D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa sitä, että aia ei ole jatuva suure vaan muuttuu disreetteinä aselina. ro myöhemmin tarasteltaviin jatuva-aiaisiin järjestelmiin on siinä, että jatuva-aiaisissa järjestelmissä minä tahansa ahden ajanheten välillä on aina ääretön määrä ajanhetiä. Disreettiaiaisissa järjestelmissä sen sijaan pystytään löytämään perääiset ajanhetet, joiden välissä ei ajanhetiä ole. simerejä disreettiaiaisista järjestelmistä löytyy vaiapa talousmatematiiasta, jossa erilaisissa orolasuissa aia voi edetä esimerisi uuauden aselin. Lisäsi disreettiaiaiset järjestelmät ovat yleisiä digitaaliteniiassa, jossa jonin signaalin näytteenottotaajuus määrittää perääiset ajanhetet. Lineaarisilla differenssiyhtälöillä uvataan sellaisten disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa, jota toteuttavat lineaarisuuden määritelmän. Tällaiset järjestelmät ovat seä homogeenisia että additiivisia. Selvitetään vielä, mitä homogeeninen ja epähomogeeninen differenssiyhtälö taroittavat. Homogeenisessa differenssiyhtälössä aii nollasta poieavat termit sisältävät rataistavan muuttujan. pähomogeenisessa differenssiyhtälössä on ysi tai useampia nollasta poieavia termejä, jota eivät sisällä rataistavaa muuttujaa. Tämän harjoitusen yhtälöissä tuo rataistava muuttuja on järjestelmän ulostulo y. Järjestelmän sisäänmenoa meritään u:lla. Differenssiyhtälön rataiseminen sisältää aina samat toimenpiteet. Tätä annattaa orostaa opiselijoille: alusi differenssiyhtälöiden rataiseminen saattaa tuntua vaiealta, mutta vaivannäön autta tuleva rutiini auttaa tässäin, ja lopulta tällä urssilla äsiteltävien differenssiyhtälöiden rataiseminen on varsin ysinertaista. Opiselijoille jaettavaan listaan on erätty ne toimenpiteet, joita differenssiyhtälön rataiseminen sisältää. Kyseinen lista löytyy myös urssin otisivulta. Tehtävä Tämän tehtävän idea on haea homogeenisen differenssiyhtälön rataisu tapausessa, jossa arateristisen yhtälön juuri on moninertainen. Lähdetään liieelle edellä mainitun listan ohdasta : y y y 0 y = r r r r 0 : r r r 0 KY r r. Yllä olevaa KY:llä merittyä yhtälöä utsutaan homogeenisen differenssiyhtälön arateristisesi yhtälösi. Nimitys tulee siitä, että KY araterisoi homogeenista yhtälöä siinä
mielessä, että KY:n aste täsmää differenssiyhtälön asteeseen, ja eri astetta olevien termien ertoimet täsmäävät KY:ssä ja homogeenisessa differenssiyhtälössä. Kosa arateristinen yhtälö KY) on toista astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi termiä. Tässä tapausessa KY:n juuret ovat tyyppiä "moninertainen reaalijuuri", sillä KY on toista astetta, ja juuria löytyi vain ysi appale. Tässä tapausessa yseessä on siis asinertainen reaalijuuri. Homogeenisen yhtälön rataisusi saadaan täten: y h) C r C r C C. Moninertainen KY:n juuri aiheuttaa ertoimen asvavassa potenssissa homogeenisen yhtälön rataisun termeihin. Käytännössä tämä taroittaa sitä, että jos KY olisi ollut olmatta astetta, ja jos sillä silti olisi ollut vain ysi reaalijuuri /), homogeenisen yhtälön rataisusi tulisi h) y Cr C r C r C C C. Differenssiyhtälön rataisulistan ohta numero jää nyt pois, osa aluperäinen yhtälö on homogeeninen. Tällöin differenssiyhtälön yleinen rataisu on sama uin homogeenisen yhtälön rataisu, joten yleisesi rataisusi ohta ) saadaan: y C. C Aluehdot eivät ole nyt selvitettävissä, joten listan viitosohta jää tässä tehtävässä teemättä. Tehtävä Tarasteltava differenssiyhtälö on nyt muotoa y y y 5. Kyseessä on epähomogeeninen differenssiyhtälö, osa yhtälöstä löytyy ysi nollasta poieava termi, joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa y. Termi "5" teee differenssi-yhtälöstä epähomogeenisen, ja sisi sitä utsutaanin usein epähomogeenisuustermisi. Lähdetään rataisemaan epähomogeenista differenssiyhtälöä edellä olleen listan avulla. Kohdat ja on jo tehty tehtävässä a), joten siirrytään ohtaan. pähomogeenisen differenssiyhtälön ysityisrataisun haeminen taroittaa sitä, että pyritään löytämään sellainen termi, joa y:n paialle sijoitettuna toteuttaa yhtälön. Ysityisrataisua haetaan aina epähomogeenisuustermiin perustuvan sivistyneen arvausen avulla. Kosa nyt epähomogeenisuustermi on vaio, eli ei riipu :sta, ysityisrataisusi annattaa oeilla vaiota. Kun oeillaan vaiota a ysityisrataisusi, saadaan
aa a 5. Idea siis on, että y :n paialle sijoitetaan a. Kosa a on :sta riippumaton, myös termien y + ja y + sijoitetaan a. Kun yllä oleva yhtälö rataistaan, saadaan a = 0. Tämä elpaa ysityisrataisusi, sillä a saatiin rataistua vaiosi. Jos tulosena olisi ollut jotain :sta riippuvaa, tällöin vaioyrite ei olisi toiminut. Vaioyritteen toimivuuden voi vielä taristaa siten, että aluperäiseen epähomogeeniseen yhtälöön sijoitettuna vaioyrite 0 toteuttaa yhtälön. Ysityisrataisu yläindesi p tulee sanasta "private") on siis y 0 p) Siirrytään listaan ohtaan, jona muaisesti differenssiyhtälön yleinen rataisu on summa homogeenisesta rataisusta ja ysityisrataisusta: h) p) y y y C C 0. Aluehdot eivät ole selvitettävissä, joten listan viitosohta jää tässäin tehtävässä teemättä. Tehtävä ataistaan ensin annettu ensimmäisen ertaluvun differenssiyhtälö. Määritetään ensi vastaavan homogeenisen differenssiyhtälön rataisu, siis 0 Teemällä homogeeniseen yhtälöön rataisuyrite = r, saadaan muodostettu arateristinen yhtälö, eli nyt yhtälö r 0 r Täten homogeenisen differenssiyhtälön rataisu on muotoa h) C Kosa aluperäisen yhtälön epähomogeeninen termi on vaio, ehdotetaan ensin ysityisrataisusi vaioyritettä, muotoa p) = = vaio. Sijoittamalla tämä aluperäiseen yhtälöön, saadaan
Aluperäisen epähomogeenisen yhtälön yleinen rataisu on siis muotoa ) ) p h C Vaio C saadaan määritettyä aluehdon perusteella, ts. 0 C C Lähdejännitteen lopullinen rataisu on siis Määritetään seuraavasi ytennän yhdistetty resistanssi t, jolloin ) t Nyt Ohmin lain myötä ytennän syöttövirta t I Nyt virran jaon perusteella :n resistanssin omaavan vastusen autta uleva virta on, I I Täten yseisen vastusen uluttama teho on,, I P Jolloin ajanhetellä = W P 6 0.,
Tehtävä ataistaan ensin vastaava homogeeninen yhtälö, teemällä siihen tuttu yrite = r, jolloin arateristisesi yhtälösi saadaan r- = 0, jolloin r =. Täten homogeenisen yhtälön rataisu on muotoa C h) tsitään ysityisrataisua muodossa, joa vastaa aluperäisen differenssiyhtälön epähomogeenista termi eli nyt :n ensimmäisen asteen polynomi. Siis p ) A B Jossa A ja B ovat vaioita. Sijoitetaan yrite aluperäiseen yhtälöön. A ) B A B) A A B A A B A B Aluperäisen yhtälön yleinen rataisu on näin ollen C Vaio C saadaan määritettyä aluehdon perusteella 0 C 0 C Siis Nyt annetun ehdon perusteella teho P 9 9 500 Siis 9 500 0 ) 500 05. )
Tehtävä 5 Impulssivaste h) on järjestelmän ulostulo, un sisäänmenona on impulssi ). Impulssivaste uvaa siis sitä, miten järjestelmä vastaa impulssiin. Kun järjestelmän impulssivaste tunnetaan, ulostulo saadaan selville onvoluutiosumman avulla mille tahansa sisäänmenolle. y y y u u) = ) y) = h) hh h Tarastellaan tilannetta, un > 0: hh h 0 h) = r r r r 0 :r - r r 0 r Karateristinen yhtälö on toista astetta, mutta sille löytyy vain ysi juuri. Täten yseinen juuri on asinertainen, jolloin homogeenisen yhtälön rataisu on: hc C. Vielä tarvitaan asi aluehtoa vaioiden C ja C rataisemiseen: h h h : h h0 h 0: 0 0 h 0, hh0 0 h. 0 0 h0c C0 h C C C C C C C Järjestelmän impulssivaste on siis h ataistaan järjestelmää uvaavasta yhtälöstä y), jotta saadaan piirrettyä lohoaavio: y y y u. y) u)