MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti on suor. Se voi tällöin oll vksuor eli -kselin suuntinen, pstsuor eli -kselin suuntinen ti vino suor. Esimerkkejä smptoottin lähestvistä käristä. Asmptootti on piirrett ktkoviivll. Esimerkki. Esimerkki. Esimerkki 3. b + k b f ( ) f ( ) f ( ) Esimerkki. Asmptoottin on vksuor suor b. Kuvn esittämässä tilnteess lim f ( ) b eli lim ( b f ( )) 0. Esimerkki. Asmptoottin on pstsuor suor. Kuvn esittämässä tilnteess lim f ( ). Esimerkki 3. Asmptoottin on vino suor k + b. Kuvn esittämässä tilnteess lim ( k + b f ( )) 0. Murtofunktion kuvjn smptootit Murtofunktioksi snotn rtionlifunktiot, jok voidn esittää khden polnomin ) osmääränä eli muodoss f ( ). Oletetn, että luseke on supistettu ksinkertisimpn muotoons j siinä nimittäjän steluku on vähintään ksi. Murtofunktiot ovt ) siis rtionlifunktioit, joiden lusekkeet eivät ole polnomej. Ero on tässä sihtedessä trpeen tehdä siksi, että polnomifunktioiden kuvjill ei ole smptoottej. Jokisen murtofunktion kuvjll on inkin ksi smptootti. Asmptootit knntt usein määrittää siksi, että itse kärä voidn piirtää helposti niiden tuell. Asmptootit muodostvt tietnliset kehkset vrsiniselle kärälle. Seurviss esimerkeissä esiintvät eriliset suorviiviset smptoottitpit. Koordinttikselist erov smptootti on piirrett ktkoviivll.

Esimerkki ) f ( ) b) 3 f ( ) c) + f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) + f ( ) + Esimerkkien perusteell voidn tehdä lustvi johtopäätöksiä smptooteist. Ne määrätvät nimittäjän nollkohtien sekä osoittjn j nimittäjän stelukujen perusteell seurvsti: Asmptoottin on. pstsuor suor nimittäjän nollkohdiss (, c, d j f). -kseli, jos osoittjn steluku on pienempi kuin nimittäjän (, b j c) 3. -kselin suuntinen suor, jos osoittjn steluku on sm kuin nimittäjän (e). vino suor, jos osoittjn steluku on htä ksikköä suurempi kuin nimittäjän (d j f). Perustelln esimerkissä esiintvät smptootit. ) lim j lim 0 0 + lim 0 ± Pstsuor smptootti on -kseli eli suor 0. Vksuor smptootti on -kseli eli suor 0.

3 b) + 0 3 lim ± + ± 3 / lim + / 0 0 Pstsuori smptoottej ei ole. Vksuor smptootti on -kseli eli suor 0. c) Toispuoliset rj-rvot kohdiss j ntvt + ti äärettömän. lim ± lim ± / / 0 d) lim lim m 0± 0± lim lim 0 ± ± e) + 0 lim lim ± + ± + / 0 + f) lim lim + ± 0± 0± + lim lim 0 ± ± Pstsuort smptootit ovt ±. Vksuor smptootti on -kseli eli suor 0. Pstsuor smptootti on -kseli eli suor 0. Vino smptootti on. Pstsuori smptoottej ei ole. Vksuor smptootti on. Pstsuor smptootti on -kseli eli suor 0. Vino smptootti on. Murtofunktion kuvjn smptooteist vinot smptootit määritetään kätännössä niin, ) s( ) että murtoluseke stetn muotoon r( ) +, joss s() :n steluku on pienempi kuin ) :n steluku. Esimerkiksi + ) ) ti +. Usein tähän trvitn kuitenkin jkokulmss jkmist. Siihen liitt seurv esimerkki. Esimerkki 5 Määritä kärän 3 + vino smptootti. Rtkisu: 3 + m ± + ± m + Vstus: Villiniseksi osmääräksi stiin j jkojäännökseksi +, joten +. Tästä näh- 3 + dään, että kun ±, lusekkeen rvot lähestvät suorn vstvi rvoj, sillä 0. Vino smptootti on siis.

Eräiden tunnettujen kärien smptootit Eksponenttifunktion kuvj Eksponenttifunktion f ( ) kuvjn smptoottin on -kseli, sillä lim 0, kun >, j lim 0, kun 0 < <., >, 0 < < Logritmifunktion kuvj Logritmifunktion f ( ) log kuvjn smptoottin on -kseli, sillä lim log 0+ j lim log 0+, kun >,, kun 0 < <. log, > log, 0 < < Potenssifunktion kuvj Potenssifunktio määritellään htälöllä f ( ), joss > 0 j R. Kun < 0, kärällä on smptoottin sekä -kseli että -kseli. Potenssifunktion määritteljoukko voidn ljent. Jos n Z (esim. f ( ), R ), smptoottej ei ole. + Jos ts n Z (esim. f ( ), 0 ), smptoottein ovt 3 koordinttikselit. 3 < 0 Hperbeli Kun hperbelin keskipisteenä on origo j huiput ovt - kselill, htälö on. b b Asmptoottein ovt suort ±. Nämä ovt mös liittohperbelin smptootit. b b

5 3 Käräviiviset smptootit ) Jos murtofunktion lusekkeess osoittjn ) steluku on vähintään kht suurempi kuin nimittäjän ), funktion kuvjll on käräviivinen smp- ) ) ) tootti. Näiden trkstelu ei kuulu keskeiseen oppiinekseen, joten hvinnollistetn tätä ihett vin esimerkillä. Esimerkki 6 3 + Määritä funktion f ( ) kuvjn käräviivinen smptootti j piirrä kärä smptootteineen. Rtkisu: Asmptootti sdn selville, kun luseke kirjoitetn jkolskull stuun muotoon +. Kun nt ±, niin 0, joten kuvj lähest rjtt prbeli. Termin merkistä voidn piirtämisen tueksi päätellä, millä puolell smptoottin kärä on. Kun esimerkiksi, on < 0, joten kärän piste on prbelin pisteen lpuolell. Ohess on funktion kuvj. Vstus: Tehtäviä Määritä tehtävissä j kärien smptootit j piirrä niiden tuell kärät. 3. ) b) c) + +. ) b) c) + Määritä smptootit tehtävissä 3 7. Piirrä trkistuksen vuoksi grfisell lskimell kuvjt smptootteineen. 3. ) b) c) +. ) + b) + 6 3 + c) + 5 3 5. ) b) + c) +

6 6. ) ( ) b) + c) 6 3 7. ) π b) c) 8. Määritä nnetun kärän smptootit j piirrä grfisen lskimen vull kärä + + smptootteineen. ) b) c) 9. Määritä nnetun hperbelin smptootit. ) b) c) 8 0. Osoit -koordinttien erotust trkstelemll, että kärä ln( + e ) lähenee rjttomsti suor, kun. (o-teht. S9/8). Kärällä 3 ( ) on kolme suorviivist smptootti. Määritä ne j piirrä kärä smptootteineen. (o-teht. S96/7) +. Kärän mielivltiseen pisteeseen P(, b) setettu tngentti j kärän smptootit rjoittvt kolmion. Osoit, että kolmion l ei riipu sivumispisteestä P. Piirrä kuvio. (o-teht. K98/9) Vstuksi. ) 0, 0 b), c) 0. ), b) 0, c) ±, 3. ) ±, b) c) 0,. ) 6, b) 0, c) 0, + 5. ), b), c), + 6. ) 0,, b), + c) 3, + 3 7. ) 0 b) 0 c) 0, 0 8. ) 0, b) 0, 3 c) 0, 3 9. ) ± b) ± c) ± 0. Vihje: Merkitse luksi ln e.. ±, Määritä piirtämisen tueksi äärirvot ( ± 3) ± 3 3 /.. Asmptootit ovt 0 j. Kolmion l on.