ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200
2
Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon....................... 6 2..2. Porrsfunktiot j niiden integrlit............... 8 2.2. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus............. 0 2.2.. Esimerkkejä............................ 3 2.2.2. Riemnnin summt........................ 2 2.2.3. Integrlin ominisuuksi.................... 25 2.2.4. Integrlien rviointi...................... 27 2.2.5. Integrlit keskirvoin...................... 33 2.2.6. Integrli ylärjns funktion................. 35 2.2.7. Logritmin määrittely integrlin vull............ 37 3. Derivtt j integrli nlyysin perusluse 40 3.. Integrlin derivtt........................... 40 3.2. Primitiivi (ntiderivtt) j integrli................. 42 4. Integrointitekniikk 47 4.. Derivointikvoist stuj integrointikvoj............. 48 4.2. Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto................. 49 4.3. Osittisintegrointi............................. 56 4.4. Rtionlifunktioiden integrointi..................... 60 4.5. Trigonometristen funktioiden integrointi................ 66 4.6. (*)Eräiden muiden funktioiden integroinnist.............. 67 5. Epäoleelliset integrlit 7
6. Numeerisist srjoist 87 6.. Peruskäsitteet j integrlitrkstin................... 87 6.2. Suppenemistrkstimi.......................... 96 6.3. Vuorottelevt srjt j termien järjestyksen vihto........... 0 7. Potenssisrjoist 09 7.. Funktiosrjt j suppeneminen...................... 09 7.2. Tsinen suppeneminen......................... 7.3. Eksponenttifunktion srj........................ 20 7.4. Potenssisrjojen perusominisuuksi.................. 24 7.5. Tylorin j Mclurinin srjkehitelmistä j niiden sovelluksist... 3 2
Alkusnt Luentomterili perustuu integrlien oslt Tero Kilpeläisen Jyväskylän yliopistoss vuosin 200 j 2003 luennoimiin nlyysin kursseihin. Srjoj käsittelevässä osioss on hyödynnetty pikoin Jyrki Lhtosen Turun yliopistoss tänä keväänä luennoimn nlyysin kurssin mterili. Luentomonisteen trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Kurssi on toinen os yhden relimuuttujn nlyysin peruskäsitteiden esittelyä. Ensimmäisessä osss tutustuttiin funktioihin j jonoihin, niiden rj-rvoihin sekä jtkuvuuden käsitteeseen. Myös differentililskent tuli tutuksi. Anlyysi 2 -kurssi sisältää integrlilskennn j srjojen teorin perusteet. Integrlin j derivtn käsitteet luovt perustn modernille mtemtiiklle j luonnontieteille, tekniikn, tloustieteiden j tilstotieteen sovellutuksist puhumttkn. Tällä kurssill pääpino on peruskäsitteiden ymmärtämisessä, vrsinist lskutekniikk on melko vähän sen kehittäminen jää pääosin opiskelijn omn hrrstuksen vrn. Derivtt j integrli on käsitelty pinnllisesti jo koulukurssill. Tämän kurssin tvoitteen on syventää ymmärrystä niin, että opiskelij kykenisi opettmn muille differentili- j integrlilskennn lkeet sekä ymmärtämään, mikä on integroinnin ti derivtn merkitys mtemttisiss mlleiss. Moniss lkeisoppikirjoiss tyydytään esittelemään integrointi inostn ntiderivttn. Tällä kurssill pinotetn integrlin perimmäistä luonnett mittmiseen liittyvänä käsitteenä. Tämä uttnee premmin ymmärtämään integrlin käyttöä moiniss sovellutuksiss, kuten energin, odotusrvon ti virheen rvioinnin yhteyksissä, kuin myös integrlej usempiulotteisiss vruuksiss. Vikk integrli käsitellään itsenäisenä kokonisuuten, ei integroinnin j derivoinnin keskinäistä suhdett kuitenkn unohdet, sillä kurssill todistetn myös nlyysin perusluse, jonk mukn integrointi j derivointi ovt usein toistens käänteisopertioit. Integrointiosion lopuksi tutustutn vielä integrointitekniikoihin j epäoleellisiin integrleihin. Kurssin loppuosss keskitytään srjoihin. Srj on äärettömän lukujonon kikkien termien yhteenlsku. Tuttuj esimerkkejä jo lukiomtemtiikst ovt ritmeettinen j geometrinen srj. Srjteori on tärkeä nlyysin os-lue, jok kehittyi differentili- j integrlilskennn rinnll 600-luvun lopult lähtien.
Kuten in mtemtiikn opiskeluss, määritelmät on opeteltv huolell. Niiden käytön j sisällön oppii prhiten todistuksi trkstelemll j hrjoitustehtäviä tekemällä. Anlyysi -kurssin tiedot on syytä kerrt huolell, niitä käytetään toistuvsti jtkoss. Kiitän Tero Kilpeläistä j Jyrki Lhtost mteriliens luovuttmisest käyttööni. Cmill Hollnti 5. toukokuut 200 2
. Preliminäärejä Esitetään kurssin luksi joitkin tärkeitä määritelmiä j ominisuuksi, joist os on tuttuj jo Anlyysi -kurssilt... Määritelmä. Funktio f : I R, I R, on jtkuv pisteessä x 0 I, jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ (x, x 0 I). Edelleen f : I R on jtkuv välillä I, jos f on jtkuv jokisess pisteessä x 0 I..2. Määritelmä. Funktio f : I R on tsisesti jtkuv välillä I, jos edellisen määritelmän (ε, δ)-pri ei riipu trksteltvst pisteestä, ts. jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(z) < ε kikill x, z I, joill x z < δ..3. Luse. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Todistus: Jtkuvuudest seur, että jokiselle välin pisteelle z löytyy om (ε, δ(ε, z))-pri, jok toteutt jtkuvuuteen liittyvät ehdot ko. pisteessä. Tsinen jtkuvuus voidn nyt todet vlitsemll δ = min{δ(ε, z)}, jolloin oletusten nojll f(x) f(z) < ε kikill x, z I, joill x z < δ. Jtkuvuus voidn krkterisoid myös rj-rvojen vull: muist, että luku R on funktion f rj-rvo pisteessä x 0, merkitään lim f(x) =, x x 0 jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ. 3
Anlyysi -kurssilt muistmme, että f on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin jos f:llä on rj-rvo f(x 0 ) pisteessä x 0, ts. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Seurvt luseet on myös hyvä muist: Bolznon luse: Välillä [, b] jtkuv funktio s kikki rvojen f() j f(b) väliset rvot. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio f on rjoitettu; ts. on olemss sellinen M > 0, että f(x) M kikill x [, b]. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuv funktio f s suurimmn j pienimmän rvons; ts. on olemss selliset x, x 2 [, b], että f(x ) f(x) f(x 2 ) kikill x [, b]. Eräs tärkeimmistä Anlyysi -kurssin käsitteistä on supremum (j infimum). Muist, että epätyhjän joukon A R supremum sup A on joukon A pienin ylärj. Ts. sup A on sellinen luku M, jok toteutt ehdot i) M on joukon A ylärj eli M kikill A, j ii) M on joukon A ylärjoist pienin eli jos G on jokin joukon A ylärj, niin G M. Vstvsti joukon A R infimum inf A on joukon A suurin lrj. Ts. inf A on sellinen luku m, jolle pätee i) m on joukon A lrj eli m kikill A, j ii) m on joukon A lrjoist suurin eli jos g on jokin joukon A lrj, niin g m. Relilukujen täydellisyyden nojll jokisell ylhäältä rjoitetull joukoll A on sup A R, ts. jos A:llä ylipäänsä on jokin (relinen) ylärj, niin eräs näistä ylärjoist on pienin. Smoin lhlt rjoitetull joukoll A on inf A R. Lisäksi sup A A täsmälleen silloin, kun A:ss on suurin lkio, jolloin supa = mxa. Smoin inf A A täsmälleen silloin, kun A:ss on pienin lkio, jolloin inf A = min A. 4
2. Riemnn-integrli Integrointi j differentiointi (derivointi) ovt kksi nlyysin keskeisintä rjprosessi. Aloitmme integrlin käsitteen esittelyllä. Eräs tämän kurssin j koko nlyysin merkittävimmistä tuloksist, nlyysin perusluse, ilmisee, että derivointi j integrointi ovt toistens käänteisprosessej vikk ensi näkemältä näillä ei näyttäisi olevn juurikn tekemistä toistens knss. Usein differentili-j integrlilskennn lkeisopetuksess tyydytään esittelemään integrli vin ntiderivttn. Tällinen menettely nt kuitenkin vin hilkn kuvn integrlin käsitteestä, jok on vrsin keskeinen nlyysissä. Lähinnä historillisist syistä on tpn esitellä ensimmäisenä integrlin käsitteenä ns. Riemnn-integrli, vikk nykyisin käytetään lähinnä tehokkmp Lebesgue-integrli. Toislt Riemnn-integrli on helpompi määritellä ilmn esivlmisteluj j nt mm. jtkuville funktioille täsmälleen smn tuloksen. 2.. Pint-lt j porrsfunktiot Intuitiivisesti tsojokoukon pint-l on sen sisältämien yksikköneliöiden lukumäärä. Trkempi lukuj sdn jkmll yksikköneliöiden sivut esim. 0 yhtäsuureen osn, jolloin sdn sdsosn pint-loj, jne. Intuitiomme mukn pint-lll tulisi oll seurvt ominisuudet:. Pint-l on positiivinen luku. 5
2. Suorkiteen pint-l on sen knnn j korkeuden tulo. 3. Alueen pint-l ei s muuttu luett siirrettäessä. 4. Koko lueen pint-l on os-lojen pint-lojen summ. 5. Visulisesti suuremmll joukoll on suurempi pint-l. 2.. Pint-l rj-rvon Jtketn pint-ltrkstelu rvioimll ei-negtiivisen funktion f : [, b] R grfin lle jäävän lueen pint-l. Jetn väli [, b] äärellisen moneen (n kpl) osväliin, jkopisteinä = x 0 < x < x 2 < < x n = b j piirretään grfin lle mhdollisimmn korket suorkiteet S j, kunkin kntn osväli [x j, x j ]. Siten S j on krteesinen tulo [x j, x j ] [0, y j ], missä y j = inf {f(x) x [x j, x j ]}. Suorkiteiden S j pint-lt ostn lske, sillä ne ovt yksinkertisesti y j (x j x j ). Näin ollen grfin lle piirretyn monikulmion M = n S j j= pint-l on suorkiteiden S j pint-lojen summ n y j (x j x j ). j= Huomtn, että grfin lle jäävän lueen pint-l A n y j (x j x j ). j= 6
_ M M x x 2 x 3 x 4 x b Seurvksi tehdään smnlinen pproksimointi yläpuolelt: Piirretään mhdollisimmn mtlt suorkiteet S j, joill on kntoin osvälit [x j, x j ] j joiden ktto z j on f:n grfin yläpuolell. Nyt S j on krteesinen tulo [x j, x j ] [0, z j ], missä z j = sup {f(x) x [x j, x j ]}. Suorkiteiden S j pint-lt ovt z j (x j x j ), joten monikulmion M = n S j j= pint-l on n z j (x j x j ). j= Huomtn, että grfin lle jäävän lueen pint-l A n z j (x j x j ). j= Yhdistämällä nämä rviot sdn grfin lle jäävän lueen pint-llle A rviot n j= inf f(x)(x j x j ) A x [x j,x j ] n j= sup f(z)(x j x j ). z [x j,x j ] 7
Jtkoss osoitetn, että lisäämällä jkovälien määrää tällinen pproksimointiprosessi joht useiss tilnteiss hlutun pint-ln (integrlin) smiseen rjll. Kuitenkn vkvsti otettv mtemtiikk ei voi pohjutu intuitioon, vikk intuitiivinen käsitys j kuvien piirtely ovtkin erittäin tärkeä os ymmärrystä j ongelmnrtkisuprosessi. Täsmällistä, hvinnoist riippumtont teori kehitettäessä yllä tehdyt trkstelut onkin hyvä pitää mielessä, sillä teori toki selittää hvintomme. 2..2 Porrsfunktiot j niiden integrlit Aloitimme pint-ln intuitiivisest käsitteestä j johdimme sen vull integrlin pproksimoivn rj-prosessin. Nyt teemme päinvstoin: integrlin trkss määritelmässä lähdemme liikkeelle pproksimoivist (pint-lojen) summist, jotk määritellään puhtn nlyyttisesti. Myöhemmin osoitmme, että ylhäältä j lhlt pproksimoivt summt suppenevt kohti sm luku edellyttäen, että funktio on sopivn siisti. Se mitä siistillä tässä yhteydessä trkoitetn selviää myöhemmin. Al- j yläsummn yhteinen rj-rvo on integrlin (j pint-ln) täsmällinen määritelmä. Olkoon I rjoitettu väli, jonk päätepisteet ovt, b R, < b. 2.. Määritelmä. (jko, porrsfunktio) Välin I jon muodostvt luvut (n < ) = x 0 < x < x 2 < < x n = b. Funktio f : I R on porrsfunktio, jos on olemss välin I jko P = (x 0, x, x 2,...,x n ) j luvut j R, j =, 2,..., n, joille f(x) = j kikill x ]x j, x j [. 2.2. Huomutus. Porrsfunktion välijon voi tehdä monell tp. Porrsfunktion rvoille jkopisteissä x j ei setet mitään ehto. Porrsfunktion grfi muodost nimensä mukisesti portikon. 8
=x 0 x 2 x x 3 x 4 x 5 x 6 b=x 7 2.3. Määritelmä. (porrsfunktion integrli) Porrsfunktion f : [, b] R integrli (yli välin [, b]) on f := n j l(i j ), j= missä P = (x 0, x, x 2,...,x n ) on välin [, b] jko siten, että f(x) = j kikill x I j =]x j, x j [ j l(i j ) = x j x j on osvälin I j =]x j, x j [ pituus. 2.4. Huomutus.. Porrsfunktion integrli on hyvin määritelty: se ei riipu vlitust välijost (hrjoitustehtävä). 2. Jos f j g ovt porrsfunktioit välillä [, b] j λ R, niin f + g j λf ovt porrsfunktioit j (f + g) = f + g j (λf) = λ f. 9
2.2. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Olkoon f : [, b] R rjoitettu, ts. on olemss M > 0, jolle f(x) M kikill x [, b]. Määritellään f:n lintegrli yli välin [, b] l f := sup j f:n yläintegrli yli välin [, b] ylä f := inf g g porrsfunktio j g f välillä [, b] h h porrsfunktio j h f välillä [, b]. 2.5. Huomutus. Ei ole linkn selvää yhtyvätkö l- j yläintegrlit eli päteekö yhtälö l f = ylä f. Kuitenkin l f ylä f, sillä (hrjoitustehtävä) jos g j h ovt porrsfunktioit j g h, niin g h. Edelleen porrsfunktiolle g pätee l g = ylä g. 0
2.6. Määritelmä. (Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus) Rjoitettu funktio f : [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos l f = ylä f. Tällöin f:n (Riemnn-)integrli yli välin [, b] on f := f(x) dx := l f = ylä f. Tässä dx ilmisee, että integrli lsketn integrndin f muuttujn x suhteen. 2.7. Huomutus. Porrsfunktiot ovt Riemnn-integroituvi. Hetken päästä osoitmme, että tsisesti jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Tätä voidn hvinnollist sillä tosisill, että pienillä osväleillä tsisesti jtkuv funktio ei juurikn heilhtele, joten ylä- j lpuolisten porrsfunktioiden väliin ei jää merkittävästi pint-l. Aloitetn tekemällä yksinkertinen, mutt erittäin hyödyllinen hvinto. Sen jälkeen lskemme määritelmän vull esimerkkifunktioiden integrlej. Myöhemmin kehitämme teori integrlien lskemiseksi. R-ehto 2.8. Luse. (Riemnnin ehto) Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv välillä [, b], jos j vin jos jokisell ε > 0 on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j h g < ε. Todistus: : Jos f on integroituv, niin ylä f = l f.
Jos ε > 0, niin infimumin määritelmän nojll voidn vlit porrsfunktio h siten, että h f j h < ylä f + ε 2. Smoin supremumin määritelmän nojll voidn vlit porrsfunktio g siten, että g f j g > l f ε 2. Nyt h g < ylä f + ε b 2 (l f ε 2 ) = ε, kosk ylä f = l f. : Olkoon ε > 0 mielivltinen j h j g sellisi porrsfunktioit, että g f h välillä [, b] j Tällöin ts. ylä ylä f h h < ε + f l g < ε. g ε + l f, f + ε kikill ε > 0, joten ylä f l f ylä f. 2
Siis ylä f = l f. 2.9. Huomutus. Riemnnin ehdon hyödyllisyys tulee ilmi siinä, ettei f:n lj yläintegrlej trvitse ost lske nähdäkseen, että funktio on integroituv: riittää ost rvioid lporrsfunktion j yläporrsfunktion grfien väliin jäävää pint-l, sillä porrsfunktioille h j g pätee h g = (h g). 2.2. Esimerkkejä Seurvksi lskemme määritelmän vull eräitä integrlej. Esimerkki.. (Linerifunktion integrli) Olkoon f(x) = kx, k > 0. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn f(x) dx = kxdx. f(x)=kx 0 0 0 0 0 0 0 0 g 0 0 0 0 0 h 0 0 0 0 =x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b=x 7 3
Jetn väli [, b] n yhtäsuureen osväliin, jkopisteinä, + t, + 2t,..., + nt = b, missä t = b n. Määritellään porrsfunktiot g j h siten, että j g(x) = k( + (j )t), kun x [ + (j )t, + jt[, h(x) = k( + jt), kun x [ + (j )t, + jt[, missä j =,..., n j g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g f h. Edelleen, g = tk + tk( + t) + + tk( + (n )t) kun n. Smoin = ntk + t 2 k(0 + + 2 + + (n )) = ntk + t 2 n(n ) k 2 = n b (b )2 k + n k n 2 (b )2 = (b )k + 2 (b )2 (b )k + k, 2 n(n ) 2 k n n h = tk( + t) + tk( + 2t) + + tk( + nt) = ntk + t 2 k( + 2 + + n) = ntk + t 2 n(n + ) k 2 = n b (b )2 k + n k n 2 (b )2 = (b )k + 2 (b )2 (b )k + k, 2 n(n + ) 2 k n + n 4
kun n. Siten f on integroituv (Riemnnin ehto) j f = kxdx = (b )k + (b )2 k = k 2 2 (b2 2 ). Esimerkki. 2. Olkoon f(x) = x 2. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn x 2 dx. Symmetrisyistä voimme rjoittu tilnteeseen 0. Muodostetn jko kuten edellisessä esimerkissä, jkopisteinä missä, + t, + 2t,..., + nt = b, t = b n. Määritellään porrsfunktiot g j h siten, että g(x) = f( + (j )t) = ( + (j )t) 2, kun x [ + (j )t, + jt[, j h(x) = f( + jt) = ( + jt) 2, kun x [ + (j )t, + jt[, j g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g f h j g = 2 t + ( + t) 2 t + + ( + (n )t) 2 t = n 2 t + 2t 2 (0 + + + (n )) + t 3 (0 + 2 + 2 2 + + (n ) 2 ) = n 2 t + 2t 2n(n ) 2 = 2 (b ) + 2 + t 3(n )n(2n ) 6 (b )2 n(n ) n 2 2 2 (b ) + (b ) 2 + (b )3 3 +, (b )3 (n )n(2n ) n 3 6 5
missä käytimme kv m k 2 = k= m(m + )(2m + ) 6. Kuten yllä, sdn h = ( + t) 2 t + ( + 2t) 2 t + + ( + nt) 2 t = n 2 t + 2t 2 ( + 2 + + n) + t 3 ( 2 + 2 2 + + n 2 ) = n 2 t + 2t 2n(n + ) 2 = 2 (b ) + 2 + t 3n(n + )(2n + ) 6 (b )2 n(n + ) n 2 2 2 (b ) + (b ) 2 + (b )3 3 +. (b )3 n(n + )(2n + ) n 3 6 Siten f on integroituv (Riemnnin ehto) j x 2 dx = 2 (b ) + (b ) 2 + (b )3 3 = 3 (b3 3 ). Esimerkki. 3. Olkoon f(x) = x k, k N. Osoitetn, että f on integroituv j lsketn x k dx. Jetn nyt väli [, b] tsvälijon sijst geometrisess suhteess (oletetn > 0), jkopisteinä, q, q 2,...,q n, missä siis merkitään myös q = n b ; x j = q j, j = 0,, 2,..., n. 6
Huom, että q >, joten viimeinen jkoväli on suurin j q, kun n. Jkovälin [x j, x j ] pituus on Lsketn porrsfunktion h, x j x j = q j q j = qj (q ) q h(x) = f(x j ) = (q j ) k, kun x ]x j, x j [, integrli (joll rvioidn f:n yläintegrli). Nyt käyttämällä geometrisen summn kv sdn h = (q) kq(q ) + (q 2 ) kq2 (q ) + + (q n ) kqn (q ) q q q = k+q q n (q k+ ) j j= = k+q q k+(qk+ ) n q q k+ = k+ (q )q k(b )k+ q k+ = (b k+ k+ )q k q q k+. Hvitsemll geometrisen summn kvn vull, että smme q q k+ = + q + q 2 + + q k q k h = (b k+ k+ ) + q + q 2 + + q k bk+ k+ k + kun n, sillä tällöin q. Siten ylä, f bk+ k+ k +.. 7
Smll tvoin nähdään (hrjoitustehtävä), että joten f on integroituv j l f bk+ k+ k +, x k dx = bk+ k+ k +. Esimerkki. 4. Rjoitettu funktio, jok ei ole Riemnn-integroituv. Olkoon f(x) = {, jos x Q 0, jos x R \ Q. Tällöin f ei ole Riemnn-integroituv, sillä jos g on porrsfunktio j g on vkio välillä I, niin mikäli g f välillä I, niin g 0 kyseisellä välillä, sillä I sisältää irrtionlipisteitä. Siten l f 0. Toislt g 0 on porrsfunktio j g f, joten l f = 0 (b ) = 0. Smoin jos g f I:llä, niin g kyseisellä välillä, sillä väli I sisältää rtionlipisteitä. Tästä sdn, että ylä f = (b ) > 0 = l f, joten f ei ole Riemnn-integroituv. 8
Esimerkki. 5. (mielenkiintoinen hvinto) Olkoon f : [, b] R idosti ksvv (jtkuv) funktio j ϕ : [α, β] R f:n käänteisfunktio, siis f() = α, f(b) = β j ϕ(f(x)) = x kikill x [, b]. Tällöin β f(x) dx + ϕ(y) dy = bβ α. α Kvn pätevyyden voi hvit kuvst käyttämällä integrlin pint-ltulkint. Trkk todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. β β α φ(y) dy b f(x) dx α b Esimerkiksi, jos f(x) = x /k, k N j, b > 0, niin integrli x /k dx sdn helposti lskettu esimerkin 5 kvll: ϕ(y) = y k, α = /k, β = b /k, joten 9
kvn j esimerkin 3 nojll β x /k dx = bβ α ϕ(y) dy α = b +/k +/k βk+ α k+ k + = ( b +/k +/k)( ) k + = b+/k +/k. + /k jtk-int 2.0. Luse. Olkoon f : [, b] R jtkuv. Tällöin f on Riemnn-integroituv. Todistus: Tiedämme, että suljetull j rjoitetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Olkoon nyt ε > 0. Kosk f on tsisesti jtkuv, on olemss sellinen n N, että jos x y b n Otetn jko P = (x 0, x,..., x n ), jkopisteinä x j = + j b n Muodostetn porrsfunktiot g j h:, niin f(x) f(y) < ε b., j = 0,, 2,..., n. j g(x) = min {f(z) z [x j, x j ]} =: m j h(x) = mx {f(z) z [x j, x j ]} =: M j, kun x ]x j, x j [ j määritellään g(b) = f(b) = h(b). Tällöin g f h. Kosk jtkuv funktio svutt suurimmn j pienimmän rvons suljetull välillä, löydetään pisteet z j, z j [x j, x j ], joill f(z j ) = m j j f(z j ) = M j. 20
Kosk niin Siten h g = = z j z j x j x j = b n, M j m j = f(z j ) f(z j ) < ε b. n M j (x j x j ) j= n m j (x j x j ) j= n (M j m j )(x j x j ) j= < ε b n (x j x j ) j= = ε b ((x x 0 ) + (x 2 x ) + + (x n x n )) = ε b (x n x 0 ) = ε, joten f on Riemnnin ehdon 2.8 nojll integroituv., 2.. Huomutus. Äärellinen pistejoukko ei vikut integroituvuuteen eikä integrlin rvoon, kosk ne jätettiin porrsfunktioiden määrittelyssä huomioimtt. 2.2. Määritelmä. Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv välillä [, b], jos välillä [, b] on korkeintn äärellisen mont sellist pistettä, joss f ei ole jtkuv. pl.jtk-int 2.3. Luse. Ploittin jtkuv funktio on Riemnn-integroituv. 2.2.2 Riemnnin summt Olkoon f : [, b] R rjoitettu j olkoon P = ( = x 0, x,...,x n = b) välin [, b] jko. Merkitään I k = [x k, x k ] j P = mx {l(i k ) = x k x k k =, 2,..., n}, 2
mikä on suurimmn osvälin pituus. Vlitn mielivltinen ξ k I k j merkitään S P := S P (f, ξ) := n f(ξ k )(x k x k ) = k= n f(ξ k )l(i k ) k= j kutsutn tätä f:n (jkoon P liittyväksi) Riemnnin summksi. Huom, että Riemnnin summ on porrsfunktion g integrli, missä g = f(ξ k ) välillä I k. Tihennetään seurvksi jko siten, että P 0 j tutkitn rj-rvo lim S P (f, ξ). P 0 Nyt lim S P (f, ξ) = L, P 0 mikäli jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että kikill joill P, joill P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε vlittiinp pisteet ξ k miten thns. Näin sdn ekvivlentti määritelmä Riemnn-integrlille: R-summt 2.4. Luse. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin, jos Riemnnin summill on rj-rvo lim S P(f, ξ). P 0 Tällöin f = lim P 0 S P(f, ξ). Todistus: : Olkoon f integroituv j ε > 0. Vlitn Riemnnin ehdon 2.8 vull porrsfunktiot g j h siten, että g f h j h g < ε 2. 22
Olkoon P 0 = (z 0, z,...,z m0 ) välin [, b] jko siten, että jon pisteet ovt sekä h:n että g:n porrspisteitä. Trkstelln nyt välin [, b] jko P = (x 0, x,...,x n ), jolle P < P 0. Tällöin Riemnnin summ S P (f, ξ) on erään porrsfunktion s integrli. Edelleen g s = f(ξ k ) h kikill niillä osväleillä I k = [x k, x k ], jotk eivät sisällä jon P 0 pisteitä. Korjtn porrsfunktioit g j h niillä osväleillä, jotk sisältävät jon P 0 pisteitä: vlitn M > 0 siten, että f(x) M kikill x [, b] j määritellään g(x) = { g(x), jos x I k j z j I k kikill j = 0,,..., m 0 M, jos x I k j z j I k jollkin j = 0,,..., m 0 j h(x) = { h(x), jos x I k j z j I k kikill j = 0,,..., m 0 M, jos x I k j z j I k jollkin j = 0,,..., m 0. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g s h. Voidn olett, että M g h M, joten h g 2M. Siten (kosk porrsfunktioiden rvo muutettiin korkeintn m 0 välillä) h g h g + m 0 P 2M < ε 2 + m 0 P 2M. Näin ollen, jos vlitn δ = min{ P 0, ε m 0 4M } j vditn, että P < δ, sdn f S P = f s h < ε 2 + m 0 P 2M < ε 2 + m 02M ε m 0 4M = ε. g 23
Siis Riemnnin summien rj-rvo on olemss j f = lim P 0 S P(f, ξ). : Olkoon lim S P(f, ξ) = L P 0 kikill pisteiden ξ k vlinnoill. Ts. jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ > 0, että kikill joill P, joill P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε vlittiinp pisteet ξ k miten thns. Olkoon nyt P = (x 0, x,...,x n ) välin [, b] jko siten, että P < δ, j vlitn pisteet ξ k, ξ k [x k, x k ] siten, että f(ξ k ) inf f + ε [x k,x k ] b j f(ξ k ) sup f ε [x k,x k ] b. Tällöin porrsfunktioille g j h, g(x) = f(ξ k ) ε b, kun x [x k, x k ] j pätee g f h j h(x) = f(ξ k ) + ε b, kun x [x k, x k ] h g = = S P (f, ξ) + n k= ε b (x k x k ) S P (f, ξ) + S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε < 4ε. n k= ε b (x k x k ) Näin ollen f on Riemnnin ehdon 2.8 nojll integroituv. 24
2.2.3 Integrlin ominisuuksi Integrlin ominisuuksi tutkittess on pidettävä mielessä integrlin määrittely: ensin porrsfunktioiden integrli j sitten rjlle käynti (ti supremumin j infimumin otto). Tästä seur, että integrlien ominisuuksien todistukset on yleensä in prst plutt porrsfunktioit koskeviksi väitteiksi, sillä porrsfunktioille ne ovt useimmiten helpompi. Tämän jälkeen on vielä todettv, ettei rjnkäynti tuot vikeuksi. ddit 2.5. Luse. (dditiivisuus) Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b]. Tällöin c f = f + f. c Todistus: Väite seur siitä, että piste c voidn ott porrsfunktioiden (uudeksi) jkopisteeksi: Jos g on porrsfunktio välillä [, b], niin rjoittumt g [,c] = p j g [c,b] = p 2 ovt porrsfunktioit väleillä [, c] j [c, b] (vstvsti). Olkoon P = (x 0, x,...,x n ) tähän liittyvä jko, missä c = x k. Tällöin (tässä x j ]x j, x j [) g = = = n g(x j )(x j x j ) j= k n g(x j )(x j x j ) + g(x j )(x j x j ) j= j=k+ c g + g, c joten väite on tosi porrsfunktioiden integrleille. Yleinen tpus seur ottmll superemum j infimum yli sopivien porrsfunktioiden. 25
Tähän mennessä integrli on määritely vin, kun < b. Ljennetn seurvksi tätä määritelmää: 2.6. Määritelmä. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Määritellään f := f b j g := 0 kikille pisteessä määritellyille R-rvoisille funktioille g. 2.7. Huomutus. Integrlien dditiivuusluse säilyy voimss: kikill, b, c R, c f = f + f, kunhn f on integroituv kyseisillä väleillä. c int-lin 2.8. Luse. (linerisuus) Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ R. Tällöin λf j f + g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], j (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus: Luse voidn todist osoittmll ensin, että väite on selvä porrsfunktioille, j ottmll sitten supremum j infimum. Vihtoehtoinen todistus sdn Riemnnin summien vull seurvsti: S P (f + g, ξ) = S P (f, ξ) + S P (g, ξ), 26
joten (f + g) = lim S P (f + g, ξ) P 0 = lim P 0 S P(f, ξ) + lim P 0 S P(g, ξ) = f + g. Vkioll kertominen smn tpn. Esimerkki. Olkoon p(x) = n x n + n x n + + x + 0. Tällöin p on jtkuvn funktion integroituv j luseen 2.8 vull sdn esimerkkiä 3 hyödyntämällä, että p(x) dx = n ( j j=0 x j dx) = n j=0 j b j+ j+ j + = n n + (bn+ n+ ) + n n (bn n ) + + 2 (b2 2 ) + 0 (b ). 2.2.4 Integrlien rviointi Integrlej ei yleensä pystytä lskemn trksti. Usein kuitenkin sopiv rviointi riittää. Seurv hvinto muunnelmineen on eräs keskeisimmistä rviointikeinoist. 2.9. Luse. Olkoon f Riemnn-integroituv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Täl- löin ei-neg.int f 0. 27
Todistus: Porrsfunktiolle g 0 pätee g f, joten 0 = g f. int vertilu 2.20. Luse. Olkoot f j g integroituvi välillä [, b] j f g. Tällöin f g. Todistus: Luseen 2.8 nojll f g 0 on integroituv, joten 0 (f g) = f g. sup rvio 2.2. Seurus. Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Jos M = mxf j m = min f, niin m(b ) f M(b ). Huom! Leim sup rvio ei liity tässä supremumiin vn siihen, että rvioimme integrli suorkiteiden pint-lojen vull (ktso kuv seurvll sivull). 28
M m b noll int 2.22. Luse. Olkoon f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b] ( < b). Jos f = 0, niin f 0 välillä [, b]. Todistus: Jos on olemss sellinen x 0 [, b] (voidn olett, että x 0 ], b[ ), että f(x 0 ) > 0, niin Anlyysi -kurssin tulosten nojll on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0) > 0 kikill x [x 0 δ, x 0 + δ], 2 joten f = x 0 δ f + x 0 +δ f + f x 0 δ 0 + x 0 δ x 0 +δ x 0 δ f(x 0 ) 2 = 0 + 2δ f(x 0) + 0 2 = δf(x 0 ) > 0. x 0 +δ dx + x 0 +δ 0 Tämä on ristiriit, joten väite on tosi. 29
2.23. Määritelmä. Olkoon f : A R. Määritellään f:n positiivios f + : A R j f:n negtiivios f : A R, f + (x) := mx{f(x), 0} = { f(x), kun f(x) 0 0, kun f(x) 0, j f (x) := mx{ f(x), 0} = { f(x), kun f(x) 0 0, kun f(x) 0. Tällöin f:n itseisrvo on f : A R, f (x) := f(x) = f + (x) + f (x). 2.24. Huomutus. Huom, että f + 0, f 0, f 0 j f = f + f. pos.osn int 2.25. Luse. Olkoon f : [, b] R rjoitettu. Tällöin f on Riemnn-integroituv, jos j vin jos sekä f + j f ovt Riemnn-integroituvi. Tällöin f = f + f j myös f on Riemnn-integroituv. Todistus: : Seur Luseest 2.8, kosk f = f + f. : Jos g j h ovt sellisi porrsfunktioit välillä [, b], että g f h j h g < ε, niin g + j h + ovt porrsfunktioit j g + f + h + sekä h + (x) g + (x) h(x) g(x). (miksi?) 30
Siten ε > h g = (h(x) g(x)) dx (h + (x) g + (x)) dx = h + (x) dx g + (x) dx, joten f + on Riemnnin ehdon 2.8 nojll integroituv. Kosk f = f + f, myös f on integroituv, smoin f = f + + f. its.rvio 2.26. Luse. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Tällöin f dx f dx. Todistus: Kosk f f j f f, niin f f j f = ( f) f, mistä väite seur. 2.27. Huomutus. ) Epäyhtälö edellä voi oll ito. Esimerkiksi xdx = 0 < = x dx. b) Funktion f : [, b] R grfin j x-kselin väliin välillä [, b] jäävän lueen pint-l on f = f + + f. 3
tulo int 2.28. Luse. Olkoot f j g Riemnn-integroituvi. Tällöin tulo f g on myös Riemnn-integroituv. 2.29. Huomutus. Vro: yleensä (fg) ( f )( Todistus: (vrt. tulon jtkuvuuden ti rj-rvon todistus!). Oletetn ensiksi, että f, g 0. Olkoon M > 0 sellinen, että f, g M. Olkoon ε > 0. Vlitn porrsfunktiot g f, h f j g g, h g siten, että j g ). g f f h f M j g g g h g M h f g f < ε 2M j Tällöin g f g g j h g h f ovt porrsfunktioit j Kosk h g M j g f M, niin h f h g g f g g = h g g f g g fg h f h g. (h f g f )h g + g g < ε 2M. g f (h g g g ) M (h f g f ) + M (h g g g ) < M ε 2M + M ε 2M = ε, joten Riemnnin ehdon 2.8 nojll fg on integroituv. 2. Olkoot f j g integroituvi funktioit. Kosk f = f + f j g = g + g, niin fg = f + g + f + g f g + + f g, jok on kohdn. nojll Riemnn-integroituvien funktioiden summn integroituv (ks. 2.8). 32
2.30. Huomutus. Riemnn-integroituvt funktiot voidn krkterisoid Lebesguen ehdon vull (ei todistet): Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmitllinen. Joukon A R nollmitllisuus trkoitt, että kikill ε > 0 on olemss jono sellisi voimi välejä I j, j =, 2,..., että A I j j= j l(i j ) < ε. j= Esimerkiksi Q on nollmitllinen, mutt R \ Q ei ole. 2.2.5 Integrlit keskirvoin Äärellisen monen pisteen x, x 2,..., x n ritmeettinen keskirvo on x + x 2 + + x n n Jos hlutn lske funktion f keskirvo välillä [, b], on luonnollist lske ensin f:n rvojen keskirvo äärellisen moness pisteessä, k = f(x ) + f(x 2 ) + + f(x n ), n j nt sitten pisteiden määrän n ksv rjtt (n ). Kun väli [, b] jetn tsvälein, jkopisteinä x 0,x, x 2,..., x n, niin j f(x ) + f(x 2 ) + + f(x n ) n x j x j = b n = b n j=. f(x j )(x j x j ) n f(x) dx, b kunhn f on Riemnn-integroituv (Riemnnin summt!). Toisin snoen, f:n äärellisen monen pisteen rvojen keskirvo lähestyy kohti rvo µ = f(x) dx f(x) dx = b dx =: f(x) dx, 33
jot kutsutn f:n keskirvoksi välillä [, b]. Jtkuv funktio s keskirvons välillä [, b]: IVAL 2.3. Luse. (Integrlilskennn välirvoluse (lyh. IVAL, engl. men vlue thm) Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle suorkide (2.) f(x) dx = f(ξ)(b ). Todistus: Olkoon m = min f j M = mxf, jolloin joten m(b ) m µ := f dx M(b ), f M. Kosk f s rvot m j M, niin Bolznon luseen nojll f s myös niiden välissä olevn rvon µ, ts. on olemss ξ [, b], jolle f(ξ) = f(x) dx. b 2.32. Huomutus. Välirvoluseen 2.3 kvss (2.) voi oll myös b ξ. Integrlilskennn välirvoluseest on myös pinotettujen keskirvojen muoto: pinoka 2.33. Luse. Olkoot f j p Riemnn-integroituvi j p 0. Tällöin m p dx fp dx M p dx, 34
missä m = inf f j M = sup f, ts. f:n pinotettu keskirvo µ = fp dx p dx on f:n supremumin j infimumin välissä. (mikäli p > 0) Todistus: Kosk mp fp Mp, niin m p = mp fp Mp = M p. Kosk Bolznon luseen mukn jtkuv funktio svutt kikki rvot suurimmn j pienimmän rvons välistä, sdn yl.ival 2.34. Luse. (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse) Olkoon f jtkuv j p ei-negtiivinen j Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss ξ [, b], jolle fp dx = f(ξ) p dx. 2.2.6 Integrli ylärjns funktion Seurvksi määrittelemme integrlin ylärjns funktion eli setmme ylärjksi vkion sijn muuttujn x. 2.35. Määritelmä. (integrlifunktio) Olkoon f : [, b] R Riemnnintegroituv. Funktio F : [, b] R on f:n (eräs) integrlifunktio, jos on olemss α [, b], jolle F(x) = x α f(y) dy kikill x [, b]. Seurvss luvuss todistmme Anlyysin perusluseen. Tämän jälkeen ljennmme integrlifunktion käsitettä siten, että myös F + vkio on in integrlifunktio, jos F on. 35
2.36. Huomutus. Vihtmll lrj α α sdn uusi integrlifunktio. 2.37. Huomutus. Määrätty integrli (eli Riemnnin integrli) sdn integrlifunktiost: jos F on f:n integrlifunktio, niin f(y) dy = α f(y) dy + f(y) dy α = f(y) dy + f(y) dy = F() + F(b) =: α / b F(y) =: F(b) F(). α 2.38. Huomutus. Kksi f:n integrlifunktiot erovt toisistn vkioll: x x x α f(y) dy f(y) dy = f(y) dy + f(y) dy α α α x α = f(y) dy = vkio kikill x [, b]. α 2.39. Luse. Olkoon f : [, b] R Riemnn-integroituv. Tällöin f:n integrli- funktio on jtkuv. intfkt Todistus: Kikill x, y [, b] F(x) F(y) = = = x α x α x y f(t) dt f(t) dt + f(t) dt y α α y x sup f x y < ε, y f(t) dt f(t) dt f(t) dt 36
kun x y < ε sup f + := δ. (Erityisesti F on Lipschitz-jtkuv.) 2.40. Huomutus. Ei-negtiivisen integroituvn funktion integrlifunktio on ksvv. Vstvsti ei-positiivisen integroituvn funktion integrlifunktio on vähenevä. 2.2.7 Logritmin määrittely integrlin vull Anlyysi -kurssill määrittelimme logritmifunktion eksponenttifunktion käänteisfunktion, eksponenttifunktio määriteltiin puolestn rjprosessin vull. Nyt näytämme, että logritmi voitisiin yhtä hyvin määritellä integrlin vull (j edelleen sen käänteisfunktion eksponenttifunktio). Vihtoehtoisesti ll olevn voi käsittää funktion integrlifunktion määräämiseksi. x Olkoon x > 0. Merkitään :n integrlifunktiot z f(x) = x z dz. Kosk on rjoitettu j jtkuv kikill väleillä [, b], kun, b > 0, niin integrli z on hyvin määritelty. Osoitmme, että f(x) = log x. Integrlifunktion ominisuuksien perusteell f :]0, [ R on ksvv j jtkuv. Edelleen, f() = 0, f(x) < 0, kun 0 < x < j f(x) > 0, kun x >. 2.4. Luse. Integrlifunktiolle f : ]0, [ R, f(x) = x z dz, x > 0, pätee f(xy) = f(x) + f(y) kikill x, y > 0. 37
Todistus: Olkoon ensin x >. Tällöin yhteenlskuluse f(xy) f(y) = f(x) on ekvivlentti lusekkeen xy y z dz = x s ds knss (missä selvyyden vuoksi nimettiin integroimismuuttuj uudelleen). Näiden lusekkeiden yhtäsuuruus nähdään helposti Riemnnin summn vull. Jetn väli [, x] n yhtäsuureen osväliin, jkopisteinä = x 0, x, x 2,..., x n = x, jolloin x ds = lim s n n j= s j (x j x j ) = lim n n j= s j x n, missä s j ]x j, x j [ on mielivltinen. Nyt pisteet y = yx 0, yx, yx 2,...,yx n = yx muodostvt välin [y, yx] jon j ys j ]yx j, yx j [, joten xy y z dz = lim n = lim n = x n j= n j= s ds. ys j (yx j yx j ) x s j n Väite on siten todistettu, kun x >. Jos x =, niin f(x) = 0, joten f(xy) = f(y) = f(x) + f(y). Tpus 0 < x < sdn käsiteltyä, kun hvitn, että tällöin x ollen f(x) + f(y) = f(x) + f( x xy) >. Näin = f(x) + f( x ) + f(xy) = f(x x ) + f(xy) = f() + f(xy) = f(xy). 38
Nyt induktioll nähdään, että j edelleen kikill n N j x > 0 f(x n ) = nf(x) kikill n N j x > 0, f(x n ) = f(( x )n ) = nf( x ) = n (f(x x ) ) f(x) = n (f() f(x)) = nf(x). Siten rtionlisill q = n m pätee qf(x) (2.2) f(x q ) = m f((xq ) m ) = m f(xn ) = n f(x) = qf(x). m Plutetn mieleen, että e = lim n ( + n )n, joten integrlifunktion jtkuvuuden nojll f(e) = f( lim n ( + n )n ) = lim n f(( + n )n ) = lim n nf( + n ). Edelleen integrlilskennn välirvoluseen 2.3 nojll missä ξ + n. Siten + f( + n ) = n s ds = ξ n, f(e) = lim n nf( + n ) =. Nyt kvn (2.2) nojll smme kikill rtionlisill q joten f:n jtkuvuuden nojll f(e q ) = qf(e) = q, f(e y ) = y kikill y R. Näin olemme osoittneet, että f on eksponenttifunktion käänteisfunktio eli x log x = f(x) = ds kikill x > 0. s 39
3. Derivtt j integrli nlyysin perusluse Kouluss opeteltiin integrli derivtn vull: integrli stiin suorittmll derivoinnille käänteinen opertio, ts. miettimällä, mikä nnettu luseke oli ennen kuin se tuli derivoiduksi. Tämän luvun trkoitus on perustell tämä näkökoht täsmällisesti j osoitt, että tietyin edellytyksin integrli on juuri tällinen ntiderivtt. Tutkitn luksi derivoinnin j integroinnin välistä yhteyttä. 3.. Integrlin derivtt Plutetn mieleen, että integroituvn funktion f integrlifunktio on muoto olev funktio. x F(x) = f(t) dt α 3.. Luse. (Anlyysin perusluse (os )) Olkoon f : [, b] R Riemnn- integroituv. Jos f on jtkuv pisteessä x 0 ], b[, niin f:n integrlifunktio F, perus F(x) = on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). x α f(t) dt, Todistus: Väite seur integrlilskennn välirvoluseen 2.3 todistuksest: jokisell h > 0 sdn rviot F(x 0 + h) F(x 0 ) = x 0 +h x 0 f(t) dt { h sup{f(x) x [x 0, x 0 + h]} h inf{f(x) x [x 0, x 0 + h]}, joten F(x 0 + h) F(x 0 ) h { sup{f(x) x [x 0, x 0 + h]} f(x 0 ) inf{f(x) x [x 0, x 0 + h]} f(x 0 ), 40
kun h 0, kosk f on jtkuvuv pisteessä x 0. Smoin negtiivisille h:n rvoille. Siis F on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). 3.2. Huomutus. Perusluseen 3. mukn derivointi siis plutt jtkuvn funktion integrlin tkisin lkuperäiseksi funktioksi, mikä voidn kirjoitt ll olevn seurusluseen muotoon. 3.3. Seurus. Olkoon f jtkuv funktio. Tällöin d x f(t) dt = f(x). dx α 3.4. Esimerkki. Perusluseen 3. nojll voidn lske eräiden funktioiden derivttoj. Kosk log x = niin logritmifunktio on derivoituv j x t dt, d log x dx = x. Edelleen, kosk -kntiselle logritmille log x pätee log x = log x log, niin derivoinnin linerisuudest ((f + g) = f + g, (cf) = cf ) seur, että d log x dx = x log. 4
Lopuksi, kosk e x = x e t dt +, eksponenttifunktio on derivoituv j perusluseen nojll 0 d e x dx = d x e t dt + d dx dx = ex. 0 3.2. Primitiivi (ntiderivtt) j integrli Trkstelln seurv ongelm: Olkoon f nnettu. Määritä sellinen funktio F, jolle F (x) = f(x) kikill x. Tvoitteen on siis suoritt eräänlinen käänteinen derivointiprosessi. Anlyysin perusluseen 3. ensimmäinen muoto tk, että jtkuvn funktion f integrlifunktio trjo in rtkisu tälle ongelmlle. 3.5. Määritelmä. (primitiivi, ntiderivtt) Funktion f : ], b[ R primitiivi ti ntiderivtt on sellinen funktio F : ], b[ R, jolle F (x) = f(x) kikill x ], b[. 3.6. Huomutus. Primitiivi (ntiderivtt) on määritelmän mukn derivoituv. Primitiivi ei ole yksikäsitteinen. Usein kirjllisuudess kutsutn mitä hyvänsä primitiivifunktiot f:n integrlifunktioksi. Tällä kurssill integrlifunktio-nimitys on (toistiseksi) vrttu niille funktiolle, jotk sdn funktiost f eksplisiittisesti integroimll. Myöhemmin Luseen 3.0 jälkeen ljennmme integrlifunktion käsitettä niin, että myös F + vkio on in integrlifunktio, jos F on integrlifunktio. Anlyysin perusluseen 3. nojll siis: 3.7. Seurus. Jtkuvn funktion f jokinen integrlifunktio on f:n primitiivi. 42
Näin ei sd kuitenkn kikki primitiivejä. 3.8. Esimerkki. Kosk d (sin x+7) = cosx, niin F(x) = sin x+7 on funktion cosx dx primitiivi. Tätä ei kuitenkn sd suorn funktiot cos x integroimll, kosk cos xdx π < 7 = F(0). Määritelmän j edellisen seurusluseen nojll f:n primitiivifunktiot erovt toisistn korkeintn vkioll. perus2 3.9. Luse. (Anlyysin perusluse (os 2)) Jos F j F 2 ovt smn funktion f primitiivejä, niin on olemss vkio c, jolle F (x) = F 2 (x) + c kikill x. Kääntäen, jos F on eräs f:n primitiivi, niin jokinen muoto F(x) = F (x) + c (c vkio) olev funktio on myös f:n primitiivi. Yhdistämällä perusluseen molemmt ost sdn: perus 3.0. Luse. (Anlyysin perusluse) Olkoon f : I R jtkuv, missä I R on voin väli. Tällöin jokinen f:n primitiivi F on muoto x primitiivi (3.) F(x) = c + missä c R j I ovt vkioit. f(t) dt, Kääntäen, mikä hyvänsä muoto (3.) olev funktio F on f:n primitiivi. 3.. Esimerkki. Oletus f:n jtkuvuudest on oleellinen: olkoon F funktion f, f(x) = {, kun x 0 0, kun x < 0, 43
integrlifunktio F(x) = x 0 f(t) dt = { x, kun x 0 0, kun x < 0. Kuitenkn F ei ole primitiivi, sillä se ei ole derivoituv pisteessä x = 0. 3.2. Huomutus. Nyt voimme huolett kutsu mitä hyvänsä jtkuvn funktion f primitiiviä integrlifunktioksi, ts. tästä lähtien funktion f integrlifunktio on mikä hyvänsä muoto F(x) = c + x f(t) dt olev funktio. Siten jtkuvn funktion f tpuksess smt funktiot ovt sekä primitiivejä että integrlifunktioit. Usein käytetään hiemn sekv merkintää F(x) = f(x) dx, joll trkoitetn, että F on f:n primitiivi eli F (x) = f(x). Tällä merkinnällä voidn trkoitt myös sitä, että F(x) = c + x f(t) dt sopivill vkioill j c. Jtkuvn funktion f tpuksess molemmt tulkinnt johtvt smn. Näin ei kuitenkn käy kikille funktioille. Anlyysin perusluseest seur, että määrättyjä integrlej voidn lske primitiivien vull: int.lsku 3.3. Luse. Olkoon F jtkuvn funktion f : [, b] R primitiivi. Tällöin f(x) dx = / b F(x) = F(b) F(). 44
Todistus: Kosk F (x) = f(x), niin nlyysin perusluseen nojll F(b) F() = c + F (x) dx (c + F (x) dx) = f(x) dx. 3.4. Huomutus. Jos integrndi f on ploittin jtkuv, voidn Lusett 3.3 sovelt jkmll integrointiväli osväleihin, joiss f on jtkuv. Jos esimerkiksi {, kun x 0 f(x) =, kun x < 0, niin f(x) dx = / 0 ( x) + / 0 x = + = 0. 3.5. Huomutus. Lusett 3.3 voidn käyttää myös seurvss muodoss: Jos f on jtkuvsti derivoituv, niin x f(x) = f(x 0 ) + f (t) dt. x 0 3.6. Esimerkki. Usein funktioit on helpompi derivoid kuin lske integrlej ossummien vull. Voimme esimerkiksi helposti lske x n x n 0 = x n + x n 2 x 0 + + xx0 n 2 + x0 n x x 0 nx0 n, kun x x 0, joten d dx xn = nx n. 45
Integroimll sdn ti merkitsemällä m = n, nx n dx = / b x n = b n n, kun m N. Myös derivointikvt x m dx = m + (bm+ m+ ), d sin x dx = cos x j d cos x dx = sin x oli helppo joht (Anlyysi ), sillä niissä trvittiin vin trigonometristen funktioiden yhteenlskukvoj j tieto, että Näistä sdn edelleen integrointikvt sin h lim h 0 h =. j cosxdx = sin xdx = / b / b sin x = sin b sin ( cos x) = cos cos b. Lisää vstvll tvll stvi integrointikvoj tulukoidn myöhemmin pykälässä 4.. 46
4. Integrointitekniikk Anlyysi -kurssill tutustuimme lkeisfunktioihin, joit ovt polynomit j rtionlifunktiot, trigonometriset funktiot, potenssifunktiot, eksponenttifunktiot j näiden käänteisfunktiot. Monet funktiot voidn muodost lkeisfunktioist toistmll rtionliopertioit (yhteen-, kerto- j jkolsku), funktioiden yhdistelyjä sekä käänteisfunktioiden muodostmisi. Tällisi funktioit kutsutn eksplisiittisiksi ti niiden snotn olevn suljetuss muodoss. Differentililskennst opitun vull totemme helposti, että suljettu muoto olevt funktiot ovt määrittelyjoukoissn derivoituvi j niiden derivttkin ovt suljettu muoto. Integrointi on kuitenkin yleensä tärkeämpää (j vlitettvsti vikempkin) kuin derivointi. Anlyysin perusluseen vull voidn käsitellä lukuis joukko integrointiongelmi: Jokist derivointikv F (x) = f(x), missä f on jtkuv, vst ekvivlentisti kv f:n primitiiveille ti integrlifunktioille f = F(x), trkemmin x f(t) dt = F(x) + vkio. α Näin sdn tulukoiduksi eksplisiittisten funktioiden integrlifunktiot suljetuss muodoss (ks. tulukko 4.). Kuitenkin lisäksi on olemss vrttomn näköisiä funktioit, joit ei void integroid suljetuss muodoss. Voidn todist, että esimerkiksi integrlifunktioit e x dx j x dx ( x2 )( k 2 x 2 ), k 0 ei void esittää lkeisfunktioiden vull, niin yksinkertisilt kuin nämä integrlit näyttävätkin. Onneksi on olemss tekniikoit, joill monet integrointiongelmt voidn plutt jonkun tulukoidun lkeisfunktion integroinniksi. Tässä luvuss trkstelemme näitä tekniikoit. Vrsinisi tekniikoit on kksi: sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto j osittisintegrointi. Muut ovt lähinnä yksittäistpuksiin sopivi temppuj. On syytä vielä korost, että jtkuvll funktioll on in olemss integrlifunktio (Luse 2.0), vikk sitä ei voitisiinkn esittää suljetuss muodoss. 47
tulukko 4.. Derivointikvoist stuj integrointikvoj f(x) = F (x) F(x) (+c) väli x x+ ( ) + log x ], 0[ ti ]0, [ x e x x sin x cos x e x x ( > 0, ) log cosx sin x tn x log cosx ] π + nπ, π + (n + )π[ 2 2 cotx log sinx ]nπ, n + π[ sin 2 x cos 2 x sinh x cosh x x 2 + x 2 + x 2 cot x tnx cosh x sinh x { rcsin x rccosx { rctn x rccot x r sinh x = log(x + + x 2 ) ]nπ, (n + )π[ ] π + nπ, π + (n + )π[ 2 2 ], [ ± x 2 r coshx = log(x ± x 2 ) ], [ ti ], [ r tnhx = +x log x 2 2 x ], [ r cothx = +x log x 2 2 x ], [ ti ], [ 48
4.2. Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto Sijoitusmenetelmä pohjutuu yhdistetyn funktion derivoinnin ketjusääntöön: Jos G = F ϕ j jos sekä F että ϕ ovt jtkuvsti derivoituvi, niin d dt G(t) = d dt F ϕ(t) = F (ϕ(t))ϕ (t). Nyt siis derivtt G (t) on jtkuv, joten integroimll edellinen kv välillä [ α, β ] sdn nlyysin perusluseen 3.0 nojll G(β) G(α) = F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ) = β α F (ϕ(t))ϕ (t) dt. Jos merkitään = ϕ(α) j b = ϕ(β), sdn edelleen F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ) = F(b) F() = Sijoittmll tähän f(x) = F (x) smme perussijoituskvn F (x) dx. sijoitus (4.) β f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, α x = ϕ(t), ϕ(α) =, ϕ(β) = b, mikä kirjoitettun differentilin dϕ = ϕ (t) dt vull muuntuu muotoon f(x) dx = f(ϕ) dϕ. 4.. Huomutus. Huomthn, että kvss (4.) funktio ϕ s oll mikä hyvänsä välillä J (jonk päätepisteet ovt α j β) jtkuvsti derivoituv funktio, jolle ϕ(α) =, ϕ(β) = b. Edelleen funktion f tulee oll jtkuv välillä I, jok sisältää kuvjoukon ϕ(j) (edelleen F s oll mikä thns f:n primitiivi). 49
4.2. Esimerkki. Sovelletn muuttujnvihtokv (4.) integrndiin f(x) = x j oletetn, että sijoitus x = ϕ(t) 0 kikill t ko. välillä. Tällöin ϕ (t) dx ϕ(t) dt = x = log x = log ϕ(t). Soveltmll tätä kv funktioihin ϕ(x) = log x, ϕ(x) = sin x j ϕ(x) = cosx sdn kvt dx = log log x, x log x cot xdx = log sin x, tn xdx = log cosx. Kvt voi helposti trkist derivoimll. Muist tehty oletus, että ko. välillä integrndin nimittäjä ei häviä! Lisää esimerkkejä sdn sijoittmll eri funktioit x = ϕ(t) seurvn kvn (n Z, n ) (ϕ(t)) n ϕ (t) dt = x n dx = xn+ n + = (ϕ(t))n+, n + missä vlitsemll ϕ(t) = log t j ϕ(t) = sin t sdn (log t) n dt = t (log t)n+ n + j sin n t costdt = sinn+ t n +. Moniss sovellutuksiss määrättävä integrli on muoto h (ϕ(t)) dt, missä integrndist puuttuu termi ϕ (t). Tällöin pyrimme kirjoittmn integrndin muotoon h ( ϕ(t) ) = f ( ϕ(t) ) ϕ (t). Tämä onnistuu in, jos tiedämme, että derivtt ϕ ei häviä. Tällöin nimittäin kuvus x = ϕ(t) on idosti monotoninen, joten sillä on myös jtkuvsti derivoituv käänteiskuvus t = ψ(x) j dt dx = ψ (x) = ϕ (t). 50
Nyt jos määritellään sdn f(x) = h(x)ψ (x), h ( ϕ(t) ) = f( ϕ(t) ) ψ ( ϕ(t) ) = f( ϕ(t) ) ϕ (t), joten sijoituskv s muodon h ( ϕ(t) ) dt = = f ( ϕ(t) ) ϕ (t) = h(x)ψ (x) dx = f(x) dx h(x) dt dx dx, missä on muistettv oletus ϕ (t) 0, jok tk sen, että ψ on derivoituv. Muistisäännönomisesti sijoituskv/muuttujnvihtokv (4.) voidn siis kirjoitt (kun muuttujnvihto u(x) on idosti monotoninen) seurvsti: f(u(x)) dx = β α f(u) du, missä α = u(), β = u(b) j du = du dx dx. 4.3. Esimerkki. Tehdään muuttujnvihto t = 2x integrliss sin 2xdx. Sdn (dt = 2dx) sin 2xdx = 2 sin t dt = 2 cost = cos 2x 2 j määrätty integrli π 4 0 sin 2xdx = 2 π 2 0 / π 2 sin t dt = 0 2 cost = 2. 5
Trkstelln funktion sin integrli muuttujnvihdon t = x x x 2 dx ti dx = t 2 dt, joten vull: dt = 2 sin x dx = 2 sin t 2 dt = t 2 sin t t 2 dt, minkä lopullinen integrointi tuott (inkin vielä) tusk. Todistetn seurvksi muuttujnvihtokvn hyödyllisin erikoistpus suorn Riemnnin summien vull käyttämättä ketjusääntöä todistus toimii luonnollisesti inostn Riemnn-integroituville funktioille. 4.4. Luse. (muuttujnvihto/sijoitus) Olkoon f : [, b ] R Riemnn-integroi- tuv j x : [ α, β ] [, b ] jtkuvsti derivoituv siten, että x (t) 0 kikill t. Tällöin muutt.vihto x(β) β f(x) dx = f ( x(t) ) x (t) dt. x(α) α Todistus: Oletetn, että x (t) > 0 kikill t, jolloin x on idosti ksvv. Voidn myös olett että x(α) = j x(β) = b. Jetn väli [ α, β ] osväleihin (n kpl), jkopisteinä α = t 0, t, t 2,...,t n = β, jolloin kuvt = x 0 = x(t 0 ), x = x(t ), x 2 = x(t 2 ),...,x n = x(t n ) = b muodostvt välin [, b ] jon, j kääntäen. 52
x b=x 8 x 7 x 6 x 5 x( τ) x 4 x 3 x 2 x =x 0 τ α=τ 0 τ τ 2 τ 3 τ τ 5 τ 6 τ 7 β=τ 8 Tällöin vsemmll olev integrli on Riemnnin summn n f(ν k )(x k x k ) k= rj-rvo, missä luku ν k [ x k, x k ] on mielivltisesti vlittu. Kirjoitetn tämä summ muodoss n f(ν k ) x k x k (t k t k ). t k t k k= Nyt (differentililskennn) välirvoluseen nojll on olemss ξ k ]t k, t k [, jolle x k x k t k t k = x (ξ k ). Siten n f(ν k )(x k x k ) = k= n f(ν k )x (ξ k )(t k t k ), k= jost vlitsemll ν k = x(ξ k ) sdn n f(ν k )(x k x k ) = k= n f(x(ξ k ))x (ξ k )(t k t k ), k= 53
mistä rj-rvoin sdn hlutut integrlit eli β f(x) dx = f ( x(t) ) x (t) dt. α 4.5. Esimerkki. (Integrointikvoj). Määrätään integrli dx 2 x 2 ( 0) sijoituksen x = x(t) = t vull, jolloin dt = dx dx 2 x = 2 dt 2 (t) = 2 j siten (jos > 0) = rcsin t = rcsin x, kun x <, dt t 2 mikä on voimss myös, kun < 0. Huom, että negtiivisell :ll sijoitus on vähenevä, jolloin integrlifunktion rjt vihtuvt iheutten ylimääräisen miinusmerkin. Smll sijoituksell sdn myös dx 2 + x = 2 dt 2 + (t) = 2 = rctnt = rctn x, dt + t 2 dx 2 + x 2 = r sinh x, dx x2 = r cosh x, kun x >, 2 j dx 2 x 2 = { r tnh x, kun x <,, kun x >. 54
2. Sijoituksell t = + x 2, jost dt = 2xdx, sdn j xdx = 2 dt = t = + x 2 + x 2 t xdx + x = dt 2 2 t Sijoituksell t = x 2 sdn smn tpn j = 2 log t = 2 log( + x2 ). xdx x 2 = x 2 xdx x 2 = 2 log x2. 3. Sijoituksell t = x + b, jost dt = dx, kun 0, sdn (α ) j dx x + b = dt t (x + b) α dx = sin(x + b) dx = = log t = t α dt = (α + ) tα+ = log x + b, sin t dt = cos(x + b). (x + b)α+ (α + ) 4. Edelleen sijoituksell t = cos x, jost dt = sin x dx, sdn tnxdx = log cosx j sijoituksell t = sin x cot xdx = log sin x. 5. Etsitään integrlifunktio Ensiksi kirjoitetn dx sin x. sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 tn x 2 cos2 x 2, 55
jolloin sijoituksell sdn t = tn x 2, dt = 2 dx cos 2 x 2 dx dt sin x = t = log t = log tn x 2. 4.3. Osittisintegrointi Jos f j g ovt jtkuvsti derivoituvi, niin tulon derivointikv (fg) = f g + fg voidn kirjoitt myös integrointikvn f(x)g(x) = f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx ti f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx, lyhyemmin f dg = fg gdf, mitä kutsutn osittisintegrointikvksi. os.int 4.6. Luse. (osittisintegrointi) i) Olkoot f j g jtkuvsti derivoituvi. Tällöin fg = fg f g. ii) Olkoot f j g derivoituvi j f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b ]. Tällöin fg dx = / b f(x)g(x) f g dx. 56
Todistus: Koht i) todistettiin yllä. Koht ii) seur smn tpn tulon derivointikvst, sillä derivtt (fg) = f g + fg on Riemnn-integroituv, jolloin (hrjoitustehtävä) / b f(x)g(x) = (fg) = f g + fg. 4.7. Esimerkki. Ensiksi log xdx = log xdx = x log x x dx = x log x x, x mikä on helppo trkist derivoimll. Edelleen xe x dx = xe x e x dx = e x (x ). Smoin osittisintegroimll x sin xdx = x cos x + sin x j x cosxdx = x sin x + cos x. Joskus osittisintegroinnill päädytään plutuskvn: e x sin bxdx = b ex cos bx + e x cosbxdx b = b ex cos bx + sin bx 2 b 2ex b 2 e x sin bxdx, joten e x sin bxdx = = b2 ( 2 + b 2 b ex cos bx + sin bx ) b 2ex 2 + b 2ex( sin bx b cosbx ). 57
4.8. Esimerkki. Tässä esimerkissä johdmme lusekkeen summlle f(b) + f(), kun perusluseen kvss on luseke erotukselle f(b) f(). Jos f on jtkuvsti derivoituv, niin osittisintegroimll f(x) dx + f (x)(x m) dx = / b f(x)(x m) = f(b)(b m) f()( m), missä m on mielivltinen vkio. Vlitsemll vkioksi keskirvo m = +b 2 sdn f(x) dx + f (x)(x m) dx = f(b)( b 2 2 ) f()( 2 b 2 ) = b (f() + f(b)). 2 4.9. Esimerkki. (Plutuskvoj (rekursio)) Toistuv osittisintegrointi 2 joht usein plutuskvoihin. Esimerkiksi integrlit cos n xdx, sin m xdx j sin m x cos n xdx ovt tällisi. Osittisintegroimll cos n xdx = cos n x sin x + (n ) = cos n x sin x + (n ) cos n 2 x sin 2 xdx cos n 2 xdx (n ) cos n xdx, jok nt plutuskvn cos n xdx = n cosn x sin x + n n cos n 2 xdx. Tällä kvll voidn integrndin potenssi pudott skel skeleelt kunnes päädytään integrleihin cosxdx = sin x ti dx = x. 2 Toistmiseen osittisintegroitess on vrottv, ettei vihd f:n j g:n roolej: f g = / b fg mikä ei tuo rtkisu ongelmn. fg = / b fg ( fg f g) = / b f g, 58
Esimerkiksi, kun n = 2 cos 2 xdx = 2 cosxsin x + 2 dx = (x + cosxsin x). 2 Vstvll tvll sdn plutuskv sin n xdx = n sinn x cos x + n n sin n 2 xdx. Jälkimmäisestä plutuskvst sdn husk yhteys kokonislukujen j π:n välille: Hvitn, että kikill n > joten kikill m π 2 0 sin n xdx = n n π 2 0 sin n 2 xdx, mistä j π 2 0 j π 2 0 sin 2m xdx = 2m 2m 2m 3 2m 2 2 sin 2m+ xdx = π 2 0 π 2 Jkmll nämä sdn 0 π 2 2m 2m + 2m 2 2m 2 3 0 dx π 2 sin 2m xdx = 2m 2m 2m 3 2m 2 2 π 2 sin 2m+ xdx = 2m 2m + 2m 2 2m... 2 3. π 2 = 2 2 3 4 4 3 5 6 6 5 7 2m 2m (2m ) (2m + ) 0 sin xdx, π 2 0 π 2 0 sin 2m xdx sin 2m+ xdx. 59