MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

Transkriptio

1 MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 06 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Iduktioperiaate Relaatiot ja fuktiot Fuktiot Iso-O Kombiatoriikka ym. Summa-, tulo ja lokeroperiaate G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I / 60 Joukot Joukko-opissa peruskäsite o eli x A ku alkio x kuuluu joukkoo A ja x / A ku alkio x ei kuulu joukkoo A. Merkitätapoja: {, 4,, 8} o joukko joka alkiot ovat, 4, ja 8 ja {4,,... 04} o joukko, joka alkiot ovat kaikki kokoaisluvut j joille pätee 4 j 04. { x A : P(x } tai { x : x A, P(x } o joukko joho kuluvat e jouko A alkiot joille väite P(x o tosi ja yleisemmi { lauseke : ehto } o joukko joho kuuluu lausekkee atamat alkiot ku ehto o voimassa, esim. { x : < x < 0, x o kokoaisluku } = {9, 6,,..., 8}. Tyhjä joukko: = {} o tyhjä joukko joho ei kuulu yhtää alkiota, eli x o aia epätosi. A = B jos o totta, että x A jos ja vai jos x B, eli esimerkiksi {,,, } = {,, }. Ei-egatiiviset kokoaisluvut joukkoia: Jos o luku 0 ii { } o luku, {, { }} o luku, {, { }, {, { }}} o luku je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I / 60 Joukko-opi perusmerkitöjä Yhdiste tai uioi: x A B jos ja vai jos x A tai x B. Yhdiste tai uioi: x j J A j jos ja vai jos x A j jollaki j J. Leikkaus: x A B jos ja vai jos x A ja x B. Leikkaus: x j J A j jos ja vai jos x A j kaikilla j J. Joukkoerotus: x A \ B jos ja vai jos x A mutta x / B. Potessijoukko: P(A o jouko kaikkie osajoukkoje muodostama joukko. Komplemetti: A c = Ω \ A jos A Ω ja o selvää mikä Ω o. Osajoukko: A B jos jokaie A: alkio o myös B: alkio. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I4 / 60 A B A A B A B B A

2 Huom! Usei kirjoitetaa A B: sijasta A B ja silloi kirjoitetaa A B ku A o B: aito osajoukko, eli A B mutta A B. Stadardimerkitöjä N 0 = {0,,,,...} o luoolliste lukuje (missä 0 o mukaa joukko. Merkiällä N tarkoitetaa joskus N 0 ja joskus {,,,...} = N 0 \ {0}. Z = {...,,, 0,,,,...} o kokoaislukuje joukko. Q = { p q : p, q Z, q 0 } o ratioaalilukuje joukko. R o reaalilukuje joukko. Miksi joukko-oppi ei ole ii yksikertaista kui miltä äyttää? Edellä o esitetty s. aiivi joukko-oppi missä esimerkiksi pidetää selvää, että luoolliset luvut muodostavat jouko ja ii kaua ku tarkasteltavissa joukoissa o vai äärellise mota alkiota tai käsitellää luoolliste lukuje joukkoa, ogelmia ei juuri esiiy. Mutta klassie esimerkki, joka osoittaa että myös s. aksiomaattie joukko-oppi o tarpee, o s. Russelli paradoksi: Määritellää A = { x : x / x }. Jos A A ii x / x ei päde ku x o A ja A: määritelmä mukaa A / A ja olemme saaeet aikaa ristiriida. Jos se sijaa A / A ii ehto x / x o voimassa ku x o A jote A A ja taas tuloksea o ristiriita. Vastaavalaisia ogelmia sytyy jos saomme tämä lause o epätosi tai jos puhumme parturista, joka leikkaa hiukset kaikilta iiltä, jotka eivät itse leikkaa hiuksiaa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I6 / 60 Propositiologiikka eli lausekalkyyli Jos a ovat b lauseita tai väitteitä, jotka voivat olla tosia tai epätosia mutta ei mitää siltä väliltä ii Lause a AND b o tosi ku a o tosi ja b o tosi Lause a OR b o tosi ku a o tosi tai b o tosi (ja myös ku molemmat ovat tosia. Lause NOT a o tosi ku a ei ole tosi eli a o epätosi. Lause a b o tosi ku (NOT a OR b o tosi, eli ku b o tosi tai a o epätosi. Lause a b ku (a b AND (b a o tosi. Matemaattisessa logiikassa käytetää yleisesti AND: sijasta, OR: sijasta ja NOT: sijasta. Implikaatio Logiika lause a b ei täysi vastaa jokapäiväise kielekäytö jos a ii b koska se o tosi ku a o epätosi eikä sillä välttämättä ole mitää tekemistä syy-seuraus suhtee kassa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I7 / 60 Joukot ja implikaatiot: Esimerkkejä Olkoo A = {,,, 4 }, B = { 0,, 4 } ja C = { x : x o kokoaisluku }. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? (a x A C x B kaikilla x? (b A B C A? (c O olemassa y C site, ettei päde y B y A? Vastaus: (a Koska A C = {,, 4 } ii pätee A C mutta koska / B ii tämä väite ei päde (ja väite saoo, että A C B. (b Koska A mutta / B ii ei päde A B ja äi olle implikaatio A B C A o tosi. (c Väite y B y A ei päde jos ja vai jos y B ja y / A eli y B \ A = {0} ja 0 / C jote väite o epätosi. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I8 / 60

3 Päättelysääöt ja todistukset logiikassa Todistus o lista lauseista joissa jokaie lause o joko aksiomi (eli oletetaa oleva tosi tai johdettu aikaisemmistä lauseista päättelysäätöje avulla. Esimerkiksi s. modus poes eli x x y y o tärkeä päättelysäätö ja perustuu siihe, että (x AND (x y y o tautologia, eli aia tosi riippumatta x: ja y: totuusarvoista. Tämä (kute muutki päättelysääöt käytetää site, että jos todistuslistassa o jo lauseet a ja a b ii listaa lisätää lause b. Päättelysääöt ja todistukset logiikassa Olkoot p ja q kaksi lausetta. Nyt todistamme, että q o tosi jos p AND (NOT p o tosi, eli jos oletuksea o ristiriitaie väite ii voimme todistaa mitä vaa. Päättelysäätöiä käytämme tässä (a x OR y NOT x y (b x AND y x (c x x OR y (d x AND y y AND x G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. ja esimerkkejä syyskuuta 06 ym., osa I9 / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa0 I / 60 Päättelysääöt ja todistukset logiikassa, jatk. Todistus äyttää yt seuraavalaiselta: ( p AND (NOT p: Oletus ( p: ( ja (b missä x = p ja y = NOT p ( p OR q: ( ja (c missä x = p ja y = q (4 (NOT p AND p: ( ja (d missä x = p ja y = NOT p ( NOT p: (4 ja (b missä x = NOT p ja y = p (6 q: (, ( ja (a missä x = p ja y = q. Näi lause q o tullut todistetuksi. Predikaattikalkyyli Lause x P(x o tosi ku P(x o tosi kaikilla x. Lause x P(x o tosi ku o olemassa x site, että P(x o tosi. Predikaattikalkyyli o lausekalkyyli laajeus, jossa operaatiode eli koektiivie (NOT, AND, OR, ja lisäksi käytetää uiversaali- ja eksistessi kvattorit ( kaikilla ja ( o olemassa, ja lauseide lisäksi käytetää muuttujia x, y,... ja predikaatteja P, Q,.... Predikaateilla o äärellie määrä argumetteja, esim. P(x, Q(x, y, je., ja predikaatti joide argumettie lukumäärä o 0 o lause. Predikaattie lisäksi voidaa käyttää fuktioita joide arvot kuuluvat samaa käsiteltävää aihepiirii ( domai of discourse kui muuttujat. Fuktio, jolla ei ole muuttujaa o vakio. Fukiot ja vakiot voidaa esittää predikaattie avulla, mutta se o usei kömpelö vaihtoehto. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60

4 Prioriteettijärjestys Jos ei käytetä sulkuja, joilla tieteki o korkei prioriteetti, ii loogiset koektiivit evaluoidaa tavallisesti seuraavassa järjestyksessä: Esi NOT, sitte ja, sitte AND ja OR ja lopuksi ja. x A ja x A Lauseet x A (P(x ja x A (P(x ovat lyheteitä lauseista x (x A P(x, x (x A AND P(x, ja tarkoittavat (tieteki että kaikilla A: alkiolla x pätee P(x ja o olemassa A: alkio x, jolla P(x pätee. Negaatio NOT, koektiivit AND ja OR sekä kvattorit ja Kaikilla lauseilla a ja b pätee NOT (a AND b (NOT a OR (NOT b, NOT (a OR b (NOT a AND (NOT b, eli esimerkiksi NOT (a AND b o tosi täsmällee silloi ku NOT a OR NOT b o tosi ja lause NOT (a AND b NOT a OR NOT b o tautologia koska se o tosi riippumatta a: ja b: totuusarvoista. Samoi kaikilla predikaateilla P pätee NOT ( x(p(x x(not P(x, NOT ( x(p(x x(not P(x. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 Suora, kääteie suora ja epäsuora päättely Suorassa päättelyssä johdetaa väite suoraa oletuksista. Jos pitää osoittaa, että oletuksesta a seuraa väite b, ii kääteisessä suorassa, eli kotrapositiivisessa, päättelyssä osoitetaa, että jos väite b ei ole tosi ii silloi oletus a ei myöskää ole tosi. Tämä perustuu siihe että lause a b o ekvivaletti lausee (NOT b (NOT a kassa. Epäsuorassa päättelyssä oletetaa, että väite b ei päde ja johdetaa siitä ristiriita. Tässä siis osoitetaa (aetuilla oletuksilla että lause (NOT b (c AND (NOT c o tosi. Mutta tämä lause o (NOT (NOT b OR (c AND (NOT c ja koska (c AND (NOT c o epätosi ii (NOT (NOT b eli b o tosi. Kääteie suora päättely o erikoistapaus epäsuorasta päättelystä koska ristiriidaksi tulee a AND (NOT a jos oletetaa, että a b ei ole tosi eli a AND (NOT b o tosi ja osoitetaa, että (NOT b (NOT a o tosi. Esimerkki suorasta ja epäsuorasta todistuksesta (a Väite: Jos 0 < a < ii a < a. Suora todistus: a > 0 koska a <. a ( a > 0 koska a > 0 ja ( a > 0. a < a koska a ( a = a a > 0 jolloi a = a a + a > a. (b Väite: Jos 0 < a < ii a > a. Epäsuora todistus: Vastaoletus: a a. a = a a koska a ja a > 0 ja fuktio x x o kasvava välillä [0,. a ( a = a a 0 koska a a. a 0 koska a > 0 ku a < ja ku jaamme positiivisellä luvulla epäyhtälö pysyy muuttumattomaa. a 0 o ristiriidassa oletukse a > 0 kassa jote vastaoletus ei pidä paikkasa. Huomaa, ettei tällaisissa todistuksissa ole olemassa yksi aioa oikea lukumäärä välivaiheita tai välivaiheide perusteluita! Tavoite o, että todistuksesta tulee vakuuttava ja ymmärrettävä ja se taas riippuu lukijastaki. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa6 I / 60

5 Esimerkki: Potessijoukko Olkoo P(X jouko X osajoukkoje joukko, eli A P(X jos ja vai jos A X. Jos yt X ja Y ovat kaksi joukkoa ii oko toie joukoista P(X \ P(Y ja P(X \ Y toise osajoukko? Koska tyhjä joukko o jokaise jouko osajoukko ii P(X \ Y. Samoi P(Y jote / P(X \ P(Y. Tästä seuraa, ettei koskaa päde P(X \ Y P(X \ P(Y (eli aia pätee P(X \ Y P(X \ P(Y. Jos X = Y ii P(X = P(Y ja koska tyhjä joukko o jokaise jouko osajoukko ja tyhjä jouko aioa osajoukko o tyhjä joukko ii P(X \ P(Y = { } = P( = P(X \ Y. Mutta jos X = {0, } ja Y = {0} ii P(X \ P(Y = {{0, }, {}} mutta {0, } / P(X \ Y = P({} = {{}, } jote tässä tapauksessa P(X \ P(Y P(X \ Y. Lopputulos o siis ettei koskaa päde P(X \ Y P(X \ P(Y mutta riippuu joukoista X ja Y päteekö P(X \ P(Y P(X \ Y vai ei. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa7 I / 60 Esimerkki: Järjestety pari koordiaatit Pari [x, y] (tai (x, y erityisesti jos kyseessä o xy-taso piste esimmäie koordiaatti o (tieteki x ja toie o y. Jos pari määritelmäksi otetaa [a, b] = {{a}, {a, b}} ii voimme määritellä predikaatit E(p, x ja T (p, y, jotka saovat, että x o p: esimmäie koordiaatti ja y o p: toie koordiaatti seuraavalla tavalla: (tai lyhyemmi z p (x z ja E(p, x = z((z p (x z T (p, y = z((z p AND (y z AND u v ((u p AND (v p AND NOT (u == v NOT (y u OR NOT (y v, missä u == v o predikaatti, joka saoo, että u o sama joukko kui v. Lyhyemmi tämä voimme esittää muodossa T (p, y = z p (y z AND u p v p (NOT (u == v (y / u OR (y / v. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa8 I / 60 Iduktioperiaate Jos P( o väite (joka kaikilla 0 o joko tosi tai epätosi ja (a P( 0 o tosi (b P(k + o tosi jos P(k o tosi (eli P(k P(k + o tosi ku k 0 ii P( o tosi kaikilla 0. Joskus o tarpee ottaa iduktio-oletukseksi väite, että P(j o tosi ku 0 j k se sijaa että pelkästää oletetaa, että P(k o tosi. Miksi iduktioperiaate toimii? Olkoo E = { Z : 0, P( ei ole tosi }. Oletamme, että E ei ole tyhjä, eli että P( ei ole tosi kaikilla 0. Silloi joukossa E o piei alkio. Olkoo tämä luku. (a-kohda ojalla 0 jote > 0 jolloi k = 0. Koska oli piei alkio joukossa E väite P(k o tosi jolloi (b-kohdasta seuraa, että P(k + = P( o tosi. Mutta koska E ii tämä o ristiriita jote oletus, että E ei ole tyhjä ei pidä paikkasa vaa P( o tosi kaikilla 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa9 I / 60 Iduktio: Esimerkki Osoitamme iduktio avulla, että i = = i= ( +,. Väite P( o siis i= i = (+ ja 0 =. Näi olle väite P( 0 o sama kui = (+ mikä pitää paikkasa. Oletamme seuraavaksi, että P(k o tosi ja k. Koska P(k pätee, ii k i= i = k(k+ mistä seuraa, että k+ i = i= k k(k + i + (k + = + (k + i= ( k = (k + + (k + (k + = = (k + ((k + +, joka taas merkitsee sitä, että P(k + o tosi. Iduktioperiaattee ojalla toteamme, että P( pätee kaikilla. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa0 I / 60

6 Karteesie tulo Kahde jouko X ja Y karteesie tulo X Y o joukko joho kuuluvat kaikki järjestetyt parit [a, b] (tai (a, b missä a X ja b Y, eli X Y = { [a, b] : a X ja b Y }. Järjesty pari [a, b] määritelmäksi otetaa tässä joukko {{a}, {a, b}}. (Muitaki mahdollisuuksia o olemassa ja harvoi tätä määritelmää todella joudutaa käyttämää. Relaatiot Relaatio joukosta X joukkoo Y (tai relaatio joukossa X jos Y = X o karteesise tulo X Y osajoukko. Verkko? Verkko, eli graafi muodostuu joukosta solmuja ja joukosta iide välisiä kaaria (tai likkejä, esim äi: 4 Suuatussa verkossa jokaisella kaarella o lähtösolmu ja kohdesolmu ku suutaamattomassa verkossa ei tehdä eroa lähtö- ja kohdesolmu välillä. Suuattu verkko o järjestetty pari [V, E] (V = vertex, E = edge missä V o joukko (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä ja E V V, eli E o relaatio joukossa V. Suutaamato verkko o järjestetty pari [V, E] missä V o joukko (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä ja E { {a, b} : a V, b V }. Suutaamato verkko voidaa myös ajatella oleva suuattu verkko missä relaatio E o symmetrie, eli [a, b] E [b, a] E. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 Relaatioide esitystapoja Jos X = {,, } ii W = {[, ], [, ], [, ], [, ]} o relaatio X :ssä ja tätä relaatiota voi esittää verkkoa 0 0 taulukkoa tai matriisia Jos X = R ja W o relaatio aidosti pieempi kui ii W = { [x, y] : x, y R, x < y } ja xy-taso osajoukkoa se äyttää seuraavalaiselta: G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 Erilaisia relaatioita joukossa X Relaatio W joukossa X o refleksiivie jos [x, x] W kaikilla x X. symmetrie jos [x, y] W [y, x] W kaikilla x ja y X. trasitiivie jos [x, y] W AND [y, z] W [x, z] W kaikilla x, y ja z X. atisymmetrie jos [x, y] W AND x y [y, x] / W eli [x, y] W AND [y, x] W x = y kaikilla x ja y X. asymmetrie jos [x, y] W [y, x] / W kaikilla x ja y X. totaalie tai täydellie jos [x, y] W OR [y, x] W kaikilla x ja y X. ekvivalessirelaatio jos W o refleksiivie, symmetrie ja trasitiivie. osittaisjäjestys jos W refleksiivie, atisymmetrie ja trasitiivie. Usei kirjoitetaa [x, y] W : sijasta xwy esim. x y eikä [x, y]. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60

7 Esimerkki: Osittaisjärjestys Olkoo X joki (ei-tyhjä joukko ja P(X se kaikkie osajoukkoje muodostama joukko (eli s. potessijoukko. Joukossa P(X meillä o relaatio : A B jos ja vai jos A o B: osajoukko. Tämä relaatio o osittaisjärjestys koska se o refleksiivie: A A, atisymmetrie: Jos A B ja A B ii o olemassa x B site että x / A jolloi B A, trasitiivie: Jos A B ja B C ii jokaie A: alkio o B: alkio ja koska jokaie B: alkio o C: alkio ii jokaie A: alkio o C: alkio, eli A C. Lisäksi tällä relaatiolla o muitaki omiaisuuksia kute, että jos A, B P(X ii joukoille A ja B löytyy piei yläraja, eli joukko C site, että A C, B C (eli C o yläraja ja jos A D ja B D ii C D (eli C o piei yläraja. Selvästiki C = A B. Vastaavasti löytyy myös suuri ala-raja, joka (tieteki o A B. Ekvivalessiluokat Jos X o ei-tyhjä joukko ja o ekvivalessirelaatio joukossa X, eli o refleksiivie, symmetrie ja trasitiivie, ii se jakaa jouko X osajoukkoihi Y j, j J joita kutsutaa ekvivalessiluokiksi site, että j J Y j = X, Y j Y k = jos j k, a b a ja b kuuluvat samaa joukkoo Y j. Usei ajatellaa, että kaksi alkiota jotka ovat ekvivalettia, eli iide muodostama pari kuuluu relaatioo, ovatki samat jolloi jouko X sijasta tarkastellaa joukkoa { Y j : j J }, joka alkiot ovat ekvivalessiluokat. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa6 I / 60 Fuktiot Jos X ja Y ovat joukkoja ii fuktio f : X Y o relaatio joukosta X joukkoo Y eli X Y : osajoukko site, että jokaisella x X o olemassa y Y site, että [x, y] f. jos [x, y ] f ja [x, y ] f ii y = y. Tavallisesti fuktio esitetää site, että [x, y] f jos ja vai jos y = f (x (vaikka xf tms. voisi olla parempi merkitätapa jos luetaa vasemmalta oikealle. Toisi saoe, fuktio f joukosta X joukkoo Y o säätö, joka jokaisella x X ataa vastaukseksi yksikäsitteise alkio y = f (x joukosta Y. Jos f : X Y o fuktio ii X o se määrittely- eli lähtöjoukko ja Y o se maalijoukko. Y X = { f : f o fuktio joukosta X joukkoo Y }. Jos f : X Y o fuktio ja A X ii f A : A Y o fuktio f rajoitettua joukkoo A eli relaatioa f A = { [x, y] : [x, y] f, x A }. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa7 I / 60 Aoyymit fuktiot Voidaa puhua esim. luvusta ilma sekaatumise vaaraa, mutta jos puhutaa lausekkeesta x + ei ole välttämättä selvää tarkoitetaako fuktiota, joka ataa tulokseksi argumettisa joho o lisätty vai tämä fuktio arvo ku argumetti o x. Jos tarkoitetaa fuktiota eikä se arvoa ii voidaa kirjoittaa x x + tai fuctio(x{retur x+;} tai jotai muuta vastaavaa. Ijektiot, surjektiot ja bijektiot Fuktio f : X Y o ijektio jos f (x = f (x x = x kaikilla x, x X, surjektio jos kaikilla y Y o olemassa x X site, että f (x = y, bijektio jos se o sekä ijektio että surjektio. Ekvivaletti määritelmä o, että f : X Y o ijektio jos x x f (x f (x kaikilla x, x X ja f o surjektio jos arvojoukko f (X = { f (x : x X } o sama kui maalijoukko Y eli f (X = Y. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa8 I / 60

8 Ijektiot ja surjektiot 4 X f a b c d e Y 4 X g a b c d Y Listat, lukujoot ja karteesiset tulot fuktioia Lista [a, b, c, d] o fuktio f, joka määrittelyjoukko o {,,, 4} (tai {0,,, } site, että f ( = a, f ( = b, f ( = c ja f (4 = d. Lukujoo (a =0 = (a 0, a, a,... o fuktio a, joka määrittelyjoukko o N 0 site, että a( = a kaikilla N 0. Jos X j o joukko jokaisella j J missä J o (toie joukko ii karteesie tulo j J X j o joukko, joho kuuluvat täsmällee kaikki fuktiot f : J j J X j site, että f (j X j kaikilla j J. Fuktio f : X Y o ijektio ( jokaisee Y : alkioo tulee korkeitaa yksi suuattu kaari mutta se ei ole surjektio koska X :stä ei löydy yhtää alkiota x, site, että f (x = d. Fuktio g : X Y o surjektio ( jokaisee Y : alkioo tulee vähitää yksi suuattu kaari mutta se ei ole ijektio koska g( = g( ja. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa9 I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa0 I / 60 Yhdistetyt fuktiot ja kääteisfuktiot Jos f : X Y ja g : Y Z ovat kaksi fuktiota ii h = g f : X Z o fuktio h(x = g(f (x. Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z W ovat fuktioita ii (h g f = h (g f jote tämä fuktio voidaa myös kirjoittaa muodossa h g f. Jos f : X Y sellaie fuktio, että o olemassa fuktio g : Y X site että (g f (x = x ja (f g(y = y kaikilla x X ja y Y ii f o käätyvä, g o f : kääteisfuktio ja tavallisesti kirjoitetaa g = f. Fuktio f : X Y o käätyvä jos ja vai jos se o bijektio. Jos f : X Y o käätyvä ii (f = f eli kääteisfuktio o myös käätyvä ja se kääteisfuktio o f. Huomaa,ettei f ole sama fuktio kui h(x = f (x joka edyllyttää että Y : (tai aiaki arvojouko elemeteillä o kääteisalkioita mikä o esim. tilae joukossa R \ {0} mutta ei joukossa Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 Rekursiivie fuktio: Esimerkkiä Fiboacci luvut Määrittelemme fuktio F seuraavasti: {, jos = tai =, F ( = F ( + F (, jos >. Voidaa osoittaa, että F ( = (( + (, eli F=@((((+sqrt(/^-((-sqrt(/^/sqrt(. Toie vaihtoehto o laskea fuktio arvot suoraa määritelmästä esim. seuraavalla rekursiivisella fuktiolla fuctio f=f( if == ==, f=; else f=f(-+f(-; ed edfuctio G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60

9 Rekursiivie fuktio: Esimerkkiä Fiboacci luvut. jatk. Jos haluamme laskea esim luvut F (, F (, F (,..., F ( voimme esi laskea F=[,]; ja sitte laskea for j=:, F(j= F(j-+F(j-; ed Mutta silloi esim. F(0 ei ole laikaa määritelty. Vaihtoehtoisesti voimme muodostaa vektorit X = [X (, X (] missä X ( = F ( ja X ( = F ( jolloi X = [, ] ja X = [F (, F (] = [F (, F ( + F ( ] = [X (, X ( + X (]. Näi olle voimme myös kirjoittaa X = G(X missä G(Y = [Y (, Y ( + Y (]. Nyt voimme laskea vektorit X seuraavalla tavalla: X(,:=[0,]; X(,:=[,]; G=@(Y[Y(,Y(+Y(]; for =:, X(,:=G(X(-,:; ed jolloi X(,: o [F (4, F (]. Jos haluamme vai laskea luvut F (4 ja F ( voimme meetellä seuraavasti jolloi tuloksea X o [F (4, F (]: X=[,]; G=@(Y[Y(,Y(+Y(]; for =:, X=G(X;ed G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 Usea muuttuja fuktiot? Edellä o käsitelty aioastaa yhde muuttuja fuktioita. Samalla tavalla voidaa määritellä usea muuttuja fuktioita, mutta se ei ole aiva välttämätötä koska äide fuktioide kohdalla o olemassa erilaisia lähestymistapoja ja seuraavassa esitetää mite tietty kahde muttuja fuktio voidaa määritellä ja se arvoja laskea eri tavoilla: Kahde muuttuja fuktioa: f (x, y = si(x + y ja Matlab/Octavessa esim. f=@(x,ysi(x+*y jolloi fuktio arvo pisteessä (, o f(,. Yhde vektorimuuttuja fuktioa: f ([x, y] = si(x + y tai esim. f=@(xsi(x(+*x( jolloi fuktio arvo pisteessä (, o f([,]. Yhde (eli esimmäise muuttuja fuktioarvoisea fuktioa: x (y si(x + y tai esim. f=@(x@(ysi(x+*y jolloi fuktio arvo pisteessä (, o f(( (Ei toimi Matlabissa!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 Ordo eli Iso-O: f O(g Jos g o fuktio, joka o määritelty kaikilla riittävä isoilla kokoaisluvuilla ii f O(g kertoo että myös f o määritelty kaikilla riittävä isoilla kokoaisluvuilla ja o olemassa vakioita C f ja N f site, että f ( C f g(, N f. Tämä merkiä käyttö tarkoittaa myös sitä, ettei ole erityise oleellista mitä vakiot C f ja N f oikeasti ovat tai mite pieiksi iitä voi valita. Usei kirjoitetaa f O(g: sijasta f ( = O(g( ja silloi merkiällä O(g tarkoitetaa joki fuktio f, jolla o se omiaisuus, että f ( C g( ku N. Usei kirjoitetaa O( + O( = O( eikä O( + O( O( mutta silloi pitää muistaa, ettei tästä seuraa O( = 0! Tässä käsitellää yksikertaisuude vuoksi vai (tietyillä kokoaisluvuilla märiteltyjä fuktioita ja aioastaa mitä tapahtuu ku mutta se ei ole mitekää oleellista. Esimerkiksi pätee myös x4 x x +x O(x ku x 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 Esimerkki: Iso-O Jos f O( ja g O( ii f g O( koska f ( C f ku N f ja g( C g ku N g jote f (g( C f C g + ku max(n f, N g. Vastaava tulos ei päde jakolasku kohdalla koska O(g ataa vai yläraja, ei alarajaa. Jos f ( = ja g( = ii f O(, g O( ja o (tieteki? piei luku p site, että f g O( p. Mutta jos o piei luku p f site, että f O( p f ja o piei luku p g site, että g O( pg ii siitä ei välttämättä seuraa, että olisi piei luku p site, että f g O( p koska voimme esimerkiksi valita f ( = {, o parito 0, o parillie, ja g( = { 0, o parito, o parillie jolloi f (g( = 0 kaikilla ja f g O( p kaikilla p Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa6 I / 60

10 Motako vertailua tarvitaa, jotta löytäisimme luvu, joka suuruusjärjestysumero o p jos joukossa o lukua? Jos p = (piei luku tai p = (suuri luku ii vertailua riittää mutta mikä o tilae yleisessä tapauksessa? Seuraavaksi osoitamme, että jos p ii tarvittavie vertailuje lukumäärä kuuluu joukkoo O(, eli o olemassa vakio C site, että vertailuje lukumäärä o korkeitaa C emmekä välitä kovikaa paljo siitä mikä tämä vakio o: Oletamme että tarvitaa korkeitaa Ck vertailua ku joukossa o k < lukua. Jaamme luvut osajoukkoihi joissa o lukua: Ei vertailuja. Määritämme äide osajoukkoje mediaait: O( vertailua. Määritämme mediaaie mediaai: C( + vertailua. Jaamme luvut kahtee joukkoo, riippue siitä ovatko e suurempia tai pieempiä kui mediaaie mediaai: O( vertailua. Kumpiki äistä joukoista sisältää korkeitaa ( 7 + O( = + O( lukua! 0 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa7 I / 60 Motako vertailua tarvitaa, jotta löytäisimme luvu, joka suuruusjärjestysumero o p jos joukossa o lukua?, jatk. Joukkoje alkioide lukumäärie perusteella tiedämme missä joukossa hakemamme luku o ellei se ole mediaaie mediaai ja mikä se järjestysumero siiä o jote haemme se osajoukosta: C CO( vertailua. Olemme käyttäeet O( + C + C + O( C + CO( = 9 C + CO( + O( 0 = 9 0 C + (C + c 0, vertailua missä c 0 o vakio. Jos 0c 0 voimme järjestää luvut käyttäe (0c 0 vertailua (tosiasiassa log ( vertailua riittää ja site löytää hakemamme luku jote jos valitsemme C 0c 0 jolloi c 0 0 C ii ku > 0c 0 eli c 0 < toteamme että 9 0 C + (C + c C + 0 C + C = C 0 ja iduktiopäättely toimii. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa8 I / 60 0 Jouko mahtavuus eli alkioide lukumäärä Kahdella joukolla A ja B o sama lukumäärä alkioita A ja B eli e ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijektio A B. Joukolla A o vähemmä tai yhtä mota alkiota kui joukolla B, eli A B, jos o olemassa ijektio A B. Erityisesti, A B jos A B. Joukolla A o vähemmä alkioita kui joukolla B, eli A < B, jos o olemassa ijektio A B mutta ei bijektiota A B. Jos A = {0,,,..., } ii A =. Joukko A o äärellie jos o olemassa N 0 site, että A =. Joukko A o umeroituva jos A = N ja yliumeroituva jos A > N. Huom! Jotta ämä määritelmät olisivat järkeviä pitää osoittaa, että o olemassa bijektio {0,,,..., } {0,,,..., m } jos ja vai jos m = ja jos o olemassa ijektioita A B ja B A ii löytyy myös bijektio A B. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa9 I / 60 Z ja Q N 0 = Z koska f : N 0 Z missä f (0 = 0, f (k = k ja f (k = k ku k o bijektio. N 0 = Q koska voimme kostruoida bijektio seuraavalla tavalla: 0... Jos hyppäämme iide lukuje yli, jotka jo ovat listalla, ii saamme seuraava bijektio: f (0 = 0, f ( =, f ( =, f ( =, f (4 =, f ( =, f (6 =, f (7 = 4, f (8 =, f (9 = (eikä =, f (0 =, f ( = (eikä =, f ( = 4, je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa40 I /

11 Summaperiaate, yksikertaisi muoto Jos A ja B ovat kaksi (äärellistä joukkoa site, että A B = ii A B = A + B. Tästä seuraa, että jos B A ii A \ B = A B. Tuloperiaate, yksikertaisi muoto Jos A ja B ovat kaksi (äärellistä joukkoa ii A B = A B. Lokero- eli kyyhkyslakkaperiaate Jos m esiettä laitetaa lokeroo ii aiaki yhdessä lokerossa m o vähitää esiettä! Miksi? Jos yhdessä lokerossa olevie esieide lukumäärie maksimi o k ii k m jote k m ja koska määritelmä mukaa m o piei kokoaisluku joka o m ii k m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 Esimerkki: Lokeroperiaate Olkoo S jouko {,,...,, } osajoukko site, että S = +. Silloi joukkoo S kuuluu kaksi eri lukua a ja b site, että joko a jakaa b: tai b jakaa a: (eli a b tai b a. Miksi? Voimme esittää S: luvut muodossa k j q j missä k j 0, q j <, q j o parito, j =,,..., + ja lisäksi [k i, q i ] [k j, q j ] ku i j. Parittomat luvut q j, j =,..., + kuuluvat joukkoo {,,...,, }. Joukossa {,,...,, } o paritota lukua,,,...,. Lokeroperiaattee ojalla o olemassa luvut i j site, että q i = q j jolloi k i k j koska [k i, q i ] [k j, q j ]. Voimme valita a = k i q i ja b = k j q j jolloi väite pätee koska joko k i < k j jolloi a b tai k j < k i jolloi b a. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 Seulaperiaate eli yleistetty summaperiaate Jos A j, j =,,... ovat äärellisiä joukkoja ii A A = A + A A A, A A A = A + A + A A A A A k j= A j = A A + A A A, k ( r+ r. A ji r= j <j <...<j r k i= Pari epäyhtälöä Olkoot A, B ja C kolme joukkoa. Koska A B C A B ii A B C A B. Samoi pätee A B C B C ja A B C A C. Koska (A B (A C = A (B C A ii A (A B (A C = A B + A C A B A C, josta seuraa, että A B C A B + A C A. Vaihtamalla A, B ja C keskeää saadaa myös epäyhtälöt A B C A B + B C B ja A B C A C + B C C. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa44 I / 60

12 Tuloperiaate Jos valita- tai päätösprosessissa o k vaihetta ja vaiheessa j o j vaihtoehtoa, riippumatta siitä mitä valitoja tai päätöksiä o aikaisemmissa vaiheissa tehty, ja jos kaikki valiat johtavat erilaisii lopputuloksii, ii kaikkie vaihtoehtoje lukumääräksi tulee... k Toisi saoe, jos 4 = 4 C = { (x, x,..., x k : x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k }, missä A =, jokaisella x A pätee A,x = ja yleisesti jos x A, x A,x, x A,x,x je., ii pätee A j,x,x,...,x j = j, j k, ii silloi C =... k. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 Kertoma Jos o positiivie kokoaisluku ii Lisäksi 0! =.! =... (. Biomikerroi Jos ja k ovat kokoaislukuja site, että 0 k ii (! = k k! ( k! jolloi ( ( k = k. Multiomikerroi Jos j 0 ku j =,,..., m ja = m ii (! =,,..., m!!... m!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa46 I / 60 Järjestetty otos A o joukko jossa o alkiota (eli A =. Jos valitaa k alkiota joukosta A ja muodostetaa iistä joo [x, x,..., x k ] ja tehdää tämä palauttamatta, eli samaa alkiota ei valita mota kertaa jolloi x i x j ku i j ii saadaa s. k-permutaatio. Näide jooje eli k-permutaatioide lukumäärä o tuloperiaattee ojalla! (... ( k + = ( k! Jos valitaa k alkiota joukosta A ja muodostetaa iistä joo [x, x,..., x k ] ja tehdää tämä palauttae, eli voidaa valita sama alkio mota kertaa jolloi aioa vaatimus o, että x j A ku j k ii tuloperiaattee ojalla äide jooje lukumäärä o A k = k. Huomaa, että molemmissa tapauksissa o oleellista että kyseessä o järjestetty otos eli sillä, missä järjestyksessä alkiot valitaa A:sta, o merkitystä. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa47 I / 60 Otos palauttamatta ku järjestystä ei oteta huomioo Jos joukosta A, jossa o alkiota, valitaa valitaa osajoukko joho kuuluu k alkiota, eli valitaa k alkiota palauttamatta, (jokaista alkiota voidaa valita korkeitaa kerra, eikä valitajärjestyksellä ole merkitystä ii vaihtoehtoje lukumäärä o ( k = (. k Miksi? Jos kyseie lukumäärä o b(, k ii palauttamatta otettuje järjestettyje otoste lukumäärä o b(, k k! koska k alkiota voidaa järjestää jooksi k! eri tavalla. Näi olle b(, k k! =! ( k! jote b(, k = ( k. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa48 I / 60

13 Otos palauttae ku järjestystä ei oteta huomioo Jos joukosta A, jossa o alkiota, valitaa k alkiota palauttae, eli voidaa valita sama alkio mota kertaa, eikä valitajärjestyksellä ole merkitystä ii vaihtoehtoje lukumäärä o ( ( k + k + =. k Miksi? Olkoo A = {x, x,..., x }. Ku valitsemme k alkiota, palauttae, joukosta A eikä järjestyksellä ole merkitystä ii voimme esittää tulokse esim. äi: Tämä o tulkittava site, että olemme kaksi kertaa valiet x :, kerra x :, ei kertaakaa x :ta, kolme kertaa x 4 :, kaksi kerta x : ja kolme kertaa x 6 : jote tässä = 6 ja k = =. Jokaie valita vastaa listaa missä o k alkiota ja erotusmerkkiä, eli pituus o k +, ja valitsemme joosta e paikkaa, joihi sijoitamme erotusmerkit jolloi alkiot sijoitetaa jäljelle jäävii paikkoihi (tai päivastoi. Tämä o otos palauttamatta missä valitajärjestyksellä G. Gripeberg (Aalto-yliopisto ei ole MS-A040 merkitystä. Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa49 I / 60 Otos palauttamatta, palauttae, valitajärjestyksellä merkitystä, ei merkitystä: Yhteeveto Valitaa k alkiota joukosta, jossa o alkiota: Valitajärjestyksellä o merkitystä Valitajärjestyksellä ei ole merkitystä palauttamatta palauttae! k (( k! ( k + k G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa0 I / 60 Allokoitimallit eli vaihtoehtoie ajattelutapa O sijoitettava k palloa :ää umeroituu laatikkoo. Numeroidut pallot Valitajärjestyksellä o merkitystä. Idettiset pallot Valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Jokaisee laatikkoo korkeitaa yksi pallo Valita palauttamatta. Jokaisee laatikkoo mielivaltaie määrä palloja Valita palauttae. Palloje lukumäärä laatikoissa ei rajoituksia! Numeroidut pallot k (( k! ( k + Idettiset pallot k Esimerkki: Otokset Tetissä valvojat jakavat 0 tehtäväpaperia 60:lle tettijälle. Moellako tavalla tämä o mahdollista? Tässä oletetaa, että tehtäväpaperit ovat idettiset mutta tettijät eivät ole. Esimmäie, järkevä, vaihtoehto o että jokaiselle tettijälle aetaa korkeitaa yksi paperi. Silloi o kysymys siitä moellako tavalla voimme 60 hekilö joukosta valita e 0, jotka saavat paperi. Tässä o kyse valiasta palauttamatta ( ku ( järjestyksellä ei ole merkitystä, jote vaihtoehtoja o =. 0 0 Toie, vähemmä järkevä, vaihtoehto o, ettei aseteta mitää rajoituksia sille motako paperia sama hekilö voi saada. Silloi valvojat valitsevat 0 kertaa tettijä, jolle paperi aetaa, joukosta, jossa o 60 alkiota, palauttae eikä valitajärjestyksellä ( ole merkitystä. Vaihtoehtoje ! lukumääräksi tulee silloi = 60 9! 0!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60

14 Multiomikertoimet (! =,,..., m!!... m! = m. ( o vaihtoehtoje lukumäärä ku joukko A jaetaa,,..., m osajoukoiksi A j, j =,..., m site, että m j= A j = A, A i A j = ku i j, ja A j = j. ( o vaihtoehtoje lukumäärärä ku järjestetää,,..., m oliota tyyppiä y, tyyppiä y je. missä = m ja samaa tyyppiä olevat oliot ovat idettiset. Jos A o joukko, jossa o alkiota ja B = {y,..., y m } o joukko, jossa o m alkiota ja,,...(, m ovat ei-egatiivisia lukuja site, että m = ii o iide fuktioide,,..., m f : A B lukumäärä joille pätee { x A : f (x = y j } = j. Biomi- ja multiomikaavat (x + y = (x x m = j=0 ( x j y j, j ( m= j 0,,..., m x... x m m. Miksi? ( Biomikaava o erikoistapaus multiomikaavasta koska ( j = j, j ja multiomikaava pätee koska (x x m voidaa kirjoittaa summaa jossa o m termiä jotka ovat tyyppiä y y... y missä jokaie y i {x, x,..., x m }. Jokaie muotoa x... x m m termi sytyy siitä, että joukko {,..., } jaetaa osajoukkoihi A j, j =,..., m site että i A j jos ja vai jos y i = x j jolloi siis A j = j. Tällaisia osituksia o täsmällee (,,..., m kappaletta. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa4 I / 60 Fuktioide lukumäärät Oletetaa, että A = m ja B =. Fuktiode A B lukumäärä o B A = m. Miksi? Fuktio f : A B o järjestetty m-kokoie otos palauttae joukosta jossa o alkiota. Ijektioide A B lukumäärä o! (... ( m + = ( m!, m. Miksi? Ijektio A B o järjestetty m-kokoie otos palauttamatta joukosta jossa o alkiota. ( Surjektioide A B lukumäärä o ( k k m. k k=0 Osajoukkoje lukumäärä: P(A = A Jos joukossa A o m alkiota ii joukossa P(A o m alkiota, eli A: osajoukkoje lukumäärä o A koska jokaista osajoukkoa B vastaa fuktio f B : A {0, } site, että f B (x = jos x B ja muute 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa I / 60 Surjektioide A B lukumäärä ku A = m ja B = Olkoo B = {b, b,..., b }, F = B A kaikkie fuktioide A B joukko ja F j = (B \ {b j } A F kaikkie fuktioide A : B \ {b j } joukko eli iide F : alkioide f joukko joille pätee, että f (x b j kaikilla x A. Surjektioide joukko o site F \ j= F j. Nyt F j F j... F jr o joukko (B \ {b j, b j,... b jr } A joho kuuluvat kaikki fuktiot A B jotka eivät saa arvoja b j,..., b jr. Jos j <... < j r ii F j F j... F jr = ( r m. Koska o ( r eri tapaa valita ideksit j <... < j r ii seulaperiaatteesta seuraa, että surjektioide A B lukumäärä o ( ( m ( ( r+ r m = r r= ( ( r r r=0 r = k = ( r m k=0 Huomaa, että ku m < ei ole surjektioita A B jote silloi ( k k m = 0, mikä ehkä ei ole aiva ilmeistä. ( k=0 k ( ( k k m. k G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa6 I / 60

15 Esimerkki Motako erilaista sellaista viide pelikorti riviä (ormaalista korti pakasta o olemassa, jossa esiityy täsmällee kaksi kuigatarta? Valitsemme esi( e kaksi paikkaa, joihi kuigattaret tulevat. Vaihtoehtoja o = 0. Sitte valitsemme kuigattaret äihi paikkoihi ja yt vaihtoehtoje lukumäärä o 4 = koska o otettava huomioo missä järjestyksessä e tulevat. Lopuksi valitsemme muut kolme korttia 48: korti joukosta jolloi vaihtoehtoje lukumääräksi tulee = 0776 Tuloperiaattee ojalla erilaiste rivie lukumääräksi tulee = 4 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa7 I / 60 Motako vertailua tarvitaa järjestämisalgoritmissa? Jos meillä o erisuurta luka ja haluamme järjestää e suuruusjärjestyksee ii o olemassa algoritmi, joka pahimmassaki tapauksessa tekee korkeitaa log ( vertailua (esimerkiksi ii, että esi jaetaa luvut kahtee joukkoo, ämä laitetaa järjestyksee tällä algoritmilla ja sitte joukot yhdistetää ii että järjestys säilyy. Mutta oko olemassa algoritmi, joka käyttää oleellisesti vähemmä, (esim. O( log(log( vertailuja, pahimmassaki tapauksessa? Koska voimme järjestää lukua! eri tavalla järjestämisalgoritmi pitää pystyä tuottamaa! eri vastausta. Koska jokaise vertailu tuloksea o korkeitaa kaksi vaihtoehtoa ii tuloperiaattee takia algoritmi, joka tekee korkeitaa m vertailua tuottaa korkeitaa m eri vastausta eli jos se toimii, ii pitää olla m! eli m log (!. Koska log (! = log (... = log (j log (j j= j= ( log = log ( log ( log (, ku jote oleellisesti parempi tulos kui log ( ei ole mahdollie. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa8 I / 60 Moellako tavalla voidaa jakaa joukko, joho kuuluu alkiota, k:ho ei-tyhjää osajoukkoo? Toisella tavalla: Moellako tavalla voimme laittaa umeroitua palloa k:ho idettisee laatikkoo, site, että jokaisee laatikkoo tulee aiaki yksi pallo? Olkoo tämä lukumäärä S(, k, s. Stirligi (. laji luku. Mitä voimme saoa äistä luvuista? Selvästiki (? S(, = S(, = ja S(, k = 0 jos k >. S(, k = S(, k + ks(, k ku k. Miksi? Olkoo x kyseise jouko tietty alkio. Silloi meillä o kaksi toisiaa poissulkevaa tapausta: {x} o yksi osajoukoista (joho siis ei kuulu muita alkioita:muut alkiota o jaettava k :ee ei-tyhjää osajoukkoo ja vaihtoehtoje lukumäärä o S(, k. {x} ei ole yksi osajoukoista: Jaetaa esi muut alkiota k:ho osajoukkoo (S(, k vaihtoehtoa joka jälkee x sijoitetaa johoki äistä osajoukoista (k vaihtoehtoa jolloi kaikkie vaihtoehtoje lukumäärä o ks(, k. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa9 I / 60 Moellako tavalla voidaa jakaa joukko, joho kuuluu alkiota, k:ho ei-tyhjää osajoukkoo? Jatk. S(, k = k ( k ( k j j. k! j j=0 Miksi? Voimme umeroida k osajoukkoa k! eri tavalla ja jako ei-tyhjii umeroituihi osajoukkoihi määrittelee surjektio (koska osajoukot ovat ei-tyhjiä alkuperäisestä joukosta umeroituje osajoukkoje muodostamaa joukkoo eli Sur(, k = k!s(, k missä Sur(, k o surjektioide lukumäärä joukosta, jossa o alkiota joukkoo, jossa o k alkiota. Sur-fuktiolle johdetu kaava avulla saamme väitee. S(, = (! ( j j=0 ( k j j = Miksi? Ku osajoukkoja o kappaletta ii yhtee joukkoo tulee kaksi alkiota ja vaihtoehdot eroavat toisistaa aioastaa siiä, mitkä kaksi alkiota laitetaa samaa osajoukkoo ja joukosta, jossa o ( alkiota voidaa valita osajoukko, joho kuuluu kaksi alkiota :lla eri tavalla. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto8. jasyyskuuta esimerkkejä 06 ym., osa60 I / 60 (.