JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

Transkriptio

1 Harjoitukset Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1). 2. Osoita, että numeroituva yhdiste numeroituvia joukkoja on numeroituva. 3. Todista Lause 1.2: Olkoot a i R, a i, kun i I. Jos i I a i <, niin joukkko {i I a i } on numeroituva. 4. Todista Lause 1.3: Olkoot a ij R, a ij, kun i I ja j I. Osoita, että a ij = a ij = a ij. (i,j) I I i I j I j I i I 5. Olkoon f : [, 1] R kasvava. Osoita, että joukko on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.] {x [, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} 6. Olkoon (x j ) j N R annettu lukujono. Osoita, että kaikille k N y k := inf{x j j k} on olemassa R:ssa. Osoita, että jono (y k ) k N on kasvava. Osoita edelleen, että sup{y k k N} = lim k y k. Saatu raja-arvo on lukujonon (x j ) j N alaraja-arvo ja sitä merkitään lim inf j x j. Vastaavasti määritellään lukujonon (x j ) j N yläraja-arvo lim sup j x j : z k := sup{x j j k} on olemassa R:ssa ja jono (z k ) k N on vähenevä. Asetetaan lim sup x j := inf{z k k N} = lim z k. j k Jatkuu... Tähdellä * merkityt tehtävät jätetään oman harrastuksen varaan eikä niitä oteta huomioon laskuharjoituspisteitä laskettaessa. 7*. Osoita, että jonolle (x j ) j N R on voimassa lim inf j x j lim sup j x j ja lim sup j x j = lim inf j ( x j ). 8*. Osoita, että numeroituvan joukon osajoukko on numeroituva. 9*. Olkoon A epätyhjä joukko. Osoita, että A on numeroituva, jos ja vain jos on olemassa injektio f : A N. 1*. Olkoon A epätyhjä joukko. Osoita, että A on numeroituva, jos ja vain jos on olemassa surjektio f : N A. [Tämän osoittamiseen tarvittanee valinta-aksioomaa.]

2 11*. Olkoon f : R n R annettu jatkuva funktio. a) Osoita, että kaikille δ > Jatkuu 2 ω(δ) := sup{ f(x) f(y) x y δ} on olemassa R:ssa. b) Osoita, että funktio ω : (, ) R on kasvava. c) Olkoot C, α R, C ja α >. Osoita, että funktio f toteuttaa ehdon f(x) f(y) C x y α kaikille x, y R n, jos ja vain jos ω(δ) Cδ α kaikille δ >. Miten funktion f tasainen jatkuvuus liittyy funktioon ω?

3 Harjoitukset Jatkuu Osoita määritelmän avulla, että äärellisen pistejoukon Lebesguen ulkomitta on nolla, m ({x 1,..., x k }) =. Osoita, että numeroituvan pistejoukon Lebesguen ulkomitta on nolla. 2. Osoita, että tason koordinaattiakselin Lebesguen ulkomitta on nolla: m 2(A) =, kun A = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 = } = R {}. [Vihje: Joukon [a, b] {} R 2 mitta lienee helpompi määrätä vaikkapa määritelmän perusteella.] 3. Osoita, että n-välin I reunan I Lebesguen ulkomitta on nolla. 4. Osoita, että Lebesguen ulkomitan määritelmässä ei voida tyytyä äärellisiin peitteisiin osoittamalla, että kun A = Q [, 1] ja K on R:n avointen välien I = (a, b) joukko, on { k inf v(i j ) k N, I j K j {1,..., k} ja A j=1 k } I j = 1, vaikka m 1(A) =. [Vihje: Jos välit I j, j {1,..., k}, peittävät A:n, niin komplementissa [, 1] k j=1 I j \ A on enintään k 1 pistettä.] 5. Olkoot A R n ja ε >. Osoita, että on olemassa avoin joukko B siten, että A B ja m (B) m (A) + ε. 6. Osoita, että kompaktin joukon K R n Lebesguen ulkomitta on äärellinen, ja että avoimen, epätyhjän joukon A R n Lebesguen ulkomitta on positiivinen. 7. Olkoot A R n ja b R n. Osoita, että m (T (A)) = m (A), kun T : R n R n, T x = x + b. 8. Olkoot A R n ja t >. Osoita, että m (T (A)) = t n m (A), kun T : R n R n, T x = tx. j=1 9*. Olkoot I ja I 1,...,I k n-välejä siten, että I k j=1 I j. Osoita, että v(i) k j=1 v(i j). [Vihje: Välit I j kannattanee jakaa välien I ja I i päätepisteiden määräämien hypertasojen x l = a l ja x l = b l avulla osaväleihin, joihin voi soveltaa tehtävää 1*.] 1*. Olkoot I 1,...,I k sisuksiltaan pistevieraita välejä (s.o. (int I i ) (int I j ) =, kun i j), joille myös yhdiste I := k j=1 I j on väli. Osoita, että v(i) = k j=1 v(i j). [Vihje: Välit I j kannattanee jakaa välien I i päätepisteiden määräämien hypertasojen avulla osaväleihin. Hypertaso x l = c jakaa minkä tahansa välin J kahteen osaan J ja J, joista toinen voi olla tyhjä, ja joille on v(j) = v(j ) + v(j ).]

4 Jatkuu 2 11*. Olkoon K R n :n avointen välien ja :n kokoelma. Olkoot K q kaikkien K:n kuutioiden joukko (s.o. K q :n välien kaikki sivut ovat yhtä pitkiä) ja K ε = {I K diam I < ε}, missä joukon I halkaisija on diam I = sup{ x y x, y I}. Osoita, että kaikille A R n on { m } (A) = inf v(i j ) I j K j N ja A I j j=1 { = inf v(i j ) I j K q j N ja A j=1 { = inf v(i j ) I j K ε j N ja A j=1 j=1 } I j j=1 } I j 12*. Osoita, että jos joukkojen A, B R n etäisyys d(a, B) on positiivinen, niin m (A B) = m (A) + m (B). Muista: d(a, B) = inf{ x y x A, y B}. [Vihje: Edellisen tehtävän kokoelma K ε voi olla hyödyllinen; kun A B peitetään väleillä I k, k N, ja diam I k < ε < d(a, B), ei välissä I k voi olla sekä A:n että B:n pisteitä.] j=1

5 Harjoitukset Jatkuu Todista Lauseen 2.13 implikaatio ii) = iii): ε > avoin G s.e. G A ja m (G \ A) < ε = B M s.e. B A ja m (B \ A) =. 2. Todista Lauseen 2.13 implikaatio iv) = v): ε > suljettu F s.e. F A ja m (A \ F ) < ε = E M s.e. E A ja m (A \ E) =. 3. Olkoot A j R n, j N. Asetetaan B = A, B 1 = A 1 \B,..., B k = A k \ k 1 j= B j, kun k = 1, 2,.... Osoita, että (i) joukot B j ovat parittain pistevieraat (t.s. B j B i =, kun j i); (ii) k j= B j = k j= A j, kun k N; (iii) j= B j = j= A j. 4. Olkoot A, B R n mitallisia. Osoita, että m(a B) + m(a B) = m(a) + m(b). 5. Olkoot I j R n, j N, avoimia välejä siten, että I j = R n ja I j I i =, kun j i. j= Osoita, että kaikille Lebesgue-mitallisille joukoille A R n on voimassa m(a) = m(a I j ). j= 6. Olkoon B R n siten, että m (B) =. Osoita, että a) m (A B) = m (A) kaikille A R n ; b) A M A B M. 7. Olkoot X epätyhjä joukko ja J perhe X:n joukkoja (s.o. J P(X)). Osoita, että on olemasssa pienin σ-algebra, joka sisältää J :n (t.s. on olemasssa σ-algebra Γ siten, että J Γ, ja jos Γ on σ-algebra siten, että J Γ, niin Γ Γ ). [Vihje: Todista aluksi aputulos: Jos {Γ i i I} on perhe σ-algebroita, niin myös leikkaus i I Γ i on σ-algebra. Osoita tämän avulla, että pienimmäksi σ-algebraksi kelpaa kaikkien J :n sisältävien σ-algebroiden leikkaus.] 8*. Todista: Avoin joukko A R n voidaan esittää numeroituvan monen pistevieraan välin yhdisteenä. [Vihje: Olkoon k N. Hypertasot x j = m/2 k, j = 1,...,n, m Z, jakavat R n :n pistevieraiden puoliavoimien välien yhdisteeksi. Olkoot I,l, l N, ne välit, jotka sisältyvät joukkoon A. Kun k >, olkoot I k,l, l N, ne välit, jotka sisältyvät joukkoon A, mutta eivät mihinkään aiempaan väliin I i,l, i < k. Osoita, että A = k= l N I k,l.]

6 Jatkuu 2 9*. Olkoot G kaikkien R n :n avointen ja F kaikkien suljettujen joukkojen perhe. Joukko U on G δ -joukko, jos U on numeroituvan monen avoimen joukon leikkaus, t.s. U G δ : on olemassa U k G, k N, siten, että U = k N U k. Vastaavasti F σ - joukko on numeroituvan monen suljetun joukon yhdiste. [G: saksan kielessä Gebiet = alue avoin; F: ranskan kielessä ferme = suljettu; δ Durchschnitt = leikkaus; σ Summe = yhdiste.] Osoita, että F G δ ja G F σ. Olkoon J joukkoperhe. Asetetaan U J δ : on olemassa U k J, k N, s.e. U = k N U k, ja U J σ : on olemassa U k J, k N, s.e. U = k N U k, Olkoon B R n :n Borelin joukkojen σ-algebra. Osoita, että G δ B ja F σ B. Edelleen G δσ := (G δ ) σ B ja F σδ := (F σ ) δ B, jne.

7 Harjoitukset Jatkuu Olkoot A M siten, että m(a) <, ja f : A R jatkuva. Osoita, että m ({a A f(x) = c}) > korkeintaan numeroituvan monelle c R. [Vihje: Lause 1.2 tai H 1/T 3 voi auttaa.] 2. Pitääkö edellisen tehtävän väite paikkansa, jos oletuksesta m(a) < luovutaan? 3. Todista Lemma 3.2: Olkoot a j ja A j M pareittain pistevieraita, kun j = 1,...,k, sekä f = k j=1 a j χ Aj. Tällöin kaille E M pätee I(f, E) = k a j m (A j E). j=1 4. Todista Huomautuksen 3.4 väitteistä: a) I(f, E) = j N I(f, E j), jos E j M, j N, ovat pareittain pisteivieraita ja E = j N E j; b) I(f, E) = lim j I(f, E j ), jos E j M, j N, E 1 E 2... ja E = j N E j. 5. Olkoot A R n mitallinen ja f : A R annettu funktio. Osoita, että jos joukko {x A f(x) > r} on mitallinen kaikille r Q, niin f on mitallinen. 6. Olkoot A j R n, j N, mitallisia ja pareittain pistevieraita, A := j N A j, sekä f : A R annettu funktio. Osoita, että f on mitallinen, jos ja vain jos jokainen rajoittuma f Aj, j N, on mitallinen. 7. Olkoot A R n mitallinen, f : A R annettu funktio sekä f funktion f nollajatko. Osoita, että f on mitallinen, jos ja vain jos f on mitallinen. 8*. Kun E j R n, j N, asetetaan lim sup E j := E i, j k= i k lim inf j E j := E i. k= i k Tällöin a) lim inf j E j lim sup j E j ; b) R n \ (lim inf j E j ) = lim sup j (R n \ E j ); c) x lim sup j E j x E j äärettömän monelle j N; d) x lim inf j E j x E j äärellisen montaa j N lukuunottamatta; e) jos E j M, kun j N, on m ( lim inf j E j ) lim infj m(e j ); f) jos E j M, kun j N, ja m ( j p E j) < jollekin p N, on m ( lim supj E j ) lim sup j m(e j ). Tarkastele myös, mitä tapahtuu, jos E j = [j, j + 1].

8 Jatkuu 2 9*. (Jatkoa.) Jos lim sup j E j = lim inf j E j, sanotaan, että jonolla (E j ) j N on raja-arvo lim sup j E j = lim inf j E j =: lim j E j, Osoita, että kasvavalla jonolla E j R n, j N, (siis E j E j+1 kaikille j N) on raja-arvo lim E j = E i. j i N Osoita, että vähenevällä jonolla E j R n, j N, (siis E j E j+1 kaikille j N) on raja-arvo lim E j = E i. j i N 1*. Kun (x j ) j N R on a = lim inf j x j (i) kaikilla α < a joukko {k N x k < α} on äärellinen, ja (ii) kaikilla β > a joukko {k N x k < β} on ääretön. Vastaavasti b = lim sup j x j (i) kaikilla α < b joukko {k N x k > α} on ääretön, ja (ii) kaikilla β > b joukko {k N x k > β} on äärellinen. 11*. (Jatkoa.) Osoita, että jonolla (x j ) j N R on raja-arvo, jos ja vain jos lim inf j x j = lim sup j x j. 12*. Osoita, että A M, jos ja vain jos on olemassa kompaktit joukot K j A, j N siten, että ( m A \ ) K j =. j N 13*. Olkoon f : R n R jatkuva. Osoita, että kuvajoukko f(a) on mitallinen kaikille A M, jos ja vain jos m (f(n)) = kaikille N R n, joille m (N) =. [Vihje: Jatkuvassa kuvauksessa kompaktin joukon kuva on kompakti. Tietoa jokainen positiivimittainen joukko sisältää ei-mitallisen joukon saa tarvittaessa käyttää.]

9 Harjoitukset Jatkuu Olkoot A R n mitallinen ja f, g : A R annettuja funktiota. Oletetaan, että f on mitallinen ja että joukolle N = {x A f(x) g(x)} on m (N) =. Osoita, että g on mitallinen. 2. Olkoot A R n mitallinen, f : A R annettu, mitallinen funktio sekä λ >. Osoita suoraan määritelmän nojalla, että f λ on mitallinen. Millä muulla tavalla voit osoittaa, että f λ on mitallinen? 3. Anna esimerkki funktiosta f : A R siten, että f on mitallinen, mutta f ei ole. [Vihje: Epämitallisesta joukosta voi olla apua.] 4. Olkoot A R n mitallinen ja f : A R mitallinen siten, että joukon A = {x A f(x) > } mitta on positiivinen. Osoita, että on olemassa a > siten, että joukon A = {x A f(x) > a} mitta on positiivinen. [Vihje: Jaosta A = j Z + A j, missä A j := {x A 1/j f(x) < 1/(j 1)}, voi olla apua.] 5. Todista Lause 4.6: Olkoot A R n mitallinen, f : A R mitallinen ja g : R R jatkuva. Osoita, että yhdistetty funktio g f : A R on mitallinen. 6. Olkoot A R n mitallinen, f : A R mitallinen ja g : R R funktio siten, että alkukuva g 1 (I) on Borelin joukko kaikille avoimille joukoille I R. Osoita, että yhdistetty funktio g f : A R on mitallinen. Osoita, että jos g on jatkuva, niin g:llä on vaadittu ominaisuus. 7. Olkoot f : [, 1] R annettu funktio ja (f k ) k N : [, 1] R jono porrasfunktioita siten, että on olemassa nollamittainen joukko N [, 1], jolle on voimassa f k (x) f(x) kaikille x [, 1] \ N. Osoita, että f on mitallinen. [Vihje: Tehtävä 1. Muista: porrasfunktiot ovat yksinkertaisia funktoita, joiden normaaliesityksessä 3.1.iii esiintyvät joukot B j ovat välejä.] 8*. Olkoot A R n mitallinen ja f : A R annettu funktio. Osoita, että f on mitallinen, jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon G R alkukuva f 1 (G) on mitallinen. 9*. Anna esimerkki mitallisista, pareittain pistevieraista joukoista A i, i I, siten, että yhdiste i I A i ei ole mitallinen. 1*. Anna esimerkki mitallisista, pareittain pistevieraista joukoista A i, i I, siten, että yhdiste A = i I A i on mitallinen, mutta m(a) i I m(a i). Merkintöjen osalta ks. harjoitus 3/tehtävä 9*. 11*. Olkoon A R n. Osoita, että A M on olemassa B G δ siten, että B A ja m (B \ A) = on olemassa B G δ ja N R n siten, että A = B \ N ja m (N) =. [Vihje: harjoitus 3/tehtävän 1 ratkaisu tai Lauseen 2.13 todistus.]

10 Jatkuu 2 12*. Olkoon A R n. Osoita, että A M on olemassa E F σ siten, että E A ja m (A \ E) = on olemassa E F σ ja N R n siten, että A = E N ja m (N) =. [Vihje: harjoitus 3/tehtävän 2 ratkaisu tai Lauseen 2.13 todistus.] 13*. Olkoon A R n mv. joukko. Jokaiselle x R n asetetaan d(x, A) := inf{ x a a A}, pisteen x ja joukon A etäisyys. a) Osoita, että jokaiselle ε > joukko A ε := {x R n d(x, A) < ε} on avoin ja A ε A. b) Osoita, että ε> A ε = j Z + A 1/j = A = A:n sulkeuma. [Vihje: Kannattaa todeta, että A = {x R n d(x, A) = }.] c) Osoita, että jos A on suljettu, niin A on avointen joukkojen numeroituva leikkaus, t.s. F G δ. 14*. (Jatkoa.) a) Osoita, että jokaiselle ε > joukko A ε := {x R n d(x, R n \ A) ε} on suljettu ja A ε A. b) Osoita, että ε> A ε = j Z + A 1/j = int A = A:n sisus. [Vihje: Edellisestä tehtävästä voi olla apua, kun toteaa, että R n \ int A = R n \ A, joten (miten niin?) int A = {x R n d(x, R n \ A) > }.] c) Osoita, että jos A on avoin, niin A on suljettujen joukkojen numeroituva yhdiste, t.s. G F σ. 15*. Olkoon f : R n R jatkuva funktio. Osoita, että a) alkukuva f 1 (B) on R n :n G δ -joukko jokaiselle G δ -joukolle B R; b) alkukuva f 1 (E) on R n :n F σ -joukko jokaiselle F σ -joukolle E R; c) alkukuva f 1 (B) on R n :n Borelin joukko jokaiselle Borelin joukolle B R. Pitävätkö nämä väitteet paikkansa kuvajoukolle?

11 Harjoitukset Olkoot f : R n [, ] mitallinen, A j M, j N. (Vrt. Huomautukseen 3.4.) a) Oletetaan, että A A Olkoon A = j N A j. Osoita, että f dm = A lim j A j f dm. b) Olkoon g : A [, ] mitallinen siten, että g f ja g dm <. Osoita, A että (f g) dm = f dm g dm. A A A c) Oletetaan, että A A 1... ja A f dm <. Olkoon A = j N A j. Osoita, että f dm = lim A j A j f dm. 2. Olkoot f : R n [, ] mitallinen, A j M, j N, siten, että A f dm < ja A A Osoita, että jos lim j m(a j ) =, niin lim j A j f dm =. 3. (Jatkoa.) Osoita, että lim j j m({x A f(x) > j} =. [Vihje: Tsebyshevin epäyhtälö voi auttaa.] 4. Olkoot A M ja f k : A [, ], k Z +, jono mitallisia funktioita siten, että funktiolle g := sup k Z+ f k on voimassa A g dm <. Osoita, että A lim sup k f k dm lim sup k A f k dm. [Vihje: lim inf k (a a k ) = a lim sup k a k.] Minkä opetuksen jono f k = (1/k)χ [,k] antaa? 5. Anna esimerkki mitallisesta joukosta A ja mitallisista funktioista f, g : A [, ] siten, että a) m({x A f(x) = }) = ja f dm = ; A b) {x A g(x) = } ja g dm <. A 6. Määritellään jono f n : [, 1] [, 1], n Z + seuraavasti: Kun n Z +, valitaan k N ja j N siten, että j < 2 k ja n = 2 k + j (huomaa, että luvut k ja j määräytyvät yksikäsitteisesti). Olkoon f n = χ In, missä I n = [2 k j, 2 k (j + 1)], t.s. f n (x) = 1, jos 2 k j x 2 k (j + 1) ja f n (x) = muuten. Osoita, että lim n m({x [, 1] f n (x) > }) =. 7. (Jatkoa.) Osoita, että lim inf n f n (x) = ja lim sup n f n (x) = 1 kaikille x [, 1], t.s. jono (f n (x)) n Z+ ei suppene millekään x [, 1].

12 Harjoitukset Jatkuu Olkoot f j : [, 1] [, 1], j N, jatkuvia funktioita siten, että lim j f j (x) = 1 kaikille x [, 1]. Osoita, että lim j f j(x) dx =. [Vihje: Fatou n lemma, tai harjoitus 6/tehtävä 4.] 2. (Jatkoa.) Pitääkö edellisen tehtävän väite paikkansa, jos funktioiden määrittelyjoukon rajoittuneisuudesta luovutaan? T.s. pitääkö väite paikkansa jonolle f j : R [, 1], j N, jatkuvia funktioita siten, että lim j f j (x) = kaikille x R? 3. (Jatkoa.) Entä jos funktioiden maalijoukon rajoittuneisuudesta luovutaan? T.s. pitääkö väite paikkansa jonolle f j : [, 1] R, j N, jatkuvia funktioita siten, että lim j f j (x) = kaikille x [, 1]? 4. Olkoot A R n avoin joukko, x A ja f : A R jatkuva. Merkitään B r = B(x, r), kun r >. Osoita, että 1 lim f dm = f(x ). r m(b r ) B r 5. Olkoon a R, a > 1. Määrää lim k k ( 1 + x k ) k e ax dx. [Vihje: Osoita aluksi, että jono ((1 + x/k) k ) k=1 on kasvava.] 6. Olkoot A M ja u j L 1 (A), j N, siten, että u j dm <. Osoita, että j N A (i) sarja f(x) = j N u j(x) suppenee m.k. x A; (ii) f L 1 (A); (iii) f dm = A j N u A j dm. [Vihje: DKL, dominanttina j N u j, jonona sarjan osasummien muodostama jono.] 7. Olkoon F : [, 1] R derivoituva funktio siten, että derivaatta F on Riemannintegroituva välillä [, 1]. Osoita, että 1 F (x) dx = F (1) F ().

13 Jatkuu 2 [Vihje: Muista Riemann-integroituvuus Riemannin summien avulla ja väliarvolause: F (x k ) F (x k 1 ) = F (t k )(x k x k 1 ). Näin valituille jaoille Riemannin summa on R(F, P ) = F (1) F (). 1 ] 8*. (Jatkoa tehtävään 6.) Olkoon f j = j χ (,1/j), kun j Z +, ja u j = f j f j+1. Osoita, että a) j Z + u j (x) = f 1 (x), ja että sarja suppenee itseisesti kaikille x R; b) j N u (,1] j dm 1 = 1 = f dm (,1] 1; c) u (,1] j dm 1 = 1/(j + 1), ja että tehtävän 6 oletus ei toteudu. 9*. Olkoon (f j ) j N tasaisesti rajoitettu jono Riemann-integroituvia funktioita [, 1] R. Oletetaan, että raja-arvo lim j f j (x) = f(x) on olemassa kaikille x [, 1]. Osoita, että jos f on Riemann-integroituva, on lim j f j(x) dx = 1 1 f(x) dx. 1*. Osoita, että kaikille x R on voimassa (missä m! = m (m 1) 2 1 = luvun m kertoma) ( lim lim cos 2n (m!πx) ) { 1, jos x Q, = χ Q (x) = m n, jos x R \ Q. Perustele huolellisesti: lim m ( limn 1 cos2n (m!πx) dx ) = [,1] χ Q(x) dx =. 11*. Riemannin summat. Olkoon f : [, 1] R rajoitettu funktio. Välin [, 1] merkitty jako on äärellinen joukko P = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x = < x 1 <... < x n = 1 ja t k [x k 1, x k ] kaikille k {1,..., n}. Olkoon δ >. Jako P = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} on δ-hieno, jos max{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Funktion f merkittyyn jakoon P liittyvä Riemannin summa on n R(f, P ) = f(t k )(x k x k 1 ). k=1 Osoita, että funktio f on Riemann-integroituva, jos ja vain jos on olemassa I R siten, että jokaiselle ε > on olemassa δ > siten, että jokaiselle δ-hienolle merkitylle jaolle P on R(f, P ) I < ε. 1 Integraalilaskennan peruslause on ollut tärkeä lähtökohta Lebesguen integraalin synnylle. Karl Strombergin kirjan harjoitustehtävässä 22 (s. 312) annetaan Vito Volterran esimerkki vuodelta 1881, joka toimi Lebesguen työn innoittajana. Volterra konstruoi funktion F, jolla on rajoitettu derivaatta koko välillä [, 1], mutta jolle F ei ole Riemann-integroituva. Oleellisesti sama esimerkki ratkaisuineen löytyy myös Natansonin kirjasta, V.5, tai Abbottin kirjasta, 7.6. Yksinkertaisempi vastaava esimerkki löytyy Strombergin kirjan harjoitustehtävästä 23 (s. 279). Derivaattojen väliarvolauseesta seuraa, että derivoituvan funktion derivaatalla ei voi olla hyppäysepäjatkuvuuksia. Näin millään paloittain jatkuvalla funktiolla f, jonka epäjatkuvuuskohdat ovat hyppäysepäjatkuvuuksia (ja jolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta), ei ole integraalifunktiota F, s.o. funktiota F, jolla F (x) = f(x) kaikille x. Tämän ja Volterran esimerkin perusteella integraalifunktiointegraali ja Riemannin integraali eivät ole verrattavissa (t.s. kumpikaan ei ole toisen yleistys).

14 Harjoitukset Olkoon F : [, 1] R funktio siten, että sillä on derivaatta F (x) jokaisessa pisteessä x [, 1] (päätepisteissä toispuoleiset derivaatat). Oletetaan, että F on rajoitettu. Seuraavassa osoitetaan, että [,1] F dm 1 = F (1) F (). Jatketaan F välille [1, 2] asettamalla F (x) = F (1) + F (1)(x 1), kun 1 x 2. Asetetaan f n (x) = n(f (x + 1/n) F (x)), kun n Z +. Osoita, että (i) f n (x) F (x) kaikille x [, 1]; (ii) [,1] F dm 1 = lim n [,1] f n dm 1 ; (iii) 1 f n(x) dx = n 1+1/n 1 F (x) dx n 1/n F (x) dx F (1) F (), kun n. [Vihje: Viimeisessä kohdassa on kyse jatkuvien funktioiden f n ja F Riemannin integraaleista.] 2. Olkoon f : [, ) R R, f(x, y) = e x2 cos(2xy). Osoita, että funktio x f(x, y) on integroituva kaikille y R. Asetetaan F (y) = f(x, y) dx. Osoita, että F on jatkuvasti derivoituva ja toteuttaa differentiaaliyhtälön F (y) + 2y F (y) =. Päättele, että F (y) = 1 2 πe y 2. [Vihje: e x2 dx = 1 2 π.] 3. Osoita, että funktio x (sin xy) 2 /x 2 on integroituva joukossa (, ) kaikille y R. Onko funktio y (sin xy) 2 dx jatkuva? (, ) x 2 4. Osoita, että funktio x 1/(x 2 + y 2 ) on integroituva joukossa (, ) kaikille y R, y. Entä jos y =? Onko funktio y 1 dx jatkuva? (, ) x 2 +y 2 5. Olkoot K = {(x, y) R 2 x 1 ja y x} (s.o. kolmio, jonka kärkinä ovat pisteet (, ), (1, ) ja (1, 1)) sekä f L 1 (K). Osoita, että ( ) ( ) f dm 2 = f(x, y) dm 1 (y) dm 1 (x) = f(x, y) dm 1 (x) dm 1 (y). K [,1] [,x] 6. Olkoot I = [, 1] [, 1] ja f(x, y) = (x 2 y 2 )/(x 2 + y 2 ) 2, kun (x, y) I ja (x, y) (, ), sekä f(, ) =. Määrää integraalit 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) f(x, y) dy dx ja f(x, y) dx dy. Onko f L 1 (I)? Tarvittaessa määrää myös f:n positiivi- ja negatiiviosan integraalit. 7. Olkoot I = [, 1] [, 1] ja f(x, y) = (x y)/(x + y) 3, kun (x, y) I ja (x, y) (, ), sekä f(, ) =. Määrää integraalit 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) f(x, y) dy dx ja f(x, y) dx dy. Onko f L 1 (I)? [,1] [y,1] n tentti on

15 Jatkuu... Harjoitukset *. Olkoot I = [, 1] [1, ) ja f(x, y) = e xy 2e 2xy, kun (x, y) I. Määrää integraalit 1 ( ) ( 1 ) f(x, y) dy dx ja f(x, y) dx dy. 1 [Vihje: Funktio t e t /t on integroituva välillä [z, ) kaikille z > (miksi?). Funktiota z [z, ) e t /t dt kutsutaan eksponentti-integraaliksi E 1 (z).] Onko f L 1 (I)? 2*. Olkoot A M n ja g L 1 (A). Asetetaan f k (x) = g(x)e k x, kun x A ja k N. Osoita, että A f k dm n, kun k. 3*. Olkoot f k, g k : [, 1] R, f k (x) = k x 2 e k x2 ja g k (x) = k x e k x2. Osoita, että kaikille x [, 1] on f k (x) ja g k (x), kun k, mutta että suppeneminen ei ole tasaista. Osoita myös, että A f k dm n ja A g k dm n 1/2, kun k. 4*. Olkoot f k, g k : [, 1] R, f k (x) = k x/(1 + k 2 x 2 ) ja f k (x) = k 3/2 x/(1 + k 2 x 2 ), kun k N. Osoita, että jonoon (f k ) k N voidaan soveltaa rajoitetun konvergenssin lausetta 6.6 ja jonoon (f k ) k N dominoidun konvergenssin lausetta 6.5. Määrää lim k f [,1] k dm 1 ja lim k [,1] g k dm 1. 5*. Olkoot A M n äärellismittainen, f : A R mitallinen ja g k (x) = k 3/2 f(x)/(1+ k 2 f(x) 2 ), kun x A ja k N. Määrää lim inf k A g k dm n ja lim sup k A g k dm n. 6*. Olkoot ( x f(x) = ) 2, 1 e x2 (1+t 2 ) e t2 dt g(x) = dt. 1 + t 2 a) Osoita, että f (x) + g (x) = kaikille x, ja että f(x) + g(x) = π/4. b) Osoita, että e x2 dx = 1 2 π. yx sin x 7*. Olkoon f : R (, ) R, f(x, y) = e. Osoita, että funktio x f(x, y) x on integroituva kaikille y >. Asetetaan F (y) = f(x, y) dx. Osoita, että (i) F on jatkuvasti derivoituva, ja että F (y) = 1/(1 + y 2 ); (ii) F (y) = arctan y + C jollekin C R; (iii) F (y) = arctan y + π. 2 [Vihjeitä: e yx cos x dx = e yx ( y cos x+sin x)/(1+y 2 )+C; F (y), kun y.] Huomaa, että tuloksesta ei voi päätellä, että sin x dx = lim x y F (y) = π. Tälle todistus löytyy esim. Apostolin kirjasta Mathematical Analysis (2 nd ed.) 1.16, 2 Example 3. Helpompi tapa löytyy seuraasta tehtävästä.] 1

16 Jatkuu 2 8*. Osoita Fubinin lauseen avulla, että kun x j (, ), on xj sin x ( x x dx = j ) e yx sin x dx dy. Osoita, että integroinnin ja rajankäynnin järjestys voidaan vaihtaa, ja kun x j, saadaan xj sin x x dx π 2. [Vihje: x j e yx sin x dx = 1/(1 + y 2 ) e yx j (cos x j + y sin x j )/(1 + y 2 ).] 9*. Olkoon f : A R mitallinen funktio, jolle integraali f dm A n on määritelty. Osoita, että lim min{f(x), k} dm n (x) = f dm n. k A A

17 Harjoitukset Jatkuu... Harjoitukset 9 otetaan huomioon kurssin 1 (5 op/3 ov) laskuharjoitushyvityksiä määrättäessä. 1. Todista Fubinin lause Olkoot f : [a, b] R ja c [a, b]. Osoita, että V f (a, b) = V f (a, c) + V f (c, b). 3. Olkoon f : [a, b] R kasvava. Osoita, että f on rajoitetusti heilahteleva. 4. Osoita, että funktio f : [a, b] R on rajoitetusti heilahteleva, jos ja vain jos on olemassa kasvavat funktiot ϕ, ψ : [a, b] R siten, että f = ϕ ψ. 5. Olkoon f : [, 1] R, f(x) = x cos(π/(2x)), kun x, ja f() =. Osoita, että f on jatkuva, mutta ei rajoitetusti heilahteleva. 6. Onko f : [, 1] R, f(x) = x, absoluuttisesti jatkuva? Entä rajoitetusti heilahteleva? 7. Olkoon F : [, 1] R funktio siten, että sillä on derivaatta F (x) jokaisessa pisteessä x [, 1] (päätepisteissä toispuoleiset derivaatat). Oletetaan, että F on rajoitettu. Osoita, että F on absoluuttisesti jatkuva ja rajoitetusti heilahteleva. Pitääkö väite paikkansa, jos oletetaan, että F on derivoituva m.k. ja F on rajoitettu? 8. Olkoon f L 1 (R n ). Osoita, että jokaiselle ε > on olemassa R > siten, että f dm n < ε. {x R n x R} n tentti on Seuraavassa funktion f : [a, b] R Riemannin ala- ja yläintegraaleja merkitään b f(x) dx ja b a f(x) dx; vastaavasti kaksiulotteisille integraaleille. Seuravat kolme tehtävää ovat Apostolin kirjan Mathematical Analysis (2 nd ed.) harjoitustehtäviä; tarkista yksityiskohdat kirjasta. Katso myös kirjan kappaletta 14.5, jossa todistetaan mm. seuraava Fubinin lause kaksiulotteiselle Riemannin integraalille: kun I = [, 1] 2 ja f : I R on rajoitettu, on 1 ( 1 f(x, y) d(x, y) f(x, y) dy ) 1 ( 1 dx f(x, y) dy ) dx f(x, y) d(x, y). I 9*. Ex. 14.5: esimerkki ei-negatiivisesta funktiosta f : [, 1] 2 R, jolle (i) integraali 1( 1 f(x, y) dy) dx on olemassa; (ii) integraali 1( 1 f(x, y) dx) dy on olemassa; (iii) integraali f(x, y) d(x, y) ei ole olemasssa. [,1] 2 I a

18 Jatkuu 2 1*. Ex. 14.6: esimerkki ei-negatiivisesta funktiosta f : [, 1] 2 R, jolle 1 1 ( 1 ) f(x, y) dx = f(x, y) dx dy = f(x, y) d(x, y) =, [,1] 2 mutta integraali 1 f(x, y) dy ei ole olemassa rationaalisille x [, 1]. 11*. Ex. 14.7: esimerkki ei-negatiivisesta funktiosta f : [, 1] 2 R, jolle 1 ( 1 ) f(x, y) dy dx = 1 mutta integraali [,1] 2 f(x, y) d(x, y) ei ole olemassa. ( 1 ) f(x, y) dx dy = 1, 12*. Olkoon (r n ) n N välin (, 1) rationaalipisteiden jokin numerointi (t.s. n r n on bijektio N (, 1) Q). Asetetaan f : [, 1] R, f(x) = r n<x 1/2n+1, missä summaus on yli kaikkien niiden n N, joille r n < x, ja summa =, jos tällaisia lukuja n ei ole. Osoita, että a) f on aidosti kasvava; b) lim x rk f(x) = f(r k ) kaikille k N (t.s. f on vasemmalta jatkuva jokaisessa välin (, 1) rationaalipisteessä); c) lim x rk + f(x) = f(r k ) + 1/2 k+1 kaikille k N (t.s. f on oikealta epäjatkuva jokaisessa välin (, 1) rationaalipisteessä); d) f on jatkuva jokaisessa pisteessä x (, 1) \ Q. Osoita, että f on Riemann-integroituva (tarvittaessa kertaa Analyysi 2). Osoita, että f() = ja f(1) = 1. Määrää kuvajoukon f([, 1]) mitta. Kun N N, olkoon f N (x) = r n<x ja n N 1/2n+1, kun x [, 1]. Osoita, että f N on porrasfunktio, ja että f N f tasaisesti, kun N. Lebesguen derivointilauseen (194; nykymuoto: G. C. Young ja W. H. Young, 1911) mukaan jokainen rajoitetusti heilahteleva funktio on derivoituva melkein kaikkialla (Stromberg, Lause 4.52). Erityisesti monotonisella funktiolla on äärellinen derivaatta m.k. Missä pisteissä f on derivoituva? 13*. Tarkastele seuraavanlaista yleistettyä Cantorin joukkoa: Aluksi välin [, 1] keskeltä poistetaan avoin väli I 1,1, jonka pituus on d 1 (, 1). Jäljelle jääneet osavälit J 1,k muodostavat joukon, jota merkitään P 1. Olkoot a = 1 ja a 1 jäljelle jäävien välien pituus, jolloin d 1 = a 2a 1. Vaiheessa s Z + käytössä on 2 s suljettua osaväliä J s,k, joiden pituus on a s. Näiden yhdiste olkoon P s. Kunkin tällaisen osavälin keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on d s+1. Olkoon a s+1 jäljelle jäävien välien pituus, jolloin d s+1 = a s 2a s+1. Tämä on mahdollista, jos s+1 k=1 2k 1 d k = 1 2 s+1 a s+1. Olkoon P = s Z + P s. Oletetaan, että luvut a s toteuttavat ehdon < 2a s < a s 1, kun s Z + (tämä ehto takaa, että siirtymä P s P s+1 on mahdollinen; todista tämä). a) Osoita, että P on kompakti joukko, jonka mitta on lim s 2 s a s. b) Osoita, että kun luku α on annettu siten, että α < 1, niin on olemassa jono (a s ) s N, joka toteuttaa ehdot a = 1 ja < 2a s < a s 1, kun s Z +, ja jolle lim s 2 s a s = α. c) Osoita, että Cantorin 1 3 -joukolle a s = 1/3 s, kun s N.

19 Jatkuu 3 14*. Olkoot P Cantorin 1 -joukko ja ψ : [, 1] [, 1] Cantorin funktio. 3 (i) Osoita, että komplementtijoukon I \P kuvajoukko ψ(i \P ) on nollamittainen, ja että joukon ψ(p ) mitta = 1. [Vihje: I \ P = s=1 jokaisella osavälillä I s,k.] 2 s 1 k=1 I s,k ja ψ on vakio (ii) Osoita, että funktio g : [, 1] [, 1], g(x) = 1 (x+ψ(x)), on jatkuva ja aidosti 2 kasvava. (iii) Osoita, että m 1 (g(i \ P )) = 1/2 ja m 1 (g(p )) = 1/2. [Vihje: Välin I s,k kuvajoukko g(i s,k ) on avoin väli, jonka pituus on puolet välin I s,k pituudesta.] (iv) Koska m 1 (g(p )) >, on olemassa epämitallinen joukko E siten, että E g(p ). Olkoon N = g 1 (E). Tällöin N on nollamittaisen joukon P osajoukkona nollamittainen, ja siis erityisesti mitallinen, mutta sen kuvajoukko g(n) = E on epämitallinen, vaikka g on jatkuva. (Vrt. luentomonisteen Lauseen 4.2 jälkeiseen huomautukseen, missä f = g 1.) 15*. Vito Volterran esimerkki derivoituvasta funktiosta, jonka derivaatta ei ole Riemannintegroituva. Merkinnät kuten tehtävässä 13*. Olkoon P yleistetty Cantorin joukko, jonka mitta on positiivinen. Olkoon ϕ: R R, ϕ(t) = t 2 sin(1/t), kun t, ja ϕ() =. Osoita, että ϕ on derivoituva, ϕ (t) < 3, kun t 1, mutta ϕ ei ole jatkuva origossa. Määritellään F : [, 1] R seuraavasti: Kun x P, olkoon F (x) =. Olkoon (a, b) jokin komplementin [, 1] \ P komponenttiväli. Asetetaan c = sup{t (, (b a)/2] ϕ (t) = } sekä F (a + t) = F (b t) = ϕ(t), kun < t c ja F (x) = ϕ(c), kun a + c t b c. (Idea: F käyttäytyy välin (a, b) päätepisteiden lähellä kuten ϕ origon lähellä ja välin (a, b) keskellä on vakio; lisäksi F on jatkuvasti derivoituva välillä (a, b).) Tällöin a) F on derivoituva koko välillä; b) F (x) = kaikille x P [v1ihje: kun c P, on F (x) (x c) 2 kaikille x [, 1]]; c) F (x) < 3 kaikille x [, 1]; d) F on epäjatkuva jokaisessa P :n pisteessä; e) F ei ole Riemann-integroituva millään välillä [, x], < x 1. f) Kuitenkin F (x) = [,x] F dm 1 kaikille x [, 1].

20 Harjoitukset Todista Youngin epäyhtälö: ab ap + bq kaikille a, b [, ), kun 1 < p, q < p q ja = 1. Osoita, että epäyhtälö on tarkka, t.s. on olemassa a > ja b > siten, p q että näille epäyhtälössä on voimassa yhtäsuuruus. 2. Olkoot A M n äärellismittainen ja 1 p < q. Osoita, että L q (A) L p (A) ja f p (m(a)) (q p)/(qp) f q kaikille f L q (A). 3. Osoita, että L q ([, 1]) L p ([, 1]), kun 1 p < q. 4. Olkoot A M n äärellismittainen, 1 < p < ja f L p (A). Osoita, että f p = lim f q. q p q<p 5. Olkoot A M n äärellismittainen ja f L (A). Osoita, että f = lim q f q. 6. Olkoot A M n ja 1 p q. Osoita, että L p (A) L (A) L q (A). 7. Olkoon f : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Oletetaan, että f L p ([a, b]) jollekin p (1, ). Osoita, että on olemassa M R siten, että f(x) f(y) M x y α kaikille x, y [a, b], missä α = 1 1/p. [Vihje: Muista lause 9.1; käytä sopivaa Hölderin epäyhtälöä.] 8. Olkoot 1 p < s < q < ja f L p (R n ) L q (R n ) Olkoon α (, 1) siten, että s = αp + (1 α)q. Osoita, että f L s (R n ) ja f s s f pα p f q(1 α) q. 9*. Olkoot 1 p < ja f(x) = x 1/p (1 + log x ) 2/p, kun x >. Osoita, että f L p ((, )). Osoita, että f L q ((, )), kun 1 q < ja q p.

21 Harjoitukset Todista Minkowskin epäyhtälö f + g p f p + g p kaikille f, g L p (A) tapauksissa p = 1 ja p =. 2. Olkoot A R n äärellismittainen, g : A [, ] mitallinen, q (1, ) ja p = q/(q 1). Oletetaan, että on olemassa M R siten, että fg dm M f p kaikille f L p (A), f. A Osoita, että g L q (A) ja g q M. [Vihje: Oleta aluksi, että g on rajoitettu; mitä saat valitsemalla f = g q 1? Yleisessä tapauksessa g voidaan katkaista: g k (x) := g(x), jos g(x) k, ja g k (x) = k, jos g(x) > k.] 3. Olkoot A R n äärellismittainen ja g : A [, ] mitallinen. Oletetaan, että on olemassa M R siten, että fg dm M f 1 kaikille f L 1 (A), f. Osoita, että g L (A) ja g M. A 4. Olkoot X epätyhjä joukko, x X ja δ x pisteeseen x keskittynyt Diracin mitta. Osoita, että jokainen osajoukko A X on mitallinen. 5. Olkoon X epätyhjä joukko. Osajoukoille A X asetetaan µ ( ) = ja µ (A) = 1, kun A. Osoita, että µ on ulkomitta. Määrää µ -mitalliset joukot. 6. Olkoon X ylinumeroituva joukko. Osajoukoille A X asetetaan µ (A) =, jos A on numeroituva, ja µ (A) = 1, kun A on ylinumeroituva. Osoita, että µ on ulkomitta. Määrää µ -mitalliset joukot. 7. Olkoot µ j, j N, ulkomittoja joukossa X. Asetetaan ν (A) = j N µ j(a), kun A X. Osoita, että ν on ulkomitta joukossa X. Osoita, että jos joukko A on µ j- mitallinen kaikille j N, on A ν -mitallinen.

22 Harjoitukset Anna esimerkki joukosta X, X:n ulkomitasta µ ja µ -epämitallisista joukoista S ja U siten, että S U =, mutta µ (S U) µ (S) + µ (U). [Vihje: Suhteellisen yksinkertaisiakin esimerkkejä löytyy.] 2. Anna esimerkki joukosta X, X:n ulkomitasta µ ja joukosta A X siten, että µ (X) < ja µ (X \ A) µ (X) µ (A). 3. Olkoot (X, d) metrinen avaruus ja µ on ulkomitta joukossa X. Oletetaan, että jokainen avoin joukko on mitallinen. Osoita, että µ on metrinen ulkomitta. [Vihje: Osoita aluksi, että kaikille A X ja δ > joukko A δ = {x X dist(x, A) < δ} on avoin ja A A δ.] 4. Olkoot (X, d) metrinen avaruus ja A = {x n n N} annettu X:n numeroituva osajoukko. Osajoukoille E X olkoon µ (E) = joukon E A pisteiden lukumäärä (sopimuksella, että lukumäärä =, jos leikkausjoukko ei ole äärellinen). Osoita, että µ on metrinen ulkomitta. 5. Olkoot µ ulkomitta joukossa X, A Γ µ ja N X siten, että µ (N) =. Osoita, että (i) A N Γ µ ja µ(a N) = µ(a); (ii) A \ N Γ µ ja µ(a \ N) = µ(a). Pätevätkö väitteet, jos oletuksesta A Γ µ luovutaan, t.s., jos A ei ole µ -mitallinen? 6. Olkoon δ x joukon X Diracin mitta pistessä x. Osoita, että (i) jokainen funktio f : X R on mitallinen; (ii) jos ei-negatiivisen, yksinkertaisen funktion u normaaliesitys on u = l j=1 b jχ Bj, niin u:n integraali yli X:n on I(u, X; δ x ) = b k = u(x ), missä k {1,..., l} siten, että x B k ; (iii) ei-negatiivisen funktion f : X R integraali ulkomitan δ x suhteen on f dδ X = f(x ); (iv) funktio f : X R on integroituva ulkomitan δ x suhteen, jos ja vain jos f(x ) R; kun f(x ) R, on f dδ X = f(x ). Jatkuu... 7*. Olkoon µ lukumäärämitta joukossa N (t.s. µ (A) = A:n alkioiden lukumäärä, jos A N on äärellinen, ja µ (A) = muuten). Osoita, että (i) jokainen funktio f : N R on mitallinen; (ii) jos ei-negatiivisen, yksinkertaisen funktion u normaaliesitys on u = l j=1 b jχ Bj, niin u:n integraali yli N:n on I(u, N; µ ) = l j=1 b jµ (B j ) = i N u(i) (huomaa: u(i) = b j, kun i B j ); (iii) ei-negatiivisen funktion f : N R integraali ulkomitan µ suhteen on f N dµ = j N f(j);

23 Jatkuu 2 (iv) funktio f : N R on integroituva ulkomitan µ suhteen, jos ja vain jos sarja f(j) suppenee itseisesti. j N 8*. Olkoot µ ulkomitta joukossa X ja Y X. Asetetaan kaikille A X, ν (A) = µ (Y A). Osoita, että ν on ulkomitta joukossa X. Osoita, että ν (X \ Y ) =. [Ulkomittaa ν merkitään toisinaan µ Y ja kutsutaan µ :n rajoittumaksi joukkoon Y.] 9*. (Jatkoa.) Osoita, että jokainen ν -mitallinen joukko A Y on µ -mitallinen, jos ja vain Y on µ -mitallinen. 1*. Osoita, että on olemassa joukot S, U R n siten, että S U =, mutta Lebesguen ulkomitalle m n on µ (S U) µ (S) + µ (U). 11*. Osoita, että on olemassa joukot A, B R n siten, että B A ja µ (B) <, mutta Lebesguen ulkomitalle m n on µ (A \ B) µ (A) µ (B). [Vihje: Voit käyttää apuna tietoa, että pallo B(, 1) sisältää epämitallisen joukon.] 12*. Osoita, että nollaulotteinen Hausdorfifin mitta on lukumäärämitta, t.s. H (A) = A:n alkioiden lukumäärä, jos A on äärellinen, ja H (A) = muuten. 13*. Todista luentomonisteen lause 12.2 (t.s., että Carathéodoryn konstruktiolla saadaan metrinen ulkomitta).

24 Harjoitukset Jatkuu Anna esimerkki mitta-avaruudesta (X, Γ, µ), joka ei ole σ-äärellinen. 2. Olkoot (X, d) metrinen avaruus, µ metrinen ulkomitta joukossa X sekä Γ = Γ µ µ -mitallisten joukkojen σ-algebra ja µ = µ Γ. Osoita, että jos K X on kompakti, niin K Γ. Onko välttämättä µ(k) <? Entä, jos U X on avoin, niin onko välttämättä µ(u) >? 3. Olkoot (X, d) metrinen avaruus, µ metrinen ulkomitta joukossa X sekä Γ = Γ µ µ -mitallisten joukkojen σ-algebra. Olkoon f : X R jatkuva funktio. Osoita, että f on Γ-mitallinen. Onko f integroituva X kompakteissa osajoukoissa, t.s. jos K X on kompakti, niin onko f L 1 (K; µ)? 4. Olkoot f = χ (, ) ja ϕ: [ 1, 1] R absoluuttisesti jatkuva funktio, jolle ϕ( 1) = ϕ(1) =. Osoita, että [ 1,1] fϕ dm 1 = [ 1,1] ϕ dδ, missä δ on pisteeseen x = keskittynyt Diracin mitta. 5. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus. Olkoon L 2 (X; µ) kaikkien Γ-mitallisten funktioiden f : X R joukkoa, joille X f 2 dµ <. Osoita, että jos f, g L 2 (X; µ) ja λ R, niin a) λf L 2 (X; µ); b) fg L 1 (X; µ) ja X fg dµ ( X f 2 dµ ) 1/2(X g 2 dµ ) 1/2 ; c) f + g L 2 (X; µ) sillä sopimuksella, että (f + g)(x) :=, jos f(x) = ja g(x) =, tai jos f(x) = ja g(x) =. Mitkä normin ominaisuudet kuvaus L 2 (X; µ) R, f f 2 := ( X f 2 dµ ) 1/2, toteuttaa? 6. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus siten, että µ(x) = 1. Osoita, että kaikille Γ- mitallisille funktioille f : X R on ( ) 1/p ( 1/q, f p dµ f dµ) q kun < p q <. X X n tentti on torstaina Tenttiä voi 1 (5 op/3 ov), 1&2 (9 op/5 ov) tai 2 (4 op/2 ov) (jos MIT 1 on suoritettu). 7*. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus. Joukoille E, F Γ asetetaan d(e, F ) = µ((e \ F ) (F \ E)). Osoita, että d(e, F ) = d(f, E) ja d(e, F ) d(e, G) + d(g, F ) kaikille E, F, G Γ. Mitä osaat sanoa joukoista E ja F, jos d(e, F ) = (eli missä määrin E = F )?

25 Jatkuu 2 8*. Olkoot (X, Γ, µ) mitta-avaruus, Y joukko ja f : X Y surjektiivinen kuvaus. Olkoon Γ Y sellaisten osajoukkojen B Y perhe, joille f 1 (B) Γ. Joukoille B Γ Y asetetaan ν(b) = µ(f 1 (B)). Osoita, että (Y, Γ Y, ν) on mitta-avaruus. Millaisen vastaavan tuloksen saat ulkomitoille? 9*. (Jatkoa.) Osoita, että kaikille B Γ Y on χ B (y) dν(y) = ν(b) = Y X (χ B f)(x) dµ(x). Osoita, että ei-negatiivisille, yksinkertaisille funktioille u: Y R on u(y) dν(y) = (u f)(x) dµ(x). Y X Voitko päätellä, että kaikille g L 1 (Y ; ν) funktio g f L 1 (X; µ) ja g(y) dν(y) = Y (g f)(x) dµ(x)? X Mitä tuttua kaavaa tulos muistuttaa? Oleta, että f : [a, b] [c, d] on jatkuvasti derivoituva bijektio, jolle f (x) > kaikille x [a, b].