2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

Transkriptio

1 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön diskriminantiksi. Sen (etu)merkki määrää yhtälön juurien lukumäärän. LAUSE 9: Reaalilukukertoimisella toisen asteen yhtälöllä a + b + c 0 on kaksi erisuurta reaalijuurta, mikäli D > 0 on yksi reaalinen, ns. kaksoisjuuri, jos D 0 ei ole reaalista juurta ollenkaan, jos D < 0, missä D b 4ac on yhtälön diskriminantti? Esim. Osoita yhtälöä ratkaisematta, että yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua. D b 4ac ( 7) < 0. Yhtälöllä ei lauseen.9 mukaan ole ratkaisua. Esim. Määritä vakion k arvo siten, että yhtälöllä k 4 + ½ 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

2 Muodostetaan yhtälön diskriminantti ja merkitään se nollaksi. D ( 4) 4k ½ 6 6k 0 6 6k 6, josta k. 6 3 Diskriminantin merkin tarkasteluun saadaan sovellutustehtävissä palata useastikin, myös myöhemmissä kursseissa mm. analyyttisen geometrian puolella. Ei liene väärin sanoa, että monissa sovellutuksissa on aika keskeinen idea pakottaa toisen asteen yhtälön juurien lukumääräksi tilanteesta riippuen yksi, kaksi tai ei lainkaan juuria. Kun muodostetaan toisen asteen yhtälön juurien summan ja tulon lausekkeet, saadaan näille uskomattoman helpot, kertoimista riippuvat esitykset: + b + b 4ac b ja a b + b 4ac b b 4ac b a a b 4ac a b a Juurien tuloa muodostettaessa nojaudutaan kaavaan (a b)(a + b) a b : b + b 4ac b b 4ac a a ( b + b 4ac)( b b 4ac) 4a ( b) ( b 4ac) b b + 4ac 4a 4a 4ac c 4a a. On siis saatu

3 LAUSE 0: Jos toisen asteen yhtälön a + b + c 0 juuret ovat ja, niin b + a c a Vastaavasti yhtälössä + p + q 0 + q p Saatu tulos on sellainen, ettei sitä mahdottoman usein jatkossa esiin tuoda. Tämän vuoksi asia pyrkii unohtumaan ja sen tähden tehtävät, joissa lauseen.0 sisältöjä tarvitaan ja sovelletaan, ovat vaikeita. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön ratkaisun oikeellisuuden toteamiseksi tulos on ehdottomasti muistamisen arvoinen. Hyvä laskija tarkistaa aina, onko hän ratkaissut yhtälön oikein, sillä ei niin yksinkertaisessa ja mekaanisessa asiassa kuin toisen asteen yhtälön ratkaisussa kannata pisteitä koetilanteessa menettää huolimattomuusvirheiden tähden. On näet aivan sitovasti tarkistettavissa, onko ratkaisu oikea. Esim. 3 Ratkaise yhtälö ja tarkista juuret lauseen.0 sisältöjen avulla. ± 4 ( 0) ± V ½ ± 9 4 b Tässä + ½ ½ ja toisaalta, OK. a c 0 sekä ( ½) 5 ja toisaalta 5, OK. a Esim. 4 Määritä toisen asteen yhtälö, jonka yhtenä juurena on 5 3.

4 Juuren muodosta voidaan heti päätellä, että toinen juuri, (5 3)(5 + 3) 5 3. joten yhtälö, muotoa + p + q 0 on taikka mikä tahansa yhtälö, muotoa k( 0 + ) 0 kelpaa, missä k on nollasta eroava reaaliluku. Esim. 5 Yhtälössä 3 + m 0 on vakio m määrättävä niin, että juurien erotus on. Kun yhtälön juurella on sellainen ominaisuus, että se toteuttaa yhtälön, niin probleeman voisi ratkaista niin, että merkitsee toista juurta :llä, jolloin toinen juuri +. Jos siis sijoitat :n paikalle lausekkeen +, yhtälö toteutuu. (+) 3( + ) + m 0. Kun näin saadun yhtälön pariksi ottaa alkuperäisen yhtälön, saa yhtälöparin, josta voi ratkaista sekä :n että m:n. Keino on pitkä ja vaivalloinen, mutta ei mahdoton. Helpompi ja elegantimpi tyyli ratkaista tämä probleema on nojautua juurien summan ja tulon lausekkeisiin. Jos annetun yhtälön juuret ovat ja, niin probleemassa mainittu ehto on. Otetaan tälle yhtälölle kaveriksi yhtälö 5 + 3, ja ratkaistaan yhtälöpari Tällöin yhtälön toinen juuri 3 3.

5 5 Juurien tulo m eli m. 4 Jos toisen asteen polynomissa a + b + c tehdään niin omituinen, suorastaan väkinäinen teko, että otetaan toisen asteen termin kerroin yhteiseksi tekijäksi, niin saadaan b c a + b + c a( + + ). a a Kun tähän sijoitetaan toisen asteen normaalimuotoisen yhtälön juurien summan ja b b c tulon lausekkeet, + ( + ), sekä, saadaan a a a edelleen b c a + b + c a( + + ) a ( + ) + a a a( + ) a[ ( ) ( ) ] a( )( ) Tätä tulosta käyttäen voidaan toisen asteen polynomi jakaa ensiasteen tekijöihin, mikäli vastaavalla yhtälöllä sattuu olemaan kaksi juurta. Tulos on voimassa silloinkin, kun yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, kaksoisjuuri. Esitettyä tulomuotoa ei tietenkään voi kirjoittaa silloin, kun vastaavalla yhtälöllä ei ole reaalijuuria. LAUSE : Jos toisen asteen yhtälöllä a + b + c 0 juuret ovat ja, niin vastaava polynomi on jaettavissa ensiasteen tekijöihin a + b + c a( )( ). Jos yhtälöllä a + b + c 0 on vain yksi juuri 0, niin a + b + c a( 0)

6 Jos yhtälöllä a + b + c 0 ei ole reaalisia juuria, vastaava polynomi on jaoton. Esim. 6 Jaa tekijöihin polynomi 6 +. Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö: ± tai 4 6( ) 3 ± 49 ± 7 Käytetään lauseen. tulosta: 6 + 6( )( + ) ( )3( 3 ( )(3 + ). + ) 3 Tulos on siitä mukava, että sen oikeellisuuden voi aina kertolaskulla tarkistaa. Sovellutuksia Joskus probleemat saattavat johtaa toisen asteen yhtälöön. Mikäli näin käy, yhtälö tietysti ratkaistaan. Tällöin on kuitenkin erityisen tarkasti testattava molemmat juuriehdokkaat, käyvätkö kummatkin sen suureen lukuarvoksi, mikä tuntemattomaksi on valittu. On enemmän sääntö kuin poikkeus, että saaduista juurista vain toinen kelpaa kysytyn suureen lukuarvoksi. Tavallisimmat syyt toisen juuriehdokkaan hylkäämiseksi ovat realistisen käytännöllisiä; negatiivinen arvo ei kelpaa janan pituudeksi eikä lukumääräksi, murtoluku ei kelpaa kanalan kanojen lukumääräksi, tapahtuman kestoaika ei voi olla negatiivinen jne.

7 Probleeman ratkaisemiseksi muodostetun yhtälön molemmat juuret tietenkin toteuttavat itse yhtälön, mutta molemmat eivät välttämättä kelpaa yhtälöä muodostettaessa valitun tuntemattoman paikalle. Esim. 7 Suorakulmaisen kolmion kateettien summa on 7 ja hypotenuusa 3. Laskettava kateetit ja ala. Jos toinen kateetti on, niin toinen on 7. Kun muistetaan, mitä Pythagoras on sanonut, niin saadaan yhtälö: + (7 ) ± ± 7 tai 5 Tarkistus: Jos, niin toinen kateetti on 7 5 Jos taas 5, niin toinen kateetti on 7 5. Tässä kävi niin erikoisesti, että toinen juuri antoi toisen kateetin ja toinen toisen. Kolmion pinta-ala A ½ 5 30 pinnan yksikköä. Esim. 8 Kauan sitten, erään lukion ykkösluokkalaisten ryhmä lähti bussi-matkalle Venetsiaan. Matkan kokonaishinta oli 000 mk. Kuinka monta henkilöä oli matkalle ilmoittautunut alun perin, kun kustannukset henkeä kohti alenivat 50 mk sen jälkeen, kun Laura ja Petri olivat välttämättä vaatineet päästä mukaan. Matkan kokonaishinta ei tämän johdosta muuttunut. Olkoot ilmoittautuneita alun perin. Tällöin kustannukset henkeä kohti ovat 000/. Kun sitten kaksi lisämatkustajaa on hyväksytty mukaan, ovat kustannukset henkeä kohti hieman ( 50 mk) 000 alhaisemmat eli nyt. Näiden kahden lausekkeen erotus on 50 + mk:

8 (+) 0, kun 0 tai kun + 000( + ) 000( + ) 50( + ) + 000( + ) ( + ) : : ± 4 4 ( 840) ± 3364 ± V 8, joista ensiksi mainittu ei negatiivisena kelpaa lukumääräksi. Tarkistus: 000 mk/8 750 mk 000 mk/ mk, joiden erotus selvästikin on 50 mk. Vastaus: Matkalle oli ilmoittautunut 8 henkilöä