9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

Transkriptio

1 DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin, ekvivlentti on kätevä tp yksinkertist piiriä. Se on erityisen käyttökelpoinen silloin, kun olln kiinnostuneit vin yhden komponentin jännitteestä j virrst. Käytännön sovelluksen voisi oll esimerkiksi joku sähkölite, joss tiettyyn kohtn virtpiiriä on kytketty joku resistiivinen kuorm. Nortonin j Theveninin ekvivlenttien vull voidn monesti lske vstuksen jännite j virt yksinkertisemmin kuin nlysoimll koko lkuperäinen piiri. Se koht piirissä, jost olln kiinnostuneit, on in khden solmupisteen välissä. Näitä kht solmupistettä kutsutn nvoiksi. Nortonin ekvivlentti yksinkertist koko muun piirin siten, että se voidn vin yhden virtlähteen j vstuksen rinnnkytkennällä. Nortonin ekvivlentist sdn Theveninin ekvivlentti lähdemuunnoksell. 1 I N R N Alkuperäinen piiri Nortonin ekvivlentti R T = R N U T = I N R N Théveninin ekvivlentti

2 Määritetään nyt Nortonin ekvivlentin virtlähteen j vstuksen rvot. Nortonin ekvivlentiss npojen j välillä on in sm virt, kuin minkä lkuperäinen piiri ntisi. Huomtn, että npojen välinen oikosulkuvirt Nortonin piirissä on I N. Eli, kun j välillä resistnssi on noll, niin kikki virtlähteen tuottm virt kulkee sitä kutt. Määritetään oikosulkuvirt lkuperäisestä piiristä. Siinä tilnteess vstuksen läpi ei kulje virt, joten piiri käyttäytyy niin kuin sitä ei olisikn (poistetn se kuvst). Siten, srjnkytketyt 2 j vstukset voidn yhdistää. 1 Oikosulkuvirt, kun j välissä R = 0 I N 6 Ω 1 I N 1 I N Yksinkertistetuss piirissä I N on nyt sm kuin 6 Ω vstuksen läpi kulkev virt. Kosk 6 j 1 vstukset on kytketty rinnn, niin virrnjon vull* sdn selville kuink suuri os virtlähteestä kulkee 6 Ω vstuksen kutt. (1) Nortonin ekvivlentin vstus R N sdn sulkemll virtlähde (korvtn se voimell piirillä, kosk siinä hrss ei kulje virt), j trkstelemll piirin kokonisvstust väliltä ktsottun. Trkoitus on huomt mitkä vstukset ovt srjss j mitkä rinnn, j yhdistellä niitä.

3 1 R N (2412) Ω R N (2) Näin stiin Nortonin ekvivlentin virtlähde määritettyä oikosulkuvirrn vull, j trkstelemll kokonisvstust, kun lähteet on suljettu. Smn tulokseen pääsee myös yksinkertistmll kytkentää käyttäen lähdemuunnoksi j yhdistelemällä srjn j rinnnkytkettyjä vstuksi * 12 = 108 V Alkuperäinen piiri kuormvstus kytkettynä npojen j väliin 1) Virtlähde jännitelähteeksi 1224 = 18 Ω 108 V 108/18 = 6 A 18 Ω 2) Yhdistetään srjnkytketyt vstukset 3) Jännitelähde virtlähteeksi 6 A 6 Ω 4) Yhdistetään rinnnkytketyt vstukset

4 *Virrnjko: Rinnnkytkettyjen 6 j 1 vstusten yli on sm jännite: (3) Lisäksi tiedetään, että vstusten läpi kulkevien virtojen summ on : (4) Rtkistn edellisistä I 12Ω j merkitään ne yhtäsuuriksi: (5) Rtkistn I 6Ω : ( ) (6) (7)

5 Tehtävä 2. Annettu jännitteen luseke: ( ) (8) Jännitteen lusekkeen muoto luennoill: ( ) (9) ) Amplitudi on jännitteen huippurvo, = 170 V ) Tjuus, f, sdn kulmtjuuden, ω, vull: f = ω/(2 π)= 120 π /(2 π)=60 Hz (Verkkojännitteen tjuus PohjoisAmerikss) c) Kulmtjuus = kulmnopeus = ω = 120π rd/s. Kulmnopeus kertoo kuink mont rdini mhtuu yhteen sekuntiin. d) Nollvihekulm φ = 60 e) 60 = 60/360*2 π rd = 1/3 π rd f) Sinimuotoisen vihtojännitteen tehollisrvo vst tsjännitettä, jok iheutt vstuksess smn tehon. Tämä tehollisrvo on huippurvo/ sqrt(2) = 170/sqrt(2) = V (Verkkojännitteen tehollisrvo Yhdysvlloiss) g) Jksonik T = 1/f = 1/60 s h) Vihekulmn perusteell tiedetään, että sinin nollkoht on siirtynyt 1/3 π rd oikelle. Huippurvo sdn ¼ T nollkohdn jälkeen (T/4 = 4.2 ms). Ajllisesti 1/3 π rd sdn kulmnopeuden vull: Yhteen rdiniin kuluv ik: 1/(120π) s. 1/3 π rd kuluv ik on : 1/120π * (1/3) π = 1/360 = 2.8 ms. Kysytty ik on siis 2.8 ms 4.2 ms = 7 ms. Toinen tp rtkist tämä, on suorn nnetust yhtälöstä. Sinin svutt huippurvon, kun sen rgumentti on π/2. Eli, kun 120 πt π/3 = π/2 t = (π/2 π/3)/(120 π)=5/720 = 7 ms

6 ( ) ( ) (10) ( ) ( ) (11) i) Siirretään sitä oikelle niin pljon, että nollvihekulmksi sdn 2 π π/2 = 3/2 π. Silloin se on sm kuin jos nollvihekulm olisi noll. Vdittu siirto on 3/2 π1/3 π= 9/62/6 π = 7/6 π. Tämä on 7/6/2 =7/12 jkson jst. Eli jss 7/12 * (1/60) s = 7/720 = 9.7 ms

7 Tehtävä 3. Tvoite: 10 Ω 10 A 40 Ω 200 V I U U T R T I U Alkuperäinen piiri Théveninin ekvivlentti Selvitetään ekvivlenttisen piirikytkennän Theveninin lähde U T j Theveninin resistnssi R T. Rtkistn U T lkuperäisen piiriin tyhjäkäyntijännitteen vull. Tyhjäkäyntijännite trkoitt jännitettä, jok vst äärettömän suurt kuormresistnssi. Silloin npojen j väli voidn tulkit voimeksi piiriksi, kosk virt ei kulje sen läpi. Tyhjäkäyntijännite lkuperäisessä piirissä on sm kuin tyhjäkäyntijännite Theveninin piirissä mikä on siis sm kuin lähteen U T rvo (potentilit nvoiss ovt smt kuin jännitelähteen nvoiss kosk virt ei kulje piirissä). Solmu 1 (V 1 ) 10 Ω 10 A 40 Ω 200 V Solmu 2 (0 V) Alkuperäinen piiri, joss npojen välinen hr korvttu voimell piirillä j solmupisteet merkttu Huomtn, että kun on korvttu voimell piirillä, niin vstuksen läpi ei kulje virt. Solmupistemenetelmällä on nyt vin 1 yhtälö, jost solmun 1 potentili (V 1 ) sdn rtkistu. Tämä potentili on myös nvss. Kun :n potentili on määritelty nollksi, niin V 1 on etsitty tyhjäkäyntijännite.

8 (12) ( ) (13) (14) Smoin kuin Nortonin ekvivlentiss, R T sdn määrittämällä lkuperäisen piirin resistnssi nvoist ktsottun, kun lähteen ovt pois pelistä. Ts, jännitelähteet korvtn oikosulull (noll jännitettä), j virtlähteet voimell piirillä (noll virt). 10 Ω 40 Ω 10*40/ (1040) =8 Ω Virtlähde korvttu voimell piirillä, j jännitelähde oikosulull Rinnkytketyt vstukset yhdistetty Theveninin vstus sdn nyt srjnkytkettyjen vstusten summst (15) Toinen tp R T :n määrittämiseksi olisi ollut rtkist oikosulkuvirt lkuperäisestä piiristä, j määrittää vstus U T :n perusteell: (16)

9 Teho (W) Nyt Theveninin ekvivlentiss on (17) Jost voidn rtkist I :n funktion: (18) Jonk vull sdn U (19) Sijoittmll sdut U T j R T, sek lskemll teho P =UI, sdn seurvt rvot: (Ω) U (V) I (A) P (W) Tehon mksimirvo stisiin etsimällä tehon lusekkeen derivtn nollkoht. Siitä sdn luennoll nnettu tulos, että teho kuormvstuksess mksimoituu, silloin kun sen rvo on sm kuin Theveninin vstuksen rvo (10 Ω). Teho tällöin on 360 W Kuormvstus (Ohm)