Matematiikan peruskurssi 2
|
|
- Hanna-Mari Nieminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matematiikan peruskurssi Tentti, Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat valita tehtävät vapaasti. Jos teet kaikki, neljä parasta huomioidaan.. a) Miten määritellään funktiot sin: R R ja cos: R R? Käytä piirroksia apuna. Osoita suoraan määritelmästä, että sin x + cos x = kaikilla x R. b) Osoita derivaatan määritelmän mukaan, että D(cos x) = sin x. a) Määritelmät: ks. monisteen sivu s. 7 alkaen taulukon (aste vs. radiaanit) jälkeen. Tässä oli tärkeää (pisteen arvoista) mainita radiaanit (ks. määritelmä.. edellisellä sivulla). cos x + sin x = : koska piste (cos x, sin x) on yksikköympyrän kehällä, niin ympyrän yhtälön nojalla cos x + sin x =. Myös Pyhtagoraan lause kelpaa tähän (sitähän käyttämällä johdetaan ympyrän yhtälö). Huomautus. Moni oli käyttänyt suorakulmaista kolmiota funktioiden määrittelyyn. Tästäkin sai pisteitä, muttei täysiä. Funktioiden kuvaajien hahmotelmista ei pysty näkemään identiteettiä cos x + sin x =. (Kuvaajaa käytetään siihen, että saadaan jokin käsitys funktion käyttäytymisestä, jotka sitten todistetaan käyttämällä funktion algebrallisia ominaisuuksia tai määritelmiä. Poikkeuksena suorat, jotka ova tarpeeksi yksinkertaisia, jotta niistä voidaan päätellä yksinkertaisia asioita.) b) Olkoon x 0 R kiinnitetty. Halutaan osoittaa, että d dx sin x x=x0 = cos x 0, jolloin väite seuraa. Derivaatan määritelmän mukaan f (x 0 ) f(x) f(x 0 ). Nyt f = cos, joten, käyttämällä kaavakokoelman kaavaa, raja-arvon laskusääntöjä ja tulosta
2 lim x 0 sin x x =, saadaan cos x cos x 0 lim x x 0 x x 0 sin x x0 sin x+x 0 sin x x0 x x 0 = lim sin x x0 lim sin x + x 0 sin x+x 0 = sin x 0 = sin x 0.. Osoita induktiolla, että (n ) = luvuilla n. Väitteen vasen puoli on siis summa n (i ). n(n + ) kaikilla luonnollisilla (Pitää siis oikeasti käyttää induktiota, niin että induktio-oletus tulee käyttöön induktioväitteen todistuksessa.) Induktion lähtökohta: Pitää todistaa, että väite on voimalla arvolla n 0 =. (Koska kaava pyydetään todistamaan kaikilla n.) vasen puoli = ( +) (i ) = =. Oikea puoli = = 4 =. Väite on siis totta arvolla n =. Induktio-oletus: väite on tosi arvolla n = k jollain k : k k(k+) (i ) =. Induktioväite: väite on tosi arvolla n = k + : k+ (k+)((k+)+) (i ) =. Induktioväitteen todistus: Lähdetään vasemmalta puolelta liikkeelle. [ k+ k ] [ k ] (i ) = (i ) + ((k + ) ) = (i ) + k + ind.ol. = k(k + ) = k + k + 6k k + = k(k + ) + (k + ) = k + 7k + 4. Pitää vielä osoittaa, että k + 7k + 4 = (k + )((k + ) + ). Tehdään tämä avaamalla oikea puoli: (k + )((k + ) + ) = (k + )(k + 4) = k(k + 4) + (k + 4) = k + 4k + k + 4 = k + 7k + 4. Siispä induktioväite on todistettu. Kaava on siis voimassa kaikilla n.
3 Huomautus. Induktion lähtökohta on välttämätöntä tarkistaa! Pitää ymmärtää mitä summa tarkoittaa. Kannattaa harjoitella muutamalla pienellä n:n arvolla varmistaakseen, että ymmärtää mitä tapahtuu. Induktioväitteeseen kun sijoittaa k + :n, on syytä pitää mielessä mitä ollaan oikeastaan todistamassa. Tämän näkee tehtävänannosta: Väitetään, että kaava n n(n+) (i ) = on totta kun n = k +. Siispä sijoitetaan n:n tilalle (k + ) ja tarkistetaan (käyttämällä induktio-oletusta).. Millä x:n arvoilla on voimassa a) x + x + > b) log (x ) = c) x x 4 > 9 d) tan x <? (x > 0) a) Tähän on useampi ratkaisu. Tässä esitetään foolproof -versio käyttämällä itseisarvon ensimmäisiä ominaisuuksia. Huomataan aivan ensimmäiseksi, että x. Nyt x + x + > x + x + > tai x + x + <. Tarkastellaan ensimmäistä murtoepäyhtälöä: x + x + > x + x + > 0 lavennus x + x + x + x + > 0 x + (x + ) x + > 0 ( x) x + > 0. Nyt täytyy siirtyä tarkastelemaan osoittajan ja nimittäjän merkkejä. Epäyhtälö toteutuu, kun molemmat saavat ovat joko negatiivisen tai positiivisen arvon. x < < x < x > ( x) + + x osamäärä. + Niinpä ensimmäinen murtoepäyhtälö toteutuu kun < x <. Toinen murtoepäyhtälö: aivan samaan tapaan saadaan x + x + < 4(x + ) x + < 0 Tarkastellaan jälleen osoittajan ja nimittäjän merkkejä.
4 x < < x < x > 4(x + ) + + x + + osamäärä. + + Niinpä toinen murtoepäyhtälö toteutuu kun < x <. Summa summarum, vastaus: < x < tai < x <. b) Käyttämällä logartimin laskusääntöjä saadaan log (x ) = log x y =y log x log x = : log x = Koska eksponenttifunktio y saadaan vastaus on injektio ja log on tämän käänteisfunktio, log x = log x = x = =. c) Sievennetään yhtälön vasenta puolta käyttämällä eksponenttifunktion laskusääntöjä, x = x x 4 x 4 = x (x ) = x (x ) = x+. Ottamalla puolittain kolmekantainen logaritmi (aidosti kasvava), saadaan x+ > 9 log kasv. log ( x+ ) > log x + > x <. d) Kysytään millä x:n arvoilla on voimassa tan x <. Tässä voisi koittaa sieventää, mutta ei ole tarvetta. Kuten aina ennenkin, piirretään yksikköympyrä. Nyt tan x pitää kuulua tummennetulle alueelle. Huomataan, että kyseessä v on erikoiskolmiot! Saadaan tan x < π + nπ < x < π + nπ u π Tässä ei tarvitse avata itseisarvoja! Edelleen sieventämällä saadaan π + nπ < x < π + nπ π 6 + nπ < x < π 6 + nπ. Huomautus. Kun on saatu itseisarvot poistettua ja päästy murtoepäyhtälöihin, niin ei saa kertoa nimittäjällä kumpaakin puolta suoraan! Voisi olla niin, että nimittäjä on negatiivinen, jolloin suuruusrelaatio kääntyisi. Paras tapa on siirtää kaikki termit samalle puolelle, jolloin toiselle puolelle jää 0. Tämän jälkeen on helppo päätellä milloin lauseke saa negatiivisia tai positiivisia arvoja. 4
5 Logaritmi on eksponenttifunktion käänteisfunktio, ei potenssifunktion. Potenssifunktion käänteisfunktio on juurifunktio. Muista aina piirtää yksikköympyrä kun ratkaiset trigonometrisiä yhtälöitä/epäyhtälöitä. Siitä saa pisteitä, ja se voi jopa johtaa tehtävän ratkaisuun. Joskus laitetaan sulkeet ympärille tan(x), joskus ei tan x. Tällä kuitenkin tarkoitetaan samaa. Kun tarkoitetaan tan x, niin kirjoitetaan tan()x tms. Tästä ei tietysti rankaistu, laitan tarkemmin seuraavaan tenttiin. 4. Laske seuraavat raja-arvot (± hyväksytään), tai ilmoita, jos ei ole olemassa. a) lim x x x 4 + x x x b) lim x x + c) lim x sin(x ) x d) lim x 0 ( + x) x a) Ensinnäkin lim x =, sillä kun x lähestyy lukua vasemmalta, saa x nimittäjä negatiivisia, itseisarvoltaan yhä pienempiä ja pienempiä arvoja, jolloin lauseke saa negatiivisia, itseisarvoltaan yhä suurempia ja suurempia arvoja. Toisaalta lim x + =, (samasta syystä, paitsi luvut ovat positiivisia). x Siispä raja-arvoa ei ole olemassa pisteessä. b) Nyt x 4 + x x x x + = x (x + ) x(x + ) x + = (x + )(x + ) x + = x +. Niinpä x 4 + x x x lim x x + x x + = ( ) + =. c) Käyttämällä tulosta lim x 0 sin x x = ja raja-arvojen laskusääntöjä, saadaan sin(x+) lim x x d) ks. Demot V/t6. x sin(x+) sin(x+) lim (x+)(x ) x x+ x = =. x Huomautus. Raja-arvoksi hyväksytään + tai, ei molempia. Muistetaan, että jos polynomilla p(x) on nollakohta x = r, niin silloin p(x) = (x r)q(x) jollain toisella polynomilla q(x). Näin ollen, jos jakokulmassa jää virheen takia jakojäännös, kannattaa aloittaa alusta ja miettiä missä kohtaa ajattelee väärin. Muistetaan, että lim x a sin(f(x)) f(x) =, jos lim x a f(x) = 0. 5
6 Muistetaan, että lim x a ( + f(x) )f(x) = e, jos lim x a f(x) = tai lim x a f(x) =. Toisaalta, raja-arvoa ei tarvitse olla olemassa (esim lim x 0 ). Kuitenkin, tarkastelemalla raja-arvoja kummaltakin puolen voi x raja-arvo lim x a ( + f(x) )f(x) silti olla olemassa. Aina pitää kuitenkin tarkistaa toispuoleiset raja-arvot. 5. a) Olkoon f : R + R +, f(x) = x. Etsi funktion lokaaliset (paikalliset) ääriarvot. x+ Tutki ääriarvojen laatu. Mikä on funktion suurin ja pienin arvo (kun x 0)? b) Laske käyrän x y+xy = 8 pisteeseen (, ) piirretyn tangentin kulmakerroin. a) Ks. demot VI/7. b) Käytetään implisiittistä derivointia. Muistetaan, että y on x:n funktio (kun x liikkuu, niin tekee myös y). Muistetaan myös tulon derivaatan kaava D(f g) = f g + f g. Muistetaan myös yhdistetyn funktion derivaatan kaava D(f g) = f (g(x)) g (x). (esim. d dx y = y y.) d dx (x y + xy ) = d d (8) dx dx (x y) + d dx (xy ) = 0 x y + x d dx (y) + y + x d dx y = 0 x y + x y + y + x y y = 0 y (x + 6xy ) + x y + y = 0 y = x y + y x + 6xy. Nyt kun sijoitetaan x = ja y = saadaan derivaatan arvo pisteessä (, ): y () = = 5. 6
7 Matematiikan peruskurssi Tentti, Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat valita tehtävät vapaasti. Jos teet kaikki, neljä parasta huomioidaan.. a) Miten määritellään funktiot sin: R R ja cos: R R? Käytä piirroksia apuna. Osoita suoraan määritelmästä, että sin x + cos x = kaikilla x R. b) Osoita derivaatan määritelmän mukaan, että D(sin x) = cos x. a) Määritelmät: ks. monisteen sivu s. 7 alkaen taulukon (aste vs. radiaanit) jälkeen. Tässä oli tärkeää (pisteen arvoista) mainita radiaanit (ks. määritelmä.. edellisellä sivulla). cos x + sin x = : koska piste (cos x, sin x) on yksikköympyrän kehällä, niin ympyrän yhtälön nojalla cos x + sin x =. Myös Pyhtagoraan lause kelpaa tähän (sitähän käyttämällä johdetaan ympyrän yhtälö). Huomautus. Moni oli käyttänyt suorakulmaista kolmiota funktioiden määrittelyyn. Tästäkin sai pisteitä, muttei täysiä. Funktioiden kuvaajien hahmotelmista ei pysty näkemään identiteettiä cos x + sin x =. (Kuvaajaa käytetään siihen, että saadaan jokin käsitys funktion käyttäytymisestä, jotka sitten todistetaan käyttämällä funktion algebrallisia ominaisuuksia tai määritelmiä. Poikkeuksena suorat, jotka ova tarpeeksi yksinkertaisia, jotta niistä voidaan päätellä yksinkertaisia asioita.) b) Olkoon x 0 R kiinnitetty. Halutaan osoittaa, että d dx cos x x=x0 = sin x 0, jolloin väite seuraa. Derivaatan määritelmän mukaan f (x 0 ) f(x) f(x 0 ). Nyt f = sin, joten, käyttämällä kaavakokoelman kaavaa, raja-arvon laskusääntöjä ja tulosta
8 lim x 0 sin x x =, saadaan sin x sin x 0 lim x x 0 x x 0 sin x x0 cos x+x 0 x x 0 sin x x0 lim cos x + x 0 sin x x0 cos x+x 0 = cos x 0 = cos x 0.. Osoita induktiolla, että (n ) = luvuilla n. Väitteen vasen puoli on siis summa n (i ). n(n + ) kaikilla luonnollisilla (Pitää siis oikeasti käyttää induktiota, niin että induktio-oletus tulee käyttöön induktioväitteen todistuksessa.) Induktion lähtökohta: Pitää todistaa, että väite on voimalla arvolla n 0 =. (Koska kaava pyydetään todistamaan kaikilla n.) vasen puoli = ( +) (i ) = =. Oikea puoli = = 4 =. Väite on siis totta arvolla n =. Induktio-oletus: väite on tosi arvolla n = k jollain k : k k(k+) (i ) =. Induktioväite: väite on tosi arvolla n = k + : k+ (k+)((k+)+) (i ) =. Induktioväitteen todistus: Lähdetään vasemmalta puolelta liikkeelle. [ k+ k ] [ k ] (i ) = (i ) + ((k + ) ) = (i ) + k + ind.ol. = k(k + ) = k + k + 6k k + = k(k + ) + (k + ) = k + 7k + 4. Pitää vielä osoittaa, että k + 7k + 4 = (k + )((k + ) + ). Tehdään tämä avaamalla oikea puoli: (k + )((k + ) + ) = (k + )(k + 4) = k(k + 4) + (k + 4) = k + 4k + k + 4 = k + 7k + 4. Siispä induktioväite on todistettu. Kaava on siis voimassa kaikilla n. 8
9 Huomautus. Induktion lähtökohta on välttämätöntä tarkistaa! Pitää ymmärtää mitä summa tarkoittaa. Kannattaa harjoitella muutamalla pienellä n:n arvolla varmistaakseen, että ymmärtää mitä tapahtuu. Induktioväitteeseen kun sijoittaa k + :n, on syytä pitää mielessä mitä ollaan oikeastaan todistamassa. Tämän näkee tehtävänannosta: Väitetään, että kaava n n(n+) (i ) = on totta kun n = k +. Siispä sijoitetaan n:n tilalle (k + ) ja tarkistetaan (käyttämällä induktio-oletusta).. Millä x:n arvoilla on voimassa a) x + x + > b) log (x ) = c) x x 4 > 7 d) tan x <? (x > 0) Aivan samalla tavalla kuin toisessa versiossa. Vakiot vain ovat eri. Huomautus. Kun on saatu itseisarvot poistettua ja päästy murtoepäyhtälöihin, niin ei saa kertoa nimittäjällä kumpaakin puolta suoraan! Voisi olla niin, että nimittäjä on negatiivinen, jolloin suuruusrelaatio kääntyisi. Paras tapa on siirtää kaikki termit samalle puolelle, jolloin toiselle puolelle jää 0. Tämän jälkeen on helppo päätellä milloin lauseke saa negatiivisia tai positiivisia arvoja. Logaritmi on eksponenttifunktion käänteisfunktio, ei potenssifunktion. Potenssifunktion käänteisfunktio on juurifunktio. Muista aina piirtää yksikköympyrä kun ratkaiset trigonometrisiä yhtälöitä/epäyhtälöitä. Siitä saa pisteitä, ja se voi jopa johtaa tehtävän ratkaisuun. Joskus laitetaan sulkeet ympärille tan(x), joskus ei tan x. Tällä kuitenkin tarkoitetaan samaa. Kun tarkoitetaan tan x, niin kirjoitetaan tan()x tms. Tästä ei tietysti rankaistu, laitan tarkemmin seuraavaan tenttiin. 4. Laske seuraavat raja-arvot (± hyväksytään), tai ilmoita, jos ei ole olemassa. a) lim x x + x 4 x x + x b) lim x x sin(x + ) c) lim x x d) lim x 0 ( + x) x Menevät aivan samalla tavalla kuin toisessa versiossa, eri vakioilla vain. 9
10 Huomautus. Raja-arvoksi hyväksytään + tai, ei molempia. Muistetaan, että jos polynomilla p(x) on nollakohta x = r, niin silloin p(x) = (x r)q(x) jollain toisella polynomilla q(x). Näin ollen, jos jakokulmassa jää virheen takia jakojäännös, kannattaa aloittaa alusta ja miettiä missä kohtaa ajattelee väärin. Muistetaan, että lim x a sin(f(x)) f(x) =, jos lim x a f(x) = 0. Muistetaan, että lim x a ( + f(x) )f(x) = e, jos lim x a f(x) = tai lim x a f(x) =. Toisaalta, raja-arvoa ei tarvitse olla olemassa (esim lim x 0 ). Kuitenkin, tarkastelemalla raja-arvoja kummaltakin puolen voi x raja-arvo lim x a ( + f(x) )f(x) silti olla olemassa. Aina pitää kuitenkin tarkistaa toispuoleiset raja-arvot. 5. a) Olkoon f : R + R +, f(x) = x. Etsi funktion lokaaliset (paikalliset) ääriarvot. x+ Tutki ääriarvojen laatu. Mikä on funktion suurin ja pienin arvo (kun x 0)? b) Laske käyrän x y+xy = pisteeseen (, ) piirretyn tangentin kulmakerroin. a) Ks. demot VI/7. b) Käytetään implisiittistä derivointia. Muistetaan, että y on x:n funktio (kun x liikkuu, niin tekee myös y). Muistetaan myös tulon derivaatan kaava D(f g) = f g + f g. Muistetaan myös yhdistetyn funktion derivaatan kaava D(f g) = f (g(x)) g (x). (esim. d dx y = y y.) d dx (x y + xy ) = d d () dx dx (x y) + d dx (xy ) = 0 x y + x d dx (y) + y + x d dx (y ) = 0 6x y + x y + y + x y y = 0 y (x + xy ) + 6x y + y = 0 y = 6x y + y x + xy. Nyt kun sijoitetaan x = ja y = saadaan derivaatan arvo pisteessä (, ): y () = = 0 4 =
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotRatkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Lisätiedotsin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedotk-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotHyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot1.5. Trigonometriset perusyhtälöt
Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotSivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
Lisätiedot6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
LisätiedotRationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
Lisätiedot