1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille?

Transkriptio

1 Diskreetti matematiikka, syksy 00 Harjoitus -, ratkaisuista. Kuinka monta erilaista tapaa on 0 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Ratkaisu. Paikat identtisiä, istumajärjestys oleellinen, kun henkilöt nimettyjä, esim.,,,...,0. Tuloperiaatteella Yhteensä siis 9! = 6880 tapaa.. istuu mihin tahansa = tapa valita. istuu muulle paikalle = 9 tapaa valita. istuu muulle paikalle = 8 tapaa valita 4. etc = tapaa valita 0. istuu viimeiselle paikalle = tapa. Olkoon X :=,,, 4, 5}. Kuinka monta erilaista a) relaatiota b) symmetristä relaatiota c) refleksiivistä relaatiota on joukossa X X? Ratkaisu. a) 5 5-matriisi, jokainen alkio voi olla tai 0, joten erilaisia 5 = 5544 kpl. b) Alakolmiomatriisi mukaanlukien diagonaali = 5 alkiota, joten 5 = 768 kpl. c) Diagonaalilla ykköset, muut miten tahansa, joten 0 = kpl.. Kokouksessa on 7 naista ja 4 miestä. Kuinka monta erilaista komiteaa joukosta voidaan valita, kun komiteassa on a) naista ja miestä? b) saman verran miehiä kuin naisiakin? c) 4 henkilöä, joista vähintään kaksi on naisia? d) 4 henkilöä, joista kaksi miehiä siten, että neiti puheenjohtaja ja herra sihteeri eivät molemmat ole komitean jäseninä? Ratkaisu. Tarjolla on siis yhteensä 7 naista ja 4 miestä. a) naista, kaksi miestä: 7 ) ) = 0. b) Lukumääräparit, ),, ),, ), 4, 4) mahdollisia, ja näitä on

2 mies 4:stä ja nainen 7:stä miestä 4:stä ja naista 7:stä miestä 4:stä ja naista 7:stä ) ) ) = 4 7 = 8 = 6 = 6 = 4 5 = 40 4 miestä 4:stä ja 4 naista 7:stä 4 4) = 5 = 5 Yhteensä 9 c) Mahdolliset lukumääräparit, ),, ), 4, 0), joita on miestä 4:stä ja naista 7:stä 4 ) = 6 = 6 mies 4:stä ja naista 7:stä 4 ) = 4 5 = 40 0 miestä 4:stä ja 4 naista 7:stä 4 0 4) = 5 = 5 Yhteensä 0 d) -miehisiä komiteoita on yhteensä 7 ) ) = 6 = 6. Näistä sellaisia, joissa puheenjohtaja ja sihteeri ovat mukana vapaasti valittavissa yksi mies ja yksi nainen lisää) on ) ) 6 = 6 = 8. Siis kelvollisia kokoonpanoja yhteensä 6 8 = Kuinka monella tavalla voidaan k palloa sijoittaa n k nimettyyn lokeroon, kun a) jokaiseen lokeroon tulee vähintään yksi pallo? b) lokeroon i tulee vähintään r i palloa, i N, r + r r n k? Ratkaisu. k identtistä palloa, n nimettyä lokeroa. a) Olkoon n palloa jo asetettu eri lokeroihin, siis yksi kuhunkin. Asetetaan lisäksi loput k n palloa miten tahansa n lokeroon: eri tapoja on ) ) ) k n) + n k k = = = Kk, n ). k n k n n b) Olkoon r := n i= r i k. Laitetaan aluksi r palloa lokeroihin niinkuin pitää, sitten k r mielivaltaisesti: eri tapoja on ) k r) + n = k r 5. Muodosta k r + n )! k r)!n )! = a) rekursiokaava, jonka ratkaisu on a n = n +, b) differenssiyhtälö, jonka ratkaisu on b n = n. ) k r + n = Kk r + n, n ). n Ratkaisu. a) Kun a n = n +, on siis a 0 =, a = 5, a = 8, a =, jne. Peräkkäisten lukujen erotus taitaisi olla. Tämä näkyy yleisestikin: a n a n = n + ) n ) + ) = n + n + =. Koska a 0 =, on rekursiokaava tarkemmin sanottuna alkuarvotehtävä) normaalimuodossa a n = a n +, a 0 =.

3 b) Kun b n = n, on b 0 = 0, b =, b = 8, b = 7, b 4 = 64, jne. Laskeskellaanpa taaksepäin-erotuksia: b n = b n b n = n n ) = n n + b n = b n b n + b n = n n ) + n ) = 6n b n = b n b n + b n b n = n n ) + n ) n ) = 6 Siis eräs) differenssiyhtälö on b n = 6. Tällä on kyllä muitakin ratkaisuja, ainakin kaikki jonot b n = n + rn + sn + t. Alkuehdot rajoittavat kuitenkin niin, että jono b n = n on alkuarvotehtävän b n = 6, b 0 = 0, b =, b = 8. ainoa ratkaisu ks. tarkemmin lineaarisen rekursiokaavan yksikäsitteisyys). Maple-ratkaisu: > Nabla := x -> unapplyxn) - xn-), n); > rsolvenabla@@)b)n) = 6, b0) = 0, b) =, b) = 8}, bn)); - n + ) / n + ) + 7 n n + ) / n + ) / n + ) > simplify%); n 6. Neliön muotoiselle paperille piirretään n suoraa niin, että jokainen suorapari leikkaa toisensa, mutta mitkään kolme suoraa eivät leikkaa samassa pisteessä. Reunapisteessä leikkaamista ei oteta huomioon. Muodosta rekursiokaava, jonka ratkaisujono a n ) n 0 ilmoittaa, kuinka moneen osaan neliö jakaantuu. Mikä on ratkaisujono? Ratkaisu. a) Katsotaan aluksi kuvioiden avulla: 4 Päätellään: 0 suoraa, alue = + 0 = suora, aluetta = + = suoraa, 4 aluetta = + = 4 suoraa, 7 aluetta = 4 + = 7 4 suoraa, aluetta = =

4 Yleisesti: Olkoon piirretty n suoraa, jotka siis erottavat a n aluetta. Kun piirretään n:s suora, se leikkaa edellisiä suoria n pisteessä ja jakaa n aluetta kahtia. Alueita tulee siis lisää n kappaletta. Saamme rekursiokaavan a n = a n + n, a 0 =. Lasketaan vielä ratkaisujonoa:,, 4, 7,, 6,, 9, 7, 46, 56,... b) Rekursiokaavan ratkaiseminen: a n = a n + n, a 0 =. Homogeeniyhtälön h n h n = 0 karakteristinen yhtälö on joten h n = A n = A = vakiojono. α = 0 α =, Yrite: e n = Bn + Cn + D ks. yritemenetelmä, Luku 5.). Sijoitetaan rekursioyhtälöön e n e n = n Bn + Cn + D Bn ) + Cn ) + D) = n Bn B + C = n B = B + C = 0 D R B = C = D R Valitaan D = 0. Siis eräs EHY:n ratkaisu on e n = n + n, ja siten EHY:n yleinen ratkaisu a n = h n + e n = A + n + n = A + nn + ). Alkuehdon a 0 = mukaan A =, ja lopulta a n = n + n Ratkaise rekursiokaavat a) a n+ a n = 0, a 0 =, b) a n a n 0a n = 0. Ratkaisu. Yhtälöt ovat lineaarisia, vakiokertoimisia ja homogeenisia. a) a n+ a n = 0 eli a n a n = 0. Sijoitus a n = α n sekä jakaminen termillä α n antavat karakteristisen yhtälön α = 0 α =. Yleinen ratkaisu on siten a n = A n. Alkuehdoista a 0 = A 0 = seuraa A =, joten a n = n, n N 0. b) Rekursiokaavan a n a n 0a n = 0 karakteristinen yhtälö on α α 0 = 0 α = 5 α = Yleinen ratkaisu on a n = A 5 n + A ) n, n N 0, A, A C. 4

5 8. Ratkaise alkuarvotehtävä a n = 6a n 9a n, a 0 =, a =. Ratkaisu. Karakteristisen yhtälön ratkaisut: α 6α + 9 = 0 = α ) α =. Kyseessä on kaksoisjuuri, joten yleinen ratkaisu: a n = A n + A n n, n N 0, A, A R. Alkuehdoista saadaan a0 = A = a = A + A = Täten lopullinen jono on A = A = / a n = n nn = n n ), n N Ratkaise rekursiokaava a n = a n a n 4. Ratkaisu. Kyseessä on homogeeninen rekursiokaava ja siihen liittyvä alkuarvotehtävä. Perusmuodosta a n + a n + a n 4 = 0 saadaan karakteristinen yhtälö α 4 + α + = 0, jolla on kaksinkertaiset juuret Yleinen ratkaisu on siis α, = i α,4 = i a n = A i n + A ni n + A i) n + A 4 n i) n, A i C. 5