3 Raja-arvo ja jatkuvuus

Transkriptio

1 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla ja sen vuoksi on tdttävä arvoon, jota funktion arvot nättävät lähestvän. Raja-arvot ovat mös kiinnostavia, kun tutkitaan funktion jatkuvuutta, sillä funktio on jatkuva täsmälleen silloin, kun se saa missä tahansa lähtöpisteessä melkein saman arvon kuin lähellä olevissa pisteissä. Tarkastellaan esimerkin vuoksi funktiota f() = 0 +. Funktio f ei ole määritelt kohdassa =, koska nollalla ei voi jakaa. Lasketaan kuitenkin funktion arvoja muutamissa kakkosen lähellä olevissa pisteissä: f(),9,,99,0,999,00,00,998,0,98,,8 Mitä lähempänä lähtöarvo on lukua, sitä lähempänä nättävät funktion arvot olevan lukua. Voidaan sanoa (vaikka väite ei olekaan täsmällisesti perusteltu), että funktion f raja-arvo kohdassa = on. Tämä merkitään smbolein lim f() =. Raja-arvo näk mös hvin kuvaajasta, jossa lähtöarvon = kohdalla funktion arvot lähestvät lukua. 3 5

2 Toisinaan raja-arvoa ei ole olemassa lukuna, vaan sen sijaan funktio kasvaa tai vähenee rajatta tietn lähtöarvon läheisdessä. Näin kä etenkin rationaalifunktioiden tapauksessa hvin usein. Esimerkiksi funktio h() = / ei ole määritelt, kun = 0. Kun lasketaan arvoja lähellä lähtöarvoa 0, saadaan seuraava taulukko: h() 0, 00 0, , , , , 00 Huomataan, että mitä lähempänä lähtöarvot ovat lukua 0, sitä suuremmiksi funktion arvot kasvavat. Alla olevasta kuvaajasta voimme päätellä saman asian. (Päättel ei edelleenkään ole aivan aukoton, koska olemme vain laskeneet muutamia mielivaltaisia funktion arvoja.) Tällaisessa tapauksessa sanotaan, että funktion h arvot kasvavat rajatta kohdassa = 0. Ilmiölle kätetään merkintää lim h() =. 0 Äärettömssmbolia kätetään tässä kuvaamaan sitä, että funktio saa mielivaltaisen suuria arvoja Rationaalifunktion raja-arvo Raja-arvo voidaan rationaalifunktioiden tapauksessa mös määrittää täsmällisesti. Tarkastellaan tätä muutamien esimerkkien valossa. Esimerkki 3.. Tutkitaan esimerkin.5 funktiota g: R \ {0, } R, g() = +. 6

3 Kun =, funktio g ei ole määritelt. Alla on piirrett uudestaan funktion g kuvaaja. Kuvaajasta nähdään, että lähestttäessä kohtaa = oikealta funktion g arvot kasvavat rajatta. Lähestttäessä samaa kohtaa vasemmalta ne puolestaan pienenevät rajatta. Varsinaista raja-arvoa ei siis ole olemassa, mutta voimme tutkia funktion kättätmistä sen lausekkeen avulla Huomataan, että nimittäjästä voidaan erottaa tekijä, johon itse asiassa sisält kaikki ongelmallisuus. Tällä tavoin voimme muokata funktion lausekkeen muotoon g() = + = + ( ) = +. Tarkastellaan näin saatua lauseketta, kun on lähellä lukua mutta hiukan suurempi. Tällöin tekijä + on lähellä lukua + = 3. Toisaalta ongelmatekijän nimittäjä on lähellä nollaa, mutta kuitenkin positiivinen, sillä >. Kun kkönen jaetaan lähellä nollaa olevalla positiivisella luvulla, tuloksena on hvin suuri positiivinen luku. Koska funktion arvo g() on tulo tekijöistä + ja, se kasvaa hvin suureksi, kun lähest lukua sen oikealta puolelta. Tätä merkitään toisinaan smbolein lim g() =. + Merkintä tarkoittaa, että funktion g arvot kasvavat rajatta, kun lähtöarvo lähest lukua sen oikealta puolelta. Kun on lähellä lukua mutta hiukan pienempi, voidaan tehdä samanlainen päättel. Kirjoitetaan se tällä kertaa pelkästään smbolisesti: ( lim g() = lim + ) Tulos on tässä tapauksessa negatiivinen, koska tekijä kun <. = 3 =. saa vain negatiivisia arvoja, 7

4 Toisinaan sekä osoittajalla että nimittäjällä on nollakohta samassa kohdassa a. Tällöin saattaa olla, että raja-arvo löt erottamalla tekijä a sekä osoittajasta että nimittäjästä. Esimerkki 3.. Määritellään funktio f() = +. Funktion määritteljoukkoon eivät kuulu lähtöarvot 0 ja, sillä ne ovat nimittäjän nollakohtia. Tutkimalla osoittajaa nähdään, että = on mös osoittajan nollakohta. Voimme nt kättää sitä tietoa, että jos polnomilla on nollakohta a, siitä voidaan erottaa tekijä a. Tekijä voidaan siis erottaa sekä osoittajasta että nimittäjästä. Funktion lauseke voidaan lopulta kirjoittaa muodossa f() = + = ( )( + ) ( ) = + = +. Kävi niin hvin, että muotoa olevat ongelmatekijät supistuivat kokonaan pois lausekkeesta. Nt raja-arvo voidaan päätellä suoraan: + lim f() = lim = + = Funktion kättätminen suurilla tai pienillä lähtöarvoilla Funktion raja-arvoa muistuttava asia on funktion kättätminen mielivaltaisen suurilla tai pienillä (negatiivisilla) lähtöarvoilla. Voi kädä niin, että funktion arvot kasvavat tai vähenevät rajatta tai ne voivat lähestä jotakin lukua. Tarkastellaan tästäkin esimerkkinä paria rationaalifunktiota. Esimerkki 3.3. Tutkitaan vielä esimerkin 3. funktiota g: R \ {0, } R, g() = +. Tuon esimerkin htedessä esitetstä kuvaajasta nähdään, että funktion arvot nättävät lähestvän nollaa suurilla ja pienillä lähtöarvoilla. Tätä merkitään lim g() = 0 ja lim g() = 0. Tarkka päättel voidaan tällä kertaa tehdä supistamalla funktion lauseke sillä nimittäjän termillä, jolla on suurin aste, eli termillä. Jaetaan siis sekä osoittajan että nimittäjän jokainen termi termillä, jolloin funktion lausekkeesta tulee g() = + = +. 8

5 Tästä on se höt, että lähtöarvon kasvaessa suureksi, termit /, / ja / lähestvät kaikki nollaa, sillä niissä kaikissa jaetaan jotain hvin suurella luvulla. Sama tapahtuu, mikäli pienenee hvin pieneksi negatiiviseksi luvuksi. Täten voidaan päätellä lim g() = lim + ± ± Esimerkki 3.4. Määritellään funktio = = 0. f : R \ {} R, f() = + + Kun lasketaan funktion f arvoja hvin suurilla ja hvin pienillä arvoilla, saadaan seuraavanlainen taulukko: f() 00 99, , , , , ,00 Nättää siltä, että hvin suurilla ja pienillä lähtöarvoilla funktion arvot eivät lähest mitään lukua, vaan suurilla lähtöarvoilla ne kasvavat rajatta ja pienillä lähtöarvoilla puolestaan vähenevät rajatta. Tätä merkitään Sama tulos näk oheisesta kuvaajasta. lim f() = ja lim f() =

6 Kättätminen voidaan tarkistaa supistamalla funktion lauseke jälleen sillä nimittäjän termillä, jolla on suurin aste, eli termillä. Tällöin nimittäin voidaan päätellä suurilla arvoilla seuraavasti: + lim f() = lim + = lim + + ja pienillä arvoilla puolestaan seuraavasti: = =, lim f() = lim + + = lim + + = =. 3.4 Jatkuvuus Monet funktiot ovat sellaisia, että ne muuttuvat tasaisesti lähtöarvojen muuttuessa eivätkä tee hppäksiä. Toisin sanoen lähtöarvon muuttuessa hvin vähän mös funktion arvo muuttuu vain vähän. Tätä ominaisuutta sanotaan jatkuvuudeksi. Luonnossa on paljon esimerkkejä jatkuvista funktioista, kuten vaikkapa huoneen keskilämpötila ajan funktiona. Lukuunottamatta hvin poikkeavia olosuhteita lämpötila ei tee hppäksiä ajan kuluessa. Jatkuvuuden mmärtää ehkä parhaiten, jos tarkastelee esimerkkiä epäjatkuvasta funktiosta. Tällainen snt useimmiten silloin, kun funktio määritellään paloittain. Esimerkiksi esimerkissä.6 määriteltiin funktio {, kun < h() = + 3, kun. Funktion h kuvaaja on piirrett uudestaan seuraavaan kuvaan. Nähdään, että kohdassa = kuvaaja katkeaa ja funktion arvot hppäävät äkisti aivan toiseen kohtaan. Tällainen kohta on funktion epäjatkuvuuskohta. Siinä funktiolla on jokin arvo, mutta kohdan välittömässä läheisdessä jommalla kummalla puolella funktion arvot poikkeavat rajusti kseisestä arvosta Epäjatkuvan funktion tunnistaa useimmin siitä, että sen kuvaaja katkeaa. On kuitenkin huomattava, että kuvaaja voi nättää katkeavan mös sellaisessa kohdassa, jossa 0

7 funktiota ei ole lainkaan määritelt. Tällaisessa kohdassahan funktio ei saa mitään arvoa, joten kuvaaja ei voi kulkea kseisen kohdan läpi. Ohessa on esimerkkinä funktion f() = / kuvaaja Kohtaa, jossa funktio ei ole määritelt, ei kuitenkaan koskaan kutsuta epäjatkuvuuskohdaksi. Se jätetään ksinkertaisesti kokonaan jatkuvuustarkastelun ulkopuolelle. Voidaan vaikkapa ajatella, että siellä missä funktio ei ole määritelt, mitä tahansa voi tapahtua eikä funktiota voi siitä sttää. 3.5 Lisätieto: Raja-arvon ja jatkuvuuden täsmälliset määritelmät Määritelmä 3.5. Luku a on funktion f raja-arvo pisteessä 0, jos kutakin mielivaltaisen pientä positiivista lukua e kohti voidaan aina lötää jokin väli pisteen 0 mpäriltä niin, että tällä välillä lasketut funktion arvot sijaitsevat välillä ]a e, a + e[ (siis lähempänä kuin luvun e päässä luvusta a), lukuunottamatta mahdollisesti arvoa f( 0 ). Raja-arvon täsmällisen määritelmän kättö on hvin haastavaa, eikä siihen paneuduta tässä tämän enempää. Jatkuvuus voidaan kuitenkin määritellä raja-arvon avulla hvin luontevasti. Määritelmä 3.6. Funktio f on jatkuva kohdassa 0, jos sen arvo kohdassa 0 on sama kuin sen molemminpuoliset raja-arvot kseisessä kohdassa, eli f( 0 ) = lim f() = lim f() Funktio on kaikkialla jatkuva (tai ksinkertaisesti jatkuva), jos se on jatkuva kaikissa määritteljoukkonsa pisteissä.

8 Jatkuvuuden määritelmän ideana on se, että funktion arvon on oltava sopusoinnussa sen mpäristössä saatujen arvojen kanssa. Esimerkiksi paloittain määritelt funktio h() = {, kun < + 3, kun, jonka kuvaaja löt edelliseltä sivulta, ei ole jatkuva kohdassa. Tämä johtuu siitä, että kseisessä kohdassa funktion arvo on, mutta vasemmanpuoleinen raja-arvo on.