lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1)

Transkriptio

1 Jännitstila Tarkastellaan kuvan ukaista ielivaltaista koliulotteista kaaletta, jota kuoritetaan ja tuetaan siten, että se on tasaainossa. Kaaleen kuoritus uodostuu sen intaan kohdistuvista voiajakautuista, kuten ainevoiista ja kaaleen kaikkiin ateriaaliisteisiin vaikuttavista tilavuusvoiista, kuten ainovoia. Kuorituksista johtuen kaaleen isteisiin snt rasituksia. Kaaleen ielivaltaiseen isteeseen P kohdistuvia rasituksia voidaan tutkia kuvittelealla kaale jaetuksi isteen P kautta kulkevalla tasolla kahteen osaan. Valitun leikkauksen äärittelee sen noraalin suuntainen kkösvektori n. Kuva 1. Jännitsvektorin äärittel Pisteen P sisältävään intaeleenttiin ΔA kohdistuvien sisäisten voiien resultantti on ΔF. Pisteeseen P liittvän intaeleentin ΔA, jonka noraalin suunta on n, jännitsvektori on raja-arvo li F df A da A 0 (1) Kaavan raja-arvossa oletetaan, että eleentin ΔA ienentessä iste P s sen sisällä ja resultantin ΔF vaikutusiste lähest rajatta istettä P. Kun aineelle oletetaan kontinuuialli (jatkuva aine), raja-arvo on oleassa. Jännitsvektorin lauseke riiuu valitusta leikkauksesta eli vektorista n. Kaaleen isteen P jännitstila tarkoittaa kaikkien sen kautta asetettujen intaeleenttien jännitsvektorien uodostaaa joukkoa. Kaaleen jännitstilakenttä uodostuu sen kaikkien isteiden jännitstiloista. hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

2 Kuva. Jännitsvektorin koonentit Kuvassa on esitett differentiaalieleenttiin da kohdistuvan voiavektorin df suorakulaiset koonentit dn ja dq. dn on noraalin n suuntainen ja sitä sanotaan noraalivoiadifferentiaaliksi. dq on intaeleentin da suuntainen ja on nieltään leikkausvoiadifferentiaali. Voidaan siis kirjoittaa df dn + dq () Sijoittaalla tää htälöön (1) saadaan dn d da + Q da + (3) jossa vektoria sanotaan noraalijännitsvektoriksi ja vektoria leikkausjännitsvektoriksi. Kuvassa on esitett jännitsvektorin jako koonentteihin ja. Pisteen P jännitstilan tunteinen edellttää kaikkien siihen liittvien intaeleenttien jännitsvektorien tunteista. Näitä intaeleenttejä on ääretön äärä. Möhein tullaan osoittaaan, että riittää tuntea kolen toisiaan vastaan kohtisuorassa olevan intaeleentin jännitsvektorit. Nää kole intaeleenttiä valitaan koordinaattitasoista, jolloin niiden noraalit ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset. Kuvassa 3 da, da ja da z ovat tällaiset intaeleentit noraalien ollessa koordinaattiakseleiden negatiivisiin suuntiin. Näiden intaeleenttien jännitsvektorit ovat, ja z. Ne voidaan jakaa koordinaattiakseleiden suuntaisiksi koonenteiksi, jolloin kuhunkin intaeleenttiin tulee ksi noraalijännits- ja kaksi leikkausjännitskoonenttia kuvan 3 ukaisesti. Kun koordinaattiakseleiden ositiivisiin suuntiin olevia kkösvektoreita erkitään i, j ja k, saadaan intaeleenttien da, da ja da z jännitsvektoreiksi kuvan 3 erusteella hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

3 Kuva 3. Jännitstilan koonentit i j k z i j k z i j k z z z z (4) Kaavassa (4) on kätett erkintätaaa, jossa ensiäinen alaindeksi ilaisee intaeleentin noraalin suunnan ja leikkausjännitskoonenteissa toinen alaindeksi ilaisee jännitskoonentin suunnan. hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

4 Pistettä P ielivaltaisen lähellä olevan isteen P jännitstila voidaan hallita kättäällä kuvan 3 ukaisia intaeleenttejä da', da' ja da' z, joiden noraalit ovat koordinaattiakseleiden ositiivisiin suuntiin. Näiden intaeleenttien jännitsvektorit ovat kuvan 3 ukaan i j k,,,, z,,,, z,,,, z z z z i j k i j k (5) Kun iste P lähest istettä P, voian ja vastavoian eriaatteesta seuraa, että,,, ts.,, jne.,,,,, z z z Kuva 4. Jännitseleentti Pisteen P jännitstilan havainnollistaiseen voidaan kättää kuvan 4 ukaista differentiaalisuuntaissäriötä, jonka sivujen ituudet ajatellaan äärettöän ieniksi. Tällöin säriön vastakkaisten sivujen vastinjännitskoonentit ovat htä suuria ja vastakkaissuuntaisia. Pisteen P kautta kulkevia tahoja sanotaan negatiivisiksi tahoiksi ja uita ositiivisiksi tahoiksi. Niitkset johtuvat noraalien suunnista. Itse säriötä sanotaan jännitseleentiksi. Kuvasta 4 ilenee ös jännitskoonenttien erkkisoius. Positiivisen tahon jännitskoonentti on ositiivinen, jos se on koordinaattiakselin ositiiviseen suuntaan, utta negatiivisen tahon jännitskoonentti on ositiivinen, jos se on koordinaattiakselin negatiiviseen suuntaan. Pisteen jännitstila on tunnettu, kun tunnetaan sitä vastaavan jännitseleentin ositiivisten tahojen jännitskoonentit. Nää voidaan järjestää koliriviseksi neliöatriisiksi S, jota sanotaan jännitsatriisiksi. Jännitsatriisin kukin vaakarivi sisältää hden tahon jännitskoonentit ja sen lauseke on hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

5 S z z z z z (6) Jännitskoonenttien tasaainohtälöt Yleensä kuoritetun kaaleen jännitstila on erilainen sen eri isteissä. Näin oletettiin kuvassa 3 isteille P ja P. Siirrttäessä kaaleen isteestä sen lähinaauriisteeseen ei jännitstilan vaihtelu voi olla täsin ielivaltaista, vaan sen on taahduttava statiikan sääntöjen ukaisesti. Tästä seuraa, että jännitskoonenttien on toteutettava kaaleen isteissä tiett osittaisdifferentiaalihtälöt, joita sanotaan jännitskoonenttien tasaainohtälöiksi. Aksiaalinen jännitstila Johdetaan tasaainohtälöt ensin aksiaalisen jännitstilan taauksessa, jolloin vain -akselin suuntainen jännits- ja tilavuusvoiakoonentti on nollasta oikkeava. Tällöin voidaan tarkastella kuvan 5 ukaista kaaleen osaa, jonka oikkileikkaus on A ja ituus on Δ. f Kuva 5. + Tasaainohtälö aksiaalisessa jännitstilassa Voiatasaaino -suunnassa antaa (7) A A, A f A 0 josta sieventäällä ja jakaalla ituudella saadaan voiatasaainodifferentiaalihtälö, f 0 + (8) Tasojännitstila Johdetaan tasaainohtälöt sitten tasojännitstilan taauksessa, jolloin vain -tason suuntaiset jännits- ja tilavuusvoiakoonentit ovat nollasta oikkeavia ja lisäksi z-koordinaatista riiuattoia. Tällöin voidaan tarkastella kuvan 6 ukaista kaaleen osaa, jonka sivujen ituudet ovat Δ ja Δ sekä aksuus s. Koska Δ ja Δ oletetaan hvin ieniksi (ja loulta Δ, Δ 0), jännitskoonentit voidaan olettaa vakioiksi kullakin kuvan 6 alkion sivulla. Näitä edustavat sivujen keskiisteisiin iirrett jännitskoonentit. hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

6 B + + D f f + + A C Kuva 6. Tasaainohtälöt tasotaauksessa Siirrttäessä sivulta AB sivulle CD saa koonentti lisäksen Δ, jota aroksioidaan differentiaalilla eli Δ, Δ, jossa ilkun jälkeen erkitt alaindeksi tarkoittaa derivointia kseisen suureen suhteen. Sivun CD -suuntainen noraalijännits on siis +, Δ. Vastaavasti saadaan kuvan 6 uut jännitskoonentit. Eleenttiin vaikuttavat lisäksi - ja -akselin suuntaiset tilavuusvoiat f ja f. Tilavuusvoiat voivat aiheutua esierkiksi ainovoiasta tai kaaleen öriisestä. Jos ainovoia vaikuttaa -akselin negatiiviseen suuntaan, on f 0 ja f ρg, jossa ρ on kaaleen ateriaalin tihes. Koska tarkasteltava kaale on tasaainossa, on ös sen jokainen osa tasaainossa. Tää ätee ös kuvan 5 alkioon. Tasaaino tasossa erkitsee sitä, että voiatasaaino toteutuu - ja -suunnissa ja isteen A suhteen toteutuu oenttitasaaino. Moenttitasaainohtälö isteen A suhteen on Kun Δ, Δ 0 saadaan tulokseksi leikkausjännitsten arittainen htäsuuruus eli (9) Voiatasaaino -suunnassa antaa josta seuraa htälön (9) avulla kaavan (10) ensiäinen htälö. Voiatasaainohtälöstä -suunnassa saadaan vastaavalla tavalla kaavan (10) toinen htälö. + + f f 0 (10),,,, hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

7 Yhtälöt (10) ovat jännitskoonenttien tasaainohtälöt tasojännitstilassa. Yleinen jännitstila Yleisessä koliulotteisessa taauksessa tarkastellaan kuvan 7 ukaista suorakulaisen säriön uotoista ateriaalialkiota, johon vaikuttavat tilavuusvoiat - ja - ja z-suunnissa ovat f, f ja f z. Kuva 7. Tasaainohtälöt leisessä taauksessa Moenttihtälöistä -, - ja z-akseleiden suhteen seuraavat leikkausjännitsten arittaiset htäsuuruudet z z z z (11) Jännitsatriisi on setrinen ja sille voidaan kirjoittaa lauseke S z z z z z (1) Voiatasaainoista -, - ja z-akseleiden suunnissa saadaan jännitskoonenttien tasaainohtälöt f 0,, z, z f 0,, z, z f 0 z, z, z, z z (13) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

8 Kaaleen jännitstilakenttä on siis statiikan kannalta ahdollinen vain, jos se toteuttaa osittaisdifferentiaalihtälöt (13). Jännitskoonenttien transforointi Kuten kohdassa 1 esitettiin, riittää isteen P jännitstilan hallitseiseen kolen siihen liittvän toisiaan vastaan kohtisuoran intaeleentin jännitsvektorien tunteinen. Tää erkitsee jännitseleentin ositiivisten tahojen hdeksän jännitskoonentin tunteista. Kohdassa nätettiin leikkausjännitsten arittainen htäsuuruus, joten tarvitaan vain kuusi jännitskoonenttia. Seuraavassa nätetään, iten isteeseen P liittvän ielivaltaisen intaeleentin jännitskoonentit voidaan äärittää, kun nää kuusi jännitskoonenttia tunnetaan. Tasojännitstila Tutkitaan aluksi kuvan 8 tasojännitstilaa -tasossa. Määritetään jännitskoonentit intaeleentissä BC, jonka noraali n on -akselin suuntaan, kun jännitskoonentit, ja tunnetaan. Pintaeleentin BC kkösnoraali olkoon ( n ) ( n ) cos, cosθ l n cos, sinθ (14) Eleentin BC jännitsvektori on n n n (15) Kun intaeleentin BC alaa erkitään A, ovat intaeleenttien PC ja PB alat A sinθ ja A cosθ. Kuvan 8 kolioeleentin tasaainosta - ja -suunnissa saadaan n A A cosθ A sinθ 0 n A A cosθ A sinθ 0 (16) joista ratkeaa jännitsvektorin vaaka- ja stkoonentille lausekkeet n l + n l + (17) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

9 Kuva 8. Jännitskoonenttien transforointi Kaavojen (15) ja (17) erusteella kkösvektorin n suuntaiseksi jännitsvektoriksi saadaan n l + l + (18) Kaavassa (18) ielivaltaisen suunnan n jännitsvektori on lausuttu jännitskoonenttien, ja sekä vektorin n suuntakosinien l ja avulla. Kuvasta 8 saadaan lisäksi intaeleentin BC noraali- ja leikkausjännits ' ja '' ' nl + n ' ' n + nl (19) Sijoittaalla n ja n kaavasta (17) kaavaan (19) saadaan tulos ' l + l + ' ' l + l + l ( ) (0) htälöt (0) voidaan kirjoittaa uotoon ' l l ' ' ' l l l l l (1) jossa ' :n lauseke on saatu sijoittaalla koonentin ' lausekkeeseen kulan θ aikalle kula θ + π /. Kaavat (1) ovat tasojännitstilan jännitskoonenttien transforointikaavat, joilla voidaan laskea jännitskoonentit kulan θ kiertneessä ' ' - koordinaatistossa, kunhan -koordinaatiston koonentit tunnetaan. Yleinen jännitstila hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

10 Tarkastellaan leistä koliulotteista taausta. Kuvan 8 kolioeleentin sijasta kätetään kuvan 9 kaaleesta isteen P kohdalta leikattua tetraedrieleenttiä, jolloin tunnetaan sen koordinaattitasojen suuntaisten intaeleenttien PCD, PBD ja PBC jännitskoonentit ja ääritetään z-koordinaatistoon nähden vinossa asennossa olevan intaeleentin BCD jännitsvektori. Pintaeleentin BCD ksikkönoraali on l n n () issä suuntakosinit l cos (, ), cos (, ), n cos (, z) n n n sekä l + + n 1 (3) Kuva 9. Jännitskoonenttien transforointi Pintaeleentin BCD jännitsvektori on koonenttiuodossa n n n nz (4) Kun eleentin BCD alaa erkitään A, ovat intaeleenttien PCD, PBD ja PBC alat vastaavasti Aa, Ab ja Ac. Tetraedrin tasaainohtälöistä -, - ja z-suunnissa seuraa n A Aa Ab z Ac n A Aa Ab z Ac nz A z Aa z Ab z Ac (5) joista ratkeaa jännitsvektorin koonentille lausekkeet hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

11 n l + + zn n l + + zn nz zl + z + zn (6) Kaavojen () ja (6) erusteella saadaan jännitsvektorille n lauseke n l + + zn l + + n nz zl + z + zn n n z (7) joka voidaan edelleen tulkita atriisituloksi n z l nz z z z n n n z (8) tai lhesti (1) ja () n S n (9) jossa S on tarkasteluisteeseen liittvä jännitsatriisi ja n on tarkasteltavan suunnan noraalin suuntainen kkösvektori, jonka suunta on ateriaalista ulosäin. Vektorin koonentti noraalin n suuntaan on n n n (30) ja tason ABC suuntainen leikkausjännitskoonentti n n n n (31) Valitsealla z -koordinaatisto siten, että -akseli on vektorin n suuntaan sekä - ja z -akseli ovat intaeleentin BCD äärääässä tasossa, voidaan erkitä n. Leikkausjännitkset '' ja z'' saadaan jakaalla n koonentteihin - ja z -akseleiden suunnissa. Yllä esitetllä tavalla voidaan laskea uutkin z -koordinaatiston jännitskoonentit, z ja z. Ne voidaan kuitenkin laskea ssteaattisein, kun kätetään auna koordinaatiston kiertoatriisia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ', cos ', cos ', z l1 1 n1 L cos ', cos ', cos z ', z l n cos z ', cos z ', cos z ', z l3 3 n 3 (3) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

12 voidaan osoittaa, että S ' LSL T (33) jolloin S on z -koordinaatiston jännitsatriisi. Pääjännitkset ja suunnat Edellä johdettiin ielivaltaisen suunnan noraalijännitkselle lausekkeet (1) tasojännitstilalle ja (30) leiselle jännitstilalle. Näiden avulla voidaan tutkia noraalijännitksen ääriarvoja eli ääjännitksiä ja niiden esiintissuuntia eli ääsuuntia. Osoittautuu lisäksi, että ääsuunnissa leikkausjännits on nolla. Tasojännitstila Kättäällä kaavoja 1 l cos θ ( 1+ cos θ ) 1 l cosθ sinθ sin θ 1 sin θ 1 cos ( θ ) voidaan htälöt (18) kirjoittaa uotoon 1 1 ' ( + ) + ( ) cos θ + sin θ 1 1 ' ( + ) ( ) cos θ sin θ 1 ' ' ( ) sin θ + cos θ Noraalijännitksen ääriarvoehdoksi tulee kaavasta (1) ( ) ', 0 sin θ + cos θ 0 (34) θ tan θ (35) koska tan θ tan ( θ π / ) + tulee kaavasta (35) kaksi ääriarvokohtaa 1 θ arctan ja θ θ + π / 1 1 (36) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

13 Noraalijännitksellä on kaksi ääriarvoa, jotka esiintvät toisiaan vastaan kohtisuorissa suunnissa. Näitä suuntia sanotaan ääsuunniksi. Kaavoista (1) ja (34) seuraa, että leikkausjännits on ääsuunnissa nolla. Pääsuuntien noraalijännitkset ovat ääjännitkset, jotka saadaan kaavasta (1) sijoittaalla siihen tulos (35). Kaavasta (1) seuraa 1 1 ' ( + ) + ( ) cos θ 1+ tan θ josta välivaiheiden jälkeen (37) 1 1, ( + ) ± + (38) Pääjännits 1 esiint siinä kaavasta (36) saatavassa suunnassa θ, joka toteuttaa ehdon sin θ 0. Kaavasta (19) voidaan vastaavalla tavalla lötää leikkausjännitksen ' ääriarvot 1 ja sekä niiden esiintissuunnat. Tulokseksi saadaan 1 + kun θ θ1 π / 4 + kun θ θ1 + π / 4 (39) Yleinen jännitstila Tutkitaan sitten leisen koliulotteisen taauksen n-akselin suuntaista noraalijännitstä n, joka on htälön (30) ukaan ( ) l + + n + l + n + ln (40) n z z z Tavoitteena on tään jännitksen ääriarvojen lötäinen, kun tutkitaan sen vaihtelua suuntakosinien l, ja n funktiona. Ääriarvoja etsittäessä on otettava huoioon, että l, ja n eivät ole riiuattoia uuttujia, vaan niitä sitoo htälö (3). Olkoot seuraavassa l ja riiuattoat uuttujat, jolloin ääriarvoehdoksi tulee 0 ja 0 n, l n, (41) Edellä olevasta tulevat vaatiukset ( ) ( ) l + zn n, l + + z n, l + zn + zl n, l 0 + zn n, + l + z n + z n, + zl n, 0 (4) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

14 ( ) ( ) l + + zn + zl + z + z n n, l 0 l + + zn + zl + z + z n n, 0 (43) Yhtälön (6) erusteella tästä seuraa + n 0 n nz, l + n 0 n nz, (44) Koska n 1 l n n l n l / n. Saalla tavalla n, / n, joten kaavasta (44) tulevat ehdot, l, l n n l n nz (45) joka erkitsee sitä, että ääjännitsvektori on noraalin n suuntainen ja siis ääsuunnan leikkausjännits on nolla. Nätetään, että jokaisella jännitstilalla on ainakin kole ääsuuntaa. Merkitään ääjännitstä, jolloin ääsuunnalle ätee n n (46) joka htälön (8) ukaan voidaan lausua n l z l nz n z z z n n n z (47) ja edelleen z l 0 z 0 z z z n 0 (48) Yhtälöt (48) ovat suuntakosinien l, ja n hoogeeninen htälörhä. Koska l + +n 1, ei triviaaliratkaisu l n 0 kelaa. Ei-triviaaleja ratkaisuja on oleassa vain, jos rhän (48) kerroindeterinantti on nolla eli z 0 z z z z (49) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

15 Kehittäällä deterinantti äädtään htälöön 3 I1 + I I3 0 (50) jossa on erkitt I ( S ) ( S) 1 z z z z z I Tr I + + z det z z z z (51) Yhtälön (50) juuret 1, ja 3 ovat ääjännitkset. Kutakin ääjännitstä vastaa htälöiden (48) ukaisesti ääsuunta. Kaavasta (49) näk, että ääjännitkset ovat jännitsatriisin S oinaisarvot. Koska S on reaalinen ja setrinen atriisi, on sillä reaaliset oinaisarvot eli ääjännitkset ovat reaaliset. Ne voivat eritistaauksissa olla keskenään htä suuria. Voidaan osoittaa, että setrisen atriisin oinaisvektorit ovat ortogonaaliset eli ääsuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pääjännitkset ovat riiuattoia siitä, inkä koordinaatiston jännitskoonenteista ne on laskettu. Tästä seuraa, että kertoiet I 1, I ja I 3 eivät riiu kätettävästä koordinaatistosta. Näitä kertoiia sanotaan jännitsatriisin ääinvarianteiksi. Kun ääjännitkset on laskettu, saadaan ääsuunnat htälöistä (48) ja (3). Jos ääjännitkset ovat eri suuria, vastaa kutakin ääjännitstä ksikäsitteinen ääsuunta. Jos kaksi ääjännitstä on htä suuria, saadaan kolatta ääjännitstä vastaava ääsuunta ksikäsitteisesti äärätksi ja kaikki tätä vastaan kohtisuorat suunnat ovat ös ääsuuntia. Tätä taausta sanotaan slinteriäiseksi jännitstilaksi. Jos kaikki kole ääjännitstä ovat htä suuria, ovat kaikki suunnat ääsuuntia eikä leikkausjännitstä esiinn issään suunnassa. Kseessä on alloainen jännitstila. Kun ääjännitkset 1, ja 3 järjestetään algebralliseen suuruusjärjestkseen (etuerkki otetaan huoioon), kätetään erkinnöissä rooalaisia alaindeksejä eli I, II ja III, jolloin I on suurin ääjännits. Leikkausjännitksen n ääriarvot ja niiden esiintissuunnat saadaan vastaavalla tavalla kaavasta (31). Ääriarvoiksi tulee ± ± 3 ± (5) ja ne esiintvät ääsuuntien uolessa välissä. Ääriarvoista suurin esiint I- ja III-suunnan uolessa välissä ja se on a I III (53) hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)

16 Jännitskoonenttien reunaehdot Tarkastellaan jännitskoonenttien ja kaaleen reunainnalla vaikuttavien tunnettujen intavoiien htettä. Kaaleen sisäisteissä on jännitskoonenttien tasaainohtälöiden oltava voiassa, kuten kohdassa 1. esitettiin. Näiden htälöiden toteuttaisen lisäksi kaaleen jännitstilakentän on oltava reunan isteissä tasaainossa intakuoritusten kanssa. Tästä vaatiuksesta seuraavien htälöiden johtaiseksi tarkastellaan vielä kuvan 1.8 kaaleesta leikattua tetraedrieleenttiä olettaen kuitenkin, että taho BCD ht kaaleen ulkointaan. Oletetaan lisäksi, että tahon BCD intavoiavektori t tunnetaan eli t t t t z (54) Kuvan 8 tetraedrin tasaainoehdoista koordinaattiakseleiden suunnissa saadaan analogisesti kaavojen (4) kanssa t t l n z t z t z z z z (55) Kun tetraedriä ienennetään rajatta niin, että taho BCD s kaaleen ulkoinnalla, tulee iste P kaaleen reunalle ja htälöt (53) koskevat näin ollen reunan isteen jännitskoonentteja. -tason suuntaisessa tasojännitstilassa htälöt (53) ksinkertaistuvat uotoon t t t l (56) Yhtälöt (55) ovat jännitskoonenttien reunaehdot, jotka kaaleen jännitstilakentän on toteutettava niissä kaaleen ulkoinnan isteissä, joissa vaikuttavia intavoiia tunnetaan. hu (uutettu alkueräisestä Matti Lähteenäki)