2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

Transkriptio

1 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä varten on syytä tehdä ensin pieniä valisteluja. Aloitan erkinnöillä. Merkintöjä ja esierkkejä Merkitsen kirjaiella N sitä voiaa, jolla alusta kannattelee assaa ja käytän siitä nieä noraalivoia tai yksinkertaisesti vain pinnan tukivoia. Voiaa, jolla assainen kappale painaa vetovoian vaikutuksesta alustaansa, erkitsen tällä kurssilla G :lla, jolloin siis G=. Huoautan vielä kerran, että N = G, jos kappale pysyy alustansa tukivoian varassa paikallaan. Vetävä voia ja työntävä voia esitetään piirroksessa juuri sillä tavalla kuin luulisikin. Kuvassa F 1 on työntävä voia ja F 2 sekä F 3 ovat vetäviä voiia: F 3 F 1 F 2 Fysiikassa ja tekniikassa käytetään joskus käsitettä vaikutussuora. Se esiintyy tilanteissa, issä voia vaikuttaa kappaleen tiettyyn pisteeseen ja sillä tarkoitetaan voian suuntaista suoraa, joka kulkee voian vaikutuspisteen kautta. Kitkavoiaa erkitsen F :llä, koska kitkakertoiesta käytetään yleensä kirjainta μ. Vaikka palaae kitkavoiaan tarkein vielä uudelleen, niin otan jo tässä vaiheessa täydellisyyden vuoksi ihan lyhyen katsauksen siihenkin. Kitkavoialle on luonteenoaista, että se vastustaa liikettä. Usein kitka haittaa eläääe, utta vielä useain elää ei olisi ollenkaan ahdollista ilan kitkaa. Jos kitkaa ei olisi, auton pyörät pitäisi korvata haasrattailla. Kitkakertoien lukuarvo riippuu pinnoista, joiden välisestä kitkasta on kysyys ja se on kokeellinen tieto. Kuten olet huoannut, jäällä oleva hiekka lisää kitkaa, utta portaissa tai jopa asvaltilla oleva hiekka saattaa vähentää sitä. Tiettyjen, ennalta valittujen kappaleen ja alustan välinen kitkakerroin μ ääritellään suhteena 1(5)

2 μ= F μ, issä voia F μ eli kitkavoia on suuruudeltaan saa kuin se rajavoia, joka tarkalleen tarvitaan, että kappale juuri ja juuri lähtee tai ei lähde liikkeelle, kun sitä työnnetään tai vedetään tällä voialla vaakasuoraan. Tällöin on tarkasti ottaen kysyys lepokitkasta. Koska kitka yleensä pienenee, kun kappale alkaa liukua ja yös pysyy pienepänä kuin lepokitka niin kauan kuin kappale liikkuu, niin liikekitka erotetaan oaksi kitkan lajikseen. Liikekitka on siis pienepi lepokitka. Kertaan vielä, itä vapaakappalekuvalla (free-body diara) eli voiakuvalla oikeastaan tarkoitetaan: vapaakappalekuvaan piirretään tarkasteltavien kappaleitten tutkiisen kannalta olennaiset voiat, liikkeet ja kiihtyvyydet näitten kappaleitten tai asiayhteyden näkökulasta. Kaikki tää esitetään vapaakappalekuvassa ahdollisian pelkistetysti ja ahdollisian selvästi. Esierkiksi pyöreä lehä ja pisteäinen lehä ovat aivan käypiä pelkistyksiä. Ota vapaakappalekuvaasi soveltuvin osin ukaan tilannekuva, joka on eri asia kuin vapaakappalekuva, utta hyvä lähtökohta kaikki systeein kappaleet selvästi erilleen toisistaan kuhunkin kappaleeseen vaikuttavat voiat kunkin voian suuruudet vektorien suhteellisina pituuksina koordinaatisto; äärittele koordinaatisto tarkoituksenukaisesti kunkin kappaleen kiihtyvyyden suunta Mukaan ei oteta esierkiksi kappaleitten sisäisiä voiia. Kappaleessahan saattaa olla vaikkapa sisäisiä jännitteitä, utta niitä ei oteta ukaan vapaakappalekuvaan eekä e piittaa niistä uutenkaan. Vaikka tilannekuvassa vielä olisikin aljakon lisäksi yös aljakossa olevat kukat, vapaakappalekuvaan niitä ei oteta elleivät ne ole asian kannalta jotenkin oleelliset. Luultavasti eivät ole. Esierkki 25 Heranni työntää kuorineen 200 kiloista kelkkaa luessa. Lui vastustaa kelkan liukuista 350 newtonin voialla, utta Heranni puskee eteenpäin 500 newtonin vaakasuoralla voialla. Piirrä tilanteesta vapaakappalekuva kelkan kannalta ja laske kelkan näissä olosuhteissa saaa 2(5)

3 kiihtyvyys. Ratkaisu Koska kitkavoian suuruus on 350 newtonia, Herannin 500 newtonin työntövoiasta jää nettoa 150 newtonia. Kelkan kiihtyvyys on siis 150 N 200 k =0,75 s 2. Merkitsen vapaakappalekuvaan koordinaateista vain niitten kasvusuunnat. 500 N N G N + Vastaus: Kelkan kiihtyvyys on 0,75 s 2. Esierkki 26 Piirrä vapaakappalekuva tilanteesta, issä katosta on ripustettu kitkattoasti pyörivä, assaton pyörä ja pyörän yli kulkevan assattoan köyden toisessa päässä on kiinni assa 1 ja toisessa assa 2. Massat 1 ja 2 eivät ole nollia ja 2 > 1 (Atwoodin kone, Wikipedia: Atwood's achine). Laske köyteen kohdistuvan rasituksen suuruus sekä assojen kiihtyvyys. Ratkaisu Kappaleen 1 Kappaleen 2 vapaakappalekuva vapaakappalekuva y y T 1 T 2 1 x x 3(5)

4 Näissä kuvissa x ja y viittaavat tavalliseen karteesiseen koordinaatistoon. Koska kappaleitten liike tapahtuu ylös alas -suunnassa, on järkevää valita y akselinkin suunta pystysuoraksi. Koska valitussa steriilissä tilanteessa ikään ei liiku vaakasuoraan, riittää, kun rajoitetaan yös tarkastelu pystysuoraan suuntaan. Tilanteen kutakin kappaletta kiihdyttää voia, joka jää, kun köyden voiasta vähennetään asianoaisen assan vetovoia. Siksi saadaan seuraavat yhtälöt, issä a i (i = 1,2) on kunkin kappaleen saaa kiihtyvyys: Kappale 1: T 1 1 = 1 a 1 Kappale 2: T 2 2 = 2 a 2. Koska sekä pyörä että köysi ovat assattoat ja pyörä pyörii ilan kitkaa, niin T 1 =T 2 ja a 1 =a 2. Merkitään näitä yhtä suuria arvoja ilan indeksiä T:llä ja a:lla. Kun saadusta yhtälöparista ratkaistaan a ja T, niin päädytään yhtälöihin a= T = Mistä johtuu, että tässä tilanteessa 1 < T < 2? Mitä tapahtuu, jos 1 = 0 ja 2 0? Jos vastoin oletusta 1 = 2, niin a = 0 eli kappaleet pysyvät paikoillaan. Huoaa, että tällöin yös T = 1! Jos vielä huvin vuoksi valitaan 2 = 2 1, niin a= 1 3 T = Kahden assan 1 ja 2 välisen ravitaatiovoian suuruus voidaan laskea yhtälöstä F G =G 1 2 r 2. Tässä G on ravitaatiovakio eli vakio, jonka tehtävä on sovittaa yksiköt toisiinsa. Sen suuruus on G=6, N k 2. 4(5)

5 Gravitaatiovakion tarkka ittaainen käytännössä on osoittautunut kuallisen hankalaksi. Koska F = a, jos assaa erkitään :llä ja kiihtyvyyttä a:lla, niin F. Kun tää yhdistetään ravitaatiovoian yhtälön kanssa, voidaan laskea Maan vetovoian kiihtyvyys. Käytetään seuraavia tietoja: Maan keskiääräinen tiheys on 5,517 Maan keskiääräinen säde on 6367,5 k c 3 Jos siis a= F eli siis kiihtyvyys a, jota haetaan, on ja Maan assa on =5,517 c ,5 k 3, niin =G 5,517 r 2=G c ,5 k 3 3 =9, ,5 k 2 s 2 Miksi tulos on suurepi kuin joka paikassa annettu arvo 9,81 s 2? Koska taulukoissa oleva arvo on standardipaikkakunnalla itattu arvo. Minä käytin Maan suurian ja pieniän säteen keskiarvoa. Saaa tekniikka voi tietysti soveltaa inkä tahansa taivaankappaleen vetovoian kiihtyvyyden laskeiseen. 5(5)