Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Transkriptio

1 TKK / Systeemilyysi lbortorio Mt-.090 Sovellettu todeäköisyyslsku Nordlud Hrjoitus 10 (vko 47/003) (ihe: Väliestimoiti, Liie luvut 10.6, 11.7, , ) 1. Kemillise prosessi sto X o ormlijkutuut. Poimit yksikertie stuisotos sost j sd hvitorvot (yksikköä %): Määrää 95 %: luottmusväli so odotusrvolle, ku ) tiedetää, että X: keskihjot o prosettiyksikköä. b) X: keskihjot ei tuet. (otoskeskirvo x = j otosvrissi s = ) ) Kyseessä o ormlijkum odotusrvoprmetri luottmusväli j vrissi o tuettu. Stdrdoitu stuismuuttuj Z oudtt stdrdoitu ormlijkum: X µ Z = ~N(0,1) / Luottmusväli o muoto: X µ P / / = 1 / P X / µ X + / = 1 Otoskoko = 6, luottmustso 95 %, = 0.05 j luottmuskerroi 0.05 = 1.96 (määrätty ormlijkum tulukost site, että P(Z > 0.05 ) = 0.05). Huom, että luottmuskertoimie 0.05 j välii jäävä todeäköisyys o Luottmusväliksi sd , eli (66.95, 70.15). b) Stdrdoitu stuismuuttuj T oudtt Studeti t-jkum (1):llä vpussteell (Liise kirj teoreem 1.4.4): X T = µ ~ t( 1) S/ Luottmusväli o muoto: X µ P t/ t / = 1 S/ P S S X t/ µ X + t/ = 1

2 Ku keskihjot ei tuet, se joudut estimoim otoksest. Tällöi luottmuskerroi määrätää Studeti t-jkumst vpussteill df = 1 = 5. Vpussteist käytetää yleesä joko merkitää df (egl. degrees of freedom) ti symboli ν (kreik yy). Luottmuskertoimeksi sd t 0.05 =.571 (t-jkum tulukost vpussteluvull 5). Huom, että luottmuskertoimie t 0.05 j +t 0.05 välii jäävä todeäköisyys o Luottmusväliksi sd , eli (67.15, 69.95). -kohdss otosvrissi o pieempi kui -kohd "todellie" vrissi, jote luottmusvälistä tuli kpempi, vikk luottmuskerroi t 0.05 o suurempi kui Mikä o tehtävä 1 b -tilteess keskihjo 90 %: luottmusväli? Oko 1 -kohd väite, että keskihjot o prosettiyksikköä, ristiriidss hvitoieisto kss? Liise kirj teoreem 1.4. muk: ( 1) S ~ χ ( 1) (khii eliö jkum vpussteill 1) Vrissi luottmusväli o muoto: ( ) 1 S P χ1 / χ / = 1 ( 1) ( 1) P S S 1 = χ/ χ1 / Otoskoko = 6, jkum vpussteet ν = 1 = 5. χ -jkum tulukost sd luottmuskertoimet χ 0.05 = j χ 0.95 = 1.15 vpussteluvull 5. Huom, että luottmuskertoimie χ 0.05 j χ 0.95 välii jäävä todeäköisyys o Vrissi luottmusväliksi sd ( 6 1 ) ( 6 1 ) 1.779, eli (0.804, 7.735). Keskihjo luottmusväliksi sd (0.896,.781) (prosettiyksikköä). Kosk 1 -kohd väite, että keskihjot o prosettiyksikköä, o muodostetu 90 %: luottmusväli sisällä, tämä sopii yhtee hvitoieisto kss. 3. Koeill j vlmistet osi, joide hlkisijt ovt ormlijkutueit odotusrvoi µ j µ sekä vrissei vstvsti j. Koe o uudempi j tiedetää, että vrissi o vi 1/8 vrissist. Erotukselle µ µ hlut lske 99 %: luottmusväli. Kuik mot koeell j kuik mot koeell vlmistettu os mitt, ku mittuksi tehdää kikki 60 j luottmusväli pituus hlut mhdollisimm lyhyeksi?

3 Erotukse µ µ luottmusväli o sitä lyhyempi, mitä pieempi o estimttori µ ˆ µ ˆ = X X vrissi. Merkitää =, jolloi = 8, j edellee: 8 1 Vr( µ ˆ µ ˆ ) = Vr( X X) = +. missä + = 60. Merkitää = t j = 60 t j miimoid t: suhtee fuktio f(t) = 8/t + 1/(60 t), missä t o kokoisluku välillä (0, 60). f 8 1 () ( ) ' t ( 60 ) t t t = + = = = t t 14 Eli otoskoot = 44 j = 16 miimoivt erotukse X X vrissi kokoisotoskoo olless Olkoo villiste yksiköide osuus tuotost p (eli 100p %). Prmetri p estimoid trkstmll stuisesti poimittu tuottoyksikköä. Hlut sd p: rvo luottmusväli pituudeksi korkeit 6 prosettiyksikköä luottmustsoll Kuik suuri otoskoo o oltv, jos ) p: suuruudest ei ole mitää ekkokäsitystä? b) tiedetää, että p < 0.1? Villiste yksiköide lukumäärä X otoksess koko o biomijkutuut X ~ i(, p). Ku otoskoko o ii suuri, että biomijkum void pproksimoid ormlijkumll (usei vdit p(1p)>9), suhteellise osuude estimttori pˆ = X/ oudtt p( 1 p) pproksimtiivisesti ormlijkum: pˆ ~ N p,. Site stdrdoitu pˆ p stuismuuttuj ~ N( 0,1). p( 1 p) / Luottmusväli o muoto: pˆ p P / / = 1 p( 1 p) / p( 1 p) p( 1 p) P pˆ / p pˆ + / 1 = Luottmusväli pituus s oll korkeit 6 prosettiyksikköä: p( 1 p) / 0.06 p( 1 p) / 0.03 / p( 1 p) 0.03

4 Vlittu luottmustso o 95 %, = 0.05 j luottmuskerroi 0.05 = 1.96 (määrätty ormlijkum tulukost site, että P(Z > 0.05 ) = 0.05). ) Luottmusväli o sitä pidempi, mitä suurempi piste-estimttori ˆp vrissi o. Kosk suhteellise osuude p suuruudest ei ole mitää ekkokäsitystä, käytetää rvo p, jok mksimoi luottmusväli pituude. p(1p) s mksimis rvoll p = ( 1 0.5) b) Ku tiedetää, että p < 0.1, termille p(1p) sd ylärj = (Vikki: trkstele prbeli f(p) = p(1p) kuvj) ( 1 0.1) Erää lisäiee ei ktsot iheuttv terveyshittoj, jos se pitoisuus o korkeit 40 mg/kg; määräyste muk korkei sllittu pitoisuus o 30 mg/kg. Tuottoerä lisäiepitoisuude kotrolloimiseksi mitt erästä stuisesti poimitu 15 äyttee pitoisuus j lsket otoskeskirvo X. Oletet mittustulokse oudttv ormlijkum odotusrvo todellie pitoisuus θ, jok estimttori X o, j keskihjot 5 mg/kg (keskihjot tuet etuudest). Jos otoskeskirvo X ylittää rvo 30 mg/kg huomttvsti, ei ole uskottv, että erä todellie pitoisuus θ toteuttisi ehdo θ 30. Tällöi erä hylätää lii korke lisäiepitoisuude vuoksi. Lske prmetrille θ yksipuolie 95 %: luottmusväli muoto (, X + r (tällöi väli peittää todellise rvo θ 95 %: todeäköisyydellä j erä hylätää, jos rvo 30 jää väli ulkopuolelle). Mikä o X : kriittie rvo, jok ylitys joht erä hylkäämisee? Keskirvo X o ormlijkutuut: X ~N θ, 15 missä = 5. Hylkäysrj 30 + r o P 30+ = 0.95 ku θ = 30. Luottmustso o 95 %, = 0.05 j toteutettv ehto ( X r) yksipuolise luottmusväli luottmuskerroi 0.05 = (määrätty ormlijkum tulukost site, että P(Z > 0.05 ) = 0.05). Stdrdoid hylkäysrj j sd yhtälö: 30 + r 30 5 = = r = / Hylkäysrjksi sd 3.1 mg/kg. Jos todellie lisäiepitoisuus θ 30 mg/kg, korkeit 5 % eristä hylätää.

5 Pistetehtävä 1. Hlut selvittää suomliste Ntoo liittymistä kttvie suhteellie osuus yksikertisee stuisott perustuvll kyselytutkimuksell. Oletet, että kyselyy voi vstt iost "kt liittymistä" ti "e kt liittymistä" j kttjie/vstustjie suhteellisest osuudest ei ole ekkotieto. Mite suuri otos o poimittv, jott stisii 99 %: vrmuus siitä, että otoksest lskettu kttjie suhteellie osuus poikke korkeit 0.5 prosettiyksikköä todellisest kttjie suhteellisest osuudest? Luottmusväli säde s oll korkeit / p( 1 p) / p( 1 p) Vlittu luottmustso o 99 %, = 0.01 j luottmuskerroi =.58 (määrätty ormlijkum tulukost site, että P(Z > ) = 0.005). Luottmusväli o sitä pidempi, mitä suurempi piste-estimttori ˆp vrissi o. Kosk suhteellise osuude p suuruudest ei ole mitää ekkokäsitystä, käytetää rvo p, jok mksimoi luottmusväli pituude. p(1p) s mksimirvos, ku p = ( 1 0.5)

6 Pistetehtävä. Tehds vlmist uloj. Koee kulumise vuoksi uloje pituus vihtelee stuisesti oudtte ormlijkum. Vlmistettuje uloje joukost poimittii yksikertie stuisotos, jok koko oli 30. Otoskeskirvoksi stii 9.99 cm j otosvrissiksi 0.01 cm. ) Määrää 95 %: luottmusväli uloje pituude odotusrvolle. b) Määrää 90 %: luottmusväli uloje pituude vrissille. X ~N µ,, i = 1,,, j X X, i j, otosvrissille pätee: Vihje: Jos ( i ) ( 1) S ~ χ ( 1) ) Luottmusväli o muoto: P S S X t/ µ X + t/ = 1 Luottmuskertoimeksi sd t 0.05 =.045 (t-jkum tulukost vpussteill df = 1 =9). Luottmusväliksi sd ± ± = ( 9.953, 10.07). 30 b) Luottmusväli o muoto: ( 1) ( 1) P S S 1 = χ/ χ1 / χ -jkum tulukost sd luottmuskertoimet χ 0.05 = 4.56 j χ 0.95 = vpussteluvull ν = 1 = 9. Vrissi luottmusväliksi sd ( 30 1) 0.01 ( 30 1) 0.01, eli (0.0068, ). i j