Elemettmeetelmä peusteet 6. 6 NUMEERINEN INEGROINI 6. Johdto Elemet jäykkyysmts [ k ] j ekvvlette solmukuomtusvekto { } ovt [ ] = [ B] [ E][ B] k dv (6. v e {} = [ B] { 0} dv + [ N] {} f dv + [ N] { p} σ dv (6. v e v e Mts j vekto tegot tkott stä, että de lkot tegod eksee. Yksketsss tpuksss tegot vod tehdä lyyttsest, mutt yleesä o käytettävä umeest tegot. Meetelmä o uset, mutt phte elemettmeetelmää sopvt Guss j Hmme tegot, jote kästellää v tä. Jos tegotv fukto o vko, määäty tegl vo sd ketomll tätä vkot tegotluee mtll, jok o tegotluee tlvuus, pt-l t ptuus se muk, kuk moulottee tegl o. ällö sd tkk tksu, jos mtt tuet tkst. Jos tegd e ole vko, sd umeesell tegoll lkmäääe tulos. Sytyvää lkmäääsyyttä sot tegotvheeks j se suuuus ppuu käytetystä meetelmästä. Numeeste tegotmeetelme jtukse o yleesä muutt tegl ääellseks potetuks summks, jollo tegd voj otet sopvst vltuss tegotpstessä j ästä lsket potettu keskvo. A e 6. Yksulottee Guss-Legede tegot Määätty yksulottee tegl o muoto b I = g(xdx (6. Sjotuksell x = ( + (+ b dx = (b d (6. Numeee tegot Mtt Lähteemäk
Elemettmeetelmä peusteet 6. tegl (6. meee stddmuotoo - 0 + Kuv 6. Emoj. I = + f( d (6.5 joss f( = (b g[(x( ] /. Kv (6.5 muk tegot vod muut lskettvks kuv 6. emoj yl, jote jotut tkstelem tätä tpust. Itegllle (6.5 vod lske lkvo kvst I f( + f( + L+ f( = f( = (6.6 Luvut lmsevt tegotpstede sjt, luvut f( ovt tegd vot tegotpstessä j luvut ovt poketomet. Kosk stddmuotosess teglss (6.5 tegotväl mtt o, o poketome summ. Guss tegoss tegotpsteet ovt välllä [, + ], että kvst (6.6 tulee tkk tulos mhdollsmm koke-steslle polyomelle. Jos tegotpstetä o kpl, pstede sjt j poketomet pystytää vltsem ste, että kv (6.6 o tkk steluku olevlle polyomelle. ällö tegotpsteet ovt tegotvälllä symmetsest j symmetste vstpstede poketomet ovt yhtä suuet. Jos tegotpstede lukumäää o pe, vod sjt j ketomet määttää edellä estettyje omsuukse peusteell. Yhde pstee tegoss = j tegotpste o kohdss = 0 j poketome vo o. Esmmäse stee polyomt tegotuvt tkst. Khde pstee tegoss = j =, jote kolme stee polyomt tegotuvt tkst. Itegotpsteet ovt j sekä poketomet j, lle o vomss = j =. Ylee kolme stee polyom o f( = A + B + C + D. Ku tämä tegod emoj yl, seu tulos I = ( A + B + C + D d = A + C / (6.7 Kvst (6.6 sd vstvst I = f( + = ( A + B f( + C + D + ( A + B + C + D (6.8 Numeee tegot Mtt Lähteemäk
Elemettmeetelmä peusteet 6. Ottmll huomoo yhteydet = j = seu I = ( A + C (6.9 Kvost (6.7 j (6.9 sd = ( A + C = A + C / = / (6.0 Khde pstee tegolle sd ss = / = / = = Kuv 6. Itegotpsteet. = = = = / 0,577507 (6. jot o velä hvollstettu kuvss 6.. Kolme pstee tegoss o = j = 5. Peusomsuuksst seu =, = 0 j =. Yleselle vdee stee polyomlle o vomss 5 I = ( A + B + C + D + E + F d = A + C / + E / 5 (6. Kvst (6.6 seu, ku otet smll huomoo peusomsuudet I + = f( + f( + f( = ( A + C + E A (6. Mektsemällä yllä olevt lusekkeet (6. j (6. yhtä suuks seu vtmukset = / 5 = 0 = / 5 + = / = = / 5 (6. = 5 / 9 = 8 / 9 = 5 / 9 Kuv 6. Itegotpsteet. Jälkmmässtä vtmuksst seu = / 5, jote = (/ (5 / = 5 / 9. Esmmäsestä vtmuksest sd = ( / 5 = 8 / 9. Kolme pstee tegolle o ss = = 5 / 9 0,55555556 = 8 / 9 0,88888887 = = / 5 0,7759667 = 0 (6.5 Kv (6.5 tuloks o hvollstettu kuvss 6.. Numeee tegot Mtt Lähteemäk
Elemettmeetelmä peusteet 6. Jos tegotpstede määä o suu, o edellä käytetty meetelmä työläs, kosk pstede j poketome määtyksee stv yhtälöyhmä o epälee. Lsket helpottuu, jos johdoss käytetää hyväks Legede polyomej, mstä johtue Guss tegost käytetää myös mtystä Guss-Legedetegot. Itegotpstetä j poketom löytyy tulukotu kjllsuudest. ulukoss 6. o tvttvt tedot tegotsteesee = 5 skk. Elemettmeetelmässä tegotste o tvllsmm, t. ulukko 6. Guss-Legede tegot. 0,000000000000000,000000000000000 ± 0,57750698966,000000000000000 0,000000000000000 0,888888888888889 ± 0,775966698 0,555555555555556 ± 0,998058856 0,65558656 ± 0,8665905 0,7858575 5 0,000000000000000 0,568888888888889 ± 0,586900568 0,78696709966 ± 0,90679859866 0,69688505689 6. Kks- j kolmulottee Guss tegot - + + Elemettmeetelmässä ptteglt plutet muuttuje vhdoll jok yksketse emoelemet yl lskettvks. Nelsvuste tsoelemette emoelemett o kuv 6. emoelö. Peustpukse vod tkstell pttegl I = f(, d d (6.6 - Kuv 6. Emoelö. Ku tegl (6.6 sovellet Guss tegot es -suuss j stte -suuss, sd kv Numeee tegot Mtt Lähteemäk
Elemettmeetelmä peusteet 6.5 I f(, (6.7 = j= j j Kv (6.7 tegotpsteet (, j j poketomet j j sd tulukost 6.. Kuvss 6.5 o kolme lmm tegotstee Guss psteet. / / / 5 / 5 / / / 5 / 5 Kuv 6.5 Emoelö Guss tegotpstetä. Kksulottesess x Guss tegoss o tegotpstettä. Vod todst, että x tegot tego tkst e muuttuje j polyomt, jode steluku o koket molemmt muuttujt huomoo otte. Elemettmeetelmä tlvuusteglt vod plutt muuttuje vhdoll emoelemet yl lsketuks. Kuusthose tlkvelemet tegoss käytetää kuv 6.6 emokuutot, jollo peustpus o ζ I = f(,, ζd ddζ (6.8 Ku tegl (6.8 käytetää Guss tegot, j ζ suuss, sd kv Kuv 6.6 Emokuuto. I j k f(, j, ζk (6.9 = j= k = Kvss (6.9 olevt tegotpsteet (, j, ζk j poketomet, j j k sd tulukost 6.. Ku tegotpstetä o kpl kolmess suuss, o de lukumäää. Sd ss pstee, 8 pstee, 7 pstee je. tegot. Vod osott, että xx-tegoll sd lskettu tkst e muuttuje, j ζ polyomt, jode steluku o kkk muuttujt huomoo otte. Numeee tegot Mtt Lähteemäk
Elemettmeetelmä peusteet 6.6 6. Kks- j kolmulottee Hmme tegot Kolmsvuset tsoelemett j tetedelemett vtvt omt tegotmeetelmäsä, kosk de emoelemetessä e tegod vkojoll, kute emoelö j -kuuto tpuksss. Kolmsvuse tsoelemet yl ulotetut teglt vod muut kuv 6.7 emokolmo yl lskettvks. Peustpus o tegl I = f(, d d (6.0 0 0 Hmme tegoss tegl (6.0 lsket lkmäääsest summst Kuv 6.7 Emokolmo I f(, (6. = joss luvut ovt poketomet j, vstvt tegotpsteet. Nätä o ( ulukko 6. Hmme tegot emokolmo lueess. Aste m Pstetä Koodtt Pot / / / / / /6 0 / / 0 /6 /6 /6 /6 /6 / /6 /6 /6 / /6 / / -7/96 /5 /5 /5 /5 /5 /5 5/96 5/96 5/96 Numeee tegot Mtt Lähteemäk
Elemettmeetelmä peusteet 6.7 kjllsuudest tulukotu suullk -voll. ulukoss 6. o -voh, j lttyvät tedot. Kosk tegotluee mtt o /, o poje summ myös /. Astett m olev Hmme tegot lskee tkst muuttuje j polyome teglt, jode kokemm stee tem j steluku toteutt ehdo + j m. Nelthose tetedelemet yl ulotetut teglt vod muut kuv 6.8 mukse emoteted yl lskettvks. ällö peustpus o I = 0 0 0 f(,, ζdζ dd (6. Hmme tegoss tegl (6. lsket lkmäääsest summst Kuv 6.8 Emoteted. I = f(,, ζ (6. joss tegotpsteet ovt (,, ζ j poketomet. ulukoss 6. o, j 5 pstee Hmme tegot tvttvt tedot. Lsätpuks löytyy kjllsuudest. Itegotluee mtt o /6, jote poketome summ o smo /6. Astett m olev Hmme tegot lskee tkst muoto j k ζ oleve polyomteme teglt, ku + j + k m. ulukko 6. Hmme tegot emoteted lueess. Aste m Pstetä Koodtt / / ζ / Pot /6 b b b / / / / 5 5 = 0 5 + 5 b = 0 c c c -/5 d d d /0 c=/ 5 d d e /0 d=/6 d e d /0 e=/ e d d /0 Numeee tegot Mtt Lähteemäk