Luento 5. Diskreetti Fourier muunnos (DFT)

Lueto 5 Disreetti Fourier-muuos opea Fourier-muuos (FFT) 5..7 Disreetti Fourier muuos (DFT) Tarastellaa disreettiäsevessiä{v,v,,v - } Esim. äytteistetty sigaali v =v(t), T äyteväli Disreetti Fourier-muuos (DFT) iπ V( ) = ve = Kääteismuuos (IDFT) iπ v = V( ) e = 5..7

Parsevali teoreema v = V( ) = = DFT: omiaisuusia Todistus * * i π v = v v = v V( ) e = = = = = = = iπ * * V( ) v e V( ) V ( ) V( ) = = = = v = V( ) e = iπ 5..7 3 DFT: omiaisuusia DFT o jasollie, jaso pituus o : i π ( ) + i i i π π π = = = V( + ) = v e = e v e = v e = V( ) Huomataa, että V() =4 jote V()=V() 5..7 4

DFT: omiaisuusia Jos {v } o reaalie, ii ( iπ ( ) ) = = * ( ) = V v e V v Jasollisuudesta seuraa * V = V + * V( l) = V ( l), l = V( + ) = V( ) = + = + + V * * V V V * = + Re{V()} Im{V()} 5..7 5 DFT: omiaisuusia Tarastellaa disreettiä jasollista sevessiä v+ = v v = = =3 = = = = =3 v - = = = = = = =3 =3 v - = = = = = = =3 =3 5..7 6 3

DFT: omiaisuusia Jasollise sevessi DFT voidaa lasea miä tahasa perääise äyttee yli + m = m Todistus iπ ve = V( ) + m m m+ iπ iπ iπ iπ ve = ve m + vm+ e + v e +... = m + + m i π i π i π iπ + v e + v + e +... + v + me = ve m v v iπ v = m iπ e e v v iπ + = e =, 5..7 7 Origo siirto D { ( )} DFT: omiaisuusia i l F V l = v e π Todistus F V l V l e V e iπ l i π ( ' + l) D { ( )} = ( ) = ( ') = ' = l l i π ' iπ l iπ l V( ') e e ve ' = l = = DFT: jasollisuudesta seuraa, että summa miä hyväsä : perättäise äyttee yli ataa sama tulose. + m iπ ve = V( ) = m 5..7 8 4

DFT Tarastella disreeti pulssi DFT:tä Pulssi (=4) v =, v =, v =, v = 3 v DFT ( ) iπ iπ iπ iπ 4 4 = V = v e = e + e = e + e ( i) ( ) = + V () = V() = i V () = + V(3) = i iπ 5..7 9 Disreetti ovoluutio Disreetti jasollie ovoluutio (Circular covolutio) y = h u = hmu m ja se DFT m= { } Y ( ) = F h u = HU ( ) ( ) D Disreetti lieaarie ovoluutio y = h u m m m= Oletetaa, että h =, < > h u =, < > u Kovoluutio pituus tulee olemaa = h + u - 5..7 5

Disreetti ovoluutio Määritellää asi yhtä pitää sevessiä lisäämällä ollia sevessie perää h =,,... h ha, = = h, h +,..., h + u u =,,... u ua, = = u, u +,..., h + u Jasollie ovoluutio: h+ u y = h u a, m a, m m= ja se DFT: 5..7 Disreetti ovoluutio Tarastellaa sigaaleita (äyteväli T=) {h(t)}={,,} h =3 {u(t)}={,,,} u =4 Augmetoidut sigaalit {h(t)}={,,,,,} h + u -=6 {u(t)}={,,,,,} h + u -=6 Kovoluutio h+ u = a, m a, m m= y h u 5..7 6

Esimeri h=[ ]; u=[ ]; ha=[h zeros(,legth(u)-)]; ua=[u zeros(,legth(h)-)]; H=fft(ha); U=fft(ua); Y=H.*U y=ifft(y) plot(:5,y,'o:',:5,ha,'x:',:5,ua,'d:') leged('y','h','u',) 3.5.5.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 y h u TAI y=cov(h,u); 5..7 3 Esimeri Tarastellaa sigaaleita (äyteväli T=) {h(t)}={,e -,e -,e -3,e -4 } h =5 {u(t)}={.5,.5,.75,} u =5 Augmetoidut sigaalit {h(t )}={,e -,e -,e -3,e -4,,,} h + u -=9 {u(t )}={.5,.5,.75,,,,,} h + u -=9 5..7 4 7

Esimeri h=[ exp(-) exp(-) exp(-3) exp(-5)]; u=[.5.5.75 ]; h=legth(h); u=legth(u); =h+u-; ha=[h zeros(,-legth(h))]; ua=[u zeros(,-legth(u))]; H=fft(ha); U=fft(ua); Y=H.*U y=ifft(y) plot(:(-),y,'o:',:(-),ha,'x:',:(-),ua,'d:') leged('y','h','u',).4..8.6.4. y h u -. 3 4 5 6 7 8 5..7 5 opea Fourier-muuos (FFT) Käyttäe DFT: määritelmää =,,,,- harmoise lasemisee tarvitaa omplesia ertolasuoperaatiota ja (-) omplesia yhteelasuoperaatiota V( ) = ve = iπ Jos o suuri, o DFT: lasemie laseallisesti rasasta. DFT: lasemie sisältää redudatteja operaatioita, jote lasetaa sopivasti järjestämällä voidaa lasetauormaa pieetää. Tähä perustuu opea Fourier-muuos (FFT, Fast Fourier Trasform) 5..7 6 8

opea Fourier-muuos (FFT) Määritellää Osoittautuu, että 5..7 7 opea Fourier-muuos (FFT) Operaattori W avulla DFT-voidaa irjoittaa muotoo V( ) = vw = Oletetaa, että o parito ooaisluu ( + ) + = = V( ) = v W + v W Parillie sevessi Parito sevessi 5..7 8 9

opea Fourier-muuos (FFT) yt DFT voidaa irjoittaa muotoo + = = V( ) = v W + W v W (-)/ poit DFT (-)/ poit DFT Jote, voimme rataista pistee DFT: laemalla asi / pistee DFT:tä ja summaamalla tuloset Termi W / tarvitsee lasea vai erra ja sitä voidaa äyttää seä parilliste että parittomie symbolie DFT:ssä. Samalla tavalla / pistee DFT voidaa jaaa edellee ahdesi /4 pistee DFT:si, jota puolestaa voidaa jaaa /8 DFT:si je. 5..7 9 =4 4 = opea Fourier-muuos (FFT) iπ iπ 4 W = e = e iπ W = e = e iπ =4 W = = W 4 Im i W W 4 -i Im i = W 3 4 4 - W = W Re 4 - Re W W 5..7 -i

opea Fourier-muuos (FFT) =4 =4 pistee sevessi Jaetaa sevessi parillisii ja parittomii { vv,, v, v3} { vv, } { vv, 3} v v v v3 V( ) = V ( ) = V ( ) + W V ( ), =,,,3 4 V ( ) = v + W v V ( ) = v + W v 3 5..7 opea Fourier-muuos (FFT) =4 Esimmäie vaihe: Kasi pistee DFT:tä V ( ) = v + W v V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v Perhos-operaattori (butterfly operator) v v v + v v v V ( ) = v + W v 3 V () = v + W v = v + v 3 3 V () = v + W v = v v 3 3 v v 3 v + v 3 v v 3 5..7

opea Fourier-muuos (FFT) =4. vaihe V( ) = V( ) = V( ) + W4V( ) V() = V() + W4 V() = V() + V() V() = V() + W4V() = V() iv() V() = V() + W4V() = V() V() = V() V() 3 V(3) = V (3) + W V (3) = V (3) + iv (3) = V () + iv () 4 V( + ) = V( ). vaihee DFT:ssä = 5..7 3 opea Fourier-muuos (FFT) =4 =4 DFT: v V () = v + v V() = V () + W V () 4 v v V () = v v V () = v + v 3 W4 = i V() = V () + W V () 4 V() = V () W V () 4 v 3 V () = v v 3 W4 = i V(3) = V () W V () 4 5..7 4

opea Fourier-muuos (FFT) =8 =8 W = e iπ =8 ( ) 5 W 8 Im ( W ) 6 8 ( ) 7 W 8 ( ) 4 W 8 ( ) W 8 Re ( ) 3 W 8 ( ) W 8 ( ) W 8 5..7 5 opea Fourier-muuos (FFT) =8 =8 pistee sevessi =8 pistee DFT V( ) = V ( ) = V ( ) + W V ( ) 8 V ( ) = V ( ) + W V ( ) V( ) = V3( ) + W4 V4 ( ) 4 V( ) = v + W v4 V( ) = v + W v 6 V ( ) = v + W v V3( ) = v + W v5 4 3 7 5..7 6 3

opea Fourier-muuos (FFT) =8 Esimmäie vaihe 8 pistee DFT:stä V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 4 4 4 4 V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 6 6 6 6 V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 3 5 5 3 5 5 V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 4 3 7 3 7 4 3 7 3 7 W =,3,... = exp( iπ ) = =,,... Perhosoperaattori (butterfly operator) 5..7 7 opea Fourier-muuos (FFT) =8 Perhosoperaattori avulla V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 4 4 4 4 V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 6 6 6 6 V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 3 5 5 3 5 5 V () = v + W v = v + v V () = v + W v = v v 4 3 7 3 7 4 3 7 3 7 5..7 8 4

opea Fourier-muuos (FFT) =8 Toie vaihe 8 pistee DFT:stä V () = V () + W V () = V () + V () 4 π i = + 4 = + = V () V () W V () V () e V () V () iv () V () = V () + W V () = V () + e V () = V () V () = V () V () iπ 4 Huomataa, että V i () o pistee DFT, jote V i (+)=V i () 3 3 i π = + 4 = + = + V (3) V (3) W V (3) V (3) e V (3) V () iv () Kosa, ii V () = V () + W V () 8 V () = V () W V () 8 V () = V () + W V () 8 V (3) = V () W V () 5..7 8 9 opea Fourier-muuos (FFT) =8 Toie vaihe 8 pistee DFT:stä V () = V () + W V () 8 V () = V () + W V () 8 V () = V () W V () 8 V (3) = V () W V () 8 5..7 3 5

opea Fourier-muuos (FFT) =8 Kolmas vaihe 8 pistee DFT:stä V ( ) = V ( ) + W V ( ) 8 V () = V () + W V () 8 V () = V () + W V () 8 V () = V () + W V () 8 V (3) = V (3) + W V (3) 3 8 V (4) = V () W V () 8 V (5) = V () W V () 8 V (6) = V () W V () 8 V (7) = V (3) W V (3) 3 8 5..7 3 opea Fourier-muuos (FFT) =8 8 pistee opea Fourier-muuos V () V () V () V (3) V () V () V () V (3) 5..7 3 6

opea Fourier-muuos (FFT) Laseallie omplesisuus: DFT: O( ) 7 FFT: O(log()) 6 5 Complexity 4 3 DFT FFT 3 4 5 6 7 8 9 5..7 33 opea ääteismuuos: IFFT Kääteismuuos voidaa irjoittaa muotoo ( + ) v = V( ) W V( ) W V( ) W = + + = = = = V( ) W + W V(+ ) W = = / pistee IDFT Eli, ute FFT: tapausessa, myös IFFT: tapausessa tehtävä voidaa jaaa osii. IFFT eroaa FFT:stä aioastaa espoeti meri ja saalausteijä / osalta. 5..7 34 7

Fourier-muuose umeerie approsimoiti Fourier-muuos Tarastellaa sigaali, joa o määritelty välille [,T ] (Euler itegral) missä =T /T Fourier-muuosta voidaa siis approsimoida DFT:llä: i ft π iπ V( f) T v( T) e = TVD ( ), f = VD ( ) = v( T) e T = = 5..7 35 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Poissoi summaaava ˆ( ) ( ) i π ft V f = T v T e = V f = = T Jos aluperäise sigaali sisältää yquisti rajataajutta (/ /T) suurempia taajuusia, tapahtuu äytteeotossa lasostumista. Tämä vääristää approsimoitua spetriä. V( f) B > T ˆ( ) V f B B 5..7 36 8

Iuoiti ja vuotoilmiö Sigaali ataisu v(t) Aluperäie sigaali T Tarasteluväli v(t) Kataistu sigaali T Tarasteluväli DFT-äee ataistu sigaali periodisea. Jos päätepisteide välillä o suuria eroja sytyy äytteistettyy sigaalii oreita taajuusia 5..7 37 Iuoiti ja vuotoilmiö Suoraaiteemuotoise aiaiua äyttö aiheuttaa DFT: äemää jasollisee sigaalii epäjatuvuusohtia, joita selittämää Fourier-sarjassa tarvittaisii oreita taajuusia. Suoraaide pulssilla ataistu sigaali FFT voi tästä johtue erota suurestii vastaava jatuva sigaali Fourier-muuosesta. Suoraaidemuotoiste iuoide sijaa, äytetää usei iuoita, jota pieetävät tarasteluväli alu ja loppupää äytteide arvoja. 5..7 38 9

Iuoiti ja vuotoilmiö Erilaisia iuoita o määritelty useita:.9.8 Blacma-Harris Hammig Gaussia Ha.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 5..7 39 Hammig iua aia ja taajuustasossa =65;w=hammig();wvtool(w) Time domai 4 Frequecy domai Amplitude.8.6.4 Magitude (db) - -4. -6 3 4 5 6 Samples -8..4.6.8 ormalized Frequecy ( π rad/sample) 5..7 4

Esimeri Kosiisigaali spetritiheys T=.5=.5.5 s(t) S(f) -.5 Sigal.5 Hammig widow - 3 4 5 6 t - -8-6 -4-4 6 8 Frequecy (Hz).5.5 s(t) S(f) -.5.5-3 4 5 6 t - -8-6 -4-4 6 8 Frequecy (Hz) Iuoiti vähetää spetrie lasoistumisesta johtuvaa virhettä. 5..7 4 Fourier-muuose umeerie approsimoiti Taajuusalue äytteeoto jälee sigaali sisältää taajuusia yquisti rajataajuutee saaa DC-ompoetti yquist taajuus =3 3 4 f s /4 f s / -f s /4 f (Hz) 5..7 f 4 / ±f f /

Fourier-muuose umeerie approsimoiti Taajuusresoluutio: FFT: lasemat harmoiset taajuudet ovat äytteeottotaajuus Taajuusresoluutio Zero paddig: Lisäämällä ollia sevessi perää saadaa taajuusresoluutiota asvatettua. Tällöi FFT iterpoloi välitaajuusia aluperäise DFT: määrittämie taajuusie välii. Jos lisätää ollaa, ii taajuusresoluutiosi tulee 5..7 43 Esimeri 5..7 44

Tarastellaa pulssia t vt () = otherwise Valitaa äyteväli T=. Esimeri äytteeottotaajuus f s = Hz ja yquisti rajataajuus f =5 Hz. Taajuusvälisi tulee = äytteellä /*f s =/* Hz= Hz 5..7 45 Esimeri FFT löytää vai pulssi DC-ompoeti =5: f =5 Hz.9.8.7.6 V().5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 Taajuusväli = Hz/= Hz 5..7 46 3

.9.8.7.6 Esimeri Lisätää 9 ollaa sevessi perää V().5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 Taajuusväli = Hz/=. Hz 5..7 47 Example Taajuude futioa saadaa.9.8.7.6 V().5.4.3.. -5-4 -3 - - 3 4 5 f (Hz) 5..7 48 4

Esimeri Kosa pulssi sisälsi myös yquisti rajataajutta suurempia taajuusompoetteja tapahtuu lasostumista 6 x -3 5 4 3 Error - -5-4 -3 - - 3 4 5 f (Hz) 5..7 49 Esimeri tau=; %Pulse width T=.; %Samplig iterval f_s=/t; %Samplig frequecy f_=/*f_s; %yqyist frequecy df=f_s/; %Frequecy spacig =tau/t; %umber of samples v=oes(,); %Sampled sigal V=T*fft(v); %Approximate cotiuous Fourier trasform %Plot spectrum desity figure() plot(:(-),abs(v).^,'*-') xlabel('') ylabel(' V() ^') %Zero paddig z=9; z=zeros(z,); a=+z; va=[v; z];%zero paddig Va=T*fft(va); figure() plot(:(a-),abs(va).^,'*-') xlabel('') ylabel(' V() ^') %Frequecy axis dfa=f_s/a; %frequecy spacig after zero paddig f=-f_:dfa:(f_-dfa); figure(3) plot(f,abs(fftshift(va)).^,'*-') xlabel('f (Hz)') ylabel(' V() ^') %Effect of aliasig figure(4) plot(f,abs(fftshift(va)).^-sic(f').^,'r') xlabel('f (Hz)') ylabel('error') 5..7 5 5

OFDM Lähetetää s appaletta T: pituisia symboleita I riaai taajuustasossa ui omalla aavallaa. Miimoidaa aavie taajuusvälit site, että aavat säilyvät eseää ortogoaalisia. Eli, samaaiaisesti lähetettävät symbolit eivät häiritse toisiaa. I cos ( π f t) c { I } I I s IFFT D/A Re Im D/A c 5..7 5 x x si Σ ( π f t) OFDM OFDM moduloidu sigaali spetri = 8 s.9.8.7.6.5.4.3.. -5 - -5 5 5 5..7 Carrier 5 6

= 4 c s f = 4 Hz 4 3 OFDM OFDM moduloitu sigaali Aliatoaallot - - -3...3.4.5.6.7.8.9 5..7 53 OFDM Vastaaoti perustuu FFT-muuosee cos ( π f t) c x ~ Re A/D I x si ( π f t) c ~ A/D Im FFT I I s { I } 5..7 54 7