SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 27.11.2008. Lehti, Niemimäki, Suuriniemi Ensimmäinen tehtävä tuli arvostelluksi melko tiukasti, mikä näkyi pistekeskiarvossa 3.16: Kyllä/Ei-vastauksiin vaadittiin pitävät perustelut, ja kaikki muu tulkittiin arvaukseksi. Kakkostehtävä meni varsin hyvin, pistekeskiarvo hipoi viittä (4.74), eli aaltojen vaimeneminen on ymmärretty tosi hyvin. Kolmosessa oli enemmän vaikeuksia. Termien nimet olivat melko hyvin hanskassa mutta niihin sisällytettävien asioiden tunnistamisessa oli jonkin verran vaikeuksia. Myös lopullinen säilymislain soveltaminen onnistui vaihtelevasti, ja keskipistemäärä oli 2.86. Nelosessa oli hallittu heijastumiseen ja läpäisyyn liittyvät asiat melko hyvin, keskiarvo 3.83. Vitosen kohdalla oli moni lannistunut ja jättänyt kokonaan yrittämättä. Tehtävästä oli kuitenkin mahdollista saada kaksi pistettä ilman mitään laskutoimituksia, ja kolmaskin piste oli saatavilla ilman roottorin laskentaa. Tehtävä oli kyllä kokonaisuudessaan haastava, mutta mielestäni olisi ollut edellytyksiä ylittää tuo pistekeskiarvo 1.31. Tentti ei näyttänyt olleen erityisen vaikea ja läpipääsyrajaksi tuli kohtuullinen 13/30 pistettä (tavoitehan olisi 15 pistettä, ja sillä pääsee aina läpi). Vähäisimpiä pistemääriä tuli lukumääräisesti ilahduttavan vähän, mutta toisaalta lukumäärät eivät enää laskeneet aivan ylimpiä pistemääriä kohti vaan pysyivät suunnilleen samoina: tentti ei siis juurikaan mitannut kaikkein vahvimmin pärjänneiden mahdollisia keskinäisiä eroja. 1. Pisteitä annettiin vain perustelluista vastauksista, jolloin annetun kommentin tai esimerkin tuli joko loogisesti puolustaa väitettä tai kumota se. Pääsääntöisesti väitteet olivat joko oikein tai väärin, kuitenkin esim. viimeisessä kohdassa hyväksyttiin molempia vaihtoehtoja. (a) Väärin Ideaalinen tyhjiö on tietyllä tapaa myös ideaalinen eriste; vapaita varauksenkuljettajia ei ole, ja aallot etenevät vaimenematta. Väliaineyhtälöt ovat myös siitä olennaiset, että niillä liitetään eri kenttäsuureita toisiinsa, eikä mallimme ole riittävä ilman niitä. 1 piste: tyhjiön ominaisuudet, väliainekertoimet, kenttäsuureiden yhdistävät väliaineyhtälöt, aallon eteneminen. 1/2 pistettä: maininta tyhjiövakiosta, yksittäinen väliainekerroin tms. (b) Oikein Normaalisti kentät ratkaistaan differentiaaliyhtälöistä. Rajanpinnoilla kentät eivät kuitenkaan ole jatkuvia eivätkä siten myöskään derivoituvia, joten niille joudutaan asettamaan erilliset rajapintaehdot. Nämä ehdot johdetaan
tietysti integraalimuotoisista yhtälöistä, joiden käsittelyä rajapinnan epäjatkuvuuskohdat eivät häiritse. 1 piste: epäjatkuvuus ja sen vaikutus derivointiin. 1/2 pistettä: esimerkki johtamisesta tai maininta käytetyistä tekniikoista. (c) Väärin Aalto liikkuu erinomaisesti eristemateriaalissa, joten johdon päällystäminen muovilla ei aaltojen syntyä estä. 1 piste: aalto etenee eristeessä, esimerkki oikeasta elämästä. 1/2 pistettä: ympäröivällä eristeellä ei vaikutusta aalloon syntyyn varausten pakkautuessa johteen sisällä, tms. (d) Väärin Tasoaallon sähkökenttä on etenemissuuntaa vasten kohtisuorilla tasoilla sama; kentän tasaisuus koko avaruudessa itse asiassa viittaisi siihen, ettei meillä olisi aaltoa lainkaan! 1 piste: sama vain kohtisuorilla tasoilla, muutokset z-suunnassa, tasaiset aaltorintamat. puolikkaita pisteitä ei juuri jaeltu. (e) Väärin Virrantiheys ja varaustiheys ovat aina makroskooppisia suureita, eikä ole mielekästä puhua yksittäisistä pisteistä. Kun esim. metallista valitaan pieni mutta äärellinen tilavuus jonka läpi kulkee varauksenkuljettajia, sen sisällä voi hyvin olla keskimäärin yhtä monta negatiivista elektronia kuin positiivista atomiydintäkin. Tällöin tarkasteltavan alueessa varaustiheys on nolla, vaikka sisällä olisikin liikkuvia varauksenkuljettajia jotka mahdollistavat virrantiheyden syntymisen. 1 piste: varaukset kumoavat toisensa ja aiheuttavat nettovarauksen nollautumisen. 1/2 pistettä: virrantiheys alueessa ei suoraan kytköksissä varaustiheyteen. (f) Molemmat käyvät Oikein: Muuntajan toiminta perustuu induktioilmiöön. Tällöin ensiökäämiin tulee syöttävää muuttuvaa virtaa, jotta johdinsilmukan ympärille syntyisi muuttuva magneettivuo joka edelleen indusoi toisioon sähkömotorisen voiman ja siten saa virran kulkemaan myös toisiopäässä. Tasavirralla näin ei tietenkään tapahdu. 1 piste: induktioilmiö, Faradayn laki, muuttuvan virran ja muuttuvan magneettivuon tarve, jne. 1/2 pistettä: aikamuutoksen tarpeellisuus sen tarkemmin erittelemättä. Väärin: Kytkettäessä muuntajaa tasavirtalähteeseen tapahtuu virrassa muutoksia pienen hetken ajan. Tämä aiheuttaa muuttuvan magneettivuon jne. On kuitenkin huomattava, että kyse on pelkästä kytkentäilmiöstä, ja virta toisiossa nollautuu ensiövirran tasaannuttua.
1 piste: kytkentäilmiö ja sen vaikutus induktioon sekä maininta virran nollautumisesta ajan kuluessa. 1/2 pistettä: pelkkä kytkentäilmiö induktioselityksen kera. 2. (a) Väliaineen tulee olla johtava jotta siinä tapahtuu vaimenemista. Tämä pitää ilmaista jollain tavoin että saa pisteen. (b) Johteeseen syntyy virta joka täytyy mainita että saa pisteen. Häviöt, häviöteho ja lämpö liittyvät niin läheisesti seuraavaan kohtaan, että niistä saa tässä kohtaa puoli pistettä. (c) Virta kuluttaa aallon tehoa tai energiaa. (d) Aalto vaimenee 1/e-osaan yhden tunkeutumissyvyyden (tai latinalaisittain penetraatiosyvyyden) matkalla. Puoli pistettä samalla idealla improvisoiduista syvyysmääreistä, mutta esim. vaimenemismatka on suoraan tekstistä sovellettu ja alkaa olla terminä jo niin kaukana ettei pistettä. (e) Pisteeseen täytyy tietää lyhyempi/pienempi. (f) Tässä taas johtavuus entisestään lyhyentää/pienentää tunkeutumissyvyyttä. 3. (a) Porttiin sisään menevä hetkellinen teho on virran ja jännitteen tulo, P = UI. Huomaa että tämä voi hyvin olla negatiivinen luku (esim. pariston navoista muodostuvasta portista tulee tehoa ulos)! Tarkoitus oli hahmotella tämä virran ja jännitteen esittävään kuvaajaan. Oikein menneestä hahmotelmasta piste. Kyseessä on hahmotelma, eli pieniin heittoihin ei ole puututtu. Jos piirros on mennyt väärin, mutta esim. tehon lauseke on kirjattu paperiin, niin väärin menneestä piirroksesta saa silti puoli pistettä. (b) Sekä ensiö- että toisioportista siirtyy tehoa sähkömagneettisessa muodossa. Ulostuloteho ensiöstä on (enimmäkseen < 0, eli tehoa sisään) ja ulostuloteho toisiosta (koko ajan >= 0, eli tehoa ulos) siis liittyvät molemmat termiin E H (1p). Varsin moni liitti ensiöön tulevan tehon termiin E J, ilmeisesti koska sana ulostuloteho tuntuu epäilyttävältä selvästi sisään tulevan tehon käsittelyn yhteydessä. Ei häviötä E J = 0, sähkökenttä mitätön E D = 0, jonka vuoksi kaikki rautasydämeen varastoituva teho sitoutuu nimenomaan magneettikentän energiaan B H (2p yhteensä). Lopuksi tulee esittää varsinainen analyysi (jonkinlainen huomioiden yhteenveto): E H nda = P 1 + P 2 = 1 d B HdV 2 dt V V
(1p). Vaikka päättely ei olisi aiemmin mennyt aivan putkeen, sen pohjalta tehdystä asiallisesta yhteenvedosta sai pisteen. Myös kurinalainen sanallinen yhteenveto palkittiin. Jos yhteenvetoon jäi määrittelemätön termi tai termi jota ei ollut liitetty tehtävän kuvaukseen, sai vain puoli pistettä. 4. (a) Osa heijastuu ja osa läpäisee rajapinnan. Tässä on koko pisteen saamiseksi mainittava molemmat, koska heti kakkoskohdassa puhutaan monikossa. Myös absorboituu hyväksyttiin läpäisyn sijasta. (b) Täytyy tietää miten aallon sähkö- ja magneettikenttä käyttäytyvät. Pelkkä aalto on liian ilmiselvä. (c) Kenttien käytöstä kuvaavat rajapintaehdot. Heijastus- ja taittumislaki menee tässä kohtaa asioiden edelle ja siitä puoli pistettä. (d) Tähän on monta tapaa vastata, mutta jotka takaavat kummankin kentän tangentiaalisen jatkuvuuden olisi hyvä sanallinen vastaus. Samoin kummallekin kentälle s.e. tulevan ja heijastuvan kentän summa on rajapinnalla sama kuin läpäissyt kenttä tai sama kompaktisti yhtälönä ilmaistuna käy. Myös rajapintaehdot n (E 1 E 2 ) = 0 ja n (H 1 H 2 ) = 0 käyvät. Pelkistä relevanteista Maxwellin integraaliyhtälöistä puoli pistettä, samoin jos esitettiin johdetapauksen rajapintaehdot. Jos mukana on yksikin oikea ehto, saa puoli pistettä. (e) Heijastus- ja läpäisykerroin. Eipä tähän juuri muita varsinaisia kertoimia voi hyväksyä. (f) Ratkaisevat suureet ovat näiden kahden eri väliaineen ominaisimpedanssit. Puoli pistettä siitä että hahmotti tarpeen ilmaista kahden aineen ominaisuuksia ja toinen puoli siitä kun mainitsi joukosta η, µ, ǫ riittävän määrän suureita että tilanteesta selvitään. Taitekerroin klassisessa mielessä ei sisällä magneettisen ilmiön vaikutusta, joten siitä vain puoli pistettä. 5. (a) Kyseessä on monokromaattinen tasoaalto. Tätä kannattaa lähteä analysoimaan monokromaattisella Faradayn lailla E = H, koska Ampère-Maxwellissa olisi haluamamme H roottorin sisällä ja siksi lähes mahdoton keriä sieltä ulos (1p). Faraday perusmuodossaan tuotti puoli pistettä. (b) Tässä on ensimmäinen piste ansaittu kun H:lle on ilmaistu laskemiskelpoinen lauseke, kuten H = 1 E.
Sitten vain laskemaan roottoria. Kaavoilla: (f(z)i) = f(z) i + f(z) i = f(z) i, ja piste tämän soveltamisesta. Kun gradientti ja ristitulo on laskettu, on ansaittu (b)-kohdan kolmas piste. Samat pisteet voi ansaita toki laskemalla roottorin jäyhästi determinanttityylillä. Tulos on H = j (k i jk r ) E 0 e kiz e j( krz ωt). (c) Ominaisimpedanssi on suhde η = E 0 /H 0 ja toisaalta η = µ, ja kummasta tahansa huomiosta piste. Jos on vielä edellisestä vaiheesta sijoitettavaksi ǫ ainekset tätä tapausta varten, H 0 = (k i jk r ) E 0 η = niin saa vielä viimeisenkin pisteen. (k i jk r )