Funktion raja-arvo ja jatkuvuus
|
|
- Kristiina Sala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi versio Määritelmä Olkoon funktio f) määritelt jossain pisteen a mpäristössä a r, a + r), r > 0, mahdollisesti pistettä a lukuun ottamatta Olkoon A R Sanotaan, että funktion f raja-arvo, kun lähest a:ta, on A, jos jokaista positiivilukua ϵ kohti on sellainen positiiviluku δ ϵ, että f) A < ϵ kun 0 < a < δ ϵ ; merkitään f) A tai f) a A a Kun kirjoitetaan δ ϵ eikä vain δ, niin tarkoitus on korostaa sitä, että δ riippuu ϵ:sta Määritelmän sanallinen selits on monisteen huomautuksessa 33 Ehto f) A < ϵ, missä ϵ > 0 saa olla kuinka pieni tahansa, tarkoittaa, että f):n etäiss luvusta A saadaan kuinka pieneksi tahansa Ehto 0 < a < δ ϵ tarkoittaa, että on valittava kllin läheltä a:ta Smboleilla määritelmä kirjoitetaan seuraavasti: a f) A, jos ϵ > 0 δ ϵ : f) A < ϵ kun 0 < a < δ ϵ sin Monisteessa todistetaan sivulla 60, että 0 Funktio sin ei ole määritelt, kun 0, joten kuvaajassa on aukko Raja-arvo, kun 0, on siis kuitenkin olemassa ja on sin π π 2 π 2 π Kuviossa on - ja -akseleilla eri mittakaavat Kun R, merkitään suurin kokonaisluku Esimerkiksi π 3 ja 2 Tämä on ns lattiafunktio f) : R R
2 Funktio f) on määritelt esimerkiksi pisteessä 2, koska f2) 2 Sen sijaan raja-arvo 2 f) ei ole olemassa, sillä ei ole sellaista htä lukua A, että f) A kun 2 Kuitenkin f:llä on pisteessä 2 ns toispuoliset raja-arvot: Vasemmanpuolinen raja-arvo on, merkitään f), 2 ja oikeanpuolinen raja-arvo on 2, merkitään f) 2 2+ Toispuolisten raja-arvojen idea on varmaan selvin eo esimerkin valossa, mutta tässä on vielä tarkat määritelmätkin: Sanotaan, että a f) A, jos ϵ > 0 δ ϵ : f) A < ϵ kun a δ ϵ < < a Sanotaan, että a+ f) A, jos ϵ > 0 δ ϵ : f) A < ϵ kun a < < a + δ ϵ Kätännössä usein raja-arvon voi ottaa sijoittamalla Esimerkiksi Näin on, jos funktio on jatkuva ko kohdassa; jatkuvuudesta tulee möhemmin puhe tarkemmin Sen sijaan esimerkiksi raja-arvoa sin 0 ei voi laskea sijoittamalla, vaan sijoittaminen antaisi lausekkeen 0 0, joka ei ole määritelt Sanotaan, että tämä raja-arvo on epämääräistä muotoa 0 0 Näistäkin puhutaan möhemmin 2
3 Tällä kurssilla ei raja-arvon ϵ-määritelmää kätetä, mutta otetaan ksi esimerkki valaisemaan määritelmää Todistetaan määritelmän avulla, että : ) + ) + 2 < ϵ kun 0 < 2 < ϵ Tässä tapauksessa siis δ ϵ :ksi kelpaa δ ϵ ϵ Yleensä näin mukavasti ei kä Monisteen sivuilla on raja-arvon laskusääntöjä ei todisteta tässä kurssissa) Otetaan tässä esimerkki säännöstä 3) joka sanoo: Jos raja-arvot a f) ja a g) ovat olemassa, niin raja-arvo a f)g) voidaan ottaa tekijöittäin, eli ) ) f)g) f) g) a a a a) Ilmeisesti ) ja ) 3, joten ) ) ) b) Oletetaan tunnetuksi, että 0 2 ) ja 0 sin Silloin saadaan 2 ) sin 0 2 ) sin ) 0 ) c) Varoitus: Jos säännössä 3) tekijöiden f) ja g) raja-arvot eivät ole kumpikin olemassa, niin sääntöä ei saa kättää Esimerkiksi, jos ritettäisiin sin laskea raja-arvo 0 näin: sin ) ) 0 sin ), 0 0 }{{}}{{} 0 ei olemassa niin mikä on tulos onko raja-arvo 0 vai eikö raja-arvo ole olemassa? sin Oikeaa tulosta 0 ei näin saada edes esille! Kohdassa ) teht hajottaminen ei ollut luvallista Seuraavassa on esimerkki säännöstä 9) eli Sandwich-periaatteesta ei ole olemassa, mikä nähdään funktion kuvaa- a) Raja-arvo 0 sin jasta 3
4 sin Tarkemmin tämän voisi perustella huomaamalla, että funktio saa arvoja ja mielivaltaisen lähellä pistettä 0; nimittäin sin kun π/2+2nπ, ja sin kun 3π/2+2nπ n Z) b) Sen sijaan raja-arvo 0 sin on olemassa ja 0, mikä on funktion kuvaajasta aivan ilmeistä: sin Tarkka perustelu saadaan Sandwich-periaatteesta seuraavasti Koska sin sin, niin sin 0 Funktioiden ja raja-arvot, kun 0, ovat 0 Sandwich-periaatteen mukaan siis 0 sin 0 Säännöstä 0) saadaan 0 koska 0 sin 0 + sin + 0, Raja-arvokäsitteen laajentaminen Edellä määriteltiin raja-arvokäsite a f) A, kun a ja A ovat reaalilukuja siis tavallisia äärellisiä lukuja ) Laajennetaan nt tapaukseen a ± ja A ± Jatkossakaan äärettömät luvut ± eivät ole lukuja, vaan kun esimerkiksi kirjoitetaan a f), niin tällä ilmaistaan vain, että kun a, niin f) kasvaa li kaikkien rajojen 4
5 Hperbeli on jo esiintntkin Kun nimittäjässä 0, niin kasvaa li kaikkien rajojen Kun lähest nollaa positiiviselta puolelta, niin ps koko ajan positiivisena lähest siis positiivista ääretöntä ), ja kun lähest nollaa negatiiviselta puolelta, niin ps negatiivisena lähest siis negatiivista ääretöntä ) Näin ollen 0+, 0 Annetaankin nt :n kasvaa li kaikkien rajojen, siis tai ) Esimerkiksi funktion 2 + kuvaajasta 2 + on ilmeistä, että 2 + 0, Ovathan nämä ilmeisiä funktion lausekkeestakin: Kun ±, niin nimittäjässä 2 + mutta osoittaja ps vakiona, joten funktion arvo lähest nollaa Näille raja-arvokäsitteen laajennuksille f), a f) A, f) jne pitäisi jokaiselle esittää muodollinen määritelmä Sitä ei tässä kuitenkaan tehdä vaan nätämme kseessä olevan ksinkertaisen idean esimerkeillä ja tdmme vetoamaan näissä asioissa intuitiiviseen käsitkseen Funktion f)
6 lausekkeesta nähdään helposti, että sen kuvaaja saadaan funktion 2 kuvaajasta siirtämällä sitä oikealle hden verran ja löspäin hden verran: 2 2 Siis sillä on vaakasuora amptootti ja pstsuora asmptootti Samat asiat nähdään raja-arvoista: f) + 2 ) + 0, f) + 2 ) + 0, ) f), + + f) + 2 }{{} + 2 }{{} ) e, e 0, ln, e ln ln 0+ Epämääräistä muotoa olevat raja-arvot Edellä mainittiin, että kätännössä raja-arvon a f) voi leensä laskea sijoittamalla a, jos fa) on määritelt; toisin sanoen a f) fa) jos funktion arvo fa) on olemassa Tarkkaan ottaen tämä on totta vain kun f) on jatkuva kohdassa a pkälä 34), mutta kätännössä kohdattavat funktiot ovat leensä jatkuvia siellä missä ne ovat määriteltjä Monisteen esimerkissä 36 on keinotekoisesti konstruoitu funktio, jolla 2 f) f2) 6
7 Mös sellaiset tapaukset kuin 0+ ovat selviä katso edellistä kohtaa) Ongelmia tässä keinossa tulee useimmiten silloin, kun fa) ei ole määritelt, kuten vaikkapa jo mainitussa raja-arvossa 0 sin Voisihan rittää laskea 0 sin sin , mutta mitä on 0 0? Tällaisia laskuja ei saa esiintä tenttipapereissa!) Tässä esimerkkitapauksessa sanotaan, että raja-arvo on epämääräistä muotoa 0 0 Mahdollisia epämääräisiä muotoja ovat: 0 0, 0,,, 0 0, Seuraavassa taulukossa on muutama epämääräistä muotoa oleva esimerkkiraja-arvo ja oikea vastaus Raja-arvo on epämääräistä muotoa Oikea vastaus cot ) + 2 ) cosh sinh ) e 2, ln e 3 0 Joitakin näistä lasketaan möhemmin Kun vastaan tulee epämääräistä muotoa oleva raja-arvo, niin tärkein keino on muokata lauseketta niin että epämääräiss häviää Aina tämä ei onnistu; ajatellaan vaikka raja-arvoja 0 sin ja + ) 7
8 39 a) Lasketaan monisteen esimerkki tapauksessa a Kstään siis rajaarvoa Tämä on epämääräistä muotoa 0 0, niin kuin nähdään kun ritetään sijoittaa Sievennetään lauseketta: ) Supistettiin tekijä pois, jonka jälkeen voitiin sijoittaa Oikeastaan kätettiin funktion f) jatkuvuutta kohdassa ) b) Kstään raja-arvoa , joka on epämääräistä muotoa 0 0 Lasketaan hiukan toisin kuin monisteessa Idea on kuitenkin sama: Sievennetään niin että päästään supistamaan hankaluuksia tuottava tekijä pois, jolloin voidaankin jo sijoittaa: ) + 4) 2 2) + 2) + 4) 4 + 2) + 4) 4 + 2)4 + 4) 32 Laskussa kätettiin kahdessa kohdassa kaavaa a 2 b 2 a b)a + b) Rationaalifunktion kohdalla tulee usein kseeseen supistaminen sopivalla :n potenssilla, kun raja-arvossa ± Epämääräistä muotoa oleva raja-arvo saadaan laskettua supistamalla 2 :lla:
9 Raja-arvo 0 ) 2 + on epämääräistä muotoa Siis sievennetään ensin: Raja-arvo ) + ) + ) + ) on epämääräistä muotoa 0 0 Meneehän sekä osoittaja että nimittäjä nollaksi, kun Siispä kummastakin saadaan tekijäksi, mikä antaakin keinon ratkaista: Raja-arvo ) + ) ) 2) on sekin epämääräistä muotoa 0 0 Kätetään temppua, joka usein sopii, kun lausekkeessa on muotoa f) g) oleva osa: lavennetaan vas- 9
10 taavalla summalla f) + g) Saadaan 0 ) + ) 0 + ) ) 0 ) + ) 0 + ) Monisteessa kätetään samaa lavennustemppua esimerkissä 39b), jonka edellä laskimme toisin sin Monisteessa todistetaan s 60 että 0 Sen avulla saamme helposti lasketuksi muotoa 0 olevan raja-arvon 0 cot : Neperin luku e cot cos 0 0 sin 0 sin ) cos Voidaan todistaa muttei tehdä tällä kurssilla), että on voimassa raja-arvo + ) merk 2,7828 e, mitä lukua kutsutaan Neperin luvuksi Siis + ) e Voidaan todistaa mös, että + ) e Näitä kätetään tietn muotoisten raja-arvojen laskemiseen 0
11 On laskettava raja-arvo + 2 ) 3 + Ideana on muokata lauseke muotoon, jossa esiint + ) g), g) missä g) ±, jolloin päästään kättämään em raja-arvotulosta Lasketaan: + 2 ) 3 + e 3 + ) {}}{ [ + ) + ] }{{} e Ensin tehtiin jakolasku, minkä jälkeen eksponentiksi hankittiin sama + joka esiint nimittäjässä On laskettava raja-arvo 2 ) Suorittamalla jakolasku saadaan 2 ) 3+ ) Verrattuna äskeiseen esimerkkiin erona on miinusmerkki, joten aivan samalla tavalla ei voi nt edetä Monisteen esimerkissä 35b) on keino tähän: Kirjoitetaan ) 3+ ) ) [ + ) ] 3+ 2+) 2+) 2 + ) Koska 2 + ), niin hakasulkulauseke lähenee lukua e, ja koska eksponentin raja-arvoksi tulee ) niin tulokseksi saadaan e 3/ ,
12 Voisi tehdä toisellakin tavalla: 2 ) Funktion jatkuvuus e 3/2 2 + ) 3+) 2 + ) 3+) 2 [ + ) ] 3+) Monisteessa s määritellään joukko jatkuvuuskäsitteitä Lattiafunktio f) on jatkuva jokaisessa pisteessä a / Z, epäjatkuva jokaisessa pisteessä n Z, oikealta jatkuva jokaisessa pisteessä n Z, vasemmalta epäjatkuva jokaisessa pisteessä n Z, jatkuva jokaisella välillä [n, n + ), missä n Z välin vasemmassa päätepisteessä kseessä on oikealta jatkuvuus) Huomautus Tavalliset funktiot ovat leensä jatkuvia niissä pisteissä, joissa ne ovat määriteltjä Tämä pitäisi oikeastaan todistaa jokaiselle funktiolle erikseen, mutta sitä ei tehdä tällä kurssilla Esimerkiksi polnomit ovat kaikkialla jatkuvia; 2
13 rationaalifunktiot, esimerkiksi 3 +2)+3), ovat jatkuvia muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa; sin, cos, e, a ovat kaikkialla jatkuvia; tan on jatkuva pisteissä π 2 + nπ n Z), joten tan on jatkuva jokaisella avoimella välillä π 2 + nπ, π 2 + n + )π ) n Z); log a on jatkuva välillä 0, ) sinh, cosh ja tanh ovat kaikkialla jatkuvia, ja coth on jatkuva väleillä, 0) ja 0, ); arkusfunktiot ovat jatkuvia kukin omalla määrittelvälillään Jos funktio f) on jatkuva pisteessä a, niin a f) fa) Tämä selittää sen, että raja-arvo saadaan tällaisissa pisteissä ottaa sijoittamalla Esimerkiksi, koska on jatkuva pisteissä 2, 3, niin esimerkiksi )+3) 3 + 2) + 3) )2 + 3) 7 20 Funktio f) sin on jatkuva kaikissa pisteissä 0 Kohdassa 0 funktio ei ole määritelt, joten se ei ole siinä sen enempää jatkuva kuin epäjatkuvakaan; katso huomautus 39 sin Tädentämällä siitä saadaan kaikkialla jatkuva funktio g) { sin kun 0, 0 kun 0, sillä nt 0 g) g0) Suljetulla välillä jatkuva funktio Otetaan ksinkertainen esimerkki Bolzanon lauseesta s 67) 3
14 Funktio f) on kaikkialla jatkuva polnomi), ja koska f) ja f), niin on sellaiset a ja b, ettå fa) < 0 ja fb) > 0 Bolzanon lauseesta seuraa, että f):llä on ainakin ksi nollakohta Lisäksi kättämällä derivaattaa nähtäisiin, että koska f ) > 0, niin f on kaikkialla kasvava, joten nollakohtia on vain ksi) Nollakohtaa ei psttä ratkaisemaan tarkasti Bolzanon lauseesta saadaan seuraava helppo keino likiarvon lötämiseksi Tämä ns puolitushaku olisi helppo ohjelmoidakin Tosin parempiakin keinoja on) Koska f ) < 0 ja f0) > 0, niin Bolzanon lauseen mukaan on nollakohta välillä, 0) Otetaan välin keskipiste 2 ja lasketaan, että f 2 ) > 0; koska lisäksi f ) < 0, niin on nollakohta välillä, 2 ) Otetaan tämän välin keskipiste 3 4 ja lasketaan f 3 4 ) > 0, jolloin nähdään, että on nollakohta välillä, 3 4 ) Näin jatkamalla lödetään kuinka pieni väli tahansa, jossa nollakohta sijaitsee Sellaisen välin keskipiste kä nollakohdan likiarvosta Monisteen sivulla 68 on lause 324, joka tulee meillä möhemmin kättöön, kun puhumme funktioiden maksimi- ja minimiarvoista: Lause 324 Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f) saa tällä välillä pienimmän arvon m ja suurimman arvon M ja kaikki niiden väliset arvot; toisin sanoen f [a, b] ) [m, M] Huomautus M m a f) b Lause 324 ei pidä paikkaansa jos jätetään pois joitakin sen oletuksista: tarkasteluväli on suljettu ja rajoitettu eli muotoa [a, b] ); f on jatkuva ko välillä välin päätepisteissä on toispuolinen jatkuvuus) Tästä vakuuttuu sopivia esimerkkikuvioita piirtelemällä Huomautus Lause 324 nättää kuviosta aivan ilmeiseltä Se, kuten leensä muutkin kurssin tulokset, leist tilanteisiin, joissa se ei enää olekaan niin ilmeinen Esimerkiksi lauseen 324 leists topologisten avaruuksien välisiä funktioita koskevaksi kuuluu: Kahden topologisen avaruuden välisessä jatkuvassa kuvauksessa htenäisen kompaktin joukon kuva on htenäinen ja kompakti 4
3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotUsean muuttujan funktiot
Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotDerivaatan sovelluksia
Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotMonisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.
Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotYhden muuttujan reaalifunktiot
Yhden muuttujan reaalifunktiot Määritelmä Monisteessa määritellään, mitä tarkoittaa funktio eli kuvaus A B, missä A ja B ovat joitain reaalilukujoukkoja, siis joukon R osajoukkoja Itse asiassa aivan samalla
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotRaja arvokäsitteen laajennuksia
Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.
Lisätiedot4 Derivaatta. 4.1 Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen
4 Derivaatta 4. Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen Eräitä kiinnostavimmista asioista funktioita tutkittaessa ovat funktion kasvavuus ja vähenevs. Funktio on jollain välillä kasvava, jos f(a) f(b)
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotFunktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen
Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotOsittaisderivaatat. Huomautus 4.15 (Geometrinen tulkinta)
Osittaisderivaatat Monisteessa määritellään sivulla 31 osittaisderivaatat: useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat saadaan derivoimalla aina hden muuttujan suhteen pitämällä muita muuttujia vakioina.
Lisätiedotsin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Lisätiedot3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotRationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,
Lisätiedot( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2
Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014
0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotRaja-arvo ja jatkuvuus, L5
ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,
Lisätiedotniin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Lisätiedot