6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion määrittämistä (eli derivoinnin käänteistoimitust) snotn integroinniksi. Integrlimerkinnässä d:n jäljessä olev kirjin ilmoitt muuttujn, jonk suhteen integroidn. Huomutus 6.. Funktioll on äärettömän mont integrlifunktiot. Jos funktio F on funktion f integrlifunktio, niin kikki funktiot, jotk ovt muoto F(x) + c, missä c R on jokin vkio, ovt myös funktion f integrlifunktioit: D (F(x) + c) = DF(x) + Dc = F (x) + = f (x). Toislt, funktion f kikki integrlifunktiot ovt muoto F(x) + c, missä c R on jokin vkio. Vkiot c snotn funktion integroimisvkioksi. Esimerkki 6.2. Olkoon f (x) = 2x +. ) Määritä funktion f integrlifunktiot. ) Määritä funktion f se integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (, 2) kutt. Rtkisu: ) F(x) = f (x) dx = (2x + ) dx = x 2 + x + c, kosk F (x) = D(x 2 + x + c) = 2x + = f (x). ) Kosk integrlifunktion F kuvj kulkee pisteen (, 2) kutt, on F() = 2, eli Näin ollen F(x) = x 2 + x 2. Integroimissääntöjä 2 + + c = 2 c = 2 Derivoimissäännöistä voidn joht seurvt integroimissäännöt. Oletetn, että funktioill f j g on integrlifunktiot j R on vkio.. dx= x + c (vkion integrointi) 52
2. x r dx = r + xr+ + c, missä r R, r (potenssifunktion integrointi). f(x) dx = f (x) dx (vkion siirto) 4. ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx (summn integrointi) Esimerkki 6.. Integroi polynomifunktio p(x) = x 4 x 2 + 7x 2. Rtkisu: p(x) dx = (x 4 x 2 + 7x 2) dx = 4 + x4+ = 5 x5 x + 7 2 x2 2x + c 2 + x2+ + 7 + x+ 2x + c Trkistetn vstus derivoimll: D( 5 x5 x + 7 2 x2 2x + c) = 5 5x5 x + 7 2 2x2 2 = x 4 x 2 + 7x 2 Edellä ollut potenssifunktion integroimissääntö ei sovellu tpukseen r =. Trkstelln seurvksi funktion f (x) = x = x, x, integroimist. Kosk D ln x = x (x > ) on potenssifunktion f (x) = x = x, x, integrlifunktiot muoto F(x) = dx = ln x + c, c R, x. x Huom, että kun x <, on ln x = ln( x), jolloin D ln( x) = x ( ) = x Eksponenttifunktion j trigonometristen funktioiden integroimissäännöt seurvt suorn niiden derivoimissäännöistä: 5
e x dx = e x + c x dx = x + c, >, ln cos xdx= sin x + c sin xdx= cos x + c Yhdistetyn funktion integrointi ei in ole kovinkn helppo, eikä onnistu lkeisfunktioiden integroimissääntöjen vull. Seurviss yhdistetyn funktion integroimissäännöissä on in sisäfunktion derivtt kertojn. Kosk D (h(x)) r+ = (r + ) (h(x)) r h (x), niin (h(x)) r h (x) dx = r + (h(x))r+ + c, r. Kosk De h(x) = e h(x) h (x), niin e h(x) h (x) dx = e h(x) + c. Kosk D ln (h(x)) = h(x) h (x) = h (x) h(x), niin h (x) h(x) dx = h(x) h (x) dx = ln h(x) + c, h(x). Kosk D sin (h(x)) = cos (h(x)) h (x), niin cos (h(x)) h (x) dx = sin (h(x)) + c. Kosk D cos (h(x)) = sin (h(x)) h (x), niin sin (h(x)) h (x) dx = cos (h(x)) + c. Tällä kurssill yhdistetyn funktion integroimisess toimii hyvin pun seurv khdeksn kohdn ohje:. Tunnist yhdistetty funktio. 2. Mikä on sisäfunktio? Mikä on sen derivtt?. Onko sisäfunktion derivtt kertojn? Kyllä olisi muuten, mutt vkio on väärä. 54
4. Siirrä väärä vkio integrlin eteen. 5. Lisää oike vkio j korj se ulkopuolell. 6. "Peitä" sisäfunktion derivtt j integroi ulkofunktio. 7. Sievennä tulos. 8. Trkist derivoimll (TD). Esimerkki 6.4. Integroi funktiot ) f (x) = 4xe x2 ) g(x) = cos 5x c) h(x) = 4x x 2 + d) i(x) = (x )(x + 2x) Rtkisu: ) f (x) dx = 4xe x2 dx = 4 xe x2 dx = 2 4 2xe x2 dx = 2e x2 + c ) g(x) dx = cos 5xdx= 5 5 cos 5xdx= sin 5x + c 5 c) 4x x 2 + dx = 2 4 2x x 2 + dx = 2 ln x2 + + c = 2 ln(x 2 + ) + c d) Kosk tulolle ei ole erityistä integroimissääntöä, niin kerrotn sulut uki. i(x) = (x )(x + 2x) = x 4 x + 2x 2 2x i(x) dx = (x 4 x + 2x 2 2x) dx = 5 x5 4 x4 + 2 x x 2 + c Esimerkki 6.5. Integroi funktiot ) f (x) = x sin x 2 ) g(x) = x sin x Rtkisu: ) x sin x 2 dx = 2 2x sin x 2 dx = 2 ( cos x2 ) + c = 2 cos x2 + c )? 55
)-kohdn funktion integrointiin sopii hyvin ns. osittisintegrointi, jok ei kuulu tenttilueeseen, vn käsitellään kurssill "ylimääräisenä", tulevi opintoj jtellen vrmsti hyödyllisenä integroimiskeinon. *. Osittisintegrointi Tulon derivoimissäännön mukn joten Df(x)g(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x), f (x)g(x) + f (x)g (x) dx = f (x)g(x) + c. Integroidn summ erikseen j siirretään toinen integroitvist yhtälön oikelle puolelle, jolloin sdn osittisintegroimissääntö: f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Rtkistn nyt esimerkin 6.5 )-koht: sin x xdx"vlitsemll" f (x) = sin x j g(x) = x. Tällöin f (x) = cos x j g (x) =. Osittisintegroimll: sin x xdx= cos x x = x cos x + cos x dx cos xdx = x cos x + sin x + c Trkistus: D ( x cos x + sin x + c) = cos x + x sin x + cos x = x sin x Huom, että jos olisi vlittu luss f (x) = x j g(x) = sin x, niin osittisintegrointikvn käytöstä ei olisi ollut hyötyä, sillä yhtälön oikelle puolelle olisi jäänyt integroitvksi funktio 2 x2 cos x. 6.2 Määrätty integrli Olkoon f integroituv välillä [, ]. Funktion f määrätty integrli :st :hen on rjrvo n f (x i ) x j sitä merkitään lim n i= f (x) dx. 56
Summ n i= f (x i ) x = f (x ) x + f (x 2 ) x +...+ f (x n ) x snotn välisummksi (ktso kurssin kotisivult iheeseen liittyvä GeoGer-demo). Väli [, ] on jettu n:ään yhtä pitkään osväliin j kunkin osvälin pituus on x = n. Pisteet x, x 2,...x n kuuluvt vstville osväleille. Huom, että kun n, niin x. Jos funktio f on jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, ], nt välisumm rvion funktion kuvjn j x-kselin välisen lueen pint-llle A välillä [, ] (kuv puuttuu). Kun osvälien lukumäärä n ksv, pint-ln rvio prnee j lim n n f (x i ) x = i= Olkoon funktio f jtkuv j <. Tällöin f (x) dx = A. f (x) dx = A, kun f (x) kikill x [, ]. f (x) dx = A, kun f (x) kikill x [, ]. Lukuj j snotn integroimisrjoiksi: on lrj j on ylärj. Esimerkki 6.6. Lske määrätty integrli Rtkisu: f (x) dx, kun f (x) = 6 2x. Kosk f (x) kikill x [, ], niin f (x) dx = (6 2x) dx = A (kuv puuttuu) j x-kselin j lskevn suorn y = 2x + 6 rjoittm lue välillä [, ] on suorkulminen kolmio, jonk pint-l A on A = 6 2 = 9. Siis f (x) dx = 9. 57
Määrätyn integrlin ominisuuksi Olkoot f j g integroituvi välillä [, ] j k R vkio.. 2. f (x) dx = (integroimisrjt yhtä suuret) f (x) dx = f (x) dx (integroimisrjojen vihto). kf(x) dx = k f (x) dx (vkion siirto) 4. ( f (x) + g(x)) dx = 5. c f (x) dx+ c f (x) dx = f (x) dx + g(x) dx (summn määrätty integrli) f (x) dx (määrätyn integrlin yhteenlskuominisuus) Seurv tulos yhdistää toisiins määrätyn integrlin j integrlifunktion käsitteet. Sen vull pystytään lskemn helposti muidenkin funktioiden määrättyjä integrlej kuin vin sellisten erikoistpusten (esimerkki 6.6), jotk sdn geometrisesti pintln. Anlyysin perusluse missä F on funktion f jokin integrlifunktio. f (x) dx = F(x) = F() F(), Huomutus 6.7. Merkintä F(x) luetn "sijoitus :st :hen Fx" j trkoitt siis, että vähennetään toisistn ylärj j lrj sijoitettuin integrlifunktion lusekkeeseen. Siten myös integroimisvkio c supistuu sijoituksess pois, eli käytännössä voidn vlit c =. Määrätyn integrlin lskeminen nlyysin perusluseell on näin ollen kksiviheinen. Ensin määritetään funktion jokin integrlifunktio (eli helpoin: c = ), jonk jälkeen tehdään sijoitus, eli lsketn integrlifunktion rvojen erotus. Esimerkki 6.8. Lsketn esimerkin 6.6 määrätty integrli nlyysin perusluseell: (6 2x) dx = Esimerkki 6.9. Lske määrätty integrli e Rtkisu: e (6x x2 ) = 6 2 6 2 = 8 9 = 9. x dx. x dx = e ln x = ln e ln = =. 58
Pint-ln lskeminen. Funktion kuvjn j x-kselin rjoittm lue Aiemmin jo todettiin, että funktion f kuvjn, x-kselin sekä suorien x = j x = rjoittmn lueen pint-l A = f (x) dx, jos f (x) kikill x [, ]. kuv puuttuu Jos f (x) < kikill x [, ], niin määrätty integrli f (x) dx on negtiivinen j itseisrvoltn yhtä suuri kuin funktion kuvjn j x-kselin välillä [, ] rjoittmn lueen pint-l. Siis A = f (x) dx. kuv puuttuu Esimerkki 6.. Määritä funktion f (x) = 2x 8x kuvjn j x-kselin rjoittmn kksiosisen lueen pint-l. Rtkisu: Rtkistn funktion f nollkohdt: 2x 8x = 2x(x 2 4) =, jost sdn rtkisuksi x = ti x = ±2. Kosk jtkuv funktio f voi viht merkkiään vin ohitettess nollkoht, voidn in testipisteiden vull selvittää funktion merkki eri nollkohtien välillä: f ( ) = 6 > j f () = 6 < 59
Siten A = A + A 2 = = 2 = 2 2 f (x) dx f (x) dx (2x 8x) dx 2 ( 2 x4 4x 2 ) 2 2 (2x 8x) dx ( 2 x4 4x 2 ) = 2 4 4 2 ( 2 ( 2)4 4 ( 2) 2 ) ( 2 24 4 2 2 ) + ( 2 4 4 2 ) = 8 + 6 8 + 6 = 6 2. Khden funktion kuvjn rjoittm lue Määrätyn integrlin vull voidn lske myös khden funktion kuvjn rjoittmn lueen pint-l. Jos välillä [, ] on voimss f (x) g(x), niin funktioiden f j g kuvjien sekä suorien x = j x = rjoittmn lueen pint-l (kuv puuttuu) A = ( f (x) g(x)) dx. Huom, että jos on vin nnettu kksi funktiot f j g, on ensin tutkittv kumpi kuvjist on ylempänä j kumpi lempn milloinkin. Sen perusteell integroitv luseke on eri osväleillä joko f (x) g(x) ti g(x) f (x). Esimerkki 6.. Määritä käyrien y = x 2 2x j y = 2x 2 4x rjoittmn lueen pint-l. Rtkisu: Rtkistn käyrien leikkuskohdt. Sdn yhtälöpri y = x 2 2x y = 2x 2 4x jonk rtkisun on x = ti x =. Merkitään f (x) = x2 2x j g(x) = 2x 2 4x. Kosk lspäin ukev preli g(x) = 2x 2 4x on ylempänä kuin ylöspäin ukev preli f (x) = x 2 2x leikkuskohtien välillä (g() = > f () = ), on prelien, 6
eli funktioiden f j g kuvjien rjoittmn lueen pint-l A = = = (g(x) f (x)) dx = ( 2x 2 4x x 2 + 2x + ) dx ( x 2 2x + ) dx = ( x x 2 + x) ( 2x 2 4x (x 2 2x )) dx = ( ) ( )2 + ( ) ( ) 2 + ( ) =...= 5 27. 6