määrittelemme futio F seuraavasti: {, jos = tai =, F ( = F ( + F (, jos >. Voidaa osoittaa, että F ( = 5 (( + ( 5 5, eli F=@((((+sqrt(5/^-((-sqrt(5/^/sqrt(5. Toie vaihtoehto o lasea futio arvot suoraa määritelmästä esim. seuraavalla reursiivisella futiolla fuctio f=f( if == ==, f=; else f=f(-+f(-; ed edfuctio G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa4 I / 6 Reursiivie futio: Esimeriä Fiboacci luvut. jat. Jos haluamme lasea esim luvut F (, F (, F (,..., F (5 voimme esi lasea F=[,]; ja sitte lasea for j=:5, F(j= F(j-+F(j-; ed Mutta silloi esim. F(0 ei ole laiaa määritelty. Vaihtoehtoisesti voimme muodostaa vetorit X = [X (, X (] missä X ( = F ( ja X ( = F ( jolloi X = [, ] ja X = [F (, F (] = [F (, F ( + F ( ] = [X (, X ( + X (]. Näi olle voimme myös irjoittaa X = G(X missä G(Y = [Y (, Y ( + Y (]. Nyt voimme lasea vetorit X seuraavalla tavalla: X(,:=[0,]; X(,:=[,]; G=@(Y[Y(,Y(+Y(]; for =:5, X(,:=G(X(-,:; ed jolloi X(5,: o [F (4, F (5]. Jos haluamme vai lasea luvut F (4 ja F (5 voimme meetellä seuraavasti jolloi tulosea X o [F (4, F (5]: X=[,]; G=@(Y[Y(,Y(+Y(]; for =:5, X=G(X;ed G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa5 I / 6 Moe muuttuja futiot? Edellä o äsitelty aioastaa yhde muuttuja futioita. Samalla tavalla voidaa määritellä moe muuttuja futioita, mutta se ei ole aiv välttämätötä osa äide futioide ohdalla o olemassa erilaisia lähestymistapoja ja seuraavassa esitetää mite tietty ahde muttuja futio voidaa määritellä ja se arvoja lasea eri tavoilla: Kahde muuttuja futioa: f (x, y = si(x + y ja Matlab/Octavessa esim. f=@(x,ysi(x+*y jolloi futio arvo pisteessä (, o f(,. Yhde vetorimuuttuja futioa: f ([x, y] = si(x + y tai esim. f=@(xsi(x(+*x( jolloi futio arvo pisteessä (, o f([,]. Yhde (eli esimmäise muuttuja futioarvoisea futioa: x (y si(x + y tai esim. f=@(x@(ysi(x+*y jolloi futio arvo pisteessä (, o f(( (Ei toimi Matlabissa!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa6 I / 6
Ordo eli Iso-O: f O(g Jos g o futio, joa o määritelty aiilla riittävä isoilla ooaisluvuilla ii f O(g ertoo että myös f o määritelty aiilla riittävä isoilla ooaisluvuilla ja o olemassa vaioita C f ja N f site, että f ( C f g(, N f. Tämä meriä äyttö taroittaa myös sitä, ettei ole erityise oleellista mitä vaiot C f ja N f oieasti ovat tai mite pieisi iitä voi valita. Usei irjoitetaa f O(g: sijasta f ( = O(g( ja silloi meriällä O(g taroitetaa joi futio f, jolla o se omiaisuus, että f ( C g( u N. Jos O( + O( O( sijasta irjoitetaa O( + O( = O( ii pitää muistaa, ettei tästä seuraa O( = 0! Tässä äsitellää ysiertaisuude vuosi vai (tietyillä ooaisluvuilla märiteltyjä futioita ja aioastaa mitä tapahtuu u mutta se ei ole miteää oleellista. Esimerisi pätee myös x4 x x +x O(x u x 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa7 I / 6 Esimeri: Iso-O Jos f O( ja g O( ii f g O( 5 osa f ( C f u N f ja g( C g u N g jote f (g( C f C g + u max(n f, N g. Vastaava tulos ei päde jaolasu ohdalla osa O(g ataa vai yläraja, ei alarajaa. Jos f ( = ja g( = ii f O(, g O( ja 5 o (tietei? piei luu p site, että f g O( p. Mutta jos o piei luu p f site, että f O( p f ja o piei luu p g site, että g O( pg ii siitä ei välttämättä seuraa, että 5 olisi piei luu p site, että f g O( p osa voimme esimerisi valita f ( = {, o parito 0, o parillie, ja g( = { 0, o parito, o parillie jolloi f (g( = 0 aiilla ja f g O( p aiilla p Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa8 I / 6 Motao vertailua tarvitaa, jotta löytäisimme luvu, joa suuruusjärjestysumero o p jos jouossa o luua? Jos p = (piei luu tai p = (suuri luu ii vertailua riittää mutta miä o tilae yleisessä tapausessa? Seuraavasi osoitamme, että jos p ii tarvittavie vertailuje luumäärä uuluu jouoo O(, eli o olemassa vaio C site, että vertailuje luumäärä o oreitaa C emmeä välitä oviaa paljo siitä miä tämä vaio o: Oletamme että tarvitaa oreitaa C vertailua u jouossa o < luua. Jaamme luvut osajouoihi joissa o 5 luua: Ei vertailuja. Määritämme äide osajouoje mediaait: O( vertailua. Määritämme mediaaie mediaai: C( 5 + vertailua. Jaamme luvut ahtee jouoo, riippue siitä ovato e suurempia tai pieempiä ui mediaaie mediaai: O( vertailua. Kumpii äistä jouoista sisältää oreitaa ( 5 7 + O( = + O( luua! 0 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa9 I / 6 Motao vertailua tarvitaa, jotta löytäisimme luvu, joa suuruusjärjestysumero o p jos jouossa o luua?, jat. Jouoje alioide luumäärie perusteella tiedämme missä jouossa haemamme luu o ellei se ole mediaaie mediaai ja miä se järjestysumero siiä o jote haemme se osajouosta: C 7 0 + CO( vertailua. Olemme äyttäeet O( + 5 C + C + O( + 7 0 C + CO( = 9 C + CO( + O( 0 = 9 0 C + (C + c 0, vertailua missä c 0 o vaio. Jos 0c 0 voimme järjestää luvut äyttäe (0c 0 vertailua (tosiasiassa log ( vertailua riittää ja site löytää haemamme luu jote jos valitsemme C 0c 0 jolloi c 0 0 C ii u > 0c 0 eli c 0 < toteamme että 9 0 C + (C + c 0 9 0 C + 0 C + C = C 0 ja idutiopäättely toimii. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa40 I / 6 0
Jouo mahtavuus eli alioide luumäärä Kahdella jouolla A ja B o sama luumäärä alioita A ja B eli e ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijetio A B. Jouolla A o vähemmä tai yhtä mota aliota ui jouolla B, eli A B, jos o olemassa ijetio A B. Erityisesti, A B jos A B. Jouolla A o vähemmä alioita ui jouolla B, eli A < B, jos o olemassa ijetio A B mutta ei bijetiota A B. Jos A = {0,,,..., } ii A =. Jouo A o äärellie jos o olemassa N 0 site, että A =. Jouo A o umeroituva jos A = N ja yliumeroituva jos A > N. Huom! Jotta ämä määritelmät olisivat järeviä pitää osoittaa, että o olemassa bijetio {0,,,..., } {0,,,..., m } jos ja vai jos m = ja jos o olemassa ijetioita A B ja B A ii löytyy myös bijetio A B. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa4 I / 6 Z ja Q N 0 = Z osa f : N 0 Z missä f (0 = 0, f ( = ja f ( = u o bijetio. N 0 = Q osa voimme ostruoida bijetio seuraavalla tavalla: 0... Jos hyppäämme iide luuje yli, jota jo ovat listalla, ii saamme seuraava bijetio: f (0 = 0, f ( =, f ( =, f ( =, f (4 =, f (5 =, f (6 =, f (7 = 4, f (8 =, f (9 = (eiä =, f (0 =, f ( = (eiä =, f ( = 4, je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa4 I / 6 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5............ Summaperiaate, ysiertaisi muoto Jos A ja B ovat asi (äärellistä jouoa site, että A B = ii A B = A + B. Tästä seuraa, että jos B A ii A \ B = A B. Tuloperiaate, ysiertaisi muoto Jos A ja B ovat asi (äärellistä jouoa ii A B = A B. Loero- eli yyhyslaaperiaate Jos m esiettä laitetaa loeroo ii aiai yhdessä loerossa m o vähitää esiettä! Misi? Jos yhdessä loerossa olevie esieide luumäärie masimi o ii m jote m ja osa määritelmä muaa m o piei ooaisluu joa o m ii m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa4 I / 6 Esimeri: Loeroperiaate Oloo S jouo {,,...,, } osajouo site, että S = +. Silloi jouoo S uuluu asi eri luua a ja b site, että joo a jaaa b: tai b jaaa a: (eli a b tai b a. Misi? Voimme esittää S: luvut muodossa j q j missä j 0, q j <, q j o parito, j =,,..., + ja lisäsi [ i, q i ] [ j, q j ] u i j. Parittomat luvut q j, j =,..., + uuluvat jouoo {,,...,, }. Jouossa {,,...,, } o paritota luua,, 5,...,. Loeroperiaattee ojalla o olemassa luvut i j site, että q i = q j jolloi i j osa [ i, q i ] [ j, q j ]. Voimme valita a = i q i ja b = j q j jolloi väite pätee osa joo i < j jolloi a b tai j < i jolloi b a. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa44 I / 6
Seulaperiaate eli yleistetty summaperiaate Jos A j, j =,,... ovat äärellisiä jouoja ii A A = A + A A A, A A A = A + A + A A A A A j= A j = A A + A A A, ( r+ r. A ji r= j <j <...<j r i= Pari epäyhtälöä Oloot A, B ja C olme jouoa. Kosa A B C A B ii A B C A B. Samoi pätee A B C B C ja A B C A C. Kosa (A B (A C = A (B C A ii A (A B (A C = A B + A C A B A C, josta seuraa, että A B C A B + A C A. Vaihtamalla A, B ja C eseää saadaa myös epäyhtälöt A B C A B + B C B ja A B C A C + B C C. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa45 I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa46 I / 6 Tuloperiaate Jos valita- tai päätösprosessissa o vaihetta ja vaiheessa j o j vaihtoehtoa, riippumatta siitä mitä valitoja tai päätösiä o aiaisemmissa vaiheissa tehty, ja jos aii valiat johtavat erilaisii lopputulosii, ii aiie vaihtoehtoje luumääräsi tulee... Toisi saoe, jos 4 = 4 C = { (x, x,..., x : x A, x A,x,..., x A,x,...,x }, missä A =, joaisella x A pätee A,x = ja yleisesti jos x A, x A,x, x A,x,x je., ii pätee A j,x,x,...,x j = j, j, ii silloi C =.... G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa47 I / 6 Kertoma Jos o positiivie ooaisluu ii Lisäsi 0! =.! =... (. Biomierroi Jos ja ovat ooaisluuja site, että 0 ii (! =! (! jolloi ( ( =. Multiomierroi Jos j 0 u j =,,..., m ja = + +... m ii (! =,,..., m!!... m!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa48 I / 6
Järjestetty otos A o jouo jossa o aliota (eli A =. Jos valitaa aliota jouosta A ja muodostetaa iistä joo [x, x,..., x ] ja tehdää tämä palauttamatta, eli samaa aliota ei valita mota ertaa jolloi x i x j u i j ii saadaa s. -permutaatio. Näide jooje eli -permutaatioide luumäärä o tuloperiaattee ojalla! (... ( + = (! Jos valitaa aliota jouosta A ja muodostetaa iistä joo [x, x,..., x ] ja tehdää tämä palauttae, eli voidaa valita sama alio mota ertaa jolloi aioa vaatimus o, että x j A u j ii tuloperiaattee ojalla äide jooje luumäärä o A =. Huomaa, että molemmissa tapausissa o oleellista että yseessä o järjestetty otos eli sillä, missä järjestysessä aliot valitaa A:sta, o meritystä. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa49 I / 6 Otos palauttamatta u järjestystä ei oteta huomioo Jos jouosta A, jossa o aliota, valitaa valitaa osajouo joho uuluu aliota, eli valitaa aliota palauttamatta, (joaista aliota voidaa valita oreitaa erra, eiä valitajärjestysellä ole meritystä ii vaihtoehtoje luumäärä o ( = (. Misi? Jos yseie luumäärä o b(, ii palauttamatta otettuje järjestettyje otoste luumäärä o b(,! osa aliota voidaa järjestää joosi! eri tavalla. Näi olle b(,! =! (! jote b(, = (. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa50 I / 6 Otos palauttae u järjestystä ei oteta huomioo Jos jouosta A, jossa o aliota, valitaa aliota palauttae, eli voidaa valita sama alio mota ertaa, eiä valitajärjestysellä ole meritystä ii vaihtoehtoje luumäärä o ( ( + + =. Misi? Oloo A = {x, x,..., x }. Ku valitsemme aliota, palauttae, jouosta A eiä järjestysellä ole meritystä ii voimme esittää tulose esim. äi: Tämä o tulittava site, että olemme asi ertaa valiet x :, erra x :, ei ertaaaa x :ta, olme ertaa x 4 :, asi erta x 5 : ja olme ertaa x 6 : jote tässä = 6 ja = + + 0 + + + =. Joaie valita vastaa listaa missä o aliota ja erotusmeriä, eli pituus o +, ja valitsemme joosta e paiaa, joihi sijoitamme erotusmerit jolloi aliot sijoitetaa jäljelle jäävii paioihi (tai päivastoi. Tämä o otos palauttamatta missä valitajärjestysellä ei ole meritystä G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa5 I / 6 Otos palauttamatta, palauttae, valitajärjestysellä meritystä, ei meritystä: Yhteeveto Valitaa aliota jouosta, jossa o aliota: Valitajärjestysellä o meritystä Valitajärjestysellä ei ole meritystä palauttamatta palauttae! ((! ( + G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa5 I / 6
Allooitimallit eli vaihtoehtoie ajattelutapa O sijoitettava palloa :ää umeroituu laatioo. Numeroidut pallot Valitajärjestysellä o meritystä. Idettiset pallot Valitajärjestysellä ei ole meritystä. Joaisee laatioo oreitaa ysi pallo Valita palauttamatta. Joaisee laatioo mielivaltaie määrä palloja Valita palauttae. Palloje luumäärä laatioissa ei rajoitusia! Numeroidut pallot ((! ( + Idettiset pallot Esimeri: Otoset Tetissä valvojat jaavat 50 tehtäväpaperia 60:lle tettijälle. Moellao tavalla tämä o mahdollista? Tässä oletetaa, että tehtäväpaperit ovat idettiset mutta tettijät eivät ole. Esimmäie, järevä, vaihtoehto o että joaiselle tettijälle aetaa oreitaa ysi paperi. Silloi o ysymys siitä moellao tavalla voimme 60 heilö jouosta valita e 50, jota saavat paperi. Tässä o yse valiasta palauttamatta ( u ( järjestysellä ei ole meritystä, jote 60 60 vaihtoehtoja o =. 50 0 Toie, vähemmä järevä, vaihtoehto o, ettei aseteta mitää rajoitusia sille motao paperia sama heilö voi saada. Silloi valvojat valitsevat 50 ertaa tettijä, jolle paperi aetaa, jouosta, jossa o 60 aliota, palauttae eiä valitajärjestysellä ( ole meritystä. Vaihtoehtoje 50 + 60 09! luumääräsi tulee silloi = 60 59! 50!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa5 I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa54 I / 6 Multiomiertoimet (! =,,..., m!!... m! = + +... + m. ( o vaihtoehtoje luumäärä u jouo A jaetaa,,..., m osajouoisi A j, j =,..., m site, että m j= A j = A, A i A j = u i j, ja A j = j. ( o vaihtoehtoje luumäärärä u järjestetää,,..., m oliota tyyppiä y, tyyppiä y je. missä = + +... + m ja samaa tyyppiä olevat oliot ovat idettiset. Jos A o jouo, jossa o aliota ja B = {y,..., y m } o jouo, jossa o m aliota ja,,...(, m ovat ei-egatiivisia luuja site, että + +... m = ii o iide futioide,,..., m f : A B luumäärä joille pätee { x A : f (x = y j } = j. Biomi- ja multiomiaavat (x + y = (x +... + x m = j=0 ( x j y j, j ( +...+ m= j 0,,..., m x... x m m. Misi? ( Biomiaava o erioistapaus multiomiaavasta osa ( j = j, j ja multiomiaava pätee osa (x +... + x m voidaa irjoittaa summaa jossa o m termiä jota ovat tyyppiä y y... y missä joaie y i {x, x,..., x m }. Joaie muotoa x... x m m termi sytyy siitä, että jouo {,..., } jaetaa osajouoihi A j, j =,..., m site että i A j jos ja vai jos y i = x j jolloi siis A j = j. Tällaisia ositusia o täsmällee (,,..., m appaletta. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa55 I / 6 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa56 I / 6
Futioide luumäärät Oletetaa, että A = m ja B =. Futiode A B luumäärä o B A = m. Misi? Futio f : A B o järjestetty m-ooie otos palauttae jouosta jossa o aliota. Ijetioide A B luumäärä o! (... ( m + = ( m!, m. Misi? Ijetio A B o järjestetty m-ooie otos palauttamatta jouosta jossa o aliota. ( Surjetioide A B luumäärä o ( m. =0 Osajouoje luumäärä: P(A = A Jos jouossa A o m aliota ii jouossa P(A o m aliota, eli A: osajouoje luumäärä o A osa joaista osajouoa B vastaa futio f B : A {0, } site, että f B (x = jos x B ja muute 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa57 I / 6 Surjetioide A B luumäärä u A = m ja B = Oloo B = {b, b,..., b }, F = B A aiie futioide A B jouo ja F j = (B \ {b j } A F aiie futioide A : B \ {b j } jouo eli iide F : alioide f jouo joille pätee, että f (x b j aiilla x A. Surjetioide jouo o site F \ j= F j. Nyt F j F j... F jr o jouo (B \ {b j, b j,... b jr } A joho uuluvat aii futiot A B jota eivät saa arvoja b j,..., b jr. Jos j <... < j r ii F j F j... F jr = ( r m. Kosa o ( r eri tapaa valita idesit j <... < j r ii seulaperiaatteesta seuraa, että surjetioide A B luumäärä o ( ( m ( ( r+ r m = r r= ( ( r r=0 r = = ( r m =0 Huomaa, että u m < ei ole surjetioita A B jote silloi ( m = 0, miä ehä ei ole aiva ilmeistä. ( =0 ( ( m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa58 I / 6 Misi ( =0 ( m = 0 u m <? Biomiaava ojalla pätee ( e t ( = e t (, jote jos f (t = ( e t ii f (m (t = =0 =0 ( e t ( m ja f (m (0 = =0 ( ( m. Seuraavasi osoitamme, että f ( (t = (e t p (e t u 0 missä p o polyomi. Tämä pätee selvästii u = 0 jolloi p 0 (x = ja jos f ( (t = (e t p (e t ja < ii f (+ (t = ( (e t e t p (e t + (e t p (et e t = (e t p + (e t, missä p + (x = ( xp (x + (x xp (x o myös polyomi. Nyt voimme todeta, että jos m < ii f (m (0 = (e 0 m p m (0 = 0 ja väite seuraa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa59 I / 6 Esimeri Motao erilaista sellaista viide peliorti riviä (ormaalista 5 orti paasta o olemassa, jossa esiityy täsmällee asi uigatarta? Valitsemme esi( e asi paiaa, joihi uigattaret tulevat. 5 Vaihtoehtoja o = 0. Sitte valitsemme uigattaret äihi paioihi ja yt vaihtoehtoje luumäärä o 4 = osa o otettava huomioo missä järjestysessä e tulevat. Lopusi valitsemme muut olme orttia 48: orti jouosta jolloi vaihtoehtoje luumääräsi tulee 48 47 46 = 0776 Tuloperiaattee ojalla erilaiste rivie luumääräsi tulee 0 0 776 = 45 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa60 I / 6
Motao vertailua tarvitaa järjestämisalgoritmissa? Jos meillä o erisuurta lua ja haluamme järjestää e suuruusjärjestysee ii o olemassa algoritmi, joa pahimmassai tapausessa teee oreitaa log ( vertailua (esimerisi ii, että esi jaetaa luvut ahtee jouoo, ämä laitetaa järjestysee tällä algoritmilla ja sitte jouot yhdistetää ii että järjestys säilyy. Mutta oo olemassa algoritmi, joa äyttää oleellisesti vähemmä, (esim. O( log(log( vertailuja, pahimmassai tapausessa? Kosa voimme järjestää luua! eri tavalla järjestämisalgoritmi pitää pystyä tuottamaa! eri vastausta. Kosa joaise vertailu tulosea o oreitaa asi vaihtoehtoa ii tuloperiaattee taia algoritmi, joa teee oreitaa m vertailua tuottaa oreitaa m eri vastausta eli jos se toimii, ii pitää olla m! eli m log (!. Kosa log (! = log (... = log (j log (j j= j= ( log = log ( log ( log (, u jote oleellisesti parempi tulos ui log ( ei ole mahdollie. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa6 I / 6 Moellao tavalla voidaa jaaa jouo, joho uuluu aliota, :ho ei-tyhjää osajouoo? Toisella tavalla: Moellao tavalla voimme laittaa umeroitua palloa :ho idettisee laatioo, site, että joaisee laatioo tulee aiai ysi pallo? Oloo tämä luumäärä S(,, s. Stirligi (. laji luu. Mitä voimme saoa äistä luvuista? Selvästii (? S(, = S(, = ja S(, = 0 jos >. S(, = S(, + S(, u. Misi? Oloo x yseise jouo tietty alio. Silloi meillä o asi toisiaa poissulevaa tapausta: {x} o ysi osajouoista (joho siis ei uulu muita alioita:muut aliota o jaettava :ee ei-tyhjää osajouoo ja vaihtoehtoje luumäärä o S(,. {x} ei ole ysi osajouoista: Jaetaa esi muut aliota :ho osajouoo (S(, vaihtoehtoa joa jälee x sijoitetaa johoi äistä osajouoista ( vaihtoehtoa jolloi aiie vaihtoehtoje luumäärä o S(,. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa6 I / 6 Moellao tavalla voidaa jaaa jouo, joho uuluu aliota, :ho ei-tyhjää osajouoo? Jat. S(, = ( ( j j.! j j=0 Misi? Voimme umeroida osajouoa! eri tavalla ja jao ei-tyhjii umeroituihi osajouoihi määrittelee surjetio (osa osajouot ovat ei-tyhjiä aluperäisestä jouosta umeroituje osajouoje muodostamaa jouoo eli Sur(, =!S(, missä Sur(, o surjetioide luumäärä jouosta, jossa o aliota jouoo, jossa o aliota. Sur-futiolle johdetu aava avulla saamme väitee. S(, = (! ( j j=0 ( j j = Misi? Ku osajouoja o appaletta ii yhtee jouoo tulee asi aliota ja vaihtoehdot eroavat toisistaa aioastaa siiä, mitä asi aliota laitetaa samaa osajouoo ja jouosta, jossa ( o aliota voidaa valita osajouo, joho uuluu asi aliota :lla eri tavalla. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto0. jasyysuuta esimerejä 05 ym., osa6 I / 6 (.