LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.

Transkriptio

1 S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla Märitelän ukaan tilavuuden läötilakerroin on an der Waalsin tilanyhtälö on Nk N = a Nb ehtävässä annettu läötilakertoien lauseke on esitetty oolisten suureitten avulla Kirjoitetaan sen vuoksi van der Waalsin yhtälö ooliseen uotoon: ν a ν N k N R a = = ν N b b issä = / ν, b = N b, a = N a ätetään seuraavassa ilkut ja alaindeksi ois uistaen kuitenkin, että kysyyksessä ovat ooliset suureet Läötilakertoien ääritelässä oleva tilavuuden osittaisderivaatta voidaan laskea käyttäällä derivoinnin ketjusääntöä, joka voidaan todistaa oikeaksi ille tahansa kolelle tilanuuttujalle tai tilanfunktiolle x,y,z x y z = y z x z x y, Ketjusäännön johtainen on esitetty liitteessä C Sijoittaalla yhtälöön () z = voie kirjoittaa ( ) = R R a = ; = + b ( b ) R b R b R a b Sijoittaalla tää γ:n ääritelään saadaan ( ) = = R a + ( b ) x =, y = ja

2 ( ) ( ) R b = R a b LHSf5-* Kuvan ukaisessa systeeissä allo sulkee ullon tiiviisti Pullon sisältään kaasun adiabaattivakion γ äärittäiseksi allo saatetataan heilahteleaan Kun kitka on ieni, liike on lähes haronista Osoita, että / tällöin F = γ x, issä on kaasun aine ullossa, ullon tilavuus x ieni oikkeaa tasaainoaseasta ja värähtelyutken oikkiinta-ala Oletetaan, että kaasu ei ehdi vaihtaa läöä yäristön kanssa värähtelyjakson aikana Pallon heilahtelun yhteydessä kaasusäiliön tilavuus ja alloon kohdistuva voia uuttuvat Palloon vaikuttaa ainovoia ja ulkoinen aine ja ullon sisäinen aine Edelliset kaksi ovat vakioita ja allon ollessa levossa ullon sisäinen aine kuoaa ne Jos oikkeutae alloa tasaainoaseasta siihen kohdistuu voia joka aiheutuu ullon sisäisen aineen uutoksesta alitaan x-akseli allon liikesuuntaan ja olkoon tasaainoaseassa x = 0 Poikkeaa tasaainoaseasta olkoon x Koska tilavuuden uutos taahtuu adiabaattisesti ( vakio) ätee γ γ γ d( ) = 0 d + γ d = 0 Ratkaisealla tästä aineen uutos γ d = d ilavuuden uutos on d = dx, joten aineen uutoksesta aiheutuva voia voidaan kirjoittaa γ df = d = dx γ oia on siis haroninen ja jousivakio on k = Mittaalla värähtelyn oinaistaajuus γ ω M ja allon assa saadaan adiabaattivakio: ω = k / M = M asaainoaseassa ulkoisen aineen aiheuttaa voia 0 ja ainovoiasta aiheutuva voia Mg ovat yhtä suuret kuin ullon sisäisen aineen aiheuttaa voia ( = 0 + Mg ), joten voie yös sijoittaa ylläolevaan tulokseen = 0 + Mg / ällöin ullon sisäistä ainetta ei tarvitse itata, vaan riittää tuntea ulkoinen aine utken oikkiinta-ala ja allon assa

3 LHSf5-* Polytrooisessa rosessissa ideaalikaasu, jonka,40, uristetaan tilavuudesta = 0,0 l tilavuuteen = 5,00 l, jolloin sen aine suurenee arvosta =,00 bar arvoon = 5,00 bar Määritä olytrooinen eksonentti τ ja oolinen oinaisläökaasiteetti Cτ ko rosessille,40, = 0,0 l, = 5,00 l, =,00 bar, = 5,00 bar τ τ τ Polytrooiselle rosessille = vakio = c τ R = c +, kun sijoitetaan τ τ log log = τ = log( ) τ =, log 5 c = fr = R ja τ =, saadaan J c τ 4,5 ol K LHSf5-4* Carnot n koneen työaineena on ideaalikaasu, jonka c = R Isoterisessä laajeneisessa kaasun tilavuus kaksinkertaistuu diabaattisessa laajeneisessa loutilavuuden suhde alkutilavuuteen on 5,7 Kone tekee kierroksella työn 0,90 MJ Laske läövarastojen läötilat, joiden välillä kone toiii Kaasua on,0 kol Carnot n kone, ideaalikaasu c = R ; isoterisessä rosessissa on / =, adiabaattisessa rosessissa on / = 5,7, W = 0,90 MJ, ν =,0 kol Hyötysuhteen W yleinen ääritelä läövoiakoneelle on η = oisaalta Carnot n koneelle Q η C = 5 c = R f = + f = + = diabaattisille rosesseille saadaan: = 4 γ = = 5,7 γ γ Kokonaistyö on ln ln W = ν R + = ν R ( ) ln läövarastosta ottaa läö on Q = ν R ln 4 Kaasun yleästä

4 Q W W 5,7 W 5,7 W = = = ν R ln = η C 5,7 5,7 6 5,7 W 5,7 0,90 0 J = J ν R olk 5,7 ln, 0 0 ol 8, 4 ln 5,7 7, 46 K 0 K 7, 46 K = 7,8 K 7 K 5,7 5,7 LHSf5-5 Erään yksiatoisen kaasun tilavuuden läötilakerroin ja isoterinen kokoonuristuvuus ovat ν R a ja κ = +, issä ν on ooliäärä ja a on vakio Määritä kaasun tilanyhtälö ν R ν R ν R = = = + issä () on vakio, joka voi riiua aineesta a κ = = + = + a d dx Sijoitetaan + a = x = x a = x + a = x d d d dx = x a ln = ln x a + C C ( ) C( ) x a a = = x, () C a a a = x = + a = + issä C() on vakio, joka voi riiua läötilasta ilavuudelle saadaan lauseke C ( ) a = () Koska ratkaisujen () ja () täytyy olla saat, saadaan niitä vertaaalla ratkaisuksi ν R C ( ) a = + ja = () ν R a =,

5 arkistus voidaan suorittaa laskealla γ ja κ: ν R ν R a ν R a κ = = ( ν R)( + a ) a a a a = ( + a ) = = +, issä sijoitettiin läötila ratkaistuna tilanyhtälöstä ()