. LTY Juha Pyrhönen. SÄHKÖKOEIDE SUUITTELU PERUSTEITA. Sähköagneettiset perusteet Sähköagneettisten iliöiden hallinnan perusyhtälöinä käytetään Maxwellin yhtälöitä. Sähköagneettisten iliöiden kuvaainen on tavallaan helppoa verrattuna oniin uihin tekniikan ja fysiikan aloihin, sillä kenttien yhtälöt voidaan kirjoittaa yhtenä yhtälöryhänä. Perussuureet ovat seuraavat viisi vektoria ja yksi skalaari: sähkökentänvoiakkuus E [V/] agneettikentänvoiakkuus H [A/] sähkövuontiheys D [C/ ] agneettivuontiheys B [Vs/ ], [T] sähkövirrantiheys J [A/ ] sähkövaraustiheys, dq/dv ρ [C/ 3 ] Sähkö- ja agneettikentän oleassaolo voidaan havaita kentän varattuun kappaleeseen tai virralliseen johtieen aiheuttaasta voiasta. Tää voia voidaan laskea pisteäiseen, nopeudella v liikkuvaan varaukseen dq vaikuttavasta voiasta, Lorentzin voiasta, joka saadaan vektoriyhtälöstä dq df dq ( E + v B) dqe + dl B dqe + idl B. (.) Tää vektoriyhtälö on periaatteessa onien sähkökoneiden vääntöoentin laskeisen kannalta perusyhtälö. Varsinkin lausekkeen jälkiäinen osa, joka on kirjoitettu virrallisen (i) dl:n pituisen johdinalkion avulla, on sähkökoneiden väännöuodostuksen kannalta keskeinen. i df dl β B Kuva.. Lorentzin voian havainnollistainen. Lorentzin voia df vaikuttaa johdinpituuteen dl, jossa kulkee virta i. Johdin on agneettivuontiheydessä B. Kula β itataan johtien ja vuontiheysvektorin B väliltä. Vektorisua idl B voidaan kirjoittaa yös uodossa idl B idlbsinβ. Sähköopin uut, alkujaan kokeellisesti löydetyt ja yöhein esitetyt lait voidaan johtaa seuraavista Maxwellin lopullisesti uotoileista peruslaeista. Jotta nää lait olisivat riippuattoia tarkasteltavan alueen uodoista tai sijainnista, esitetään ne differentiaaliyhtälöinä. Tarkasteltavasta kohdasta lähtevä sähkövirta vähentää siinä olevaa varausta. Tää varauksen säilyvyyden laki voidaan kirjoittaa divergenssiyhtälönä
. LTY Juha Pyrhönen ρ J. (.) t Varsinaiset Maxwellin yhtälöt differentiaaliuodossa ovat: B E, t (.3) D H J +, t (.4) D ρ, (.5) B. (.6) Sähkökentän rotaatioyhtälö (.3) on Faradayn induktiolaki, joka kuvaa sitä, iten uuttuva agneettivuo synnyttää sitä kiertävän sähkökentän. Magneettikentänvoiakkuuden rotaatioyhtälö (.4) kuvaa sitä, iten uuttuva sähkövuo ja sähkövirta aiheuttavat niitä kiertävän agneettikentänvoiakkuuden. Tää on Apèren laki. Apèren laista saadaan yös varauksen säilyvyyden laki (.) ottaalla yhtälöstä (.4) divergenssi, sillä roottorin divergenssi on identtisesti nolla. Positiivisesta varauksesta lähtee aina sähkövuo ja negatiiviseen varaukseen päättyy aina sähkövuo. Tää voidaan ateaattisesti esittää sähkövuon divergenssiyhtälön (.5) avulla. Tää tunnetaan yös Gaussin lain niellä. Magneettivuo on sen sijaan aina kiertävä vuo, jolla ei ole alku- eikä loppukohtaa. Tätä oinaisuutta kuvaa agneettivuontiheyden divergenssiyhtälö (.6). Tää on Gaussin laki agneettikentille. Maxwellin yhtälöiden integraaliuotoesitys on usein varsin käyttökelpoinen: Faradayn laki l d d E dl d d B S (.7) t S erkitsee sitä, että avoien pinnan S lävistävän agneettivuon uutos on yhtä suuri kuin pintaa kiertävää viivaa l pitkin suoritettu sähkökentänvoiakkuuden viivaintegraali negatiivisena. Tää yhtälö on yhdessä Apèren lain kanssa erityisen tärkeä sähkökoneen suunnittelijalle. Yhtälön käyttö yksinkertaisiillaan auttaa laskeaan sähkökoneen kääityksiin indusoituvat jännitteet. Yhtälöä tarvitaan yös ääritettäessä esi. pyörrevirtojen agneettipiirissä aiheuttaia häviöitä saoin kuin virranahdon äärittäiseen kuparissa. Kuva. havainnollistaa Faradayn lakia. E B ds l Kuva.. Faradayn lain havainnollistainen. Tyypillisen suljetun viivan l rajoittaan pinnan S lävistää vuo, jonka tiheys on B. Vuontiheyden uutos synnyttää sähkökentänvoiakkuuden E. ds on pintaa S vastaan kohtisuora vektori. Pikkunuolet havainnollistavat sähkökentänvoiakkuuden suuntaa, kun vuo tarkasteltavassa alueessa kasvaa.
.3 LTY Juha Pyrhönen Jos korvaae kuvassa ypyrääiset kentänvoiakkuusviivat kääikierroksilla, vuo lävistää niitä jollakin ykköstä pieneällä suhteella. Jos erkitään tehollisia kääikierroksia k w :llä, saadaan (.7):stä sähkökoneiden kannalta keskeinen kääin sähköotorisen voian e sisältävä uoto d d dψ e kw d kw B S (.8) S Tässä esiintyy nyt kääivuo Ψ LI, jota voi pitää yhtenä peruskäsitteistä sähkökoneissa. Apèren laki d dψ H dl J ds + D d i() t + (.9) d S l S S t tarkoittaa sitä, että avoien pinnan S lävistävän virran i(t) lisättynä sähkövuon uutoksella täytyy olla yhtä suuri kuin pintaa kiertävää viivaa l pitkin suoritettu agneettikentänvoiakkuuden H viivaintegraali. Apéren lain sovellusta esittää kuva.3. B, H l ds J ψ ε E ds S i ψ ε E ds S Kuva.3. Apèren lain soveltainen virrallisen johtien ypäristössä. Viiva l rajoittaa pinnan S, jota vastaa kohtisuora vektori on ds. Ypyränkehillä olevat nuolet osoittavat agneettikentänvoiakkuuden suunnan virrantiheyden ja sähkövuon derivaatan ollessa kuvan suuntaisia (Oikean käden sääntö) d dψ Lausekkeessa (.9) esiintyvä teri d D S on ns. Maxwellin siirrosvirta, joka viiekädessä kytkee yhteen sähköagneettiset iliöt. Maxwellin siirrosvirta on Jaes Clerk Maxwellin S historiallinen kontribuutio sähköagnetisin teoriaan. Siirrosvirran keksiinen auttoi Maxwellia selittäään sähköagneettisten aaltojen eteneisen tyhjössä, jossa ei ole varattuja hiukkasia eikä virtoja. Sähkökoneita silälläpitäen yhtälö (.9) esitetään ns. staattisessa tai kvasistaattisessa uodossaan, jolloin saadaan l () t Θ () t H dl J ds i. (.) S Kvasistaattinen tarkoittaa sitä, että kyseessä olevan iliön taajuus f on Maxwellin siirrosvirran kannalta atala ja siirrosvirta voidaan jättää tarkasteluissa huoiotta. Sähkökoneissa esiintyvät iliöt täyttävät hyvin kvasistaattisuuden vaatiuksen, sillä käytännössä vasta radiotaajuuksilla esiintyy erkittäviä Maxwellin siirrosvirtoja. Matalilla taajuuksilla siirrosvirtoja esiintyy kondensaattoreissa, jotka on tarkoituksella rakennettu hyödyntäään juuri siirrosvirtoja. Apèren lain kvasistaattinen uoto on sähkökoneen suunnittelijalle hyvin tärkeä yhtälö. Tään avulla ääritellään sähkökoneen agneettijännitteet ja virtasuan tarve. Yhtälössä (.) näkyvän virtasuan hetkellisarvon i () t l. virtasuan Θ hetkellisarvon voi hyvin ajatella haluttaessa sisältävän yös kes-
.4 LTY Juha Pyrhönen toagneetin näennäisen virtasuan Θ PM H c d PM. Kestoagneetin virtasua riippuu siis ateriaalin koersiivivoiasta H c ja agneettipalan paksuudesta d PM. Apèren lain differentiaaliuoto kvasistaattisessa tilassa on H J. (.) Virrantiheydelle saadaan kvasistaattisessa tilassa jatkuvuusyhtälö J. (.) Gaussin laki sähkökentille D ds ρv dv (.3) S V tarkoittaa sitä, että suljetun pinnan S sisällä oleva varaus synnyttää pinnan kautta sähkövuon D. Pinta S rajaa tilavuuden V. Tässä ρ V dv q( t) on suljetun pinnan S sisällä oleva hetkellinen nettovaraus. Tään perusteella sähkökentissä esiintyy sekä lähteitä että nieluja. Sähkökoneiden eristyksiä V tarkasteltaessa tarvitaan yhtälöä (.3). Sähkökoneissa tullaan kuitenkin onesti yös tilanteeseen, jossa voidaan todeta varaustiheyksien väliaineessa olevan nollia. Tällöin Gaussin laki sähkökentille uuttuu uotoon S D ds tai D E. (.4) Varauksettoilla alueilla ei siis sähkökentässäkään esiinny lähteitä tai nieluja. Gaussin agneettikenttiä koskeva laki B ds (.5) S iloittaa vastaavasti, että suljetun pinnan S lävistävän agneettivuon sua on nolla ts. kappaleeseen enevän vuon täytyy tulla yös ulos. Tää on toinen ilaus agneettivuon lähteettöyydelle. Sähkökoneissa tää erkitsee sitä, että esierkiksi päävuo kiertää koneen agneettipiiriä ilan alkua ja loppua. Saoin kaikki uut koneessa esiintyvät vuot uodostavat suljettuja piirejä. Kuva.4 selventää Maxwellin integraaliuotoisten yhtälöiden yhteydessä käytettyjä pintoja S, ja kuva.5 vastaavasti Gaussin lain sovellusta suljetun pinnan S suhteen.
.5 LTY Juha Pyrhönen Kuva.4. Sähkö- ja agneettikenttien yhtälöiden integraaliuotojen yhteydessä käytettävät pinnat. a) avoin pinta S ja sen reuna l, b) suljettu pinta S, jonka sisään jää tilavuus V. ds on pintaa kuvaava differentiaalinen vektori, joka on kohtisuorassa pintaa vasten kaikkialla. a) b) Kuva.5. Gaussin lain havainnollistainen a) sähkökentälle ja b) agneettikentälle. Suljetun kappaleen sisällä oleva varaus Q toiii lähteenä ja synnyttää sähkövuon, jonka kentänvoiakkuus on E. Vastaavasti pinnan ulkopuolisen virrantiheyden J synnyttää agneettivuo läpäisee suljetun pinnan ennen toisesta reunasta sisään ja toisesta ulos. Kenttä on siis lähteetön. Väliaineen perittiivisyys, pereabiliteetti ja johtavuusε, μ, and σ of ääräävät kuinka vuontiheydet ja virratiheys riippuvat vastaavista kentänvoiakkuuksista. Joissain tapauksissa voidaan olettaa, ett ε, μ ja σ ovat yksinkertaisia vakioita. Tällöin vastaavat vektoriparit (D ja E, B ja H, tai J aa E) ovat yhdensuuntaisia. Tällaisia väliaineita kutsutaan isotrooppisiksi, ikä erkitsee sitä että eri suunnissa ε, μ and σ ovat saansuuruisia. Muissa tapauksissa ε, μ, σ ovat suunnista riippuvaisia ja niitä pitää käsitellä tensoreina. Sellaisia ateriaaleja kutsutaan anisotrooppisiksi. Ferroagneettisten ateriaalien pereabiliteetti on käytännössä aina voiakkaasti epälineaarinen kentänvoiakkuuden funktio: μ f(h). D f(e), (.6) B f(h), (.7) J f(e, H). (.8) Yhtälöiden uoto on ääriteltävä kokeellisesti kulloinkin tarkasteltavalle väliaineelle. Ottaalla käyttöön perittiviteetti ε [F/], pereabiliteetti μ [Vs/A] ja johtavuus σ [S/] voidaan ateriaaleja kuvata yhtälöillä D εe, (.9) B μh, (.) J σe. (.) Väliainetta kuvaavat suureet eivät aina ole yksinkertaisia vakioita, vaan esierkiksi ferroagneettisten ateriaalien pereabiliteetti on voiakkaasti epälineaarinen. Anisotrooppisissa aineissa vuontiheys poikkeaa suunnaltaan kentänvoiakkuudesta, joten ε ja μ voivat olla tensoreita. Tyhjössä arvot ovat:
.6 LTY Juha Pyrhönen ε 8,854 μ 4π 7 F/, As/V ja H/, Vs/A.. ueerinen ratkaisu kaksiulotteisissa tapauksissa Sähkökoneiden agneettikentät ovat usein käsiteltävissä kaksiulotteisina, ja tällöin agneettisen vektoripotentiaalin käyttö kentän nueerisessa ratkaisussa on yksinkertaista. Monissa tapauksissa koneen kentät ovat kuitenkin selkeästi koliulotteisia, joten kaksiulotteinen ratkaisu on aina approksiatiivinen. Magneettinen vektoripotentiaali ääritellään B A (.) ja Coulobin ehto, joka äärittelee vektoripotentiaalin yksikäsitteisesti on A. (.3) Sijoittaalla agneettisen vektoripotentiaalin ääritelä induktiolakiin (.3) saadaan E A. (.4) t Sähkökentänvoiakkuus voidaan kirjoittaa vektoripotentiaalin ja redusoidun skalaaripotentiaalin avulla A E φ (.5) t issä φ on redusoitu sähköinen skalaaripotentiaali. Koska φ skalaaripotentiaalin lisääinen ei aiheuta induktiolakiin ongelia. Yhtälö kuvaa, kuinka sähkökentänvoiakkuusvektori koostuu kahdesta osasta, yhdestä rotationaalisesta osasta, jonka indusoi agneettikentän aikariippuvuus, ja ei-rotationaalisesta osasta, jonka synnyttävät sähkövaraukset ja dielektristen ateriaalien polarisoituinen. Virrantiheys riippuu sähkökentänvoiakkuudesta A J σe σ σ φ. (.6) t Apèren laki ja vektoripotentiaalin ääritelä antavat A J. (.7) μ Sijoittaalla (.6) (.7):ään saadaan
.7 LTY Juha Pyrhönen A A + σ + σ φ. (.8) μ t Jälkiäinen pätee pyörrevirta-alueilla kun taas edellinen pätee alueilla, joissa esiintyy lähdevirtoja J J s kuten kääivirtoja ja alueille, joilla ei esiinny virrantiheyksiä lainkaan J. Usein sähkökoneissa käytetään kaksiulotteisia ratkaisuja, ja näissä tapauksissa nueerinen ratkaisu voidaan perustaa vektoripotentiaalin A yhteen ainoaan koponenttiin. Kenttäratkaisu (B, H) löydetään xy-tasossa, kun taas J, A, ja E sisältävät vain z-koponentin. Gradientilla φ on vain z- koponentti, sillä J ja A ovat z-suuntaisia ja (.6) pätee. Redusoitu skalaaripotentiaali on siten riippuaton x- ja y-koponenteista. φ voisi olla z-koordinaatin lineaarinen funktio, koska kaksiulotteinen kenttäratkaisu ei riipu z:sta. Oletus kaksiulotteisuudesta ei päde, ikäli ateriaalissa esiintyy sähkövarausten tai eristein polarisaation aiheuttaia potentiaalieroja. Kaksiulotteisissa pyörrevirtatapauksissa pitää redusoidulle skalaaripotentiaalille asettaa φ. Kaksiulotteisessa tapauksessa edellinen yhtälö tulee uotoon A μ z A + σ t z. (.9) Pyörrevirta-alueiden ulkopuolella käytetään A μ z J z (.3) Vuontiheyden koponentit ovat vektoripotentiaalin ääritelän ukaan B x Az, y B y Az. (.3) x Vektoripotentiaali pysyy siis vakiona vuontiheysvektorin suunnassa. Vektoripotentiaalin isokäyrät ovat siis vuoviivoja. Kaksiulotteisessa tapauksessa saadaan vektoripotentiaalin osittaisdifferentiaaliyhtälöstä seuraava uoto, joka ratkaistaan nueerisesti Az Az k ν + ν kj. (.3) x x y y Tässä ν on reluktiivisuus. Tää on jälleen saankaltainen kuin staattisen sähkökentän yhtälö ( ν A) J. (.33) Reunaehtoja on edelleen kahta tyyppiä. Dirichlet'n reunaehto tarkoittaa tunnettua potentiaalia, tässä tunnettua vektoripotentiaalia. A vakio (.34)
.8 LTY Juha Pyrhönen saadaan vektoripotentiaalille esi. sähkökoneen ulkopinnalla. Kenttä on reunan suuntainen. Sähkökoneen ulkopinnan lisäksi esi. sähkökoneen navan keskiviiva voi uodostaa syetriatason. Hoogeeninen euannin reunaehto vektoripotentiaalin avulla ääriteltynä A ν (.35) n saadaan reunalla, johon kenttä tulee kohtisuorasti. Tässä n on yksikkönoraalivektori. Tällainen reuna on esierkiksi ääretönpereabiliteettiseen rautaan rajoittuva kentän osa tai napavälin keskiviiva. Pinnan lävistävän agneettivuon laskeinen vektoripotentiaalin avulla on helppoa. Vuolle saadaan Stokesin lauseen avulla ( A) ds A dl B ds. (.36) S S l Tää on integraali tarkasteltavan pinnan S reunan l ypäri. äitä iliöitä havainnollistetaan kuvan.6 avulla. Kuvan kaksiulotteisessa tapauksessa päätyjen osuus integraalista on nolla ja akselin suunnassa vektoripotentiaali on vakio, joten vuolle l:n pituisessa koneessa saadaan ( A ) (.37) l A l Dirichlet euann A ν n A, A A on vakio, vastaa vuoviivaa z A on vakio, vastaa Dirichlet n reunaehtoa y x Kuva.6. Sähkökoneen kaksiulotteinen kenttä reunaehtoineen. Tässä tapauksessa vektoripotentiaalin A vakioarvo (esi. koneen ulkoreuna) otetaan Dirichlet n reunaehdoksi ja vektoripotentiaalin derivaatan nolla-arvo noraalin suhteen euannin reunaehdoksi. Skalaaripotentiaalitarkastelussa reunaehdot potentiaalin suhteen asettuisivat päinvastaisiin paikkoihin. Vektoripotentiaalin noraaliderivaatan nolla-arvo vastaa niittäin syetrian perusteella tunnettua vakiopotentiaalia V, joka olisi siis tässä tapauksessa tunnettu potentiaali ja siten Dirichlet n reunaehto. Oikealla nelinapaisen epätahtikoneen kenttäratkaisu..3 Tavallisiat käsinlaskennassa sovellettavat periaatteet Sähkökoneen suunnitteluun kuuluu. koneen kannalta välttäättöän agneettivuon kvantitatiivinen äärittäinen. Yleensä tarkastellaan yhden navan alueella tapahtuvia iliöitä. Magneettipiirin suunnittelussa ääritetään yksittäisten osien tarkat itat, lasketaan agneettipiirin tarvitsea virtasua ja saalla tarvittava agnetointivirta sekä arvioidaan agneettipiirissä syntyvien häviöiden suuruus.
.9 LTY Juha Pyrhönen Mikäli kone agnetoidaan kestoagneetein, tulee äärittää käytettävät kestoagneettiateriaalit ja niistä valistettujen osien pääitat. Yleensä pyörivän koneen agnetointivirtaa laskettaessa oletetaan koneen olevan tyhjäkäynnissä ts. tilassa, jossa konetta agnetoivassa kääityksessä kulkee vakiovirta. Kuoritusvirtojen vaikutuksia tarkastellaan jälkikäteen. Sähkökoneen agneettipiirin suunnittelun lähtökohtana pidetään Apéren lakia (.4) ja (.8). Sähkökoneen agneettipiirin ypäri laskettava viivaintegraali l. agneettijännitesua ΣU,i on yhtä suuri kuin agneettipiirissä esiintyvien virrantiheyksien pintaintegraali agneettipiirin pinnan S suhteen. Pinnalla S yärretään tässä pinta-alaa, jonka läpi koneen päävuo kulkee. Käytännössä sähkökoneissa virta yleensä kulkee kääityksissä, jolloin virrantiheyden pintaintegraali vastaa koneen kääityksissä kulkevien virtojen suaa l. virtasuaa Θ. yt Apèren laki voidaan kirjoittaa uodossa U, tot U, i H dl J ds Θ i. (.38) l S Magneettijännitehäviöden U sua on koko agneettipiirin ypäri kierrettäessä yhtä suuri kuin piiriä agnetoivien virtojen sua l. virtasua Θ. Yksinkertaisissa tapauksissa virtasua Σi k w i, issä k w on tehollisten kääikierrosten äärä ja i virta kääissä. Tää virtasua voi sisältää kääien lisäksi kestoagneettien vaikutuksen. Käytännössä agneettijännitteen laskennassa kone jaetaan osiinsa, ja agneettijännite pisteiden a ja b välillä ääritetään U, ab H dl. (.39) b a Usein sähkökoneissa kentänvoiakkuus kulkee sähkökoneessa tarkasteltavan osan suunnassa, jolloin (.39) yksinkertaistuu vielä uotoon U, Hdl. (.4) b ab a Mikäli vielä kentänvoiakkuus tarkasteltavassa alueessa on vakio, saadaan U, ab Hl. (.4) Haluttaessa äärittää konetta agnetoivalta kääiltä vaadittavaa virtasuaa Θ, pyritään käyttäään ahdollisian yksinkertaista integroiistietä agneettijännitteiden laskennassa. Tällöin valitaan tie, joka käsittää agnetoivan kääin kokonaisuudessaan. Tätä integroiistietä kutsutaan pääintegroiistieksi ja sitä niitetään yös koneen päävuon kulkureitiksi. Avonapaisissa koneissa pääintegroiistie kulkee ilavälin yli napakenkien keskikohdasta. Koneensuunnittelussa ei voida tyytyä tarkasteleaan pelkästään päävuota, vaan kaikki koneen hajavuotkin tulee ottaa tarkasteluun ukaan. Sähkökoneen tyhjäkäyntikäyrän äärittäiseksi tulee koneen agneettipiirin agneettijännitteet laskea usealla eri vuontiheydellä. Magnetointikäyrän tarkaksi äärittäiseksi tarvitaan käytännössä laskentaohjela, joka laskee koneen useissa eri agnetointitiloissa. Sähkökoneet voidaan agneettipiiriensä perusteella jakaa kahteen ryhään: Avonapakoneissa agnetointikääitykset esiintyvät yhteen koottuina napakääityksinä, kun taas upinapakoneissa agnetoivat kääit on avaruudellisesti jaettu koneeseen. Avonapakoneen pääintegroiistie koos-
. LTY Juha Pyrhönen tuu esierkiksi seuraavista osista: Roottori-ies (yr), napavarsi (p), napakenkä (p), ilaväli (δ), haasalue (d) ja ankkuriselkä (ya). Tällaisen avonapaisen tahtikoneen tai tasavirtakoneen pääintegroiistien kokonaisagneettijännite koostuu siten seuraavista osista U U + U. (.4), tot U,yr + U,p + U,p + U,δ +,d,ya Upinapatahtikoneessa ja oikosulkuoottorissa on konetta agnetoiva kääitys jaettu uriin. Tään vuoksi sekä staattorissa (s) että roottorissa (r) on haasvyöhykkeet (z) U U + U. (.43), tot U,yr + U,dr + U,δ +,ds,ys Yhtälöissä (.4) ja (.43) on uistettava ottaa huoioon se, että päävuo joutuu kulkeaan haasalueen (tai napavarren ja -kengän) ja ilavälin kautta kahdesti. Moleinpuolin avonapaisessa reluktanssikoneessa (SR-kone) voidaan käyttää yhtälöä ( ) + U,δ ( α ) + U,sp( ) + U,sp, ys U α + U.(.44), tot U,yr + U,rp + U,rp α Yhtälö saa vaikeasti käsiteltävän uodon, koska SR-koneen ilavälin uoto uuttuu jatkuvasti koneen pyöriessä. Tään vuoksi ilavälin sekä staattorin että roottorin napakenkien agneettijännite riippuu roottorin asennosta α. Tavallisipien pyörivien sähkökoneiden agneettijännitteet voidaan esittää yhtälöiden (.4) (.44) avulla. Ferroagneettisista ateriaaleista rakennetuissa sähkökoneissa ainoastaan ilaväliä voidaan pitää agneettisesti lineaarisena. Kaikki ferroagneettiset ateriaalit ovat sekä epälineaarisia että usein yös anisotrooppisia. Varsinkin suunnattujen sähkölevyjen pereabiliteetti vaihtelee eri suunnissa ollen suurin valssaussuunnassa ja pienin poikittaissuunnassa. Tää johtaa siihen, että ateriaalin pereabiliteetti on tarkasti ottaen tensori. Vuo on vuontiheyden pintaintegraali. Usein sähkökoneita suunniteltaessa oletetaan vuontiheyden olevan kohtisuoraan tarkasteltavaa pintaa vasten. Kun kohtisuoran pinnan S ala on S, yksinkertaistuu yhtälö uotoon BdS. (.45) Mikäli vielä vuontiheys B:kin on vakio, saadaan BS. (.46) Edellä ainittujen yhtälöiden avulla voidaan jokaiselle koneen osalle laatia agnetointikäyrä ab ( U ), B f ( U ) f. (.47),ab,ab Ilavälissä pereabiliteetti on vakio μ μ. Tällöin voidaan käyttää agneettista johtavuutta l. pereanssia Λ. yt voidaan kirjoittaa Λ U. (.48) ab ab,ab
. LTY Juha Pyrhönen Mikäli ilavälikenttä on hoogeeninen, saadaan μ S δ ab ΛabU,ab U,ab. (.49) Yhtälöiden (.38) ja (.4) (.44) perusteella saadaan koneelle agnetointikäyrä ( Θ ) B f ( Θ ) δ δ f,. (.5) Yhtälössä esiintyvä teri δ on ns. ilavälivuo. Vuontiheyden itseisarvo B δ on napakengän keskikohdalla ilavälissä vaikuttava aksiivuontiheys, kun uritusta ei oteta huoioon. Koneen agnetointikäyrä ääritellään seuraavassa järjestyksessä δ, B δ B H U Θ valitsealla aina eri ilavälivuon tai sen tiheyden arvo ja laskealla koneessa esiintyvät agneettijännitteet sekä tarvittava virtasua Θ. Virtasuan avulla saadaan ääritetyksi koneen kääityksissä kulkeva virta I ja vastaavasti ilavälivuon ja kääityksen avulla saadaan koneen kääityksiin indusoituva sähköotorinen voia (sv) E. äin voidaan lopuksi piirtää koneen varsinainen tyhjäkäyntikäyrä (kuva.7) E f(i). (.5) E Kuva.7. Sähkökoneen tyypillinen tyhjäkäyntikäyrä. Käyrä itataan koneen pyöriessä vakionopeudella. Periaatteessa käyrä uistuttaa koneessa käytettävän ferroagneettisen ateriaalin BH-käyrää. Tyhjäkäyntikäyrän kulakerroin riippuu ateriaalin BH-käyrästä, geoetrisista itoista ja varsinkin ilavälin vaikutuksesta. I.3. Kenttäviivakuvaajat Tarkastellaan alueita, joissa ei esiinny virtoja. Avaruudellisen agneettivuon voidaan ajatella kulkevan vuoputkessa. Vuoputkea voidaan tarkastella poikkipinta-alaltaan neliöäisenä putkena, joiden seinäille pätee B ds. äin voidaan havaita vuoputkien kulien uodostavan vuoviivat, kuva.8.
. LTY Juha Pyrhönen Δ ΔS Kuva.8. Vuoputki, jonka poikkipintaa esittää pintavektori ΔS. Putkessa kulkee vuo Δ. ΔS Laskettaessa vuoputkea ypäröivää suljettua pintaa pitkin pintaintegraali saadaan Gaussin lain (.5) ukaisesti B d S. (.5) Koska kuvan.8 vuoputken sivuseinäien kautta ei kulje vuota, saadaan (.5) uuteen uotoon B dδs B dδs Δ Δ, (.53) ikä tarkoittaa, että vuoputken vuo on vakio Δ Δ Δ. (.54) Magneettisella tasapotentiaalipinnalla tarkoitetaan pintaa, jolla vallitsee agneettinen tasapotentiaali V. Mitä tahansa tietä kuljettaessa tään pinnan kahden pisteen a ja b välillä täytyy saada tulos b a Vb U,ab a V H dl. (.55) Kun tarkastellaan ielivaltaisen pientä tietä, toteutuu tää vain, kun H dl. Isotrooppisilla ateriaaleilla saa voidaan ilaista B dl. Toisin sanoen tasapotentiaalipinnat ovat vuoviivoja vasten kohtisuorassa. Kun pinnasta S valitaan riittävän pieni pinta-ala ΔS, saadaan vuo lasketuksi Δ BΔS. (.56) Magneettinen jännitehäviö kahden riittävän lähellä toisiaan (H on vakio integroiistiellä l) sijaitsevan ekvipotentiaalipinnan välillä on ΔU Hl. (.57) Tään avulla saadaan vuoputken poikkipinnan pereanssille Λ
.3 LTY Juha Pyrhönen Δ B ds ds Λ μ. (.58) ΔU Hl l Vuoviivakuvaaja (kuva.9) koostuu valituista vuo- ja potentiaaliviivoista. Valitut vuoviivat rajoittavat vuoputkia, joissa kaikissa kulkee saansuuruinen vuo Δ. Valittujen potentiaaliviivojen välillä on aina saa agneettijännite ΔU. Siten on jokaisen vuoputken osan agneettinen johtavuus aina saa, ja vuoviivojen välin x suhde potentiaaliviivojen väliin y aina saa. Mikäli valitaan x, (.59) y uodostuu kenttäkuvaajasta kuvan.9 ukaisesti neliönoaisten eleenttien uodostaa verkosto. Kuva.9. Vuo- ja potentiaaliviivat koliulotteisessa alueessa, jossa vuo kulkee syvyyssuunnassa vakiosuuruista pituutta pitkin (z on vakio). Kyse on siis periaatteessa kaksiulotteisesta kuvasta. Tällaista kuvaa niitetään ortogonaaliseksi kenttäkuvaksi. V V ΔU Δ x y ΔS z vuoviivat potentiaaliviivat Hoogeenisessa kentässä kentänvoiakkuus H on joka paikassa vakio. Yhtälöiden (.57) ja (.59) ukaan on tällöin kaikkien potentiaali- ja vuoviivojen väli aina saa. Tällöin vuokuvaaja uodostuu saankokoisista neliöistä. Laadittaessa kaksiulotteista ortogonaalista kenttäkuvaa esierkiksi sähkökoneen ilaväliä tarkasteltaessa täytyy tuntea reunaehdot, jotta kuvaaja voidaan piirtää. Reunaehtoja saadaan usein syetrian perusteella tai sitten kuvan.8 ukaisen vuoputken tietyn potentiaalipinnan potentiaali tunnetaan. Jos esierkiksi koneen roottorin ja staattorin pituus on l, voidaan vuoputken pinta-alaksi suurta virhettä tekeättä erkitä ds ldx. Tarkastellaan raudan ja ilan rajaa kuvan. ukaan. Tällöin saadaan yδldx By Feldx B B B. (.6) yδ yfe Tässä B B ovat ilan y-suuntainen ja raudan y-suuntainen vuontiheys. y δ ja y Fe
.4 LTY Juha Pyrhönen y ilaväli B y μ B x dx δ z rautaa, esi. roottorin pinta Kuva.. Ilan δ ja raudan Fe välinen rajapinta. x-akseli on tangentiaalinen roottorin pintaan nähden μ Fe Kentänvoiakkuuden rajapinnalla on oltava jatkuva x-suunnassa. Tarkastelealla rajapintaa x- suunnassa saadaan Apéren lain avulla olettaalla pinnanosa dx virrattoaksi joten H x δ dx H xfedx, (.6) B H xfe xδ H xfe. (.6) μfe x Olettaalla raudan pereabiliteetti äärettöäksi B μ H. xδ xδ μ saadaan H H ja siten yös Fe xfe xδ Mikäli siis asetetaan μ Fe, lähtevät vuoviivat kohtisuorasti ferroagneettisesta ateriaalista ilaan. Saalla raudan ja ilan rajapinta uodostaa tasapotentiaalipinnan. Mikäli rauta ei ole kyllästynyttä, on sen pereabiliteetti hyvin suuri, ja vuoviivojen voidaan käytännössä olettaa lähtevän lähes kohtisuorasti raudasta ilaan alueilla, joissa ei esiinny virtoja. Kyllästyvillä alueilla ei raudan ja ilan välistä rajapintaa voida ainakaan tarkasti ottaen pitää tasapotentiaalipintana. Magneettivuo taittuu saoin kuin sähkövuokin rajapinnalla. Mikäli vuo taasen kulkee raudassa raudan ja ilan rajapinnan suuntaisesti, voidaan kyllästyättöille alueille asettaa B y, jolloin raudasta ei siirry vuota ilaan. Kun rauta alkaa kyllästyä, syntyy siihen erkittävä agneettijännite, jolloin raudan vieressä oleva ila alkaa vaikuttaa vuon kannalta houkuttelevalta reitiltä, ja osa vuosta siirtyy kulkeaan ilassa. äin käy esierkiksi sähkökoneiden haasalueella hapaiden kyllästyessä. Tällöin osa vuosta kulkee sähkökoneen urien kautta, vaikka urassa olevien ateriaalien pereabiliteetti on käytännössä saa kuin tyhjön pereabiliteetti. Syetrialinjat ovat vuokuvaajissa joko potentiaali- tai kenttäviivoja Vuokuvaajaa piirrettäessä havaitaan syetriaviivoista nopeasti, ovatko ne vuo- vai potentiaaliviivoja. Kuva. on esierkki ortogonaalisesta kenttäkuvasta, jossa syetriaviiva uodostaa potentiaaliviivan. Kyseessä voisi olla esierkiksi tasavirtakoneen agnetoiisnavan reuna-alueen ja roottorin välinen ilaväli.
syetriaviiva napojen välissä.5 LTY Juha Pyrhönen Δ H, B Δδ DC-koneen staattorinapa Δ potentiaaliviiva U,δ δ Δδ Δb Δb DC-koneen roottorin pinta potentiaaliviiva napajako τ p / Kuva. Ortogonaalisen kenttäkuvavaajan piirtäinen tasavirtakoneen ilaväliin napakengän reuna-alueella. Kyseessä on agneettisen skalaaripotentiaalin differentiaaliyhtälön ratkaisu piirtäällä. apakengän ja roottorin pinnalle sekä napakenkien väliselle syetriatasolle uodostuvat Dirichlet n reunaehdot skalaaripotentiaaleille. apakengän keskilinja äärittää järjestelän origon. Origon kohdalla ilavälin pituuseleentit ääritellään Δδ, ja leveyseleentit Δb. Δδ ja Δb eri kohdissa piirrosta ovat eri kokoisia, utta Δ on saa kaikissa vuoputkissa. apajako on τ p. Ortogonaalisen kenttäkuvaajan ratkaisu piirtäällä aloitetaan ieluusti geoetrian niistä osista, joissa kenttä on ahdollisian hoogeeninen, esierkiksi kuvan. tapauksessa aloitetaan kohdasta, jossa ilaväli on kapeiillaan. Tällöin agnetointinavan pinta ja roottorin sileäksi oletettu pinta uodostavat yhdessä napojen välillä sijaitsevan pinnan kanssa potentiaaliviivat. Potentiaaliviivojen välit jaetaan tasaisesti ja sitten piirretään potentiaaliviivoja vasten kohtisuorat vuoviivat siten, että tarkasteltavaan alueeseen uodostuu neliöäisten eleenttien verkko. Kun koneen pituus on l, kuljettaa jokainen syntynyt vuoputki vuon Δ. Kenttäkuvaajasta voidaan ratkaista tarkasteltavan alueen agneettisia suureita. Jos n on vuon Δ kuljettavien vierekkäin sijaitsevien vuoputkien lukuäärä (ei välttäättä kokonaisluku), ja ΔU on vuoputken osien (n U kpl peräkkäin) välinen agneettijännite saadaan olettaalla Δb Δδ koko järjestelän pereanssi uotoon ΔU n bl n Δ Δ Δ n Λ Δδ μl U. (.63) ΔU nu ΔU nu ΔU nu Kentänvoiakkuus pisteessä P on ΔU H, (.64) Δδ ja vuontiheys vastaavasti ΔU B Δ μ. (.65) Δδ Δbl Yhtälön (.56) avulla voidaan yös äärittää piste pisteeltä vuontiheysjakaua potentiaaliviivalla ts. ankkurin tai agnetointinavan pinnalla. Kuvan. erkinnöin saadaan
.6 LTY Juha Pyrhönen Δ ( x) B( x) Δb( x)l BΔb l Δ. (.66) avan keskialueella, jossa ilavälivuo on hoogeeninen, saadaan vuontiheydeksi ΔU B U,δ μh μ μ. (.67) Δδ δ Siten saadaan vuontiheyden suuruudeksi x-koordinaatin funktiona Δb B ( x) Δb Δb μ U,δ B. (.68) ( x) Δb( x) δ.3. Virrallisten alueiden vuokuvaajat Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa ekvivalenttinen virtakate peittää tarkasteltavaa aluetta. Ekvivalenttista virtakatetta voidaan käyttää likiääräisissä tarkasteluissa, koska sähkökoneiden kääityksissä kulkevat virrat sijaitsevat yleensä lähellä ilaa, ja niiden synnyttäät virtasuat agnetoivat lähinnä ilavälejä. Tällöin voidaan asettaa, että tarkasteltavalla virtakatealueella μ μ. Ekvivalenttisen virtapeitteen käyttäinen yksinkertaistaa koneen käsinlaskentaa idealisoialla potentiaalipinnat eikä vaikuta ratkaisevasti kenttäkuvaajaan alueilla, jotka ovat virtakatealueen ulkopuolella. Kuva. havainnollistaa ekvivalenttista virtakatetta. y syetriaviiva euann virtakate dθ μ dx H xδ x virtakate napa Dirichlet μ Fe H xfe Roottorin pinta, Dirichlet reunaehto Kuva.. Virtakatteen yleinen esitys ja sen soveltainen tasavirtakoneen napaagnetoinnin kenttäkuvaajaan. Erityisesti on huoattava, että potentiaaliviivat kulkevat nyt napavarren alueella ilasta rautaan. Dirichlet n reunaehdot tässä tarkoittavat tunnettua tasaskalaaripotentiaalipintaa. Virtakatteen A arvo iloitetaan tarkastelusuunnan pituusyksikköä kohti. Mikäli oletetaan raudan pereabiliteetti äärettöäksi, saadaan Apéren lain avulla kirjoitetuksi kuvan. eleentille dx H dl dθ H dx H dx Adx. (.69) Tään avulla saadaan H xδ xfe A, ja B μ A. (.7) xδ xδ
.7 LTY Juha Pyrhönen Toisin sanoen ilavälissä δ esiintyy x-koponentin suuntainen kentänvoiakkuus ja sitä vastaava vuontiheyskoponentti. Tää on vääntöoenttia synnyttävän voian tai jännityksen kannalta olennaista. Tarkastelee yöhein ns. Maxwellin jännityksiä, joita käytetään agneettisten voiien laskennassa. Vuoviivat eivät enää lähde kohtisuorasti raudasta ilaväliin, kuten kuvan. tasavirtakoneen agnetointinavan kenttäkuvaajasta voidaan yös havaita. apavarrella olevan agnetointikääin vaikutus on kuvattu virtakatteella. Koska agnetointikääi on yleensä tasaisesti asennettu napavarren pituudelle (virtakate on vakio), voidaan potentiaalin todeta uuttuvan lineaarisesti virtakatteen alueella navan korkeuden suunnassa. Tää havaitaan yös kuvasta., jossa potentiaaliviivat tulevat tasaisin välein virtakatealueelle. Alueilla, joilla esiintyy virrantiheyksiä, uuttuvat vakiopotentiaaliviivat gradienttiviivoiksi. Gradienttiviivatkin kohtaavat kenttäviivat ortogonaalisesti niin, että kentänvoiakkuuden viivaintegraali gradienttiviivaa pitkin on nolla. Mikäli lasketaan kentänvoiakkuuden suljettu viivaintegraali kahta potentiaaliviivojen jatkeena olevaa rinnakkaista valittua gradienttiviivaa pitkin esi. kuvassa.3 pinnanosan S alan S yli H dl V V ΔU J ds, (.7) 3 S huoataan, että virrantiheyden J ja agneettijännite-eron ΔU ollessa vakioita täytyy yös pinnan S pinta-alan S olla vakio. Toisin sanoen valitut gradienttiviivojen ja vuoviivojen rajaaat alueet sulkevat saansuuruisia pinta-aloja alueesta S, jolla esiintyy tasainen virrantiheys. Gradienttiviivat kohtaavat toisensa yhdessä pisteessä P, jota kutsutaan indifferenssipisteeksi. Mikäli virrallinen alue rajoittuu alueeseen, jonka pereabiliteetti on ääretön, on rajaviiva potentiaaliviiva ja indifferenssipiste P sijaitsee tällä rajaviivalla. Mikäli raudan pereabiliteetti ei ole ääretön, sijaitsee P virallisella alueella, kuten kuvassa.3. Mikäli virrallisen alueen sisällä viivaintegraali suljetaan esierkiksi kuvan.3 pinta-alan ΔS yli, havaitaan, että itä läheäs pistettä P tullaan sitä pieneäksi jää alueelle jäävä virtasua (ja siten ΔU ) ja sitä pieneiksi uuttuvat gradienttiviivojen välit ellei tarkasteltavien alueiden korkeutta kasvateta. eliöäisten vuoputkenosien täytyy kuitenkin kuljettaa tarkasteltavilla vuoputkilla saanlaiset vuot. Virrallisen alueen ulkopuolella pätee vuokoponentille h Δ ΛΔU μl J ds. (.7) b S Tarkasteltavan alueen sisällä uodostaalla suljettu viivaintegraali yhtälön (.7) ukaan vain alueelle ΔS (< S) saadaan vuoputken vuo virrallisella alueella h Δ ' μl J ds (.73) ΔS b ja havaitaan, että siinä tapauksessa, että jos (h/b)' (h/b) olisi tosiasiassa Δ ' < Δ. Mikäli virrantiheys J virrallisella alueella on vakio, pätee Δ ' ΔΔS / S. Ohittaessaan virrallisen uran ja virrattoan raudan rajan ei vuoputken vuo voi uuttua. Tällöin täytyy viivaverkon ittasuhteiden uuttua. Kun J on vakio ja Δ ' Δ antavat yhtälöt (.7) ja (.73) ittasuhteille virrallisella alueella h b Sh ΔSb. (.74)
.8 LTY Juha Pyrhönen μ Fe V V V 3 V P 3 P P V V V 4 S H b ΔS b h μ Fe H b ΔS H H H a H a P H dl b ( H H ) V b 3 V H b+ H b+ a b ΔU a ΔSJ Kuva.3. Virrallisen alueen kenttäkuvaaja (virrallisen uran kenttä). Vieressä viivaintegraali pinnan ΔS yli. Myös osa raudan vuoviivoista on hahoteltu. Huoaa, että piirretyt vuoviivat ovat kaikki käytännössä hajavuota Tää erkitsee sitä, että indifferenssipisteen P läheisyydessä suhde (h/b) kasvaa. Ortogonaalinen kenttäkuvaaja voidaan laatia virralliselle alueelle korjaaalla ekvivalenttista virtakatetta käyttäen laadittua kuvaajaa iteroiden. Virralliselle alueelle piirretään potentiaaliviivojen jatkeeksi gradienttiviivat indifferenssipisteeseen asti ottaen huoioon vaatiuksen siitä, että gradienttiviivat jakavat virrallisen alueen yhtä suuriin osiin. Tään jälkeen piirretään ortogonaaliset vuoviivat ottaen huoioon ittasuhteiden uuttuinen. Kuvaa uutetaan iteratiivisesti, kunnes yhtälö (.74) pätee riittävällä tarkkuudella..4 Virtuaalisen työn periaatteen käyttö voian ja väännön äärittäiseksi Tarkasteltaessa sellaisia sähkölaitteita joiden agneettipiirin uodossa tapahtuu työn aikana uutoksia on helpointa käyttää virtuaalisen työn periaatetta voian tai vääntöoentin arvioiiseen. Tällaisia laitteita ovat. olein puolin avonapaiset reluktanssikoneet, erilaiset releet jne. Faradayn induktiolaki ilaisee kääiin indusoituneen jännitteen, jonka synnyttää virta pyrkii vastustaaan vuonuutoksia. Kääin jänniteyhtälö on dψ d u Ri + Ri + Li, (.75) issä R on kääin resistanssi ja Ψ on kääivuo sekä L itseisinduktanssi. L Ψ/i /i /R. Jos kääissä on kierrosta ja ekvivalenttinen vuo on, yhtälö (.75) saadaan uotoon d u Ri +. (.76) Kääissä tarvittava teho on vastaavasti
ja energia.9 LTY Juha Pyrhönen d ui Ri + i, (.77) dw P Ri + id. (.78) Jälkiäinen energiaosa id on palautuva, kun taas Ri uuttuu läöksi. Energiaa ei voi luoda eikä hävittää, vaan se uuttaa olouotoaan. Eristetyssä systeeissä selvä taseraja helpottaa energiatarkasteluja. Energian nettovirtaus sisään on yhtä suuri kuin energian varastoituinen systeeiin. Tätä tulosta, ikä on terodynaiikan I-pääsääntö, käytetään sähköekaanisissa systeeeissä, joissa vallitsevana sähköisenä energiavarastona yleensä toiivat agneettikentät. äissä systeeeissä voidaan energian siirtyinen esittää yhtälön dw dw + dw + dw (.79) el ec R avulla, issä dw el on differentiaalinen sähköenergian syöttö dw ec on differentiaalinen ekaaninen energia, joka poistuu systeeistä dw on agneettisen energian differentiaalinen uutos dw R on differentiaalinen häviöenergia. Tässä energian syöttö sähkölähteestä on erkitty yhtä suureksi kuin ekaaninen energia lisättynä agneettikenttään varastoituneella energialla ja läpöhäviöllä. Sähköisellä ja ekaanisella energialla on positiiviset arvot oottorikäytössä ja negatiiviset arvot generaattorikäytössä. Häviöttöässä agneettisessa järjestelässä sähköisen energian syötön uutos järjestelään on yhtä suuri kuin systeein tekeän työn uutoksen ja agneettikenttään varastoituneen energian uutoksen sua dw el dw ec + dw, (.8) dw el ei. (.8) Tässä e on indusoituneen jännitteen hetkellisarvo, joka syntyy agneettipiirin energian uutosten takia. Tästä vastasähköotorisesta voiasta johtuu, että ulkoinen sähköpiiri syöttää tehoa agneettikentän välityksellä ekaaniseksi tehoksi. Täten energian uuttuisen laki yhdistää reaktion ja vastareaktion sähköisessä ja ekaanisessa systeeissä. Yhdistäällä yhtälöt (.8) ja (.8) saadaan dw el ei dψ i idψ dw ec + dw. (.8) Yhtälö (.8) uodostaa perustan energiaperiaatteelle. Seuraavassa tarkastellaan sen käyttöä analysoitaessa sähköagneettisen energian uuntolaitteita. Tiedetään että agneettista piiriä (kuva.4) voidaan kuvata induktanssilla L, ikä ääräytyy kääityksen, agneettisen piirin geoetrian ja agneettiateriaalin pereabiliteetin perusteella. Sähköagneettista energiaa uuttavissa laitteissa on ilavälejä erottaassa agneettipiirin liikkuvia osia toisistaan. Useiissa tapauksissa agneettipiirin reluktanssi R koostuu pääasiassa ilavälien reluktansseista. Täten pääosa energiasta esiintyy ilavälissä. Mitä suurepi ilaväli on, sitä eneän siihen voidaan varastoida energiaa. Tää havaitaan esierkiksi oikosulkuoottorien yh-
. LTY Juha Pyrhönen teydessä siitä, että itä suurepi suhteellisesti koneen ilaväli on, sitä suurepi on sen suhteellinen agnetoiisvirta. x R i F F u Ψ, e kierr. Kuva.4. Kaaviokuva sähköagneettisesta releestä, joka on kytketty ulkoiseen jännitelähteeseen u. Liikkuva ies oletetaan assattoaksi ja kääityksen resistanssi keskittyneeksi ulkoiseen vastukseen R. Kääityksessä on kierrosta, agneettipiirissä kulkee vuo ja kääiin syntyy kääivuo Ψ. Kääivuon negatiivinen aikaderivaatta on sv, e. Voia F vetää iestä auki. Voian tuottaa ekaaninen lähde. Faradayn induktiolain avulla saadaan yhtälön (.8) ukaan dw el idψ. (.83) Laskentaa yksinkertaistetaan jättäällä. agneettinen epälineaarisuus ja rautahäviöt huoiotta. Laitteen induktanssi riippuu tällöin ainoastaan geoetriasta ja täten esierkissäe ikeen etäisyydestä x. Kääivuo on siis uuttuvan induktanssin ja virran tulo Ψ L(x) i. (.84) Magneettinen voia F ääritellään dw ec F dx. (.85) Täten käyttäällä yhtälöitä (.83) ja (.85), voidaan yhtälö (.8) kirjoittaa uotoon dw idψ - F dx. (.86) Koska agneettinen energiavarasto on oletettu häviöttöäksi, niin dw on ääritelty Ψ:n ja x:n arvojen avulla. dw on riippuaton integrointitiestä ja energian lauseke voidaan kirjoittaa uotoon ( x ) dw + W Ψ W. (.87), d tiea tieb Kun siirtyää ei sallita (dx ), saadaan käyttäällä yhtälöitä (.86) ja (.87) Ψ ( Ψ, x ) i( Ψ, x ) dψ W (.88)
. LTY Juha Pyrhönen Lineaarisessa systeeissä Ψ on verrannollinen virtaan i, kuten yhtälöissä (.84) ja (.88). yt saadaan W Ψ Ψ Ψ dψ L ( Ψ, x ) i( Ψ, x ) Ψ dψ. (.89) ( x ) L( x ) Magneettikentän energia voidaan yös esittää energiatiheyden avulla agneettikentässä agneettikentän tilavuuden V yli integroituna, jolloin saadaan W ( H B) dv. (.9) V Oletetaan agneettisen väliaineen pereabiliteetti vakioksi ja sijoitetaan B μh, jolloin saadaan B W dv. (.9) μ V yt saadaan yhteys agneettipiiriin varastoidun energian ja sähköisen- ja ekaanisen energian välille systeeissä, jossa on häviötön agneettinen energiavarasto. Muodostetaan agneettisen energian lauseke osittaisderivaattojen avulla dw W W Ψ. (.9) Ψ x (, x) dψ + dx Koska Ψ ja x ovat riippuattoia uuttujia, yhtälöiden (.86) ja (.9) täytyy olla yhtä suuret kaikilla dψ:n ja dx:n arvoilla, joten saadaan ( Ψ x) W, i Ψ, (.93) issä osittaisderivaatta on laskettu pitäällä x vakiona. Sähköagneetin synnyttään voian suuruus saadaan agneettisen energian avulla F W x ( Ψ, x). (.94a) Vastaava yhtälö pätee vääntöoentille kiertyäkulan θ funktiona ( Ψ, θ ) W T. (.94b) θ Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää ns. liittoenergiaa (coenergy), jonka avulla saadaan voia suoraan virran funktiona. Liittoenergia W' ääritellään i:n ja x:n funktiona seuraavasti ( i, x) iψ W ( Ψ x) W ', (.95) Muuntaisessa voidaan käyttää iψ:n differentiaalia
. LTY Juha Pyrhönen d(iψ) idψ + Ψdi. (.96) Yhtälöstä (.95) saadaan nyt ( i, x) d( iψ ) dw ( Ψ x) dw ', (.97) Sijoittaalla yhtälöt (.86) ja (.96) yhtälöön (.97) saadaan d W ( i, x) Ψ di + F dx. (.98) Liittoenergia W on funktio kahdesta riippuattoasta uuttujasta i ja x. Täten voidaan osittaisderivaattojen avulla esittää W W dw ( i, x) di + dx. (.99) i x Yhtälöiden (.98) ja (.99) täytyy olla yhtä suuret kaikilla di ja dx. Tästä seuraa (, x) W i Ψ, (.) i W ( i, x) F. (.a) x Vastaavasti vääntöoentille saadaan W (i, θ ) T. (.b) θ Yhtälöt (.a ja.b) antavat ekaanisen voian tai vääntöoentin suoraan virran i ja siirtyän x tai kiertyä θ avulla. Liittoenergia voidaan laskea i:n ja x:n avulla i ( i, x ) ( i, x ) di W Ψ. (.) Lineaarisessa systeeissä Ψ ja i ovat verrannollisia ja kääivuo voidaan esittää etäisyydestä riippuvan induktanssin avulla, kuten yhtälössä (.84). Liittoenergia on i ( i, x) L( x) idi L( x) i W. (.3) Käyttäen yhtälöä (.9) energia voidaan esittää yös uodossa W μ H dv. (.4) V Lineaarisissa systeeeissä energia ja liittoenergia ovat yhtä suuret nueerisesti esi.,5li,5ψ /L tai (μ/)h (/μ)b.epälineaarisessa systeeissä Ψ ja i tai B ja H eivät ole verrannolli-
.3 LTY Juha Pyrhönen sia. Graafisessa esityksessä energia ja liittoenergia epälineaarisessa tapauksessa käyttäytyvät kuvan.5 ukaisesti. Ψ energia W x, vakio W Ψ energia W x, vakio W liittoenergia liittoenergia liittoenergia tiheys i i H a) b) c) B energia tiheys Kuva.5. Energian ja liittoenergian äärittely virran ja kääivuon avulla epälineaarisessa tapauksessa. Alue käyrän ja kääivuoakselin välillä saadaan integraalista idψ ja se edustaa agneettipiiriin varastoitunutta energiaa W. Alue käyrän ja virta-akselin välillä saadaan integraalista Ψdi ja se edustaa liittoenergiaa W. äiden energioiden sua on ääritelän ukaan. W + W iψ. (.5) Kuvan.4 laitteessa täytyy kentänvoiakkuuden tietyillä x:n ja i:n (tai Ψ:n) arvoilla olla riippuaton siitä, onko se laskettu energiasta vai liittoenergiasta. Graafinen esitys selventää asiaa. Oletetaan että ankkurikelan ies on asennossa x siten että laite toiii pisteessä a, kuva.6 a). Osittaisderivaatta kaavassa (.9) voidaan tulkita raja-arvoksi Δ W / Δx, kun kääivuo Ψ on vakio ja Δx. Jos sallitaan uutos Δx, niin uutos ΔW näkyy kuvassa.6 a) varjostettuna alueena. Täten voia on F on varjostettu alue jaettuna Δx:llä kun Δx. Voian suunta on negatiivisen x- akselin suunta. Toisaalta osittaisderivaatta voidaan tulkita raja-arvona ΔW /Δx, kun i on vakio ja Δ x. Kuvien.6 a) ja.6 b) varjostetut alueet eroavat toisistaan pienen kolion abc verran, jolla on kahtena sivuna Δi ja ΔΨ. Raja-arvoa laskettaessa annetaan Δx:n lähestyä nollaa ja tällöin yös varjostettujen alueiden pinta-alat lähestyvät toisiaan.
.4 LTY Juha Pyrhönen Ψ siirron jälkeen b a Ψ ΔΨ siirron jälkeen b c a x Δx ΔW x Δx +ΔW alkuper. x, vakio Δi alkuper. x, vakio i a) Ψ on vakio, i pienenee b) i on vakio, kääivuo kasvaa i Kuva.6. Δx uutoksen vaikutus energiaan ja liittoenergiaan: (a) energian uutos, kun Ψ on vakio; (b) liittoenergian uutos, kun i on vakio. Yhtälöt (.94) ja (.) ilaisevat ekaanisen voian, joka on sähköistä alkuperää, osittaisderivaattoina energian ja liittoenergian funktioista W (Ψ, x) ja W ( x, i). Fysikaalisesti voia riippuu ilavälin kentänvoiakkuudesta H. Tätä tarkastellaan seuraavassa kappaleessa. Kentän vaikutuksia voidaan e. perustein tutkia siis yös kääivuon Ψ ja virran i avulla. Kentänvoiakkuuden aiheuttaat voiat tai vääntöoentit pyrkivät kaikissa oloissa toiiaan siihen suuntaan, että agneettikenttään varastoitunut energia pienenee vakiovuolla tai agneettinen liittoenergia kasvaa vakiovirralla. Lisäksi agneettinen voia pyrkii kasvattaaan induktanssia ja liikuttaaan liikkuvia osia siten, että agneettipiirin reluktanssi asettuu iniiinsä..5 Maxwellin jännitystensori; radiaalinen ja tangentiaalinen jännitys Maxwellin jännitystensori on ehkäpä kaikkein geneerisin agneettista jännitystä, voiaa ja vääntöoenttia tuottava suure. Aieassa tarkasteltiin virtapeitteen tuottaaa tangentiaalista kentänvoiakkuutta, ikä on olennainen tangentiaalisen jännityksen, voian ja vääntöoentin tuotannossa. Maxwellin jännitystensoria käytetään usein nueeristen enetelien yhteydessä voiien ja vääntöoentin laskeiseen. Ajatus perustuu Faradayn väittäään, jonka ukaan vuoviivoissa esiintyy jännitystä. Kuva.7 esittää epätahtikoneen ilavälin vuoratkaisua koneen toiiessa kuoritettuna.
.5 LTY Juha Pyrhönen H n H tan Kuva.7 Kuoritetun 3 kw:n nelinapaisen oikosulkukoneen vuoratkaisu, kun kone pyörii oottorina vastapäivään. Kuvat esittävät voiakasta ylikuoritustilannetta. Tällöin kentänvoiakkuudella on suuri tangentiaalinen koponentti joka tuottaa paljon vääntöä. Kuvassa osa vuoviivoista ylittää ilavälin vinosti niin, että jos kuvittelee vuoviivat venyviksi aiheutuu niistä selvästi roottoria vastapäivään pyörittävä vääntöoentti. Maxwellin jännitysteorian ukaisesti tyhjössä kappaleitten välillä vaikuttava agneettikentänvoiakkuus aiheuttaa kappaleitten pinnalle jännityksen σ F, jonka suuruus on H σ F μ. (.6) Jännitys esiintyy voiaviivojen suuntaisena ja synnyttää yhtäläisen paineen niihin nähden suorassa kulassa. Kun jännitysteri jaetaan tarkasteltavan kappaleen suhteen noraali- ja tangentiaalikoponenttiinsa saadaan ( H H ) σ Fn μ n tan, (.7) σ μ H H. (.8) Ftan n tan Vääntöoentin tuottaisen kannalta kiinnostavin on tietysti tangentiaalikoponentti σ Ftan. Roottoriin vaikuttava kokonaisvääntöoentti saadaan integroialla jännitystensori esierkiksi roottorin sisäänsä sulkevan lieriön yli. Lieriö sijoitetaan niin, että se juuri sulkee sisäänsä koneen roottorin. Vääntöoentti saadaan kertoalla saatu tulos roottorin säteellä. Huoaa, että terästä ei saa jäädä integroitavan pinnan sisään. Maxwellin jännitystensori kuvastaa hyvin vääntöoentin syntyisekanisia. Valitettavasti nueerisista epätarkkuuksista johtuen esierkiksi eleenttienetelässä on aina suhtauduttava saatuun vääntöoenttitulokseen hiean varauksellisesti. Tään johdosta yös eleenttienetelää käytettäessä ratkaistaan vääntöoentti onesti uihin eneteliin perustuen. Yhtälössä (.7) todettiin, että virtapeite A synnyttää tangentiaalisen kentänvoiakkuuden sähkökoneeseen; H tan, δ A ja Btan,δ μ A. Yhtälön (.8) ukaisesti tangentiaaliselle jännitykselle ilavälissä saadaan paikallinen hetkellisarvoista riippuva lauseke σ μ H H μ H A B A. (.9) Ftan n tan n n
.6 LTY Juha Pyrhönen Ilavälivuontiheys ja virtapeite siis äärittävät sähkökoneissa esiintyvän tangentiaalisen jännityksen, joka tuottaa koneen vääntöoentin. Lauseke on siis keskeisen tärkeä koneensuunnittelun kannalta. Jos halutaan korostaa paikallisuutta ja aikariippuvuutta, kirjoitetaan lauseke uotoon σ ( x t) μ H ( x, t) H ( x, t) μ H ( x, t) A( x, t) B ( x, t) A( x t) F tan, n tan n n, Lauseke on keskeisen tärkeä lähtökohta sähkökoneiden kokoitoitukselle, sillä siitä voidaan suoraan laskea koneen vääntöoentti kunhan roottorin itat tunnetaan. ESIMERKKI Oletetaan ilaväliin siniuotoinen huippuarvoltaan,9 T:n ilavälivuontiheys ja siniuotoinen virtapeite, jonka aksiiarvo on 4 ka/. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että jakauat ovat päällekkäin l. vaihesiirtoa ei ole. Roottorin halkaisija ja pituus ovat kuatkin. Paljonko saadaan tehoa, jos koneen pyöriisnopeus on 45 in -. Koska σ ( x) B ( x) A ˆ F tan ˆn sin sin( x) ( ),5 ˆ ˆ Ftan x B A 8 kpa., saadaan keskiääräiselle tangentiaaliselle jännitykselle σ n Roottorin pinta-ala on π DL,6. Kerrotaan pinta-ala keskiääräisellä tangentiaalisella jännityksellä, jolloin saadaan 7. Tää tangentiaalinen voia esiintyy kaikkialla, :n vipuvarren päässä akselin keskipisteestä, joten vääntöoentiksi saadaan 7. Kulataajuus on 5 /s, joten tehoa saadaan noin 34 kw. ää arvot ovat varsin lähellä 3 kw:n täysin suljetun induktiokoneen arvoja. Sähkökoneissa esiintyvä tangentiaaliset jännitykset vaihtelevat 5 kpa:n välillä riippuen koneen rakenteesta, toiintatavasta ja varsinkin jäähdytyksestä. Esi. täysin suljettujen kestoagneettitahtikoneitten arvot vaihtelevat tyypillisesti välillä 3 kpa. Epätahtikoneilla arvot ovat hiean alhaiseat. Läpituuletetuissa suurissa induktiokoneissa lähestytään arvoa 5 kpa. Suoralla nestejäähdytyksellä voidaan päästä tätä erkittävästi suurepiinkin arvoihin. ESIMERKKI Tarkastellaan kahden rautakappaleen välissä vaikuttavaa voiaa. Ilavälin pinta-ala on c, ja vuontiheys,5 T. Oletetaan raudan suhteelliseksi pereabiliteetiksi 7. Oletetaan, että kentänvoiakkuuden tangentiaalikoponentti on nolla. σ Fn μ B n 5 Vs A 5 VAs 5 ( H n ) μ 8,95 8,95 8,95 3 μ A. Tällainen jännitys esiintyy siis ilavälissä. Rautaan vaikuttava voia saadaan likiäärin kertoalla jännitys pinta-alalla. Tarkein ottaen tulisi tarkastella raudan ja ilan pereabiliteettieroa, jolloin rautaan vaikuttava voia olisi 5 F F n Sσ F n, 8,95 894. μrfe 7 Ilaan epäagneettiseen ateriaaliin (μ r ) ei siis vaikuta voiaa, vaikka siinä esiintyykin kentänvoiakkuuden vuoksi jännitystä. Ainoastaan se osa ilavälivuosta, ikä aiheutuu rautapiirin
.7 LTY Juha Pyrhönen agneettisesta suskeptibiliteetista synnyttää voiaa. oraalivoialle voidaankin kirjoittaa jännitystensorin perusteella Bδ S δ F n. F (.) μ μr Raudalla /μ r <<, ikäli rauta ei ole pahasti kyllästynyt, joten käytännössä tää ei vaikuta asiaan erkittävästi. Esierkeistä havaitaan, että tangentiaalinen jännitys on pieni verrattuna noraalijännitykseen, ikä on tietysti harillista pyörivien koneiden suunnittelun kannalta. Tässä tapauksessa noraalijänni9tys oli 895 Pa ja tangentiaalinen jännitys 8 Pa. oraalijännitystä onkin yritetty joissain tapauksissa käyttää hyväksi yös pyörivissä koneissa..6 Itseisinduktanssi ja keskinäisinduktanssi Induktanssit ja keskinäisinduktanssit ovat sähkökoneiden erkittävipiä paraetreja. Pereanssi ääritellään yleisesti ja induktanssi Λ (.) Θ i Ψ L Λ. (.) i i Induktanssi kuvaa kelan kykyä tuottaa kääivuota, siksi sen yksikkökin Henry on yhtä kuin Vs/A. Vastaavasti keskinäisinduktanssi L ääritellään kääissä kulkevan virran I kääiin synnyttään kääivuon Ψ avulla L Ψ i. (.3) Siinä erikoistapauksessa, jossa kääin virran synnyttää vuo lävistää kaikki kääin ja silukat saadaan kääien väliselle pereanssille Λ, (.4) i ja keskinäisinduktanssille L. (.5) Λ Tässä on sen kääityksen kierrosluku, johon jännite indusoituu ja indusoivan kääityksen kierrosluku. Magneettipiirin energian lauseke voidaan kirjoittaa kääivuon avulla
.8 LTY Juha Pyrhönen W t di t dψ Ψ il i idψ. (.6) Haluttaessa laskea integraali voidaan ajatella tarkasteltava tilavuus jaetuksi vuoputkiin. Tällaisessa vuoputkessa kulkeva vuo syntyy :n kääikierroksen vaikutuksesta. Ottaalla huoioon, että kentänvoiakkuuden synnyttää virta i yhtälön H d l k w i ukaisesti saadaan vuoputkien yhteisen energian lauseke, ikä vastaa edellistä kääivuon ja virran avulla iloitettua energian lauseketta, uotoon W Ψ B id kw id H dl SdB HdVdB B Ψ HdBdV. (.7) V V B Tilavuusintegrointi on suoritettava sen tilavuuden V yli, jossa kyseinen tarkasteltava vuo kulkee. Tilavuutta kohti oleva energia saa siis tutun uodon dw dv B HdB, (.8) jolloin koko agneettipiiriin varastoituva energia on uotoa. B W HdBdV. (.9) V Kun kääivuo on verrannollinen virtaan i, saadaan energia uotoon i W L idi ½Li. (.) yt saadaan dw HB, (.) dv W HBdV V μh dv. (.) V Yhtälöiden (.), (.) ja (.) avulla voidaan laskea tilavuudeltaan V:n kokoisen agneettipiirin yleinen ideaalinen agneettinen pereanssi Λ HBdV V μh dv. (.3) i i V Tarkastellaan nyt kahta virtapiiriä, joiden yhteinen energia on Ψ Ψ idψ + d W i Ψ. (.4)