TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Johdaus odeäöisyyslaseaa Momeiemäfuio ja aaeisie fuio TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Miä oimme? / Tässä luvussa aasellaa sauaismuuujie momeiemäfuioia eli momei geeoivia fuioia ja aaeisisia fuioia, joa ova aljo äyeyjä yövälieiä odeäöisyyslaseassa ja maemaaisessa ilasoieeessä. Sauaismuuuja momeiemäfuio ai aaeisise fuio avulla voidaa helosi johaa sauaismuuuja momei; s. luua Jaaumie uusluvu. Moe äeä odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee eoeema voidaa odisaa äevimmi momeiemäfuio ai aaeisise fuio avulla; s. luuja Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma ja Kovegessiäsiee ja ajaavolausee. Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Miä oimme? / Johdamme ässä luvussa avallisimie diseeie ja jauvie odeäöisyysjaaumie (s. luuja Diseeejä jaaumia ja Jauvia jaaumia) momeiemäfuio. Lisäsi äyämme, mie äsielyje jaaumie odousavo ja vaiassi (s. luua Jaaumie uusluvu) johdeaa momeiemäfuio avulla. O syyä huomaa, eä aiilla odeäöisyysjaaumilla ei ole momeiemäfuioa, mua aiille jaaumille voidaa määää aaeisie fuio ja sisi aiissa iemmälle meevissä odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee esiysissä sovelleaa aaeisisa fuioa. Tässä luvussa esiellää myös äeimmä aaeisise fuio omiaisuude. TKK (c) Ila Melli (4) 3 TKK (c) Ila Melli (4) 4 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Esiiedo Esiiedo: s. seuaavia luuja: Sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma Jaaumie uusluvu Diseeejä jaaumia Jauvia jaaumia Moiuloeise sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma Momeiemäfuio ja aaeisie fuio: Lisäiedo Momeiemäfuioa sovelleaa iiumaomie sauaismuuujie summie jaaumie määäämisee luvussa Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Momeiemäfuioa sovelleaa eseise aja-avolausee odisamisee luvussa Kovegessiäsiee ja aja-avolausee TKK (c) Ila Melli (4) 5 TKK (c) Ila Melli (4) 6
TKK (c) Ila Melli (4) 7 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio >> Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Avaisaa Momei geeoiva fuio Momei Momeiemäfuio Odousavo Riiumaomie sauaismuuujie summa jaauma Tayloi saja TKK (c) Ila Melli (4) 8 Momeiemäfuio Momeiemäfuio määielmä Oloo sauaismuuuja. Oleeaa, eä odousavo m () E(e ) o olemassa aiille ( h, +h) jossa h > o vaio. Tällöi fuioa m () usuaa sauaismuuuja ja se jaauma momeiemäfuiosi eli momei geeoivasi fuiosi. Momeiemäfuio Momeiemäfuio määielmä: Kommeeja / Sauaismuuuja momeiemäfuio eli momei geeoiva fuio ei välämää ole olemassa. Momeiemäfuio m () E(e ) olemassaolo aoiaa siä, eä odousavo E(e ) o ääellie. TKK (c) Ila Melli (4) 9 TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio määielmä: Kommeeja / Sauaismuuuja momeiemäfuio m () E(e ) iiuu vai agumeisa. Jos sauaismuuuja momeiemäfuio m () o olemassa, ii m () E(e ) E() Momeiemäfuio Diseeie sauaismuuujie momeiemäfuio Oloo diseei sauaismuuuja, joa iseodeäöisyysfuio o f() P( ) Jos sauaismuuuja momeiemäfuio o olemassa, ii se saadaa aavalla m () E( e ) e f( ) TKK (c) Ila Melli (4) TKK (c) Ila Melli (4)
TKK (c) Ila Melli (4) 3 Momeiemäfuio Jauvie sauaismuuujie momeiemäfuio Oloo jauva sauaismuuuja, joa iheysfuio o f() Jos sauaismuuuja momeiemäfuio o olemassa, ii se saadaa aavalla () E( m e ) e f( ) d Momeiemäfuio Momeiemäfuio ysiäsieisyys Jos sauaismuuuja momeiemäfuio m () E(e ) o olemassa jossai isee ymäisössä, se o ysiäsieie ja määää äysi sauaismuuuja odeäöisyysjaauma. Tämä meisee seuaavaa: Jos sauaismuuujilla U ja V o sama momeiemäfuio, sauaismuuuja U ja V oudaava samaa odeäöisyysjaaumaa. TKK (c) Ila Melli (4) 4 Momeiemäfuio Momeiemäfuio ysiäsieisyys: Seuaus / Momeiemäfuio ysiäsieisyyä äyeää usei hyväsi odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee lauseide odisusissa seuaavalla alvolla esieävässä ilaeessa. Momeiemäfuio Momeiemäfuio ysiäsieisyys: Seuaus / Tehävää o selviää, miä o sauaismuuuja U jaauma. Oleeaa, eä sauaismuuuja U momeiemäfuio m U () yhyy isee ymäisössä sauaismuuuja V momeiemäfuioo m V () joa odeäöisyysjaauma ueaa. Tällöi momeiemäfuio ysiäsieisyydesä seuaa, eä sauaismuuuja U oudaaa samaa jaaumaa ui sauaismuuuja V. TKK (c) Ila Melli (4) 5 TKK (c) Ila Melli (4) 6 Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja momei Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momeiemäfuio eli momei geeoiva fuio. Momei geeoivalla fuiolla m () o aiie ealuuje deivaaa iseessä ja dm() E( ),,,3, d jossa E( ) o sauaismuuuja. (oigo-) momei. Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja momei: Joho Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momei geeoiva fuio. Tällöi dm() d E( e ) d d d E e d E( e ) E( ) TKK (c) Ila Melli (4) 7 TKK (c) Ila Melli (4) 8
TKK (c) Ila Melli (4) 9 Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja momeie määäämie Sauaismuuuja ja se jaauma momei voidaa usei johaa aiei äevimmi äyämällä hyväsi jaauma momei geeoiva fuio deivaaoja. Momeiemäfuio Momeiemäfuio deivaaa ja sauaismuuuja odousavo ja vaiassi Sauaismuuuja odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) E[( µ ) ] TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momeiemäfuio. Momeiemäfuio m () voidaa ehiää Tayloi sajasi m() E( )!! jossa E( ) o sauaismuuuja. momei. TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä: Joho Oloo m () E(e ) sauaismuuuja momeiemäfuio. Kehieää esoeifuio e Tayloi sajasi: ( ) e! Oamalla äsä sajaehielmäsä odousavo saadaa: ( ) m () E( e ) E! E( )!! TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio Momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä ja momeiemäfuio deivaaa Oloo j j j m () E( e ) E( ) j j j! j j! sauaismuuuja momeiemäfuio Tayloi sajaehielmä. Deivoidaa ämä sajaehielmä emeiäi : suhee: j j d m () j+ E( ) j,,,3, d j j! j j! + Valisemalla ässä, saadaa edellä esiey ulos: dm() E( ),,,3, d Momeiemäfuio Riiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova m (), m (),, m () Tällöi summa + + + momeiemäfuio o sauaismuuujie,,, momeiemäfuioide ulo: m () m ()m () m () TKK (c) Ila Melli (4) 3 TKK (c) Ila Melli (4) 4
TKK (c) Ila Melli (4) 5 Momeiemäfuio Riiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio: Peuselu / Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova m (), m (),, m () Määiellää sauaismuuuja + + + Käyämme hyväsi siä, eä iiumaomie sauaismuuujie ulo odousavo o ulo eijöide odousavoje ulo (s. luua Moiuloeise sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma). Momeiemäfuio Riiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio: Peuselu / Sie m () E[e( )] E[e( ( + + + ))] E[e( + + + )] E[e( )e( ) e( )] E[e( )]E[e( )] E[e( )] m () m () m () TKK (c) Ila Melli (4) 6 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Momeiemäfuio >> Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Avaisaa Diseeejä jaaumia: Beoulli-jaauma Biomijaauma Diseei asaie jaauma Geomeie jaauma Negaiivie biomijaauma Poisso-jaauma Momei geeoiva fuio Momei Momeiemäfuio Odousavo Vaiassi TKK (c) Ila Melli (4) 7 TKK (c) Ila Melli (4) 8 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseeejä odeäöisyysjaaumia / Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseeejä odeäöisyysjaaumia / Taaselemme seuaavie diseeie odeäöisyysjaaumie momeiemäfuioia eli momei geeoivia fuioia: Diseei asaie jaauma Beoulli-jaauma Biomijaauma Geomeie jaauma Negaiivie biomijaauma Poisso-jaauma Lisäieoja diseeeisä odeäöisyysjaaumisa: s. luua Diseeejä jaaumia. Esiämme johdo aaselavie jaaumie momeiemäfuioille. Lisäsi sovellamme momeiemäfuioa aaselavie jaaumie odousavo,. momei ja vaiassi määäämisee. TKK (c) Ila Melli (4) 9 TKK (c) Ila Melli (4) 3
TKK (c) Ila Melli (4) 3 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa diseeiä asaisa jaaumaa. Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ),,,, jossa {,,, } o eaaliaseli eillise iseide muodosama jouo. Diseei asaise jaauma momeiemäfuio o m () e Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa diseeiä asaisa jaaumaa, ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e f( ) e e TKK (c) Ila Melli (4) 3 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi / Diseei asaise jaauma momeiemäfuio o m () e. deivaaa iseessä : dm () e d. deivaaa iseessä : dm () d e Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Diseei asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie diseei asaise jaauma odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) ( ) TKK (c) Ila Melli (4) 33 TKK (c) Ila Melli (4) 34 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa Beoullijaaumaa Be(). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,< <, q, Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa Beoulli-jaaumaa Be(), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e P( ) + e P( ) q+ e Beoulli-jaauma momeiemäfuio o m () q+ e TKK (c) Ila Melli (4) 35 TKK (c) Ila Melli (4) 36
TKK (c) Ila Melli (4) 37 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Beoulli-jaauma Be() momeiemäfuio o m () q+ e. deivaaa iseessä : dm () e d. deivaaa iseessä : dm() e d Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Beoulli-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie Beoulli-jaauma Be() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) q TKK (c) Ila Melli (4) 38 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa biomijaaumaa Bi(, ). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,, q < <,,,, Biomijaauma momeiemäfuio o m () ( q+ e ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa biomijaaumaa Bi(, ), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e q ( e ) q ( q+ e ) TKK (c) Ila Melli (4) 39 TKK (c) Ila Melli (4) 4 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa biomijaaumaa Bi(, ), ii se voidaa esiää iiumaomie, samaa Beoulli-jaaumaa Be() oudaavie sauaismuuujie,,, summaa: + + + Kosa iiumaomie sauaismuuujie summa momeiemäfuio o summa eijöide momeiemäfuioide ulo (s. aalea Momeiemäfuio), ii m() E( e ) m() m() m() ( q+ e ) ( q+ e ) ( q+ e ) ( q+ e ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Odousavo ja vaiassi / Biomijaauma Bi(, ) momeiemäfuio o m () ( ) q+ e. deivaaa iseessä : dm () ( ) q + e e d. deivaaa iseessä : dm() ( )( q e) ee q ( e) e d + + + e ( q + e ) ( ) e + ( q + e ) + ( ) TKK (c) Ila Melli (4) 4 TKK (c) Ila Melli (4) 4
TKK (c) Ila Melli (4) 43 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Biomijaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie biomijaauma Bi(, ) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) + ( ) d σ Va( ) + ( ) q Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa geomeisa jaaumaa Geom(). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,< <, q,,3, Geomeise jaauma momeiemäfuio o e m () qe TKK (c) Ila Melli (4) 44 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa geomeisa jaaumaa Geom(), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e q ( qe ) e e e q e qe Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Geomeise jaauma Geom() momeiemäfuio o e m () qe. deivaaa iseessä : dm () e ( qe ) e ( qe ) d ( qe ) e ( qe ) TKK (c) Ila Melli (4) 45 TKK (c) Ila Melli (4) 46 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Geomeise jaauma Geom() momeiemäfuio o e m () qe. deivaaa iseessä : dm() e ( qe ) e ( qe )( qe ) 4 d ( qe ) e ( + qe ) 3 ( qe ) + q Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Geomeie jaauma: Odousavo ja vaiassi 3/3 Sie geomeise jaauma Geom() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() + q E( ) d + q σ Va( ) q TKK (c) Ila Melli (4) 47 TKK (c) Ila Melli (4) 48
TKK (c) Ila Melli (4) 49 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa egaiivisa biomijaaumaa NegBi(, ). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o f( ) P( ) q,, q < <,,3, ;, +, +, Negaiivise biomijaauma momeiemäfuio o ( e ) m () ( qe ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa egaiivisa biomijaaumaa NegBi(, ), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e q + ( e ) e q ( e ) ( qe ) ( e ) ( qe ) TKK (c) Ila Melli (4) 5 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Negaiivise biomijaauma NegBi(, ) momeiemäfuio o ( e ) m () ( qe ). deivaaa iseessä : dm () ( e ) e ( qe ) ( e ) ( qe ) ( qe ) d ( qe ) ( e ) + ( qe ) Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Negaiivise biomijaauma NegBi(, ) momeiemäfuio o ( e ) m () ( qe ). deivaaa iseessä : dm() d + ( e ) e ( qe ) ( e ) ( + )( qe ) ( qe ) + ( qe ) ( e ) ( + qe ) + ( qe ) + q TKK (c) Ila Melli (4) 5 TKK (c) Ila Melli (4) 5 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Negaiivie biomijaauma: Odousavo ja vaiassi 3/3 Sie egaiivise biomijaauma NegBi(, ) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() + q E( ) d + q σ Va( ) q Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa Poissojaaumaa Poisso(). Tällöi se iseodeäöisyysfuio o e f( ) P( ), >!,,, Poisso-jaauma momeiemäfuio o m () e ( e ) TKK (c) Ila Melli (4) 53 TKK (c) Ila Melli (4) 54
TKK (c) Ila Melli (4) 55 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa Poisso-jaaumaa Poisso(), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) e e! ( e ) e! e e e ( e ) e Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Poisso-jaauma Poisso() momeiemäfuio o ( ) m () e e. deivaaa iseessä : dm () ( e ) + ( e ) e e e d. deivaaa iseessä : d m () d e ( + e ) + ( + ) e TKK (c) Ila Melli (4) 56 Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Poisso-jaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie Poisso-jaauma Poisso() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) + Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia >> Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio TKK (c) Ila Melli (4) 57 TKK (c) Ila Melli (4) 58 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauvia odeäöisyysjaaumia / Avaisaa Jauvia jaaumia: Esoeijaauma Jauva asaie jaauma Nomaalijaauma Momei geeoiva fuio Momei Momeiemäfuio Odousavo Vaiassi Taaselemme seuaavie jauvie odeäöisyysjaaumie momeiemäfuioia eli momei geeoivia fuioia: Jauva asaie jaauma Esoeijaauma Nomaalijaauma Lisäieoja jauvisa odeäöisyysjaaumisa: s. luua Jauvia jaaumia. TKK (c) Ila Melli (4) 59 TKK (c) Ila Melli (4) 6
TKK (c) Ila Melli (4) 6 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauvia odeäöisyysjaaumia / Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma Esiämme johdo aaselavie jaaumie momeiemäfuioille. Lisäsi sovellamme momeiemäfuioa aaselavie jaaumie odousavo,. momei ja vaiassi määäämisee. Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa jauvaa asaisa jaaumaa Uifom(a, b). Tällöi se iheysfuio o f( ), a b b a Jauva asaise jaauma momeiemäfuio o b a e e m () b ( a) TKK (c) Ila Melli (4) 6 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa jauva asaisa jaaumaa Uifom(a, b), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) d b e d b a a b e b a a b a e e b ( a) Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Jauva asaise jaauma Uifom(a, b) momeiemäfuio o b a e e m () b ( a). deivaaa iseessä : b a b a dm () ( be ae ) ( b a) ( e e )( b a) d ( b a) b a b a ( be ae ) ( e e ) ( b a) a+ b TKK (c) Ila Melli (4) 63 TKK (c) Ila Melli (4) 64 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi /3 Jauva asaise jaauma Uifom(a, b) momeiemäfuio o b a e e m () b ( a). deivaaa iseessä : dm() d b a b a b a [( b e a e ) + ( be ae ) ( be ae )] ( b a) 4 ( b a) b a b a [( be ae ) ( e e )] ( b a) 4 ( b a) b a b a b a ( be ae ) ( be ae ) + ( e e ) a + ab+ b 3 ( b a) 3 TKK (c) Ila Melli (4) 65 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Jauva asaie jaauma: Odousavo ja vaiassi 3/3 Sie jauva asaise jaauma Uifom(a, b) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () a+ b µ E( ) d dm() a + ab+ b E( ) d 3 a + ab+ b ( a+ b) σ Va( ) 3 4 ( b a) TKK (c) Ila Melli (4) 66
TKK (c) Ila Melli (4) 67 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa esoeijaaumaa E(). Tällöi se iheysfuio o f( ) e, >, Esoeijaauma momeiemäfuio o m () Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa esoeijaaumaa E(), ii se momeiemäfuio o () E( m e ) e f( ) d e e d e ( ) d ( ) e TKK (c) Ila Melli (4) 68 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma: Odousavo ja vaiassi / Esoeijaauma E() momeiemäfuio o m (). deivaaa iseessä : dm () d ( ). deivaaa iseessä : dm() 3 d ( ) Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Esoeijaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie esoeijaauma E() odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) d dm() E( ) d σ Va( ) TKK (c) Ila Melli (4) 69 TKK (c) Ila Melli (4) 7 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma Oleeaa, eä sauaismuuuja oudaaa omaalijaaumaa N(µ, σ ). Tällöi se iheysfuio o µ f( ) e, < µ <, σ > σ π σ < < Nomaalijaauma momeiemäfuio o m ( ) e( µ + σ ) Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma: Momeiemäfuio joho Jos sauaismuuuja oudaaa omaalijaaumaa N(µ, σ ), ii se momeiemäfuio o m () E( e ) e f( ) d e( ) e ( µ ) d σ σ π e( µ σ ) e [ ( µ + σ )] σ π σ + e µ + σ d TKK (c) Ila Melli (4) 7 TKK (c) Ila Melli (4) 7
TKK (c) Ila Melli (4) 73 Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma: Odousavo ja vaiassi / Nomaalijaauma N(µ, σ ) momeiemäfuio o m ( ) e( µ + σ ). deivaaa iseessä : dm () µ + σ e ( µ + σ ) µ d. deivaaa iseessä : dm () µ + σ µ + σ e ( µ + σ ) + e σ d µ + σ Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Nomaalijaauma: Odousavo ja vaiassi / Sie omaalijaauma N(µ, σ ) odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavilla aavoilla: dm () µ E( ) µ d dm() E( ) µ + σ d σ Va( ) µ + σ µ σ TKK (c) Ila Melli (4) 74 Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Kaaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia >> Kaaeisie fuio Avaisaa Fouie-muuos Kaaeisie fuio Odousavo Riiumaomie sauaismuuujie summa jaauma Tayloi saja TKK (c) Ila Melli (4) 75 TKK (c) Ila Melli (4) 76 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio määielmä Oloo sauaismuuuja. Tällöi odousavo ϕ () E( e i ), i o sauaismuuuja ja se jaauma aaeisie fuio. Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio määielmä: Kommeeja Sauaismuuuja aaeisie fuio o oisi ui se momeiemäfuio aia olemassa. Kaaeisise fuio ϕ () E( e i ), i olemassaolo aoiaa siä, eä odousavo E(e i ) o ääellie. Sauaismuuuja aaeisie fuio ϕ () E( e i ), i iiuu vai agumeisa. TKK (c) Ila Melli (4) 77 TKK (c) Ila Melli (4) 78
TKK (c) Ila Melli (4) 79 Kaaeisie fuio Kaaeisie fuio ja momeiemäfuio Jos sauaismuuuja momeiemäfuio m () E(e ) ueaa, saadaa se aaeisie fuio ϕ () E( e i ), i momeiemäfuiosa sijoiusella i, i Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio omiaisuusia Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Aia äee: (i) ϕ () E(e ) E() (ii) ϕ () aiille (, ). (iii) ϕ ( ) ϕ ( ) jossa meiä z aoiaa omlesiluvu z ojugaaia. (iv) ϕ () o asaisesi jauva aiille (, ). TKK (c) Ila Melli (4) 8 Kaaeisie fuio Diseeie sauaismuuujie aaeisie fuio Oloo diseei sauaismuuuja, joa iseodeäöisyysfuio o f () P( ) Sauaismuuuja aaeisie fuio saadaa aavalla i i ϕ () E( e ) e f ( ), i Kaaeisie fuio Jauvie sauaismuuujie aaeisie fuio Oloo jauva sauaismuuuja, joa iheysfuio o f () Sauaismuuuja aaeisie fuio saadaa aavalla i i ϕ () E( e ) e f ( ) d, i TKK (c) Ila Melli (4) 8 TKK (c) Ila Melli (4) 8 Kaaeisie fuio Ivesioeoeema / Kaaeisie fuio Ivesioeoeema / Oloo F () P( ) sauaismuuuja eymäfuio ja ϕ () E( e i ), i se aaeisie fuio. Oleeaa, eä (a h, a + h) sellaie eaaliaseli väli, eä eymäfuio F () o jauva väli ääeiseissä. Tällöi F ( a+ h) F ( a h) + T si( h) ia lim e ϕ ( ) d T π T TKK (c) Ila Melli (4) 83 TKK (c) Ila Melli (4) 84
TKK (c) Ila Melli (4) 85 Kaaeisie fuio Ivesioeoeema: Kommeeja Jos jaauma aaeisie fuio ueaa, voidaa jaauma eymäfuio määää ivesioeoeemassa määielly ajaosessi avulla. Myös aaeisise fuio ysiäsieisyys voidaa odisaa ivesioeoeema avulla. Kaaeisie fuio Ivesioeoeema ja jauva jaauma / Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä ϕ () o iegoiuva aiille (, ). Tällöi sauaismuuuja o jauva ja se iheysfuio f () saadaa aavalla i f( ) e ϕ( ) d, i π TKK (c) Ila Melli (4) 86 Kaaeisie fuio Ivesioeoeema ja jauva jaauma / Huomaa, eä jauva sauaismuuuja aaeisie fuio i ϕ () e f ( ) d, i o sauaismuuuja iheysfuio Fouiemuuos ja i f( ) e ϕ( ) d, i π o se ääeie Fouie-muuos. Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio ysiäsieisyys Sauaismuuuja aaeisie fuio ϕ () E( e i ), i o ysiäsieie ja määää äysi sauaismuuuja odeäöisyysjaauma. Tämä meisee seuaavaa: Jos sauaismuuujilla U ja V o sama aaeisie fuio, sauaismuuuja U ja V oudaava samaa odeäöisyysjaaumaa. TKK (c) Ila Melli (4) 87 TKK (c) Ila Melli (4) 88 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio ysiäsieisyys: Seuaus / Kaaeisise fuio ysiäsieisyyä äyeää usei hyväsi odeäöisyyslasea ja maemaaise ilasoieee lauseide odisusissa seuaavalla alvolla esieävässä ilaeessa. Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio ysiäsieisyys: Seuaus / O selvieävä, miä o sauaismuuuja U jaauma. Oleeaa, eä sauaismuuuja U aaeisie fuio ϕ U () yhyy sauaismuuuja V aaeisisee fuioo ϕ V () joa odeäöisyysjaauma ueaa. Tällöi aaeisise fuio ysiäsieisyydesä seuaa, eä sauaismuuuja U oudaaa samaa jaaumaa ui sauaismuuuja V. TKK (c) Ila Melli (4) 89 TKK (c) Ila Melli (4) 9
TKK (c) Ila Melli (4) 9 Kaaeisie fuio Sauaismuuuja momei ja aaeisise fuio deivaaa / Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä sauaismuuuja. (oigo-) momei E( ) o olemassa. Tällöi aaeisie fuio ϕ () o diffeeioiuva ealuuu ja d ϕ () E( ), i,,,, i d Kaaeisie fuio Sauaismuuuja momei ja aaeisise fuio deivaaa / Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä sauaismuuuja aaeisie fuio ϕ () o diffeeioiuva ealuuu. Tällöi aii momei E( ),,,, ova olemassa, jos o aillie ja aii momei E( ),,,, ova olemassa, jos o aio. TKK (c) Ila Melli (4) 9 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio deivaaa ja sauaismuuuja momei: Joho Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Jos E( ) o olemassa, ii d ϕ () d i E( e ) d d d i E e d E( ie ) i E( ) i Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio deivaaa ja sauaismuuuja momei / Jos sauaismuuuja momei ova olemassa, ii e voidaa usei johaa aiei äevimmi äyämällä hyväsi jaauma aaeisise fuio deivaaoja. TKK (c) Ila Melli (4) 93 TKK (c) Ila Melli (4) 94 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio deivaaa ja sauaismuuuja momei / Sauaismuuuja odousavo µ,. momei ja vaiassi σ saadaa seuaavisa aavoisa: dϕ () ie( ) i iµ d d ϕ () i E( ) d σ Va( ) E[( µ ) ] jossa i TKK (c) Ila Melli (4) 95 Kaaeisie fuio Kaaeisise fuio Tayloi sajaehielmä Oloo ϕ () E( e i ), i sauaismuuuja aaeisie fuio. Oleeaa, eä sauaismuuuja. (oigo-) momei E( ) o olemassa. Tällöi aaeisie fuio ϕ () voidaa ehiää Tayloi sajasi ( i) ( i) ϕ() E( ) + o ( ) + o ( )!! jossa o( )/, u. TKK (c) Ila Melli (4) 96
TKK (c) Ila Melli (4) 97 Kaaeisie fuio Riiumaomie sauaismuuujie summa aaeisie fuio Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide aaeisise fuio ova ϕ (), ϕ (),, ϕ () Tällöi summa + + + aaeisie fuio o sauaismuuujie,,, aaeisise fuioide ulo: ϕ () ϕ ()ϕ () ϕ () Kaaeisie fuio Riiumaomie sauaismuuujie summa aaeisie fuio: Peuselu / Oloo,,, iiumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova ϕ (), ϕ (),, ϕ () Määiellää sauaismuuuja + + + Käyämme hyväsi siä, eä iiumaomie sauaismuuujie ulo odousavo o ulo eijöide odousavoje ulo (s. luua Moiuloeise sauaismuuuja ja odeäöisyysjaauma). TKK (c) Ila Melli (4) 98 Kaaeisie fuio Riiumaomie sauaismuuujie summa aaeisie fuio: Peuselu / Sie ϕ ( ) E[e( i )] E[e( i( + + + ))] E[e( i+ i + + i )] E[e( i)e( i ) e( i )] E[e( i)]e[e( i )] E[e( i )] ϕ () ϕ () ϕ () TKK (c) Ila Melli (4) 99