1. a) Muodosta Matlab-ohjelmistossa kosinisignaali x(t) = Acos(2πft+θ), jonka amplitudi on 1V, taajuus hertseinä sama kuin ikäsi vuosina (esim. 2 v = 2 Hz) ja vaihekulma +π/2. Piirrä signaali ja tarkista piirroksesta signaalin amplitudi, taajuus ja vaihe. Kuinka paljon signaali on viivästynyt nollataajuiseen kosiniin verrattuna? muodosta komentotilassa (Command Window) aikaparametri (aika s -> 1s 1 ms:n välein) t = :.1:1; muodosta kosinisignaali, esim. x = 1*cos(2*pi*2*t); käynnistä sptool-komennolla signal processing toolbox vie signaali sptool-ohjelmaan (File -> Import) ja piirrä se (Signals -> View) Kuvassa on piirretty signaali x (yhtenäinen viiva) ja vastaava nollavaiheinen kosinisignaali (katkoviiva). Signaalin x amplitudi on 1 (vaihteluväli 1.. 1) ja taajuus 1/.5 Hz = 2 Hz (.5 s = kuvasta määritetty yhden jakson pituus). Signaali x on aikaistunut 13 ms nollavaiheiseen kosiniin verrattuna. Kulmana tämä on.13 2π/.5 =.26π.25π. b) Muodosta a-kohdan signaalin spektri. Piirrä spektri. Esittääkö saatu spektri amplitudi-, vaihe- vai tehoarvoja taajuuden funktiona. Onko se muodoltaan odotetun kaltainen? Mitä taajuuksia spektrissä voidaan havaita? Jyrki Laitinen 1
sptool: Spectra -> Create (FFT-menetelmä) sptool: Spectra -> View Kuvassa on esitetty signaalin x tehospektri (= teho taajuuden funktiona) taajuusvälillä f s /2 f s /2 (-5 Hz 5 Hz). Spektrissä havaitaan piikit taajuuksilla 19.5 Hz ja 19.5 Hz, joka mittaustarkkuuden rajoissa on sama kuin signaalin x taajuus (2 Hz). Mittaustarkkuutta rajoittaa tässä näytetaajuus, jonka perusteella taajuus resoluutio f = f s /N = 1 Hz/124 1 Hz. Jyrki Laitinen 2
2. Tutki tehtävän 1 signaalin ja spektrin käyttäytymistä, kun amplitudi, taajuus tai vaihe muuttuu. Miksi amplitudin muutos ei näy spektrissä samansuuruisena muutoksena? Spektrissä esitetään tehoarvoja taajuuden funktiona. Jos amplitudi esimerkiksi kaksinkertaistuu, niin tehoarvo vastaavasti nelinkertaistuu (teho amplitudi 2 ). Jyrki Laitinen 3
3. Toista tehtävä 1 signaalille x =.5*cos(2*pi*5*t+pi/4).2*cos(2*pi*1*t-pi/4) +.4*cos(2*pi*2*t-3*pi/4); Jyrki Laitinen 4
Signaali muodostuu nyt kolmesta eritaajuisesta kosinisignaalista. Taajuuksia vastaavat piikit havaitaan spektrissä taajuuksilla 4.9 Hz, 9.8 Hz ja 19.5 Hz. Tarkat taajuusarvot olivat signaalin laskukaavan perusteella 5 Hz, 1 Hz ja 2 Hz, joten jälleen mittauksessa kadotetaan osa tarkkuudesta. Jyrki Laitinen 5
4. a) Muodosta aikaparametri t siten, että aika mitataan välillä.. 1 s.1s välein. Muodosta suorakaidepulssi x1, jonka amplitudi on 2 ja leveys.1 s ja joka sijaitsee aika-akselilla kohdassa t = 5 s. Käynnistä sptool-ohjelma ja siirrä signaali x1 sptooliin. t = :.1:1; x1 = 2*rectpuls(t-5,.1); b) Määritä sptoolissa signaalin x1 kaistanleveys 3dB pisteen perusteella. c) Suunnittele sptoolin Filters-sarakkeessa (Filters -> New) Equiripple FIRalipäästösuodin, jolla mallinnetaan alipäästävää tiedonsiirtokanavaa. Aseta suotimen rajataajuudeksi signaalin x1 3 db taajuus, siirtymäkaistan leveydeksi 1 Hz, päästökaistavahvistuksen maksimivaihteluksi.1 db ja estokaistavaimennuksen vaatimukseksi 4 db. Totea suotimen asteluku, kertoimien määrä, vaihespektri, ryhmäviive ja impulssivasteen muoto (Filters -> View). d) Suodata signaali x1 (Filters -> Apply) suunnittelemallasi suotimella ja totea suodatustulos. Miten signaalin muoto muuttuu suodatuksessa? Paljonko signaali levenee? Paljonko signaali viivästyy? Vastaako tämä vaihespektrin derivaatan perusteella määritettyä viiveen arvoa? Edellä on esitetty malli tilanteelle, jossa signaalille on varattu tiedonsiirtokanavasta 3 db kaistaleveyden perusteella siirtokaista. x(t) Tulosignaali KANAVA kaistanleveys B = f -3dB y(t) Lähtösignaali vääristyy, koska osa taajuuksista suodattuu kanavassa e) Määritä signaalin x1 kaistanleveys päämaksimin nollakohdan perusteella. Toista edellä annetut kohdat c d käyttäen suotimen rajataajuutena nollakohdan perusteella määritettyä kaistanleveyttä. f) Muodosta.1 s leveistä ja 2 korkeista pulsseista muodostuva suorakaidepulssijono x2, jonka perustaajuus on 1 Hz. Toista kohdat c ja d käyttäen suotimen rajataajuutena signaalin x1 3 db taajuutta. Eroaako pulssijonon käyttäytyminen kanavassa yksittäisen pulssin käyttäytymisestä? x2 = 2*square(2*pi*1*t); Jyrki Laitinen 6
g) Suunnittele sptoolin Filters-sarakkeessa Elliptic IIR-alipäästösuodin samoilla asetuksilla kuin edellä suunniteltu FIR-suodin (käytä rajataajuutena signaalin x1 3 db taajuutta. Totea suotimen asteluku vaihespektri, ryhmäviive ja impulssivasteen muoto. Suodata signaalit x1 ja x2 suunnittelemallasi IIR-suotimella ja totea suodatustulos. Miten suodatustulos poikkeaa edellisistä tapauksista? Mistä erot johtuvat? a) - d) f -3db = 4.4 Hz (tämän taajuuden alapuolella on n. 5% pulssin energiasta). f 1. nollakohta = 1/(pulssin leveys) = 1/.1s = 1 Hz alapuolella 9% pulssin energiasta). Jyrki Laitinen 7
Asteluku 211, kertoimien määrä 212. Vaihespektri lineaarinen, ryhmäviive vakio = 15.5 1 ms = 15.5 ms. Impulssivaste symmetrinen. Suodatettu pulssi viivästynyt 16 ms (mitattu ryhmäviive = 15.5 ms). Suodin päästää läpi puolet suorakaidepulssin tehosta, mikä näkyy pulssin pyöristymisenä ja levenemisenä (n. kolminkertaiseksi). Jyrki Laitinen 8
e) Suodatettu pulssi viivästynyt 16 ms (mitattu ryhmäviive = 15.5 ms). Suodin päästää läpi 9% suorakaidepulssin tehosta, mikä näkyy pulssin pyöristymisenä ja levenemisenä (n. kolminkertaiseksi). f) Jyrki Laitinen 9
g) Asteluku 4, kertoimien määrä 5 + 4 = 9. Vaihespektri epälineaarinen. Viive riippuu taajuudesta. Impulssivaste epäsymmetrinen. Jyrki Laitinen 1
Läpimennyt signaali vääristyy epäsymmetrisesti. Signaalin teho leviää n. sekunnin pituiselle aikavälille. Epäsymmetrisen vääristymisen aiheuttaa viiveen taajuusriippuvuus eli tällainen käyttäytyminen on ominaista epälineaarisen vaiheen omaaville järjestelmille. Jyrki Laitinen 11
5. a) Muodosta aikaparametri t siten, että aika mitataan välillä.. 1 s.1 s välein. Muodosta.2 s leveistä ja 5 korkeista pulsseista muodostuva suorakaidepulssijono x, jonka perustaajuus on 2.5 Hz. Käynnistä sptoolohjelma ja siirrä signaali x1 sptooliin. t = :.1:1; x = 5*square(2*pi*2.5*t); b) Suunnittele sptoolissa (Filters -> New) signaalille x elliptiset IIR-jakosuotimet rajataajuudelle 1 Hz. Suotimien siirtymäkaista on 95 15 Hz, estokaistanvaimennus > 6 db ja päästökaistavärähtely <.1 db. Totea suotimen asteluku ja kertoimien määrä, vaihespektri sekä ryhmäviive (Filters -> View). Tarkoituksena on toteuttaa suodatus oheisen lohkokaavion mukaisesti LPF x <1 Hz (t) x(t) f raja = 1 Hz HPF x >1 Hz (t) f raja = 1 Hz c) Suodata sptoolissa signaali x suunnittelemillasi suotimilla (Filters -> Apply). Piirrä suodatustulokset samaan kuvaan. Päättele kuvasta, miksi elliptisillä IIR-suotimilla toteutettu jakosuodatus ei ole käytännössä toimiva ratkaisu. Miten suodatus voidaan käytännössä hyvälaatuisena toteuttaa? a) c) Jyrki Laitinen 12
Yllä olevissa kuvissa on esitetty alipäästösuotimen vasteet. Kuvassa alkuperäinen suorakaidepulssi, alipäästösuodatettu signaali (vihreä) sekä ylipäästösuodatettu signaali (punainen). Suotimien epälineaarisen vaiheen aiheuttamat vääristymät näkyvät selvästi. Esimerkiksi ylipäästösuodatetussa signaalissa pitäisi näkyä vastetta vain tulosignaalin reunojen kohdalla, mikä ei tässä tapauksessa selvästikään toteudu. Jyrki Laitinen 13
6. Epäideaalinen LTI-kanava. Tarkastellaan seuraavan kuvan tilannetta H ( f ) = j 2π f. 2 [.6 +.4 cos(.12 2π f )] e x(t) F-muunnos Epäideaalinen LTI-kanava y(t) =? F-muunnos käänteinen F-muunnos X(f) Y(f) = H(f) X(f) a) Määritä kanavan amplitudi- ja vaihespektri. Vertaa siirtofunktiota H j 2π f t ideaalisen kanavan siirtofunktioon H d ideaalinen ( f ) = k e. Miten kanava H poikkeaa ideaalisesta kanavasta? Arvioi kanavassa H syntyvä viive td. b) Muodosta aikaparametri t siten, että aika mitataan välillä.. 1 s.1s välein. Muodosta suorakaidepulssi x1, jonka amplitudi on 2 ja leveys.1 s ja joka sijaitsee aika-akselilla kohdassa t = 5 s. t = :.1:1; x1 = 2*rectpuls(t-5,.1); c) Muodosta signaalin x1 Fourier-muunnos X1. X1 = fft(x1); d) Muodosta epäideaalisen LTI-kanavan siirtofunktio H. f = :.1:1; H = (.6 +.4*cos(.12 * 2 * pi * f)).*exp(-i*2*pi*f*.2); e) Muodosta taajuustasossa kanavan H vastesignaali Y1 kertomalla tulosignaalin Fourier-muunnos X1 kanavan siirtofunktiolla X1. Y1 = H.*X1; f) Muodosta vastesignaalin Y1 aikatason esitys käänteisellä Fouriermuunnoksella. y1 = ifft(y1); g) Käynnistä sptool. Vie signaalit x1 ja y1 sptooliin ja piirrä ne samaan kuvaan. Vastaako viive kanavan siirtofunktion ennustamaa arvoa? Mitä muuta kanavan epäideaalisuus on aiheuttanut vasteeseen? Mitä ongelmia tällainen vaste aiheuttaa tiedonsiirrossa? Jyrki Laitinen 14
a) Vertaamalla kanavan siirtofunktiota ideaalisen kanavan siirtofunktioon nähdään heti, että kanavassa amplitudi vääristyy. Sen sijaan vaihe on ideaalisen kanavan vaihe. Amplitudispektri: H ( f ) =.6 +.4 cos(.12 2π f ) H π viive t =. 2 Vaihespektri: arg{ ( f )} = 2 f. 2 b) g) d Kanavan läpäissyt signaali on viivästynyt siirtofunktion ennustamalla tavalla.2 s. Signaalin energia on kuitenkin jakautunut kolmeen osaan, jolloin vastaanotettu pulssi levenee ja tiedonsiirto hidastuu. (leveitä pulsseja voidaan aikayksikössä siirtää vähemmän kuin kapeita pulsseja!) Jyrki Laitinen 15
7. Epälineaarinen tiedonsiirtokanava a) Muodosta aikasignaali t (f s = 1 Hz) sekä signaalit x1 ja x2 t = :.1:1; x1 = cos(2*pi*1*t); x2 = cos(2*pi*1*t) + cos(2*pi*25*t); b) Oletetaan, että signaalit kulkevat 3. asteen epälineaarisen kanavan läpi. Kanavan malli on y(t) = a 1 x(t) + a 2 x 2 (t) + a 3 x 3 (t), missä a 1 =.6, a 2 =.3 ja a 3 =.1. x(t) 3. asteen epälineaarinen kanava y(t) = a 1 x(t) + a 2 x 2 (t) +a 3 x 3 (t) Muodosta signaaleille x1 ja x2 epälineaarisen kanavan läpäisseet signaalit y1 ja y2. y1 =.6*x1 +.3*x1.^2 +.3*x1.^3; y2 = c) Vie signaalit x1, x2, y1 ja y2 sptooliin ja tutki signaalien aaltomuotoja ja spektrejä. Etsi spektreistä harmoniset särökomponentit. Arvioi signaalin y1 harmoninen kokonaissärö {=total harmonic distortion = THD = harmonisilla taajuuksilla havaittavan tehon (tai amplitudin) suhde perustaajuudella havaittavaan tehoon (tai amplitudiin)}. Voitko määrittää vastaavan suureen signaalille y2? d) Muodosta signaali x3 ja laske em. kanavassa vääristynyt signaali y3 x3 = 1.5*tripuls(t-5,.1); y3 = Vie signaalit x3 ja y3 sptooliin ja tutki, miten epälineaarinen kanava vaikuttaa pulssin muotoon ja signaalin taajuuksiin. Voidaanko vastaanottimella tunnistaa lähetetty pulssi? Mikä ongelma tiedonsiirtoon tässä tapauksessa liittyy? e) Muodosta signaali x4 ja laske em. kanavassa vääristynyt signaali y4 x4 = cos(2*pi*t).*cos(2*pi*t); y4 = Vie signaalit x4 ja y4 sptooliin ja tutki, miten epälineaarinen kanava vaikuttaa signaalin taajuuksiin. Jyrki Laitinen 16
a) c) Kuvassa alkuperäinen 1 Hz taajuinen kosinisignaali ja epälineaarisen kanavan läpäissyt signaali. Kuvassa kanavan läpäisseen signaalin spektri. Spektrissä näkyy perustaajuus 1 Hz = tulosignaalin taajuus sekä tämän., 2. ja 3. harmoninen monikertataajuus (DC-taso, 2 Hz ja 3 Hz). Jyrki Laitinen 17
Epälineaarisuuden astetta voidaan arvioidaan määrittämällä ns. harmoninen kokonaissärö (total harmonic distortion = THD) harmonisten monikertataajuuksien tehon suhteena perustaajuudella olevaan tehoon. Tässä tapauksessa 1.24988 1.8519375 1 + 1 THD =.4 = 4% ˆ 14dB.2885 1 Kuvassa alkuperäinen 1 ja 25 Hz taajuuksia sisältävä signaali sekä epälineaarisen kanavan läpäissyt signaali (punainen). Jyrki Laitinen 18
Kanavan läpäisseen signaalin spektrissä havaitaan tulotaajuuksien ja näiden harmonisten monikertataajuuksien lisäksi välitaajuuksia, jotka syntyvät tulotaajuuksien monikertojen summista ja erotuksista. Spektrissä havaitaan ns. keskeismodulaatiosäröä (intermodulation distortion = IMD). Jyrki Laitinen 19
8. SSB-modulaatio 1 Mallinnetaan seuraavassa SSB-modulaatiota oheisella lohkokaaviolla. x(t) x ssb (t) H cos(2π f c t) ±j a) Muodosta Matlab-komentoikkunassa aikasignaali -> 1 s (f s = 1 Hz) ja 1 ms levyinen suorakaidepulssi x kohtaan.5 s. t=:.1:1; x=1.5*rectpuls(t-.5,.1); Määritä sptoolissa signaalin x spektri. b) Valitse signaalista x positiiviset taajuudet ja negatiiviset taajuudet muodostamalla signaalit xp ja xn komennoilla xp = hilbert(x); xn = conj(hilbert(x)); Määritä signaalien xp ja xn spektrit ja vertaa tuloksia x:n spektriin. Sivukaista voidaan valita muodostamalla signaalista s analyyttinen signaali s + jŝ, missä ŝ on signaalin s Hilbert-muunnos. Matlabissa signaalin s analyyttinen signaali muodostetaan komennolla hilbert(s), jolloin signaalin taajuuksista valitaan ylempi sivukaista. Alempi sivukaista saadaan analyyttisen signaalin kompleksikonjugaattina Matlab-komennolla conj(hilbert(s)). c) Muodosta 1 Hz:n taajuinen kantoaaltosignaali c (= kosini, jonka amplitudi = 1, taajuus = 1 Hz ja vaihekulma = ). Moduloi signaalit x, xp ja xn kantoaaltotaajuudelle kertomalla niillä kantoaaltosignaalia c. Tutki moduloitujen signaalien aikatason kuvaajia sekä spektrejä. Jyrki Laitinen 2
2 Reaaliosa 1 Imaginaariosa xre 1 xim.4.45.5.55.6 2-1.4.45.5.55.6 5 xpre 1 xpim.4.45.5.55.6 2-5.4.45.5.55.6 5 xnre 1 xnim.4.45.5.55.6 t [s] -5.4.45.5.55.6 t [s] Kuva 1. Signaalien x, xp (positiiviset taajuudet) ja xn (negatiiviset taajuudet) reaalija imaginaariosat. Huomaa, että x on reaaliarvoinen signaali (imaginaariosa = ) ja xp ja xn kompleksiarvoisia signaaleja. 2 Amplitudispektri X(f) 1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 4 Xp(f) 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 4 Xn(f) 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 f [Hz] Kuva 2. Signaalien x, xp (positiiviset taajuudet) ja xn (negatiiviset taajuudet) amplitudisepktrit. Jyrki Laitinen 21
2 Reaaliosa 1 Imaginaariosa xcre xcim -2.48.49.5.51.52 2-1.4.45.5.55.6 5 xpcre xpcim -2.48.49.5.51.52 2-5.4.45.5.55.6 5 xncre xncim -2.48.49.5.51.52 t [s] -5.4.45.5.55.6 t [s] Kuva 3. Moduloitujen signaalien reaali- ja imaginaariosat (kantoaallon taajuus 1 Hz). 1 Amplitudispektri Xc(f) 5-25 -2-15 -1-5 5 1 15 2 25 2 Xpc(f) 1-25 -2-15 -1-5 5 1 15 2 25 2 Xnc(f) 1-25 -2-15 -1-5 5 1 15 2 25 f [Hz] Kuva 4. Moduloitujen signaalien amplitudispektrit (kantoaallon taajuus 1 Hz). Jyrki Laitinen 22
9. SSB-modulaatio 2 Alla on esitetty SSB-lähetin ja -vastaanotin. Olkoon f c = 1 Hz ja signaali m(t) = sin(2π1t). Selvitä itsellesi lohkokaavioiden toiminta sekä signaalien x(t) ja y(t) aaltomuodot ja spektrit. cos(2πf c t) m(t) x(t) H H x(t) LPF y(t) cos(2πf c t) m( t) = sin(2 π 1 t) mˆ ( t) = cos(2 π 1 t) c( t) = cos(2 π 1 t) cˆ( t) = sin(2 π 1 t) x( t) = sin(2 π 1 t) cos(2 π 1 t) cos(2 π 1 t) sin(2 π 1 t) Olkoon vastaanottimella ennen alipäästösuodatusta havaittu signaali d(t). d( t) = x( t) cos(2 π 1 t) Jyrki Laitinen 23
1.5 m(t) -.5-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1 1.5 x(t) -.5-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1 t [s] Kuva 1. Hyötysignaali m(t) ja SSB-moduloitusignaali x(t). 1.8 M(f).6.4.2-15 -1-5 5 1 15 X(f) 1.8.6.4.2-15 -1-5 5 1 15 f [Hz] Kuva 2. Hyötysignaalin m(t) ja SSB-moduloidun signaalin x(t) amplitudispektrit. Huomaa ylemmän sivukaistan puuttuminen. Jyrki Laitinen 24
1.5 d(t) -.5-1.5.1.15.2.25.3.35.4.45.5 1.5 y(t) m(t) -.5-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1 t [s] Kuva 3. Vastaanottimella ennen alipäästösuodatusta havaittava signaali d(t) sekä alipäästösuodatettu vastaanotettava signaali y(t) ja alkuperäinen lähetetty signaali m(t). D(f) 1.8.6.4.2 LPF:n amplitudispektri d(t):n amplitudispektri -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5.5.4 Y(f).3.2 y(t):n amplitudispektri.1-25 -2-15 -1-5 5 1 15 2 25 f [Hz] Kuva 4. Signaalin d(t), yhden mahdollisen alipäästösuotimen sekä vastaanotetun signaalin y(t) amplitudispektrit. Jyrki Laitinen 25
1. QAM-modulaatio a) Muodosta kaksi reaaliarvoista hyötysignaalia komennoilla m1=4*cos(2*pi*9*t)+cos(2*pi*11*t); m2=2*cos(2*pi*9*t)+3*cos(2*pi*11*t); b) Määritä sptoolissa hyötysignaalien spektrit. Kummassakin hyötysignaalissa on informaatiota 9 Hz:n ja 11 Hz:n taajuuksilla. c) Muodosta oheisen lohkokaavion mukaisesti (f c = 1 Hz) hyötysignaaleista m 1 (t) ja m 2 (t) tiedonsiirtotielle lähetettävä signaali x(t). m 1 (t) H cos(2πf c t) x(t) m 2 (t) Määritä x(t):n aaltomuoto ja spektri. Mitä etua hyötysignaalien yhdistämisestä saadaan? Miksi yhdistäminen onnistuu, vaikka signaalit ovat samalla taajuuskaistalla? d) Ilmaise signaalista x signaalit r 1 (t) ja r 2 (t) oheisen lohkokaavion mukaisella signaalinkäsittelyllä. Vertaa signaaleja r 1 (t) ja r 2 (t) hyötysignaaleihin m 1 (t) ja m 2 (t). LPF r 1 (t) x(t) H cos(2πf c t) LPF r 2 (t) Jyrki Laitinen 26