Analyysi III S

Anlyysi III 800624S

Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt j mitt 16 Luku 2. Integroimisteori 20 1. Topologisi peruskäsitteitä 20 2. Mitlliset funktiot 20 3. Lebesguen integrli yksinkertiselle funktiolle 25 4. Integrli ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle 27 5. Keskeiset rj-rvotulokset ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle 29 6. Mitllisen funktion integrli 33 7. Riemnnin integrli 36 8. Integrlilskennn pääluse 38 Luku 3. Hilbertin vruudet 45 1. Funktiovruudet 45 2. Hilbert vruuden sovellus 49 3. Sisätulovruudet 52 4. Hilbertvruudet 57 5. Projektioluse j Fréchet n Rieszin luse 61 6. Hilbertin vruuden operttoreist 64 7. Lebesgue vruuden L 2 ortonormli knt 67 Liite A. Metriset vruudet 72 1. Metristen vruuksien perusominisuudet 72 3

Alkusnt Tämä luentomoniste ktt suurelt osin ne sit, joit Anlyyis III kurssill käydään läpi lken kevätlukukudest 2007. Sitten ensimmäisen pinoksen, vuonn 1999, kurssin sisältöön on joiltin osin tullut suurikin muutoksi. rityisesti Bnch vruuksien teori on suosioll jätetty erikoiskurssien, kuten Funktionli nlyysin, läpikäytäväksi. Sen sijn on linerist teori Hilbert vruudess käsittelevää os ljennettu j konkretisoitu, sisällyttämällä m.m. Fourier dekomposition teori. Tämä luentomoniste on jtkuvn kehittämisen tilss, j kikki plute siitä, miten esitys j sisältö olisi prnneltviss ovt tervetulleit. Oulu, Tmmikuu 2007, Peter Hästö Alkusnt, vuoden 1999 pinos Käsillä olev moniste on syntynyt kurssin Anlyysi III kevätlukukudell 1999 pidettyjen luentojen pohjlt. Viiden viime vuoden ikn kurssi on hkeutunut oheiseen muotoons sisältäen nlyysin perusteet metrisessä vruudess, normivruudess j Hilbertin vruudess sekä Lebesguen mitn j integrlin. Näin se pyrkii trjomn pohjtiedot mtemtiikn, sovelletun mtemtiikn, tilstotieteen j fysiklisten tieteiden syventäville opinnoille, mutt smll ntmn mhdollisimmn ljn ktsuksen nlyysin eri os-lueist ineenopettjiksi ikoville. Ansio siitä, että moniste nt luennoistni näinkin selkeän kuvn kuuluu Mrko Rint-holle j Jukk Timistolle, joille lusun prht kiitokseni. Linnnmll 8.10.1999 Ves Mustonen 4

sitietoj Kerrtn joukko-opin peruskäsitteet. Olkoon X perusjoukko. Tällöin P (X) on joukon X kikkien osjoukkojen joukko. Joukkojen A j B yhdiste on A B = {x X x A ti x B}, ja B = {x X x A j x B} on joukkojen A j B leikkus. Joukon A komplementti A = {x X x/ A}, sekä joukkojen A j B erotus A \ B = {x X x A, x / B} = A B. Olkoon I jokin indeksijoukko j {A i i I} perhe joukkoj, jolloin A i = {x i I s.e. x A i } j A i = {x x A i i I}. i I Hrjoitustehtävänä on todist De Morgnin lit: Olkoon {A i i I} perhe X:n osjoukkoj. Tällöin pätee: i I (1) (2) ( ) A i = A i, i I i I ( ) A i = A i. i I i I Olkoot A j B epätyhjiä joukkoj j f : A B kuvus (funktio). Tällöin f on surjektio,: jos f(a) =B, eli jokiselle b B on olemss sellinen A, että f() =b. injektio,: jos kikille 1, 2 A, 1 2,päteef( 1 ) f( 2 ). bijektio,: jos f on sekä surjektio, että injektio. Jos f : A B on bijektio, niin jokist b B kohti on olemss yksikäsitteinen A, jolle f() =b. Tällöin on olemss käänteiskuvus f 1 : B A,f 1 (b) =. Määritelmä. Joukoill A j B on sm mhtvuus, jos on olemss bijektio ψ : A B. Tätä merkitään A B. Helposti nähdään, että on ekvivlenssireltio kikkien joukkojen joukoss. simerkki. Olkoon A = {1, 2,...} = Z + j B = {1, 4, 9,...}, jolloin B A, mutt kuvus ψ(n) =n 2, n A, onbijektioa B. Siis joukot A j B ovt yhtä mhtvi. Määritelmä. Joukko A snotn äärelliseksi, josa {1, 2,..., m} jollkin m Z + = {1, 2, 3,...}. Joukko, jok ei ole äärellinen, on ääretön. Ääretön joukko on numeroituv, josa N = {0, 1, 2,...}, muutoin ylinumeroituv. Huomutus. Jos A on numeroituv, on olemss bijektio ϕ : N A. Tällöin joukon A lkiot voidn numeroid ts. sett jonoon ϕ(n) = n in, kun n =0, 1, 2,... simerkki. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että Q on numeroituv. Osoitetn, että voin väli ]0, 1[ R ei ole numeroituv. Tehdään vstoletus: ]0, 1[ on numeroituv, eli välin luvut voidn sett järjestykseen l 1,l 2,... Olkoot l 1 =0, 1 b 1 c 1...,l 2 =0, 2 b 2 c 2...,... lukujen 5

l 1,l 2,... desimliesitykset. Vlitn sellinen reliluku y =0,bc..., että { { 1, jos 1 1, 1, jos b 2 1, = b = jne. 2, jos 1 =1, 2, jos b 2 =1, Tällöin y ]0, 1[, mutt y l i,i =1, 2,..., joten vstoletus on väärä. Siis väli ]0, 1[ ei voi oll numeroituv. Kosk ]0, 1[ on ylinumeroituv, on myös relilukujen joukon R oltv ylinumeroituv. Riemnn integroinnin rjt Aloitetn plutettmll mieleen Riemnn integrli määritelmä. Olkoon siis f : I R funktio, missä I =(x, y) on relikselin väli. Nousevlle jonolle x = z 0 <z 1 <...<z n = y määrittelemme l- j yläsummt φ ( ) (z i ) n i=0 = z i z i 1 inf f(z) j z (x i 1,x i ) Φ ( ) (z i ) n i=0 = z i z i 1 sup f(z). z (x i 1,x i ) Funktio f on Riemnn integroituv, jos sup φ ( (z i ) ) =infφ ( (z i ) ) (z i ) (z i ) y j tällöin f(z) dz on määritelmän mukn tämä yhteinen rvo. x Anlyysi I kurssill on todistettu m.m., että jtkuv funktio on Riemnn integroituv. Toislt, funktio voi oll integroituv, vikkei se ole jtkuv, kuten seurv esimerkki osoitt: Määritellään f :(0, 1) R kvll { 0, jos x [0, 1] \ Q f(x) = 1 jos x = n,n Z,m m m Z+, (n, m) =1. Tämä funktio on Riemnn integroituv, j sen integrli on 0. Tässä herää siis kysymys, mitkä funktiot trklleen otten ovt Riemnn integroituvi? Tähän kysymykseen sdn vstus yleisemmän teorin melkeinpä sivutuotteen. Käytetään vielä edellistä funktiot f funktiojonon (f i ) määrittelemiseksi seurvsti. Kun i 2 setetn f i (x) =min{if(x), 1}. Helposti nähdään, että myös 1 f 0 i(x) dx =0. Määritellään lisäksi f (x) = lim i f i (x). Tästä sdn, että { 0, jos x [0, 1] \ Q f(x) = 1 jos x [0, 1] Q. Tälle funktiolle yläsumm on in 1, jlsummin0. Näin ollen se ei ole Riemnn integroituv. rityisesti näemme, että seurv vrsin uskottv kv ei in päde Riemnn integrlille: lim i b f i (x) dx = b lim f i(x) dx, i eli integroinnin j rj-rvon oton järjestystä ei voi viht. Toinen koht päiväjärjestyksessä on siis sellisen integrlin määrittelemisen, jok käyttäytyy premmin rj-rvon ottmisen suhteen. 6

LUKU 1 Mittteori 1. Algebr j σ-lgebr Osoittutuu, että hyvä tp prnt integrlin toimivuutt, on ylä- j lsummn termin x i x i 1 yleistäminen. Tämä termi kertoo nnetun välin pituuden. Yleistämiside on, että tässä sllittisiinkin väliä yleisempi joukko. nsimmäinen ide sttisi oll slli välin sijn mielivltinen joukko. Tämä ei kuitenkn osoittudu toimivksi vihtoehdoksi, vn rjoittutuminen n.s. σ- lgebrn osoittutuu premmksi etenemistvksi. Tämä on siis se polku jot nyt lähdetään kulkemn, tvoitteen, prikymmentä sivu myöhemmin, uusi, prempi integrli. Määritelmä 1.1. Olkoon X joukko j P (X) sen kikkien osjoukkojen joukko. Perhe A P (X) on lgebr eli joukkolgebr, jos seurvt ehdot ovt voimss: (A1) A. (A2) Jos A A, niin A A. (A3) Jos A, B A, niin A B A. Huomutus. Jos A, B A j A on lgebr, niin myös A B A, sillä (A B) = (A B ). Vstvsti myös X A, sillä X = A. Jos tiedetään, että A, niin (A1) seur kohdist (A2) j (A3), sillä = A A A in, kun A A. Jos A 1,A 2,...,A n A, niin kohdn (A3) nojll A 1 A 2 A n A. Määritelmä 1.2. Olkoon X joukko. Perhe Γ P (X) on σ-lgebr, jos seurvt ehdot ovt voimss: (SA1) Γ. (SA2) Jos A Γ, niin A Γ. (SA3) Jos A i Γ in, kun i Z +, niin A i Γ. Huomutus. Olkoon Γ σ-lgebr. Jos A 1,A 2 Γ j A k = in, kun k 3, niin A 1 A 2 = A i Γ. Näin ollen jokinen σ-lgebr on lgebr. Jos A i Γ ovt mielivltisi, niin A i Γ, sillä (( ) ) ( ) A i = A i = A i Γ. simerkki. Olkoon X joukko. Joukko Γ={,X} on suppein mhdollinen, ns. trivili σ-lgebr. Joukko Γ=P (X) on ljin mhdollinen σ-lgebr. Jos X = Z + = {1, 2, 3,...}, niin Γ = {, {1, 3,...}, {2, 4,...}, Z + } on σ- lgebr. Olkoon X euklidinen vruus R n. Tällöin joukko A = {A X A voin} ei ole lgebr, eikä σ-lgebr, sillä yleensä A ei ole voin, jos A on voin. 7

8 1. MITTATORIAA Luse 1.3. Olkoot Γ i,i I, joukonxσ-lgebroj. Tällöin myös Γ= i I Γ i on σ-lgebr. Todistus. Selvästi Γ i in, kun i I, joten Γ. Jos A Γ, niin A Γ i jokisell i I. Siis A Γ i jokisell i I. Tällöin A Γ. Jos A 1,A 2,... Γ, niin A 1,A 2,... Γ i jokisell i I. Tällöin j=1a j Γ i in, kun i I, joten j=1 A j Γ. Seurus 1.4. Jos Δ P (X) on mielivltinen, niin joukoss P (X) on olemss suppein σ-lgebr, merkitään Γ Δ, johon Δ sisältyy (Γ Δ on joukon Δ virittämä σ-lgebr). Todistus. Joukko Γ Δ = {Γ Γ on σ-lgebr, jolle Δ Γ} P (X) on hluttu σ-lgebr. Määritelmä 1.5. Olkoon X metrinen vruus. Joukon A = {A X A voin} virittämää σ-lgebr snotn Borelin joukkoluokksi j sen joukkoj Borelin joukoiksi. Tätä merkitään B = B(X) =Γ A. simerkki. Olkoon X euklidinen vruus R n j S = {B R n B suljettu}. Tällöin Γ S =Γ A = B, sillä jos A A, niin A S. Kuitenkn kikki vruuden R n osjoukot eivät ole Borelin joukkoj. Trkstelln vielä erikoistpust X = R. Jokinen yksiö on Borelin joukko, sillä {x} =((,x) (x, )) in, kun x R. KoskQ on yksiöiden numeroituv yhdiste, niin Q j Q ovt Borelin joukkoj. 2. Mitt dellä olemme määritelleet sen joukkoperheen (σ-lgebr), joll hluisimme korvt Riemnn integrliss esiintyvät välit. Seurvksi pitää miettiä, miten korvmme tällisill joukoill termin x i x i 1, jok mittsi välin pituutt. Yleisemmin voimme puhu joukon koon mittmisest, j tämä tehdään luonnollisesti mitn vull. Se mitä on järkevältä mitt funktiolt vdittv, selviää tässä luvuss. Määritelmä 2.1. Olkoon Γ σ-lgebr joukoss X. Kuvustμ : Γ [0, ] snotn mitksi joukoss X, jos (M1) μ (A) 0 in, kun A Γ. (M2) μ ( ) =0. (M3) μ on numeroituvsti dditiivinen, eli ( ) μ A i = μ (A i ) in, kun A i Γ j A i A j = in, kun i j.

2. MITTA 9 Huomutus. Summ μ (A i) on in määritelty, mutt se voi oll +. htoon (M3) sisältyy ns. äärellinen dditiivisuus: ( p ) p μ A i = μ (A i ), missä A 1,...,A p Γ j A i A j = in, kun i j. Jos μ :Γ [0, ] toteutt ehdot (M1) j (M3) j jos μ (A) < jollekin A Γ, niin μ (A) =μ (A )=μ (A)+μ( ). Näin ollen μ ( ) =0. simerkki. Olkoon Γ={,X}, X. Asetetn μ ( ) =0j μ (X) =1, jolloin μ on mitt. Olkoon X = R n, x 0 R n nnettu piste j Γ=P (R n ). Osoitetn, että kuvus μ :Γ [0, ] μ (A) = { 1, jos x 0 A, 0, jos x 0 / A, on mitt. Selvästi μ (A) 0 in, kun A Γ. Lisäksiμ ( ) =0, sillä x 0 Olkoot nyt A 1,A 2,... R n erillisiä. Jos x 0 A i, niin ( ) μ A i =1= μ (A i ). Jos x 0 / A i, niin ( ) μ A i =0= μ (A i ). Siis μ on mitt. Huom, että μ ({x 0 })=1. Tätä mitt snotn Dircin δ- mitksi, jok on keskittynyt pisteeseen x 0, j sitä merkitään δ x0 := μ. Määritelmä 2.2. Olkoon X joukko, Γ P (X) σ-lgebr j μ :Γ [0, ] mitt. Jos μ (X) <, niin μ on äärellinen mitt. Jos on olemss selliset i Γ, että X = i j μ ( i ) < in, kun i Z +, niin μ on σ-äärellinen mitt. simerkki. Dircin mitt δ x0 on äärellinen, sillä δ(r n )=1. Mitt, jolle μ (X) = 1, snotn todennäköisyysmitksi. Olkoon X = {x i } j (p i) jono positiivisi lukuj. Asettmll 0, jos A =, μ : P (X) [0, ], μ(a) = p i, jos A, x i A /. sdn mitt. Tämä on ns. pinotettu lukumäärämitt, pinoin luvut p i.jos p i =1in, kun i Z +, niin μ on lukumäärämitt: { #A, jos A on äärellinen, μ (A) =, jos A on ääretön. Lemm 2.3. Olkoon Γ σ-lgebr joukoss X j (A k ) Γ jono joukkoj. Tällöin on olemss sellinen jono (B k ) Γ, että B k A k in, kun k Z +. Lisäksi B k B j = in, kun k j, j B k = A k. Todistus. Hrjoitustehtävä.

10 1. MITTATORIAA Luse 2.4. Olkoon μ :Γ [0, ] mitt joukoss X j olkoot A, B Γ. Tällöin seurvt ominisuudet ovt voimss: () Jos A B, niin μ (A) μ (B). (b) Jos A B j μ (A) <, niin μ (B \ A) =μ (B) μ (A). (c) Jos A i Γ kikill i Z +, niin μ ( A i) μ (A i) (ns. numeroituv subdditiivisuus). (d) Jos A 1 A 2... j A i Γ in, kun i Z +, niin μ ( A i) = lim μ (A i ). i (e) Jos A 1 A 2..., A i Γ in, kun i Z +,jμ(a k ) < eräällä k, niin μ ( A i ) = lim μ (A i ). i Todistus. () Jos A B, niin B = A (B A ), missä A Γ j B A Γ ovt erillisiä joukkoj. Tällöin mitn ominisuuksien (M3) j (M1) nojll ) μ (B) =μ (A)+μ (B A μ (A). (b) Jos A B j μ (A) <, niin edelläolevn nojll ) μ (B \ A) =μ (B A = μ (B) μ (A). (c) Olkoon (A i ) Γ. Lemmn 2.3 nojll on olemss jono sellisi erillisiä joukkoj (B i ) Γ, että B i A i in, kun i Z +,j A i = B i. Ominisuuden (M3) j luseen kohdn () nojll ( ) ( ) μ A i = μ B i = μ (B i ) μ (A i ). (d) Olkoon A 0 = j olkoot A 1 A 2..., missä A i Γ in, kun i Z +. Merkitään A = A i, jolloin A = (A i A i 1 ). Merkitään B i = A i A i 1. Tällöin joukot B i ovt erillisiä, joten μ (A) = ( j ) μ (B i ) = lim μ (B i ) j = lim μ (A j ). j (e) Olkoot A 1 A 2... (ks. kuv 1) j A i Γ in, kun i Z +. Olkoon lisäksi A... k+1 A k... A i Kuv 1. Joukot A i

3. ULKOMITTA JA MITALLIST JOUKOT 11 μ (A k ) < jollin k. Merkitään B i = A k A i kikill i k. Siis A i = A k Bi, j ( ) ( ) A i = A i = A k Bi = A k Bi i=k i=k ( ). = A k B i i=k Kosk B i B i+1 in, kun i k, on kohdn (d) nojll μ ( i=k B i) = lim μ (B i). delleen kohdn (b) nojll i ( ) ( ) μ A i = μ (A k ) μ B i i=k = μ (A k ) lim μ (B i )=μ(a k ) lim (μ (A k ) μ (A i )) i i = lim μ (A i ). i Huomutus. hto μ (A k ) < jollin k on oleellinen ylläolevss päättelyssä. 3. Ulkomitt j mitlliset joukot dellä olemme määritelleet joukot joit hluisimme integroinniss käyttää, sekä tp joll niiden koko hluisimme mitt. Ongelm on, että meillä ei toistiseksi ole käytössämme yhtään epätrivili mitt, joll voisi mitt esimerkiksi kikki Borel joukkoj. Sellisen konstruoimiseksi noudtmme seurv strtegi: määrittelemme heikommn tyypin mitn, niin snotun ulkomitn, j osoitmme, että siihen liittyy luonnollisell tvll σ-lgebr joll se on itse siss mitt. Määritelmä 3.1. Olkoon X joukko. Kuvust μ : P (X) [0, ] snotn ulkomitksi joukoss X, jos seurvt ehdot ovt voimss: (UM1) μ ( ) =0. (UM2) μ on monotoninen ts. μ (A) μ (B) in, kun A B. (UM3) μ on numeroituvsti subdditiivinen, eli ( ) μ A i μ (A i ). Jokinen mitt on myös ulkomitt, mutt ei kääntäen. Määritelmä 3.2. Olkoon μ ulkomitt joukoss X. Joukko X snotn mitlliseksi ulkomitn μ suhteen, eliμ -mitlliseksi, jos seurv, ns. Crthéodoryn ehto, on voimss: ( ) (3) μ (A) =μ (A )+μ A, in, kun A X. Joukko on siis mitllinen, jos se ei j mitään joukko niin huonoll tvll, että osien mittojen summ ei ole joukon mitt. Huomutus. Kosk μ on subdditiivinen j A =(A ) (A ), niin ( ) μ (A) μ (A )+μ A. i=k

12 1. MITTATORIAA Siis (3) on voimss, jos epäyhtälö (4) μ (A) μ (A )+μ ( A ) pätee. Jos A X j X ovt mielivltisi, niin μ (A )+μ ( A ) μ ()+μ (A). Jos lisäksi μ () =0, niin ehto (4) on voimss j on mitllinen. Näin ollen kikki joukot, joiden ulkomitt on noll, ovt mitllisi. simerkki. Joukot j X ovt μ -mitllisi, sillä ( ) ( ) μ (A) =μ (A )+μ A = μ (A X)+μ A X in, kun A X. Olkoon X epätyhjä joukko j μ (A) = { 0, jos A =, 1, jos A. Nyt X j ovt μ -mitllisi, joten olkoon X. Tällöin on μ -mitllinen, jos ehto (3) pätee, eli jos μ (A) =μ (A )+μ ( A ) in, kun A X. Sijoittmll A = X sdn ylläolev yhtälö muotoon 1=1+1, mikä on mhdotont. Siis ei ole μ -mitllinen. Olkoon X kuten edellä j määritellään ulkomitt μ seurvsti: { μ #A, jos A on äärellinen pistejoukko, (A) =, jos A on ääretön. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että μ : P (X) [0, ] on ulkomitt j että kikki joukot X ovt μ -mitllisi. Seurvn lemmn voi todist induktioll. Todistus jätetään hrjoitukseksi. Lemm 3.3. Olkoot 1, 2,..., n erillisiä μ -mitllisi joukkoj. Tällöin ( μ A ( n )) ( i = μ A i ). kikille joukoille A X. Lemm 3.4. Olkoon μ ulkomitt joukoss X. Jos joukot 1,..., n X ovt μ -mitllisi, niin myös n i on μ -mitllinen. Todistus. Induktioperitteen nojll riittää osoitt väite, kun n =2. Olkoot siis 1, 2 Xμ -mitllisi j A X mielivltinen. Jos μ (A) =, niin ehto (4) on voimss joukolle 1 2 j väite pätee. Olkoon siis μ (A) <. Kosk A ( 1 2 )=(A 1 ) ((A 2 ) 1 j A ( 1 2 ) = A 1 2,

3. ULKOMITTA JA MITALLIST JOUKOT 13 niin ( ) μ (A ( 1 2 )) + μ A ( 1 2 ) ( ) ) μ (A 1 )+μ (A 1) 2 + μ ((A 1) 2 ) =μ (A 1 )+μ (A 1 = μ (A). Luse 3.5. Olkoon μ ulkomitt joukoss X j olkoon Γ={ P (X) on μ -mitllinen }. Tällöin Γ on σ-lgebr j ulkomitn μ rjoittum μ = μ Γ :Γ [0, ] on mitt. Todistus. Osoitetn ensin, että Γ on σ-lgebr. Kosk on in mitllinen, niin ehto (SA1) on voimss. Jos Γ j A X ovt mielivltisi, niin ( ) ( ) μ A + μ A ( ) ( ) = μ (A )+μ A = μ (A). Näin ollen Γ j ehto (SA2) on voimss. Lemmn 2.3 nojll riittää, että ehto (SA3) osoitetn erillisille joukoille. Olkoot 1, 2, Γ j A X. Merkitään n S n = i, in, kun n Z +. Lemmn 3.4 nojll S n Γ in, kun n Z +, j Lemmn 3.3 nojll ( μ (A S n )=μ A ( n )) i = μ (A i ). Kosk S n Γ, niin in, kun n Z +. Siis μ (A) =μ (A S n )+μ ( A (S n ) ) μ (A) = ( n ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ( ( ) ) μ (A i ) + μ A i ( )) ( ) = μ (A i + μ (A i ). Näin ollen ehto (4) on voimss joukolle i,eli i Γ.

14 1. MITTATORIAA Osoitetn vielä, että μ = μ Γ : Γ [0, ] on mitt. Riittää osoitt, että ehto (M3) on voimss, eli että μ on numeroituvsti dditiivinen. Olkoot 1, 2,... Γ erillisiä joukkoj. Kosk Lemmn 3.3 nojll ( n )) μ (A i = μ (A i ) in, kun A X, n Z +, niin vlitsemll A = n i sdn ( ) ( n ) μ i μ i = μ ( i ) in, kun n Z +. Siis ( ) μ i μ ( i ). Toislt μ on numeroituvsti subdditiivinen, joten myös epäyhtälö onedellisellä rivillä voimss, jost seur, että oikesti siinä pätee yhtäsuuruus, j näin ollen μ on mitt. 4. Ulkomitn konstruointi Tässä viheess stt jo tuntu itsensä toistmiselt sno, että osisimme mitt joukkoj hyvin mitll, jonk sisimme ulkomitst, jot meillä ei kuitenkn ole. Tässä kppleess näytämme, miten ulkomitn voi konstruoid vieläkin heikommst mittusvälineestä, esimitst. Määritelmä 4.1. Olkoon X joukko j K P (X) perhe joukon X osjoukkoj. Perhettä K snotn joukon X peiteluokksi, jos (P1) K. (P2) Jokiselle A X on olemss sellinen jono ( i ) K, että A i (ts. A voidn peittää perheen K joukoill). Kuvust λ : K [0, ], jolle λ ( ) =0, snotn esimitksi. simerkki. Olkoon X = R j K = { (, b) b}. Nyt =(, ) K j R = ] i, i[. Siis K on peiteluokk. Määritellään λ : K [0, ] settmll λ ((, b)) = b (välin pituus). Tällöin λ on esimitt. Olkoon X = R n, n 2, j määritellään { n K = ( i,b i )=( 1,b 1 ) ( 2,b 2 ) ( n,b n ) i b i }. Nyt K koostuu R n :n voimist väleistä n ( i,b i ). Lisäksi K on joukon R n peiteluokk, sillä R n = I j, missä I j =( j, j) ( j, j) =( j, j) n. j=1 Määritellään esimitt λ : K [0, ] geometrisen mittn: ( n ) n λ ( j,b j ) = (b i i ). j=1

4. ULKOMITAN KONSTRUOINTI 15 Kuv 2. Avruuden R 2 voin väli b 2 2 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 1 b 1 Luse 4.2. Olkoon X joukko, K sen peiteluokk j λ : K [0, ] esimitt. Tällöin kuvus μ : P (X) [0, ], jolle { (5) μ } (A) =inf λ ( i ) A i j i K i, on ulkomitt. Todistus. Osoitetn ulkomitn määritelmän kohdt (UM1) (UM3). Nyt μ ( ) =0, sillä K j λ ( ) =0. Siis (UM1) pätee. Olkoot A B X. JosB i, missä i K jokisell i, niin selvästi myös A i. Tällöin μ (A) μ (B) j (UM2) pätee. Olkoot nyt A 1,A 2,... X j ε>0 mielivltinen. Infiniumin määritelmästä seur, että jos A X, niin jokist ε>0 kohti on olemss sellinen { i } K, että μ (A) λ ( i ) <μ (A)+ε. Nyt jokist i Z + kohti on olemss sellinen kokoelm ( (i) k ) A i (i) k j Kosk A i i, (i) k, niin ( ) μ A i = = i, ( λ (i) k ( λ ) <μ (A i )+ ε 2. i (i) k ( λ ) (i) k ) < (μ (A i )+ ε ) 2 i μ 1 (A i )+ε 2 = μ (A i i )+ε. K, että

16 1. MITTATORIAA Kosk ε oli mielivltinen, sdn ( ) μ A i Siis (UM3) pätee, joten μ on ulkomitt. μ (A i ). simerkki. Olkoon X = R j K = {, R, {x} x R} peiteluokk. Määritellään esimitt λ : K [0, ] seurvsti: λ ( ) =0,λ(R) = j λ ({x}) =1kikill x R. Hrjoituksen on osoitt, että näin sdn ulkomitt μ : P (X) [0, ], μ (A) =#A in, kun A R. 5. Lebesguen ulkomitt j mitt Nyt tulemme kurssin ensimmäisen osn loppuun, j voimme poimi hedelmät, joit tähänstinen työmme on tuottnut. Konstruoimme Lebesgue:in ulkomitn jok toimii uklidisess vruudess R n, n 1, kikille Borel joukoille j muillekin. Joukko I = {x =(x 1,x 2,...,x n ) R n x k ( k,b k ) k =1,...,n} snotn vruuden R n voimeksi väliksi. OlkoonK kikkien vruuden R n voimien välien muodostm joukko. Tällöin K on vruuden R n peiteluokk. Määritellään kuvus λ = λ n : K [0, ] seurvsti: λ n ( ) =0, λ n (I) =(b 1 1 ) (b n n ) I K. Tällöin λ n on esimitt (geometrinen mitt). Huomutus. Geometrinen mitt on sm myös suljetuille j puolivoimille väleille. Määritelmä 5.1. uklidisen vruuden R n ylläolevst peiteluokst K j geometrisest esimitst λ = λ m lähtien konstruoitu ulkomitt { m (A) =m n (A) =inf } λ (I j ) I j K,A I j j=1 snotn Lebesguen ulkomitksi j m n-mitllisi joukkoj Lebesgue-mitllisiksi. Vstv σ-lgebr merkitään M = M(R n ). Stu mitt m=m M snotn Lebesguen mitksi. Jtkoss puhutn mitst m j ulkomitst m trkoitten nimenomn Lebesguen mitt j ulkomitt. Seurvksi pyritään krkterisoimn σ-lgebr M. Yleisten tulosten perusteell tiedetään, että Mj R n M. Lisäksi, jos R n j m () =0, niin M. simerkki. Olkoon {x} R n, jolloin m ({x}) inf λ (I) =0. {x} I Siis {x} M in, kun x R n. Tällöin {x (i) } = {x (1),x (2),...} M j=1

j 5. LBSGUN ULKOMITTA JA MITTA 17 m ( {x (1),x (2),...} ) m ( {x (i) } ) =0. Siis m (Q n )=0,jotenQ n M. Lemm 5.2. Avruuden R n jokisen välin ulkomitt on sm kuin sen geometrinen mitt. Todistus. Olkoon luksi I = {x R n i x i b i } = n [ i,b i ] (suljettu väli). Nyt I voidn peittää voimell välillä, jonk geometrinen mitt ero välin I geometrisest mitst vähemmän kuin ε. Yhtälön (5) nojll m (I) λ (I)+ε, joten m (I) λ (I). Olkoon I k I k peite voimill väleillä. Tällöin λ (I) k λ (I k), joten λ (I) inf k λ (I k)=m (I). Siis välttämättä m (I) =λ (I). Vstv päättely pätee kikille väleille I R n. Huomutus. Tulos m (I) = λ (I) pätee myös surkstuneille väleille I, missä k = b k jollkin k. Tällöin m (I) =0. Luse 5.3. Avruuden R n jokinen väli I on mitllinen j m(i) =m (I) =λ (I). Todistus. Lemmn 5.2 nojll riittää todist, että jokinen väli I on mitllinen. Olkoon I väli j olkoon A R n mielivltinen osjoukko, jolle m (A) <. Mitllisuuden tkmiseksi on osoitettv, että ( ) m (A) m (A I)+m A I. Jott voidn käyttää hyväksi sitä, että I on väli, pproksimoidn testijoukko A väleillä seurvsti: Jos ε>0 on nnettu, peitetään A sellisill voimill väleillä {I k }, että (6) m (A) > k λ (I k ) ε. Joukko I k = I k I on joko tiväli(ks.kuv3).joukkoi k = I k I ei 0000 1111 I k 1100 I 1100 k I I k Kuv 3. Joukot I,I k,i k j I k.

18 1. MITTATORIAA välttämättä ole väli, mutt se voidn jk äärelliseen määrään välejä I kj.selvästi λ (I k )=λ(i k )+ j λ ( I kj). Lemmn 5.2 nojll λ (I k )=m (I k )+ m (I kj ). j Summmll muuttujn k yli j käyttämällä ulkomitn subdditiivisuutt sdn λ (I k )= m (I k )+ m ( ) I kj k k k,j ( ) ( ) m I k +m I kj. Mutt k I k =( ki k ) I A I j k,j I kj =( ki k ) I A I,joten ( ) λ (I k ) m (A I)+m A I. k Tällöin epäyhtälön (6) nojll ( ) m (A)+ε m (A I)+m A I, k mikä on voimss in, kun ε>0, joten ehto (4) on voimss. Lemm 5.4. Avruuden R n voin joukko A voidn esittää yhdisteenä numeroituvst määrästä erillisiä välejä. Todistus. Hrjoitustehtävä. Seurus 5.5. Avruuden R n kikki voimet j suljetut joukot ovt mitllisi. Lisäksi kikki Borelin joukot ovt mitllisi. Todistus. Avoimille joukoille tulos seur Lemmst 5.4 j Luseest 5.3. Olkoon B R n suljettu. Tällöin B on voin, siis B M, jotenb =(B ) M. Vstvsti Borelin joukkoluokk B M, sillä B on pienin σ-lgebr, jok sisältää voimet joukot. ssee tehtävä 1. nsimmäisessä essee tehtävässä osoitetn, että on olemss joukkoj F M, että F / B, sekäjoukkoja R, jotk eivät ole (Lebesgue- )mitllisi. Näin on stu konstruoitu vruuden R n joukoist mitlliset joukot M P (R n ) j mitt m:m [0, ]. Kolmikko (R n, M, m) snotn mitt-vruudeksi. k,j Luse 5.6. Olkoon T : R n R n siirto, ts. Tx = x + b in, kun x R n,j b R n kiinteä. Tällöin on voimss: () m (T (A)) = m (A) in, kun A R n. (b) Jos M, niin T () M. (c) m(t ()) = m () in, kun M. Todistus. Aloitetn kohdst (). Olkoon I R n väli. Tällöin myös T (I) on väli j λ (T (I)) = λ (I). OlkoonnytA R n j A k I k, missä jokinen I k on voin väli. Tällöin T (A) k T (I k ) j m (T (A)) k λ (T (I k )) = k λ (I k ).

5. LBSGUN ULKOMITTA JA MITTA 19 Siis m (T (A)) inf λ (I k )=m (A). A k I k k Toislt myös kuvuksen T käänteiskuvus T 1 : x x b on siirto, joten m (A) =m (T 1 (T (A))) m (T (A)). Siis m (T (A)) = m (A). Todistetn seurvksi koht (b). Olkoon M. KoskT on bijektio, niin jokiselle A R n on m (A) =m ( T (T 1 (A)) ) =m ( T 1 (A) ) =m ( T 1 (A) ) ( ) +m T 1 (A) =m ( T (T 1 (A) ) ) )) +m (T (T 1 (A) ) =m (A T ()) + m (A T ( ). Näin ollen T () M, kosk yhtälö (3) on voimss in, kun A R n.myös = T 1 (T ()) on mitllinen, jos T () on mitllinen. Koht (c) seur kohdist () j (b).

LUKU 2 Integroimisteori 1. Topologisi peruskäsitteitä Topologin peruskäsite on voin joukko. Metrisess vruudess X (esim. X = R n ) meillä on käytössä etäisyysmitt d jok kertoo khden pisteen välisen etäisyyden. Tällöin voin pllo on joukko B(x, r) ={y X d(x, y) <r}. Yleinen joukko A X on voin, jos jokiselle x A löytyy r>0 siten, että B(x, r) A. Tässä meitä kiinnostvt kksi topologist vruutt, R j R. dellinen on entuudestn tuttu, j siinä meillä on d(x, y) = x y. Jälkimmäinen joukko on relikselin khden pisteen kompktifiktio, R = R {, }. Tässä tpuksess sovitn, että pllo B(,r) on puoliääretön väli (r 1, ] j pllo B(,r) on puoliääretön väli [, r 1 ). Joukko A on pisteen x ympäristö jos se on voin j sisältää pisteen x. Metrisessä vruudeess voimme määritellä ylä- j lrjrvot seurvsti lim sup f(x) =inf x sup A x A f(x) j lim inf x f(x) =supinf f(x), A x A missä ensimmäinen inf j sup on otettu yli pisteen ympäristöjen. rityisesti vruudess N pätee lim sup x i = lim i sup i k i x k j lim inf i x i = lim i inf k i x k. Jos X j Y ovt metrisiä vruuksi niin snomme kuvust f : X Y jtkuvksi jos lkukuv f 1 (A) ={x X f(x) A} on voin jokisell voimell joukoll A Y. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että tämä määritelmä on ekvivlentti Anlyysi I kurssin ɛ-δ määritelmän knss. Jos f : X R on funktio, niin riittää sen jtkuvuuden osoittmiseksi trkist, että joukkojen (, ] j [,) lkukuvt ovt voimi kikill R (hrjoitustehtävä). Jos funktio toteutt inostn ehdon, että f 1( (, ] ) on voin kikill R, niin sitä snotn lhlt puolivoimeksi. Jos f 1( [,) ) on voin kikill R, niin funktiot snotn ylhäältä puolivoimeksi. Joukon X krkteristinen funktio χ : X R s määritelmän mukn rvon 1 joukoss, j0 muuten. Funktio χ on lhlt puolijtkuv jos j vin jos on voin; vstvsti, se on ylhäältä puolijtkuv jos j vin jos on suljettu. Jos X = R n, niin on voin j suljettu inostn jos = R n ti =. Nämä ovt siis myös inot tpukset joiss χ on jtkuv. 2. Mitlliset funktiot Seurvksi määrittelemme jtkuv funktiot yleisemmän funktion, jok kuitenkin osoittutuu erittäin toimivksi integroinnin knnlt. Iden on korvt edellisen kppleen jtkuvuuden määritelmässä vtimuksen, että lkukuv on voin pljon väljemällä vtimuksell, että se on mitllinen (jokinen voin joukkohn on mitllinen). 20

2. MITALLIST FUNKTIOT 21 Seurvss R n on in mitllinen joukko. (Väittämien knnlt ei usein ole oleellist, että kyse on nimenomn vruudest R n.) Määritelmä 2.1. Funktiot f : R snotnmitlliseksi,jos on mitllinen joukko j joukko {x f(x) >} on mitllinen in, kun R. dellinen määritelmä näyttää vstvn lhlt puolijtkuvn funktion määritelmää. Voisi siis jtell, että sisimme toisen funktioluokn muuttmll oletust niin, että {x f(x) <} onkin voin. Seurvn lemmn nojll näin ei ole. Lemm 2.2. Olkoon R n mitllinen osjoukko, f : R j R mielivltinen. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitävät: (i) Joukko {x f(x) >} M. (ii) Joukko {x f(x) } M. (iii) Joukko {x f(x) <} M. (iv) Joukko {x f(x) } M. Todistus. Selvästi kohdt (i) j (iv), sekä (ii) j (iii) ovt keskenään yhtäpitävät, sillä kyseiset joukot ovt toistens komplementtej in, kun R. delleen (i) (ii), sillä {x f(x) } = {x f(x) > 1 k }, j vstvsti (ii) (i), sillä on {x f(x) >} = {x f(x) + 1 k }. Jos f : R on mitllinen, niin jokisen voimen välin I =(, b) lkukuv f 1 ((, b)) = {x <f(x) <b} = {x f(x) >} {x f(x) <b}. Siis voimen välin lkukuv on khden mitllisen joukon leikkuksen mitllinen. Jos A R on voin joukko, niin A = k I k, missä joukot I k ovt erillisiä voimi välejä. Tällöin f 1 (A) =f 1 ( k I k )= k f 1 (I k ),jotenf 1 (A) on mitllinen. Siis voimen joukon lkukuv on mitllinen. Osoitetn, että jos f : R on jtkuv j M, niin f on mitllinen funktio. Jos R on mielivltinen, niin joukko A =(, ) on voin. Kosk f on jtkuv, niin joukko f 1 (A) ={x f(x) >} on voin joukoss. Tällöin f 1 (A) =U, missä U R n on voin joukko, joten U on mitllinen. Näin ollen f 1 (A) ={x f(x) >} on mitllinen j f on mitllinen funktio. Jos f : R n R on mitllinen funktio j D on mitllinen osjoukko, niin funktion f rjoittum joukkoon D, f D : D R, on mitllinen, sillä {x D f D (x) >} = D {x f(x) >}. simerkki. Määritellään funktio f : R R seurvsti: { 1, jos x R \ Q, f(x) = 0, jos x Q.

22 2. INTGROIMISTORIAA Olkoon nyt R, jolloin, jos 1, {x R f(x) >} = R \ Q, jos 1 > 0, R, jos <0. Kosk m (Q) =0, niin Q on mitllinen joukko, smoin R \ Q = Q. Siis joukko {x R f(x) >} on mitllinen, joten funktio f on mitllinen. Jos R, niin, jos 1, {x R χ A (x) >} = A, jos 1 > 0, R, jos <0. Siis χ A on mitllinen jos j vin jos A on mitllinen joukko. Luse 2.3. Olkoot f j g mitllisi funktioit R n R j olkoon c R. Tällöin () f ± g j fg (mikäli määritellyt) ovt mitllisi funktioit. (b) f, f + := mx{f,0} j f := min{f,0} ovt mitllisi funktioit. Tässä edellytetään, ettei esimerkiksi f(x)+g(x) =+ +( ). Todistus. Hrjoituksiss osoitetn funktiot f + g j fg mitllisiksi. Trkstelln tässä yksinkertisemp tpust, nimittäin funktiot f + c. Kosk {x f(x)+c>} = {x f(x) > c}, on f + c mitllinen. Vstvsti funktiolle cf sdn {x f(x) > }, jos c>0, c {x cf(x) >} = {x f(x) < }, jos c<0, c ti, jos c =0. Siis funktio cf on mitllinen. Itseisrvon määritelmän nojll pätee { f(x), jos f(x) 0, f(x) = f(x), jos f(x) < 0. Jos <0, niin j jos 0, niin {x f(x) } = {x f(x) } = {x f(x) } {x f(x) }. Näin ollen f on mitllinen in, kun f on mitllinen. Kikill x on f(x) = f + (x)+f (x) j f(x) =f + (x) f (x) j vstvsti f + (x) = 1( f(x) + f(x)) j f (x) = 1( f(x) f(x)). Siis f + (x) j f (x) 2 2 ovt mitllisi edellisten kohtien nojll, jos f(x) on mitllinen. Luse 2.4. Olkoon (f n ) jono mitllisi funktioit: Rn R. Tällöin funktiot sup f k, inf f k, lim sup f k j lim inf f k ovt mitllisi. k k

2. MITALLIST FUNKTIOT 23 funktio f 1 funktio f^+ 1 funktio f^- 1 0.8 0.8 0.5 0.6 0.6 6 4 2 2 4 6 x 0.4 0.4 0.5 0.2 0.2 1 6 4 2 0 2 4 6 x 6 4 2 2 4 6 x Kuv 1. Funktiot f =sin(x), f + j f Todistus. Merkitään g(x) :=supf k (x), x. Jos R, niin n {x g(x) >} = {x f k (x) >}. Siis g on mitlllinen, jos f n on mitllinen in, kun n Z +. Vstvsti funktiolle h(x) :=inf f k(x), x, on k {x h(x) <} = {x f k (x) <} in, kun R. Tätenh on mitllinen, jos f k on mitllinen in, kun k Z +. Hrjoituksen on osoitt, että lim sup f k (x) =inf i {sup k i f k (x)} j lim inf f k(x) =sup{inf f k(x)} i k i in, kun x. Tällöin rjfunktiot ovt mitllisi edelläolevn päättelyn nojll. Määritelmä 2.5. Olkoon R n mitllinen joukko. Jos P on jokin ominisuus, jok on voimss kikiss joukon pisteissä lukuunottmtt joukko A, jolle m (A) = 0, niin snotn, että P on voimss melkein kikkill (m.k.) joukoss. simerkki. f = g m.k. joukoss, josf(x) =g(x) m.k. joukoss, ts.jos m ({x f(x) g(x)}) =0. Olkoot g(x) =0in, kun x R, j { 1, jos x Q, f(x) = 0, jos x R \ Q. Tällöin f = g m.k. joukoss R.

24 2. INTGROIMISTORIAA f n f m.k. joukoss jos j vin jos m ( \{x f n (x) f(x)}) =0. Luse 2.6. Olkoon f : R mitllinen funktio j olkoon f = g m.k. joukoss. Tällöin myös g on mitllinen funktio. Todistus. Merkitään A = {x f(x) g(x)}. Siis m (A) =0,jotenA on mitllinen. Tällöin joukko {x g(x) <} = {x A f(x) <} {x A g(x) <} on mitllinen in, kun R. Näin ollen g on mitllinen funktio. Huomutus. Yleensä sllitn edellisen luseen tpisiss väitteissä myös tilnne joss g ei ole edes määritelty joukoss A. Luse 2.7 (goroffin Luse). Olkoon R n mitllinen joukko, jolle m() < j olkoon (f k ) jono sellisi mitllisi funktioit R, että f n(x) f(x) m.k. joukoss. Tällöin jokist luku δ>0kohti on olemss sellinen mitllinen joukko 0, että m( 0 ) <δj f n f tsisesti joukoss \ 0 = 0. Todistus. Olkoot δ>0 j k Z + mielivltisi. Merkitään G k m = { x f m (x) f(x) k} 1. Selvästi G k m on mitllinen joukko in, kun m, k Z +. Merkitään p k := G k m = { x i p s.e. f i (x) f(x) k} 1. m=p Jos f n (x) f(x), niin on olemss sellinen p, että x/ p k. Siis p k \{x f n (x) f(x)}. p=1 Kosk f n f m.k. joukoss j p k k p+1...,niin m ( ) p=1 k p =0. Luseen 2.4 (e) nojll ( ) 0=m p k = lim m ( ) p k. p p=1 On siis olemss sellinen p k Z +, että m ( ) p k δ < in, kun p p 2 k k. Merkitään 0 := k p k, jolloin 0 on mitllinen joukko j m( 0 ) m ( ) p k k < δ 2 k = δ. On enää osoitettv, että f n f tsisesti joukoss \ 0.Olkootε>0j x \ 0 mielivltisi. Vlitn luksi sellinen s Z +, että 1 < ε. Siis s x { k p k } = { (k p k ) } (p s s ). Toisin snoen x/ p s s,joten f i (x) f(x) < 1 s <ε in, kun i p s. Siis f i f tsisesti joukoss \ 0.

3. YKSINKRTAISN FUNKTION LBSGUN INTGRAALI 25 simerkki. Olkoon =[0, 1] j f : R, f i (x) =x i in, kun i Z +. Tällöin { 0, jos x [0, 1[, lim i xi = 1, jos x =1. Siis f i (x) 0 m.k. välillä [0, 1]. Olkoonδ>0j merkitään 0 =]1 δ, 1]. Nyt \ 0 =[0, 1 δ] j x i 0 tsisesti tällä välillä, sillä x i 0 = x i (1 δ) i 0 in, kun x [0, 1 δ]. 3. Lebesguen integrli yksinkertiselle funktiolle Määritelmä 3.1. Funktiot ϕ : R n R snotn yksinkertiseksi, jos p (7) ϕ(x) = i χ i (x) in, kun x R n, missä 1,..., p R n ovt mitllisi joukkoj j i R, i 0 in, kun i = 1,...,p. Merkitään Y = {ϕ : R n R ϕ yksinkertinen}. sitys (7) ei ole yksikäsitteinen, sillä ei oletet, että joukot i olisivt erillisiä. Jos ϕ Y, niin selvästi ϕ on mitllinen j sen rvojoukko {c 1,c 2,...,c n } on äärellinen. Yksinkertisell funktioll on in ns. normliesitys p ϕ(x) = c i χ Ai (x) in, kun x R n, missä A i = {x R n ϕ(x) =c i }, i = 1,...,p, R n = p A i sekä c i c j j A i A j = in, kun i j. Normliesitys on yksikäsitteinen. simerkki. Määritellään ϕ : R R seurvsti: ϕ(x) =1 χ [0,1] (x)+2 χ [0,2] (x)+3 χ [2,4] (x). Tällöin funktion ϕ rvojoukko on {2, 3, 5, 0} j sen normliesitys on ϕ(x) =0 χ (,0) (4, ) (x)+2 χ (1,2) (x)+3 χ [0,1] ]2,4] (x)+5 χ {2} (x). Määritelmä 3.2. Olkoon f Y j f = p c iχ Ai sen normliesitys. Jos R n on mitllinen joukko, niin funktion f (Lebesguen) integrli yli joukon on: 1 p I(f,) = c i m(a i ). Jos erityisesti = R n, niin merkitään I(f,R n )=:I(f). simerkki. Olkoon A R n mitllinen joukko j f(x) =χ A (x) =0 χ R n \A(x)+1 χ A (x). Tällöin I(f) =0 m(r n \ A)+1 m(a) =m(a).jos on mielivltinen mitllinen joukko, niin I(f,) =0 m(r n \ (A )) + 1 m(a ) =m(a ). Olkoon ϕ(x) kuten edellisessä esimerkissä, tällöin I(f) =2 m ((1, 2)) + 3 m([0, 1] ]2, 4]) + 5 m({2}) =2 1+3 3+5 0=2+9=11. 1 Sopimus: 0 =0.

26 2. INTGROIMISTORIAA Luse 3.3. Jos f Y j f = q j=1 jχ Bj, missä B j B i = in, kun i j, niin q I(f,) = j m(b j ) in, kun M. j=1 Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse 3.4. Olkoon f Y j { k } k korkeintn numeroituv perhe erillisiä mitllisi joukkoj. Tällöin ( I f, ) k = I(f, k ). k k Todistus. Olkoon f = ( I f, k p c i χ Ai funktion f normliesitys. Tällöin k ) = = p ( )) c i m (A i k k p ( ) c i m(a i k ) = k = k k p c i m(a i k ) I(f, k ). Luse 3.5. Olkoon f Y j,f R n mitllisi. Tällöin () I(f,) I(f,F), jos F. (b) I(f,) =0,josm() =0. Todistus. Jos F, niin F = (F ). Luseen 3.4 nojll I(f,F) =I(f,)+I(f,F ) I(f,). Jos m() =0, niin m( A) =0in, kun A M. Josf = p c iχ Ai on funktion f normliesitys, niin p I(f,) = c i m( A i )=0. Luse 3.6. Olkoot f, g Y, M j α, β [0, [. Tällöin () αf + βg Y j I(αf + βg,)=αi(f,)+βi(g, ). (b) I(f,) I(g, ), josf g joukoss. Todistus. Kosk selvästi αf + βg 0 on mitllinen j se s äärellisen määrän eri rvoj, niin se on yksinkertinen funktio. Olkoot f = p c iχ Ai, g = q j=1 d jχ Bj funktioiden normliesitykset. Tällöin jokisell x A i B j on αf(x)+βg(x) =αc i + βd j j siis αf + βg = (αc i + βd j )χ Ai B j, i,j

4. I-NGATIIVISN MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 27 missä perhe {A i B j } i,j koostuu erillisistä joukoist. Luseen 3.3 perusteell I(αf + βg,)= (αc i + βd j )m((a i B j ) ). i,j Kosk nyt p A i = R n = q j=1 B j j R n =( A i ) ( B j )= i,j (A i B j ), niin sdn p q q p I(αf + βg,)=α m((a i B j ) )+β m((a i B j ) ) = α c i j=1 p c i m((a i R n ) )+β j=1 d j q d j m((r n B j ) ) = αi(f,)+βi(g, ). Todistetn seurvksi toinen väite. Jos f g joukoss, niin p p ( ( q )) I(f,) = c i m(a i ) = c i m (A i ) B j = p i,j c i q j=1 j=1 m(a i B j )= i,j d j m(a i B j ) = = I(g, ). j=1 c i m(a i B j ) 4. Integrli ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Integrlin määrittely perustuu pproksimointi-iden, kun osmme integroid yksinkertist funktiot, niin mielivltisen (mitllisen) funktion integrli sdn ottmll yksinkertinen funktio jok on mhdollisimmn iso, mutt nnettu funktiot pienempi, j integroidn sit. Määritelmä 4.1. Olkoon f : A R n [0, ] μ-mitllinen funktio. Asetetn fdμ:= sup I(ϕ, ), ϕ Y ϕ f missä A on mitllinen joukko j ϕ f joukoss. Huomutus. Määritelmän mukn f [0, ]. (1) Jokist mitllist funktiot f 0 kohti on olemss yksinkertisi funktioit ϕ, joille 0 ϕ f (esimerkiksi ϕ =0ti Luse 5.1). (2) Jos f itse on yksinkertinen funktio, niin määritelmä ntn tuloksen fdμ=supi(ϕ, ) =I(f,). ϕ f simerkki. Olkoon { 1, jos x [0, 1] Q, f(x) = 0, jos x [0, 1] \ Q. Nyt f on mitllinen j yksinkertinen funktio. Lsketn fdμ: [0,1] fdμ=1 m([0, 1] Q)+0 m([0, 1] \ Q) =0. [0,1]

28 2. INTGROIMISTORIAA Tämä funktio ei ole Riemnnin mielessä integroituv. Seurvss luseess todistetn integrlin perusominisuudet ei-negtiivisille mitllisille funktioille. Luse 4.2. Olkoot,F R n mitllisi joukkoj, sekä f j g ei-negtiivisi mitllisi funktioit. Tällöin on voimss: () Jos f g joukoss, niin fdμ gdμ. (b) Jos F, niin fdμ fdμ. F (c) Jos f(x) =0in, kun x dμ, niin fdμ=0. (d) Jos m() =0, niin fdμ=0. (e) Jos 0 α<, niin αf dμ = α fdμ. Todistus. () Olkoon f g joukoss. Tällöin fdμ=supi(ϕ, ) sup I(ϕ, ) = ϕ f ϕ Y ϕ g ϕ Y g dμ. (b) Hrjoitustehtävä. (c) Olkoon f(x) =0in, kun x. Tällöin 0 ϕ f =0joukoss, eli ϕ =0. Näin ollen I(ϕ, ) =0,,in,kun0 ϕ f, joten fdμ=0. (d) Olkoon m() = 0 j f : [0, ] mitllinen. Luseen 3.5 (b) nojll I(ϕ, ) =0in, kun ϕ Y. Tällöin fdμ=supi(ϕ, ) =0. ϕ f ϕ Y (e) Olkoon 0 α< j f : [0, ] mitllinen. Jos α =0, niin väite seur kohdst (c). Olkoon siis α>0. Josϕ Y j ϕ f joukoss, niin αϕ Y j αϕ αf joukoss. Luseen 3.6 nojll αi(ϕ, ) =I(αϕ, ) αf dμ, joten α fdμ= α sup ϕ f ϕ Y I(ϕ, ) =supi(αϕ, ) ϕ f ϕ Y = sup I(αϕ, ) = supi(ψ, ) αϕ αf ψ αf αϕ Y ψ Y = αf dμ. Luse 4.3. Olkoon f : [0, ] mitllinen funktio, jolle fdμ<. Tällöin 0 f(x) < m.k. joukoss. Todistus. Merkitään A = {x f(x) =+ }. NytA on mitllinen, sillä A = f 1 ({+ }) = n=1 {x f(x) >n}. Lisäksikχ A on yksinkertinen funktio in, kun k Z +. delleen kχ A f joukoss, j > fdμ I(kχ A,)=km(A) in, kun k Z +. Siis välttämättä m(a) =0.

5. KSKIST RAJA-ARVOTULOKST 29 Luse 4.4. Olkoot f j g : [0, ] mitllisi funktioit. Jos f = g m.k. joukoss, niin fdμ= g dμ. Todistus. Olkoon A j m(a) =0. Olkoot lisäksi f,g : [0, ] sellisi mitllisi funktioit, että f(x) =g(x) in, kun x A. Tällöin fdμ= fdμ+ fdμ= gdμ= g dμ. A A A Luse 4.5. Olkoon f : [0, ] mitllinen funktio. Jos fdμ=0, niin f =0 m.k. joukoss. Todistus. Merkitään A := {x f(x) > 0} j oletetn, että m(a) > 0. Jos jokisell k Z + setetn k := { x f(x) > 1 k}, niin k k+1 in, kun k Z +,ja = k. Siis Luseen 2.4 nojll lim m( k)=m(a) > 0, joten 1 0= fdμ fdμ k k k dμ = 1 k m( k) > 0, kun k on riittävän suuri. Tästä seur ristiriit, joten m(a) =0. 5. Keskeiset rj-rvotulokset ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Tässä kppleess todistmme muutmn keskeisen tulosksen Lebesgue integrlin hyvästä käyttäytymisestä rj-rvon oton suhteen. Luse 5.1. Olkoon A R n mitllinen joukko j f : A [0, ] nnettu funktio. Tällöin f on mitllinen jos j vin jos on olemss sellinen funktiojono (f i ) Y, että f i (x) f i+1 (x) in, kun x A j i Z +, sekä lim f i (x) =f(x) in, i kun x A. Todistus. Jos edellä minittu jono (f i ) on olemss, niin Luseen 2.4 nojll rjfunktio f on mitllinen. Olkoon siis f : A [0, ] mitllinen funktio. Konstruoidn funktiojono (f i ) Y seurvsti: f 1 :Väli[0, 1] jetn väleihin (ks. kuv 2) V 1j =[ j 1 2, j [, 1 j 2, 2 j setetn { j 1 f 1 (x) =, jos x f 1 (V 2 1j ),j =1, 2, 1, jos x f 1 ([1, ]). f i,i 2: Väli[0,i] jetn erillisiin osiin V ij =[ j 1 2 i, j 2 i [, 1 j i2i,

30 2. INTGROIMISTORIAA 2 1 f 1 Kuv 2. Funktio f 1. j setetn f i (x) = { j 1 2 i, jos j 1 2 i f(x) < j 2 i,j=1,...,i2 i, i, jos f(x) i. Selvästi f i (x) Y j f i (x) f i+1 (x) f(x) in, kun x A j i Z +.Jos f(x) <, niin vlitsemll i 0 f(x) sdn f(x) 1 f 2 i i (x) f(x) in, kun i i 0.Tätenf i (x) f(x). Jos ts f(x) =+, niin f i (x) =i in, kun i Z +, j f i (x) +, kuni. Siis lim i f i (x) =f(x), in, kun x A, j (f i ) täyttää luseen ehdot. Luse 5.1 nojll olisi ollut mhdollist määritellä ei-negtiivisen mitllisen funktion f : A [0, ] integrlin yli joukon A rj-rvon fdμ= lim I(f i,). i Tällöin olisi kuitenkin pitänyt osoitt, että rj-rvo on hyvin määritelty, eli, että se ei riipu pproksimoivst funktiojonost. Luse 5.2 (Lebesguen MS-luse). Olkoon (f k ) : [0, ] jono sellisi mitllisi funktioit, että f k (x) f k+1 (x) in, kun x j k Z +.Tällöin lim f k dμ = lim f k dμ. Todistus. Todetn luksi, että yhtälön molemmt puolet ovt määritellyt. Kosk f k (x) f k+1 (x) in, kun x, niin Luseen 4.2 () nojll 0 f k dμ f k+1 dμ. Täten ( f k) on ksvv relilukujono, joll on rj-rvo α := lim f k dμ [0, ]. Toislt lukujono (f k (x)) on ksvv j rjfunktio f(x) := lim f k (x) =supf k (x) f k (x) 0 k on myös mitllinen j integrli on siis määritelty. Täten yhtälön molemmt puolet ovt määritellyt. delläolevn nojll f k (x) f(x) in, kun x j k Z +, joten f k dμ fdμ in, kun k Z +,

j siis 5. KSKIST RAJA-ARVOTULOKST 31 α = lim Riittää enää osoitt, että α ϕ Y sellinen, että ϕ f joukoss. Merkitään f k dμ =sup f k dμ f dμ. k fdμ.olkoon0 β<1mielivltinen j olkoon k := {x f k (x) βϕ(x)}, in, kun k =1, 2,... Selvästi joukot k ovt mitllisi j 1 2..., sekä k =. Näin ollen sdn f k dμ f k dμ βϕdμ = β ϕ dμ. k k k Hrjoitustehtävänä on osoitt, että jos ϕ Y j (A k ) on jono sellisi mitllisi joukkoj, että A 1 A 2..., niin ( ) I ϕ, A k = lim I(ϕ, A k ). Siis α =sup f k dμ β lim ϕdμ= β ϕdμ= βi(ϕ, ) k k in, kun ϕ Y j ϕ f, joten α β sup I(ϕ, ) =β f dμ. ϕ Y ϕ f Kun β 1, niin sdn lopult α fdμj luse on todistettu. Lemm 5.3. Olkoot f,g : [0, ] mitllisi funktioit. Tällöin f + gdμ= fdμ+ g dμ. Todistus. Olkoot (ϕ k ) j (ψ k ) Luseen 5.1 jonot funktioille f j g. Tällöin jono (ϕ k + ψ k ) on ksvv j lim (ϕ k(x)+ψ k (x)) = f(x)+g(x). Lebesguen MS-luseen nojll ( f + gdμ= lim ϕ k + ψ k dμ = lim ) ϕ k dμ + ψ k dμ = lim ϕ k dμ + lim ψ k dμ = fdμ+ g dμ. Induktioll tulos yleistyy m:lle funktiolle m m f k dμ = f k dμ. Induktioll sdn kuitenkin in vin äärellisiä joukkoj koskevi tuloksi. Induktiopäättely voidn kuitenkin usein yhdistää sopivll tvllrj-rvopäättelyyn j näin joht vstv numeroituv tulos. Näin menetellään seurvksi e.m. yhtälölle.

32 2. INTGROIMISTORIAA Luse 5.4. Olkoon (f k ) : [0, ] jono mitllisi funktioit. Tällöin f k dμ = f k dμ. Todistus. Jos n Z + on mielivltinen, niin funktio g n = n f k on mitllinen, 0 g 1 g 2... j f k (x) = lim g n (x) n on olemss j on mitllinen funktio. Lebesguen MS-luseen j edellisen huomutuksen nojll f k (x) dμ = lim g n = lim g n dμ n = lim f k dμ = f k dμ. n Luse 5.5 (Ftoun Lemm). Olkoon (f k ) : [0, ] jono mitllisi funktioit. Tällöin lim inf f k dμ lim inf f k dμ. Todistus. Asetetn g n (x) :=inf k n f k (x) in, kun x. Tällöin g n (x) g n+1 (x) in, kun x j n Z +,joten lim g n(x) =supg n (x) =supinf f k(x) = lim inf f k(x). n n n k n Lebesguen MS-lusett voidn sovelt jonoon g n, jolloin lim inf f k dμ = lim g n dμ = lim g n dμ. n n Kosk g n g n+1 in, kun n Z +, niin ( g n) n=1 on ksvv lukujono j rj-rvo on olemss. Lisäksi lim n g n dμ = lim inf n sup n inf k n g n dμ =sup n inf k n f k dμ = lim inf g k dμ f k dμ, sillä g k (x) =inf f j(x) f k (x) in, kun k. Näin ollen j k lim inf f k dμ = lim g k lim inf f k dμ. simerkki. Olkoon f k (x) =kχ 1 (0, k) (x) = { 0, jos x 0 ti x 1, k k, jos 0 <x< 1. k Tällöin f k (x) 0 in, kun x [0, 1], mutt f k (x) dx = k m (( )) 0, 1 1 k = k k =1 in, kun k Z +. [0,1]

Siis 6. MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 33 [0,1] lim f k dx =0< 1 = lim [0,1] f k dx. Luse 5.6. () Olkoon { k } perhe erillisiä joukkoj j f : k k [0, ] mitllinen funktio. Tällöin k k fdμ= k k f dμ. (b) Olkoon { k } M ksvv ti vähenevä jono j f mitllinen joukoss k. Jos k on vähenevä, oletetn lisäksi, että k fdμ< jollin k. Tällöin fdμ= lim f dμ. lim k k Todistus. Hrjoitustehtävä. missä Funktioll f : R on in esitys 6. Mitllisen funktion integrli f(x) =f + (x) f (x) in, kun x, f + (x) =mx{0,f(x)}, f (x) =mx{0, f(x)} = min{0,f(x)}. Lisäksi f(x) = f + (x)+f (x) in, kun x. Funktio f : R on mitllinen, jos j vin jos f + j f ovt mitllisi (miten tämä todistetn?). Näin ollen mitlliselle funktionlle f : R integrlit f + dμ j f dμ ovt määritellyt j ovt välin [0, ] lukuj. Näin sdn funktion f integrlille yli joukon luonnollinen määritelmä fdμ:= f + dμ f dμ. Tässä kuitenkn tpust + (+ ) ei ole määritelty, joten rjoitetn trksteltujen funktioiden joukko seurvsti: Määritelmä 6.1. Jos f : R on mitllinen j f + dμ < TAI f dμ < niin määrittelemme funktion integrlin kvll f := f + dμ f dμ. Funnktiot snotn integroituvksi (ti Lebesgue-integroituvksi)jos f + dμ < JA f dμ <

34 2. INTGROIMISTORIAA Luse 6.2. Funktio f : R on integroituv yli joukon jos j vin jos f on mitllinen j f <. Tällöin lisäksi fdμ f dμ. Todistus. Funktio f on integroituv yli joukon jos j vin jos se on mitllinen j f + dμ < j f dμ <. Mutt f = f + + f f + j f 0, joten Luseen 5.3 nojll f dμ <. Josf on mitllinen j f dμ <, niin (f + + f ) dμ < j siten f + dμ + f dμ < j f + dμ < j f dμ <. Näin ollen f on integroituv. Lisäksi fdμ = f + dμ f dμ f + dμ + f dμ = f + dμ + f dμ = f + + f dμ = f dμ. Kosk integroitvt funktiot muodostvt niin yleisesti käytetyn luokn, nnetn sille nimi: Snomme, että f L 1 (,μ) jos f : R on mitllinen funktio jolle f dμ <. Jos on yhteydestä selvä, käytetään lyhyempää merkintää L 1 (μ). Josμ on Lebesgue:in mitt, käytetään merkintää L 1 () to L 1. Integrlin perusominisuudet ovt jälleen helposti todistettviss tässä yleisessä tpuksess. Luse 6.3. Oletetn, että f,g L 1 (,μ). () m({x f(x) =+ ti f(x) = }) =0. (b) Jos f g m.k. joukoss, niin fdμ gdμ. (c) funktio f + g on määritelty m.k. joukoss, f + g L 1 (,μ) on integroituv yli joukon j f + gdμ= fdμ+ g dμ. (d) Jos α R, niin αf L 1 (,μ) j αf dμ = α fdμ. Todistus. Kohdt () (c) jätetään lukijlle. Kohdn (d) voi todist vikk seurvsti: Jos α 0, niin (αf) + = αf + j (αf) = αf, joten väite seur Luseest 4.2 (e). Jos α<0, niin (αf) + =( α)f j (αf) =( α)f +,joten αf dμ = (αf) + dμ (αf) dμ = ( α)f dμ ( α)f + dμ =( α) f dμ ( α) = α f dμ. ( f + dμ = α f + dμ ) f dμ dellisestä luseest seur erityisesti, että jos f : R on mitllinen funktio jolle f(x) g(x) m.k. joukoss jollekin g L 1 (,μ), niin myös f L 1 (,μ) j f dμ g dμ.

6. MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 35 Kolms keskeinen Lebesgue:in teorin rj-rvoluse ei vdi funktiolt einegtiivisuutt, vn että itseisrvo on sopivsti ylhäältä rjoitettu. Tästä syystä sitä kutsutn dominoidun suppenemisen luseeksi. Luse 6.4 (Lebesguen DS-luse). Olkoon f : R mitllinen funktio j (f k ) jono sellisi mitllisi funktioit R, että f k (x) f(x) m.k. joukoss. Jos on olemss sellinen integroituv funktio g : [0, ], että f k (x) g(x) m.k. joukoss in, kun k Z +, niin funktio f on integroituv yli joukon j lim f k dμ = fdμ= lim f k dμ. Todistus. Merkitään { } 0 = x lim f k (x) =f(x) j f k (x) g(x) k Z +. Selvästi m( \ 0 )=0.Lisäksi f(x) g(x) in, kun x 0, sillä f k (x) g(x) in, kun k Z + j x 0. dellisen luseen nojll kikki funktiot f k j myös funktio f ovt integroituvi yli joukon. Merkitään A := {x 0 f k (x) < k Z + j f(x) < }. Luseen 4.3 nojll myös m( \ A) =0. Nyt funktiot g ± f k : A [0, [ j g ± f : A [0, [ ovt integroituvi joukon A yli j g(x) ± f k (x) g(x) ± f(x) joukoss A. Ftoun Lemmn nojll gdμ+ fdμ= g + fdμ= lim g + f k dμ A A ( ) lim inf g + f k dμ = lim inf gdμ+ f k dμ A A A = gdμ+ lim inf f k dμ, joten Vstvsti gdμ j sdn Tällöin fdμ lim inf f k dμ. fdμ= g fdμ lim inf g f k dμ A A ( ) = lim inf gdμ f k dμ = A A = gdμ lim sup f k dμ fdμ lim sup f k dμ. gdμ+ lim inf lim sup f k dμ fdμ lim inf f k dμ. ( ) f k dμ

36 2. INTGROIMISTORIAA Kosk in lim inf k lim sup k, on välttämättä lim inf f k dμ = lim sup f k dμ = f dμ. Jos m() < j f k (x) C m.k. joukoss in, kun k Z +,jf k f m.k., niin g = C on integroituv mjorntti j siis DS-luse pätee j fdμ C m() <. Seurvn luseen todistminen jätetään hrjoitukseksi. Luse 6.5. Olkoon { k } k R n korkeintn numeroituv perhe erillisiä mitllisi joukkoj j f : k k R mitllinen funktio. () Jos f on integroituv joukon k k yli, niin f on integroituv jokisen joukon k yli j (8) fdμ= f dμ. k k k k (b) Jos f on integroituv jokisen joukon k yli j jos f dμ <, k k niin f on integroituv joukon k k yli j kv (8) on voimss. 7. Riemnnin integrli Mikä on Lebesguen j Riemnnin integrlien välinen yhteys? b Tässä luvuss käytämme symbooli f(x) dx Riemnnin integrlille. Tämä symbooli yleensä trkoitt jotin muut; Riemnnin integrlille ei ole eri- tyistä symbooli, kosk, kuten seurvksi osoitmme, siinä, että Riemnnin j Lebesgue:in integrleille käytetään sm symbooli ei oikesti ole seknnuksen vr. Seurv tulos pätee yleisemminkin, mutt todistetn se tässä yksinkertisuuden vuoksi tpuksess n =1j =[, b]. Lemm 7.1. Olkoon f :[, b] [0, ] Riemnnin mielessä integroituv. Tällöin f on mitllinen j b fdx= f(x) dx, ts. integrlit ovt smt. [,b] Todistus. Kosk f on Riemnnin mielessä integroituv, on olemss selliset porrsfunktiot {ϕ n } j {ψ n } (l- j yläsummt), että ϕ n (x) f(x) ψ n (x) in, kun x [, b] j n Z +,sekä 0 ϕ n ϕ n+1 f ψ n+1 ψ n. Integrlin määritelmän nojll b ψ n dx b ϕ n dx 1 n,

joten b f(x) dx := lim 7. RIMANNIN INTGRAALI 37 n b ϕ n (x) dx = lim n b ψ n dx. Toislt jokinen tällinen porrsfunktio on myös yksinkertinen funktio j b b ϕ n dx = ϕ n dx j ψ n dx = ψ n dx. [,b] Rjfunktiot ϕ(x) := lim n ϕ n (x) j ψ(x) := lim n ψ n (x) ovt myös mitllisi, joten Lebesguen MS-luseen j Ftoun Lemmn nojll ϕdx= lim ϕ n dx = lim ψ n dx ( lim ψ n ) dx = ψdx. [,b] n [,b] n [,b] [,b] n [,b] Toislt ϕ(x) f(x) ψ(x), joten ϕ ψ. Siis [,b] [,b] ψ ϕdx=0, [,b] missä ψ ϕ 0. Luseen 4.5 nojll ψ(x) =ϕ(x) m.k. välillä [, b], jotenf(x) = ϕ(x) =ψ(x) m.k. välillä [, b]. Siis f on mitllinen. Lopuksi sdn b fdx= ϕdx= lim ϕ n dx = f(x) dx. [,b] [,b] b n Luse 7.2. Olkoon f : R Riemnn-integroituv. Tällöin funktio f on integroituv yli joukon j fdx= f(x) dx. Todistus. Trkstelln tpust n =1. Jos funktio f on Riemnn-integroituv, niin f + j f ovt Riemnn-integroituvi. Lemmn 7.1 nojll f + dx = f + (x) dx j f = f (x) dx. Siis fdx= = [,b] f + dx f dx = f + (x) dx (f + (x) f (x)) dx = f(x) dx. f (x) dx Huomutus. Luseen 6.2 nojll funktio f voi oll mitllinen vikk se ei ole integroituv ( f + dx =+, ti f dx =+ ). Tämä joht eroon epäoleellisiss integrleiss. simerkki. Olkoon f :[π, [ R, f(x) = sin x. Funktio f on jtkuv, joten se on mitllinen. Nyt f dx = [π, [ = 2 π n=1 (n+1)π n=1 nπ sin x x 1 n +1 =+. dx x n=1 1 (n+1)π sin x dx (n +1)π nπ