Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.

Transkriptio

1 n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan arvolla funktio saa arvon? Ratkaisu a) f() = + 7 = b) Selvitetään kstt arvo htälön avulla. + 7 = = 8 : ( ) 8 = = Vastaus a) f() =, b) = ESIMERKKI Määritä funktion g() = a) arvo kohdassa b) nollakohdat. Ratkaisu a) Arvo kohdassa tarkoittaa funktion arvoa, kun =. g( ) = ( ) + 7 ( ) 6 = b) Nollakohdissa g() = 0. Selvitetään nollakohdat htälön avulla = 0 a =, b = 7 ja c = 6 7± 7 ( ) ( 6) 7± 7± = = = ( ) 7+ 7 = = tai = = 6 Vastaus a) g( ) =, b) nollakohdat ovat = ja = 6 9

2 n kuvaaja Koordinaatistoon piirretssä funktion kuvaajassa funktion arvo on kuvaajan pisteen -koordinaatti. ESIMERKKI Vastaa ksmksiin kuvaajan perusteella. a) Määritä kuvaajasta f(). b) Millä muuttujan arvoilla f() =? c) Määritä funktion f() nollakohdat. f() Ratkaisu a) f() = b) f() =, kun = tai = c) = ja = f() 9

3 ESIMERKKI Onko funktion kuvaaja nouseva suora, laskeva suora, löspäin aukeava paraabeli tai alaspäin aukeava paraabeli? a) f() = 8 + b) g() = 9 c) h() = d) r() = + + Ratkaisu a) on ensimmäisen asteen polnomifunktio, joten sen kuvaaja on suora. Koska kulmakerroin 8 on negatiivinen, suora on laskeva. b) on toisen asteen polnomifunktio, joten sen kuvaaja on paraabeli. Koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen, paraabeli aukeaa löspäin. c) on toisen asteen polnomifunktio, joten sen kuvaaja on paraabeli. n lausekkeen termien järjestksen voi vaihtaa: = +. Koska toisen asteen termin kerroin on negatiivinen, paraabeli aukeaa alaspäin. d) on kolmannen asteen polnomifunktio. Sen kuvaaja ei ole suora eikä paraabeli. Vastaus a) laskeva suora, b) löspäin aukeava paraabeli, c) alaspäin aukeava paraabeli, d) ei suora eikä paraabeli 9

4 ESIMERKKI Piirrä funktioiden f() = ja g() = 0 0,8 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Selvitä kuvaajien avulla ainoa muuttujan arvo, jolla funktiot saavat saman arvon. Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu Piirretään kuvaajat geometria- tai laskentaohjelmalla. n g() kuvaaja ei välttämättä nä ohjelman piirtotilan perusasetuksilla, jolloin koordinaattiakselien asteikkoja tät ensin muuttaa g() f() t saavat saman arvon sillä muuttujan arvolla, jolla kuvaajat leikkaavat. Määritetään ohjelman avulla kuvaajien leikkauspiste. Tarvittaessa muutetaan pöristsasetuksia riittävän tarkkuuden saamiseksi. Leikkauspisteen -koordinaatiksi saadaan,97, joten f() = g(), kun,97. 9

5 TEORIA- YHTEENVETO n käsite on sääntö, jonka mukaan suureen arvo saadaan laskettua suureen arvosta ksikäsitteisellä tavalla. Tällöin kätetään merkintää = f(). n sääntö voidaan esittää joko laskulausekkeena tai koordinaatiston kuvaajana. Koordinaatistossa muuttujan arvot ovat kuvaajan pisteiden -koordinaatteja ja funktion arvot pisteiden -koordinaatteja. Polnomifunktioiden kuvaajia Ensimmäisen asteen polnomifunktion f() = k + b (k 0) kuvaaja on suora. Suora on nouseva, kun k > 0 ja laskeva, kun k < 0. k > 0 k < 0 Toisen asteen polnomifunktion f() = a + b + c (a 0) kuvaaja on paraabeli. Sen aukeamissuunnan näkee toisen asteen termin kertoimesta a. Paraabeli aukeaa löspäin, kun a > 0 ja alaspäin, kun a < 0. a < 0 a > 0 Eksponenttifunktioiden kuvaajia Eksponenttifunktion f() = k (k > 0 ja k ) kuvaaja on kaareva kärä. Kärä on nouseva, kun k > ja laskeva, kun 0 < k <. k > 0 < k < n lausekkeen kertominen positiivisella vakiolla säilttää kuvaajan perusmuodon. 9

6 Laskimet ja laskentaohjelmat n arvon laskeminen Kokeen B-osassa funktioiden arvoja voidaan laskea laskentaohjelmilla. Tästä on eritistä hötä silloin, kun pitää laskea useita saman funktion arvoja. Kun ohjelmaan söttää funktion lausekkeen, esimerkiksi f() =, f() laskee funktion arvon, kun =. Joissain ohjelmissa voi kättää mös ns. sijoitusviivaa: =. Kun funktion arvo lasketaan laskentaohjelmalla, sijoituksen välivaiheiden ei tarvitse näkä. Ohjelmasta on hvä tällöin ottaa kuvakaappaus, jossa näkvät sekä laskettu arvo että funktion lauseke. n kuvaajan piirtäminen ja analsoiminen Kokeen B-osassa funktion kuvaaja voidaan piirtää geometriatai laskentaohjelmalla. Ohjelmilla pst usein analsoimaan kuvaajaa. Taulukossa on leisiä toimintoja ja niiden mahdollisia nimiä ohjelmissa. Toiminto Nollakohtien määrittäminen Kahden kuvaajan leikkauspiste Suurin arvo tai pienin arvo Nimi Juuret (Roots), Nollakohta (Zero) Leikkauspiste (Intersect) Ääriarvot (Turning Point), Minimipiste/Maksimipiste (Minimum/ Maimum) Kuvaajaa voidaan tutkia ohjelman mukaan mös esimerkiksi liikuttamalla kuvaajalla olevaa pistettä tai kättämällä toimintoa Jäljits (Trace). Kuvaajalle saa sijoitettua pisteen joissakin ohjelmissa esimerkiksi toiminnolla Piste objektilla. 96

7 TEHTÄVIÄ Perustehtävät. Tarkastele funktiota f() = 8. Laske funktion arvo, kun a) = b) =.. Tarkastele funktiota g() = 6 +. a) Millä muuttujan arvolla funktio saa arvon? b) Määritä funktion nollakohta.. a) Määritä kuvaajan perusteella f(). b) Millä :n arvolla f() = 6? c) Määritä funktion nollakohta. f()

8 6. Alla on funktion g() kuvaaja välillä 6. Vastaa kuvaajan perusteella, ovatko väittämät oikein vai väärin. a) g() = 6 b) g(0) = c) lla on kolme nollakohtaa. d) g() =, kun, e) g() =, kun,, 0,6 tai,7 f) n pienin arvo on,8. g() Onko funktion kuvaaja nouseva suora, laskeva suora, löspäin aukeava paraabeli vai alaspäin aukeava paraabeli? a) f() = + 8 b) g() = c) h() = + 6 Sarja 8. Laske funktion f() = + 7 arvo a) f() b) f( ). 9. Määritä funktion g() = nollakohdat. 98

9 0. a) Määritä kuvaajasta funktion nollakohdat ja f(0). b) Millä :n arvoilla f() =? f(). Onko funktion kuvaaja nouseva suora, laskeva suora, löspäin aukeava paraabeli tai alaspäin aukeava paraabeli? a) f() = 8 6 b) g() = 7 c) h() =. Piirrä funktion f() = kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla funktion nollakohdat kahden desimaalin tarkkuudella.. Piirrä paraabeli = Määritä kuvaajan avulla paraabelin huipun koordinaatit.. sta g() = + b tiedetään arvo g( ) = 8. Määritä vakio b.. Määritä funktion f() = + 8 nollakohdat. 6. Tarkastele funktiota f() = 0. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan arvoilla funktion arvo on ? 7. Anna esimerkki toisen asteen polnomifunktiosta f(), joka toteuttaa ehdot f(0) = ja f() =. Perustele kummankin ehdon voimassaolo. 99

10 Sarja 8. Tarkastele funktiota f() = a) Laske f( ). b) Millä muuttujan arvoilla f() =? 9. Etsi kutakin kuvaajaa vastaava funktion lauseke. A f() =, B g() = 0, 0,, C h() = + +, D r() = 0,7 E s() = 6 F t() = 0, + +, 0. Tarkastele funktioita f() = ja g() = +. a) Selvitä funktioiden kuvaajien avulla, millä muuttujan arvoilla funktiot f() ja g() saavat saman arvon. b) Määritä laskemalla, millä muuttujan arvoilla funktiot f() ja g() saavat saman arvon. c) Mitä eroa on a- ja b-kohdan vastauksissa? 00

11 . Piirrä funktion g() = kuvaaja. Määritä kuvaajasta funktion suurin arvo välillä 7 ja tällä välillä olevat funktion nollakohdat. Anna vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella.. Millä vakion a arvoilla a) funktiolle f() = a on voimassa ehto f() = b) = on funktion g() = a a nollakohta?. Määritä funktion nollakohdat. a) f() = 6 b) g() = 6 8 c) h() = ( 9)( + ). a) Ratkaise htälö t t+ = 0. b) Ratkaise htälö [f()] f() + = 0, missä f() on kuvion funktio. = f() (YO sks 06/). Perustele, miksi alla oleva kuvaaja ei voi olla sellaisen funktion kuvaaja, jonka muuttuja on Tutki laskentaohjelman avulla, miten vakio a vaikuttaa funktion f() = log a kuvaajan muotoon. Millä vakion a ja muuttujan arvoilla funktio on määritelt? 0