2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma
|
|
- Aarno Kouki
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä atomien elektroniverhojen siirtymiä, ja tämä johtaa indusoitujen varausten syntymiseen. Nämä varaukset pienentävät kylläkin sähkökenttää eristeen sisällä, mutta ne eivät ole riittävän suuria ulkoisen kentän kompensoimiseksi. Eristeillä on siis johteiden tavoin pyrkimys suojautua ulkoiselta sähkökentältä, mutta varausten vähäisen liikkuvuuden vuoksi tämä onnistuu vain osittain. Tämän vuoksi staattinen sähkökenttä pääsee tunkeutumaan eristeeseen. 2.1 Polarisoituma Tarkastellaan neutraalia atomia, jonka ydintä (varaus Ze) ympäröi symmetrinen elektroniverho (varaus Ze). Kun ulkoista kenttää ei ole, on ydin elektroniverhon 65
2 66 keskipisteessä. elektronipilvi (Ze) ydin (Ze) R el a 0 R nuc Kuva 2.1 Atomin varausjakautuma on pallosymmetrinen, eikä aiheuta ulkopuolelleen sähkökenttää. Jos atomi asetetaan ulkoiseen kenttään E, tämän aiheuttama voima vetää ydintä ja elektroniverhoa eri suuntiin. Koska atomiin vaikuttava voima on nolla, pysyy atomin painopiste paikallaan, ts. ydin pysyy suunnilleen paikallaan ja elektroniverho siirtyy. Koska ydin vetää elektroniverhoa puoleensa, asettuu elektroniverhon keskipiste sellaiselle etäisyydelle a ytimestä, että ulkoisen sähkökentän ja ytimen aiheuttamat voimat kumoavat toisensa. Näin syntyy sähköinen dipoli, jonka dipolimomentti on p = Zea. (2.1)
3 2.1. POLARISOITUMA 67 Elektroniverhon varauskeskipiste on R el = at at rρ el (r)dτ ρ el (r)dτ = 1 Ze at rρ el (r)dτ. missä ρ el (r) on elektroniverhon varaustiheys. Vastaavasti ytimen varausjakautuman painopiste on R yd = 1 rρ yd (r)dτ, Ze at missä ρ yd (r) on ytimen varaustiheys. Polarisoituneen atomin malli saadaan, kun positiiviset ja negatiiviset varausjakautumat korvataan niiden painopisteisiin asetetuilla pistevarauksilla. Näin syntyy dipolimomentti p = Zea = Ze(R yd R el )= at r [ρ yd (r)ρ el (r)] dτ = at rρ at (r)dτ (2.2) missä ρ at = ρ yd ρ el on atomin varaustiheysfunktio. Tarkastellaan nyt, mitä tapahtuu, kun eristekappale asetetaan sähkökenttään. Jos kenttä on kaikkialla sama ja aine on homogeenista, siirtyy jokaisen atomin elektroniverho ja siten myös elektronien yhdistetty varaustiheys matkan a.keskimääräinen varaus eristeen sisällä on kuitenkin edelleen nolla, sillä siirtymät kompensoivat toisensa. Sen sijaan eristeen ulkopinnoille jää kompensoimattomat vastakkaismerkkiset polarisaatiovaraukset σ p ja σ p
4 68 ei kenttää σ p E σ p δs δs Q = 0 Kuva 2.2 Q < 0 Q = 0 Q > 0 Jos eristeessä on N atomia tilavyysyksikössä, on elektronipilven varaustiheys NZe. Pinnalle δs on siis syntynyt varaus σ p δs = NZeδS a = NZeaδS = NpδS =Np δs (huomaa, että p on E:n suuntainen). Ytimien keskimääräinen varaustiheys on vastaavasti NZe ja pinnalle δs syntyy varaus σ p δs = NZeδS a = NZeaδS = NpδS = Np δs. Jos pinta on vinossa asennossa E:n suhteen, on kuvan 2.3 mukaan polarisaatiovaraus pintaelementissä δs σ p δs = NZeδSd = NZeaδScos ψ = NpδScos ψ = Np δs.
5 2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 69 d E a Kuva 2.3 δs ψ Pinnalle δs indusoituneelle polarisaatiovaraukselle on siis yleisesti voimassa missä σ p δs = Np δs = P δs, (2.3) P = Np (2.4) on väliaineen sähköpolarisoituma eli dipolimomenttitiheys. 2.2 Suhteellinen permittiivisyys ja suskeptiivisuus Eristeen pinnalle syntyvät polarisaatiovaraukset pienentävät sähkökenttää eristeen sisällä. Polarisatiovarausten määrä ei kuitenkaan voi olla kuinka suuri tahansa, vaan kaavan (2.3) perusteella sen määrää eristeen polarisoituma, joka puolestaan riippuu sähkökentästä ja eristeen ominaisuuksista. E 0 E Kuva 2.4 E 0
6 70 Tarkastellaan kondensaattoria tyhjiössä. Levyjen varauskate on σ ja sähkökenttä E 0. Pinnan S sisään jää varaus σa ja E 0 :n vuo sen lävitse on E 0 A. Gaussin lain perusteella silloin E 0 A = σa/ε 0, joten E 0 = σ/ε 0, Kondensaattorin kapasitanssi on S E 0 C 0 = Q V = Aσ E 0 d = ε 0A d. (a) Jos levyjen varaus pidetään samana ja niiden väliin tuodaan eriste, sen pinnalle indusoituu varauskate σ p = P. Soveltamalla jälleen Gaussin lakia pintaan S saadaan S E E = 1 ε 0 (σ P ), Kuva 2.5 josta σ = ε 0 E P.
7 2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 71 Kondensaattorin kapasitanssi on nyt C = Q V = Aσ Ed = (ε 0E P )A Ed = ( 1 P ) ε0 A ε 0 E d = εε 0A d. (b) Tässä ε =1 P ε 0 E on eristeen suhteellinen permittiivisyys. Polarisoituma voidaan nyt esittää muodossa P =(ε 1)ε 0 E. Isotrooppisessa väliaineessa P ja E ovat samansuuntaisia. Näinollen P =(ε 1)ε 0 E, (2.5) eli missä P = χ E ε 0 E, (2.6) χ E = ε 1 (2.7) on eristeen sähköinen suskeptiivisuus. Kaavoista (a) ja (b) seuraa, että C = εc 0.
8 72 Tämän perusteella voidaan määrittää eristeen permittiivisyys mittaamalla erikseen kapasitanssit, kun kondensaattori on täytetty ilmalla ja tutkittavalla eristeellä. Tällöin C/C ilma = ε/ε ilma ε = ε ilma C/C ilma. Osoittautuu, että saatu ε:n arvo ei riipu siitä, mihin jännitteeseen kondensaattori on varattu (tämä on voimassa kunnes kenttä kasvaa niin suureksi, että eristeessä tapahtuu läpilyönti). Eristeen permittiivisyys ei siis riipu sähkökentästä. Kun suhteellinen permittiivisyys on mitattu, voidaan suskeptiivisuus laskea määritelmästä (2.7). Koska P = N p, voidaan suskeptiivisuuden avulla edelleen laskea molekyylin dipolimomentti. Tulos on p = P N = χ Eε 0 E N. (2.8) Esim: CCl 4 :n dipolimomentti sähkökentässä E =10 7 V/m. ρ = 1600 kg/m 3 M = 156 g/mol Z =74 Lämpötilassa T =20 o Conε =2.24 N = N A ρ/m /m 3 p =(ε 1)ε 0 E/N 1, Cm. Jos p = Zea, niin a = p/ze =1, m, mikä on suuruusluokkaa 10 5 atomin halkaisija. Siirtymän a pienuudesta johtuu, että se on suunnilleen verrannollinen sähkökenttään. Tästä seuraa, että p E, joten myös P E. Tämän vuoksi siis ε on suunnilleen vakio, kuten kokeellisesti havaitaan.
9 2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS Paikallinen kenttä Kaavat P = (ε 1)ε 0 E ja p = P/N määrittelevät yksittäisen dipolimomentin ja makroskooppisen kentän välisen yhteyden. Koska todellinen kenttä vaihtelee atomin suuruusluokkaa olevassa mittakaavassa, ei keskimääräinen makroskooppinen kenttä kuitenkaan ole välttämättä se paikallinen kenttä, mikä polarisoi yksittäistä molekyyliä tai atomia. Molekyyli tai atomi kokee paikallisen kentän E loc, mikä aiheutuu eristeen ulkopuolella olevien varausten kentistä polarisaatiovarausten kentistä ympärillä olevien neutraalien atomien ja molekyylien (naapurimolekyylien) dipolimomenttien lähikentistä (E nb ). Kaukana olevien molekyylien dipolimomentit eivät vaikuta paikalliseen kenttään, sillä dipolikenttä pienenee nopeasti, kääntäen verrannollisena etäisyyden kuutioon. Myöskään atomin tai molekyylin omat varaukset eivät vaikuta paikalliseen kenttään. Voidaan siis kirjoittaa E loc = EE nb. Kaasussa molekyylit ovat niin kaukana toisistaan, että lähikenttä on vähäinen. Silloin E loc = E,
10 74 joten Siis p =(χ E /N ) kaasu ε 0 E loc. p = αε 0 E loc, (2.9) missä ( ) χe α =. (2.10) N kaasu Verrannollisuuskerrointa α nimitetään molekyylin polarisoituvuudeksi ja se on siis yksittäisen molekyylin ominaisuus. Koska juuri paikallinen kenttä venyttää molekyyliä, on yhtälö (2.9) voimassa myös, kun aine on kiinteässä tai nestemäisessä muodossa Pooliset molekyylit Edellä onkäsitelty molekyylejä, joihin syntyy ulkoisen sähkökentän vaikutuksesta indusoitu dipolimomentti. On myös olemassa molekyylejä, joilla on nollasta poikkeava dipolimomentti, vaikka ulkoinen sähkökenttä on nolla; tällaisia molekyylejä nimitetään poolisiksi. Esimerkkejä poolisista molekyyleistä ovat NaCl ja vesi. Vaikka aineen yksittäisillä molekyyleillä onkin pysyvä dipolimomentti, on aineen polarisoituma ilman ulkoista sähkökenttää nolla, sillä molekyylien dipolimomentit ovat satunnaisesti orientoituneita ja sen vuoksi kumoavat toisensa. Ulkoinen sähkökenttä pyrkii kääntämään permanentit dipolit itsensä suuntaisiksi ja aiheuttaa aineen polarisoituman.
11 2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 75 Dipolin potentiaalienergia Tarkastellaan kahdesta pistevarauksesta muodostunutta dipolia, jonka dipolimomentti muodostaa kulman θ ulkoisen vakiosähkökentän E kanssa. Varausten välistä etäisyyttä pidetään vakiona. Tällöin niiden välistä vuorovaikutusta ei tarvitse ottaa huomioon, ja potentiaalienergia E:n potentiaalikentässä φ on θ U = i q i φ i = q(φ B φ A ). Potentiaaliero saadaan integraalina Kuva 2.7 joten φ B φ A = B A E dl = ae cos θ, U = qae cos θ = pe cos θ = p E. (2.11) Tämä pätee myös molekyylille, jonka dipolimomentti on p. Valitaan molekyylin keskipiste origoksi, jolloin ulkoisen sähkökentän potentiaali on Taylorin sarjaksi kehitettynä φ(r) =φ(0) r φ(0)...= φ(0) r E(0)...
12 76 Tällöin potentiaalienergia paikallisessa kentässä E on U = ρ at φdτ = φ(0) ρ at dτ } {{ } 0 [ ] rρ at dτ } {{ } p E(0) = p E. Tämän lisäksi molekyylillä on oma sisäinen potentiaalienergiansa. Poolisen kaasun suskeptiivisuus Kaasussa E loc E. Dipolin potentiaalienergia saa minimin pe, kun p ja E ovat samansuuntaisia ja maksimin pe, kun p ja E ovat vastakkaissuuntaisia. Dipolin kääntämiseksi kentän suunnasta vastakkaiseen suuntaan tarvitaan siis työ 2pE. Koska poolisella kaasulla dipolin varaus on alkeisvarauksen suuruusluokkaa ja dipolin pituus atomin halkaisijan suuruusluokkaa, on dipolimomentti p 1, Cm=1, Cm. Sähkökentät voivat kaasussa olla enintään 10 6 V/m, joten 2pE 2 1, J J. Tämä on paljon pienempi kuin kaasun keskimääräinen terminen energia 3/2kT = J (lämpötilassa T = 293 K). Jos kaasu asetetaan sähkökenttään, kenttä pyrkii orientoimaan kaikki dipolit itsensä suuntaisiksi. Suuren energiansa avulla lämpöliike estää tämän, ja kaasussa on
13 2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 77 edelleen kaikkiin suuntiin osoittavia dipoleja. Suuntajakautuma kuitenkin muuttuu sellaiseksi, että kentän suuntaisia dipoleja on hiukan enemmän kuin vastakkaissuuntaisia ja nettoefektinä saadaan kentän suuntainen polarisoituma. Tarkastellaan avaruuskulmaa dω, joka saadaan pyöräyttämällä kuvan mukaista kulmaa dθ z akselin ympäri. Ilmeisesti dω = 2πr sin θ rdθ r 2 =2π sin θdθ. Jos E = 0, ovat kaikki mahdolliset dipolien suunnat yhtä todennäköisiä. Jos kaasussa on N molekyyliä (dipolia) tilavuusyksikössä, on niiden dipolien lukumäärä, joiden suunta osuu välille (θ, θ dθ) 0 dθ r θ rdθ rsinθ z N dω 4π = 1 N sin θdθ. 2 Kuva 2.8 Jos zakselin suuntainen sähkökenttä E 0, on suuntaan θ osoittavan dipolin potentiaalienergia U = pe cos θ. Dipolit noudattavat Boltzmannin jakautumaa, joten kulmaan dθ osoittavien dipolien lukumäärä tilavuusyksikössä on dn(θ) =A exp( U/kT)dΩ =A exp( U/kT) 2π sin θdθ.
14 78 Koska U/kT 1on exp( U/kT) 1 U kt cos θ =1pE, kt joten dn(θ) =2πA sin θ ( 1 ) pe cos θ dθ kt Dipolien kokonaislukumäärä tilavuusyksikössä saadaan integroimalla dn(θ) kaikkien suuntien yli. Siis N = π 0 = 2πA π / 0 dn(θ) dθ =2πA dθ ( π 0 sin θ cos θ pe sin2 θ 2kT ( ) 1 ) pe cos θ dθ kt =2πA(110 0) = 4πA, mistä A = N 4π ja dn(θ) =N 2 sin θ ( 1 ) pe cos θ dθ. (2.12) kt Koska suuntajakautuma on symmetrinen zakselin suhteen, dipolimomenttien z akselia vastaan kohtisuorat komponentit kumoavat toisensa ja syntyvä polarisoituma on zakselin suuntainen. Suuntaan θ osoittavan dipolimomentin zkomponentti
15 2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 79 on p cos θ. Kun lasketaan tilavuusyksikössä olevien kaikkiin suuntiin osoittavien dipolimomenttien zkomponentit yhteen saadaan polarisoituma P = = Np 2 = Np 2 p cos θdn(θ) = Np 2 π 0 π / 0 π 0 cos θ sin θ (cos θ sin θ pe kt sin θ cos2 θ)dθ ( sin 2 θ pe ) 2 3kT cos3 θ ( 1 ) pe cos θ dθ kt = Np 2 2 pe 3kT = Np2 E 3kT. Siis P = Np2 E 3kT. (2.13) Kaikkiin molekyyleihin syntyy vielä kentän suuntainen indusoitunut dipolimomentti, jonka suuruus määräytyy molekyylin polarisoituvuudesta α. Tämä aiheuttaa polarisoitumaan lisän Nαε 0 E, joten kokonaispolarisoituma on P = ( Nαε 0 Np2 3kT ) E ja suskeptiivisuus χ E = N ( α ) p2. (2.14) 3ε 0 kt
16 80 Tätä yhtälöä voidaan käyttää poolisen molekyylin polarisoituvuuden ja permanentin dipolimomentin määrittämiseen. Mitataan suskeptiivisuus eri lämpötiloissa vakiotiheydessä. Kun piirretään χ E 1/T :n funktiona, saadaan suora, jonka kulmakerroin on Np 2 /(3ε 0 k) ja joka leikkaa pystyakselin pisteessä Nα. Kun N tunnetaan, kulmakertoimesta voidaan ratkaista p ja leikkauspisteen koordinaatista α. 2.3 Makroskooppiset kentät eristeessä Edellä tarkasteltiin vain homogeenista polarisoitumaa. Polarisoituma voi olla myös paikasta riippuva jos väliaine on epähomogeenista tai jos sähkökenttä on epähomogeeninen. Esimerkki epähomogeenisesta sähkökentästä on koaksiaalikaapeli tai sylinterikondensaattori, jossa sähkökenttä on radiaalinen ja pienenee sylinterin säteen funktiona. Seuraavassa tarkastellaan polarisoituman epähomogeenisuuden seurauksia.
17 2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ Polarisaatiovarauksen tiheys Tarkastellaan sähköisesti neutraalin aineen sisällä olevaa kuutiota δx δy δz. Jos sähkökentän kytkemisen seurauksena aineeseen syntyy polarisoituma, jonka xkomponentti on positiivinen, siirtyy sivun ABCD läpi elektroneja negatiivisen xakselin suuntaan ja ne kuljettavat kuutiosta ulos varauksen P x (x)δyδz. Samoin siirtyy sivun EFGH läpi kuution sisään varaus P x (x δx)δyδz, joten xakselin suuntaisten varausten siirtymien vuoksi kuutio saa nettovarauksen H z D δz x A P x (x) δy δz δy G xδx E F x P x (xδx) δy δz Kuva 2.13 P x (x δx)δyδz [ P x (x)δyδz] = [P x (x δx) P x (x)]δyδz = δp x δx δxδyδz. Jos P x on negatiivinen, tapahtuu elektronien siirtyminen päinvastaiseen suuntaan: varaus P x (x)δyδz siirtyy kuution sisälle ja P x (x δx)δyδz kuutiosta ulos, joten nettovaraukselle saadaan sama tulos kuin yllä. Samoin voidaan laskea varausten y jazakselin suuntaisten siirtymien vaikutus. Laskemalla nämä kaikki yhteen saadaan kuution sisälle siirtyväksi kokonaisvaraukseksi ( δpx Q = δx δp y δy δp ) z δx δy δz. δz C δx B y
18 82 Keskimääräinen varaustiheys kuution sisällä on ρ p = Q δx δy δz = ( δpx δx δp y δy δp z δz Kun annetaan δx 0, δy 0jaδz 0, saadaan polarisaatiovarauksen tiheydeksi ( Px ρ p = x P y y P ) z = P. (2.17) z Epähomogeeninen polarisoituma voi siis aiheuttaa tällaisen makroskooppisen varaustiheyden. Tämä kaava on samaa muotoa kuin Gaussin laki. Miinusmerkin vaikutus on, että polarisoituman kenttäviivat kulkevat negatiivisista polarisaatiovarauksista positiivisiin. Jos lasketaan polarisaatiovarausten summa koko väliaineessa, saadaan S σ p ds V ρ p dτ = S P ds V Pdτ = V ) Pdτ. V Pdτ =0, kuten tulee ollakin, sillä polarisaatiovaraukset aiheutuvat ulkoisesti neutraalin väliaineen erimerkkisten varausten uudelleenjärjestäytymisestä Sähkövuon tiheys Eristeeseen voidaan myös tuoda tai siitä poistaa varauksia, jolloin se ei ole ulkoisesti neutraali. Tällaisia varauksia sanotaan vapaiksi varauksiksi ja niihin liittyvää
19 2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 83 varaustiheyttä vapaiden varauksien tiheydeksi ρ f. Kokonaisvaraustiheys ρ on Gaussin lain ja yhtälön (2.17) avulla saadaan ρ = ρ f ρ p. (2.18) Tämä voidaan esittää muodossa E = ρ ε 0 = 1 ε 0 (ρ f ρ p )= 1 ε 0 (ρ f P) ε 0 E = ρ f P ε 0 E P = ρ f (ε 0 E P) =ρ f. D = ρ f, (2.19) missä on määritelty uusi vektorikenttä sähkövuon tiheys (eli sähköinen siirtymä, electric displacement) kaavalla D(r) =ε 0 E(r)P(r). (2.20) D:n yksikkö on sama kuin P:n yksikkö, siis C/m 2. Koska P = ε 0 χ E E, voidaan sähkövuon tiheys esittää myös muodossa D =(1χ E )ε 0 E = εε 0 E. (2.21)
20 84 Huomaa, että (2.19) on Gaussin lain uusi esitysmuoto, missä polarisaatiovaraukset on automaattisesti huomioitu. Jos (2.19) integroidaan tilavuuden V yli, saadaan V D dτ = V ρ f dτ. Divergenssilauseen avulla voidaan ensimmäinen integraali muuttaa pintaintegraaliksi, jolloin saadaan Gaussin lain integraalimuoto: S D ds = V ρ f dτ, (2.22) eli sähkövuo (D:n vuo) suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin pinnan sisäänsä sulkema vapaa varaus. D:tä voidaan pitää matemaattisena käsitteenä, joka on hyödyllinen kenttien laskemisen apuväline, mutta jolla ei ole yhtä selvää fysikaalista merkitystä kuin E:llä (voima yksikkö varausta kohti) ja P:llä (dipolimomenttitiheys). Esim: Sylinterikondensaattorin sähkökenttä ja kapasitanssi. Kondensaattorin sisäsäde on a, ulkosäde b ja pituus l. Eristeaineen suhteellinen permittiivisyys on ε.
21 2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 85 Oletetaan, että sisäsylinterillä on (vapaa) positiivinen varauskate σ. Tällöin syntyy sylinterisymmetrinen radiaalinen kenttä. Valitaan pinnaksi S sylinteri, jonka säde on r. Tällöin Gaussin lain avulla D ds =2πrlD(r) =2πaσl, S mistä D(r) = aσ r ja E(r) = D εε 0 = aσ εε 0 r. Ulko ja sisäsylinterin välinen potentiaaliero on φ b φ a = b a E dr = b a E dr = Siis kondensaattorin jännite on V = φ a φ b = aσ ln b εε 0 a. joten kapasitanssi pituusyksikköä kohti on D:n ja E:n rajaehdot C l b a aσ εε 0 r = Q/l V = 2πaσ εε 0 aσ ln(b/a) = 2πεε 0 ln(b/a). a) Kenttä kohtisuorassa rajapintaa vastaan b a r Kuva 2.14 dr = aσ εε 0 ln b a,
22 86 Tarkastellaan kondensaattorilevyjen väliin asetettua neutraalia eristekappaletta, joka on ohuempi kuin kondensaattorilevyjen väli. Gaussin lain mukaan σ p ds 1 E ds = 0, ε 0 S S 1 joten sähkökenttä ei ole sama ilmassa ja eristeessä. Näinollen sähkökenttä ei ole jatkuva eristeen rajapinnalla S 1. Sen sijaan Dkentän vuohon vaikuttavat vain vapaat varaukset, ja koska ρ f = σ f =0, on myös S D ds =0 D 1 = D 2 = D. S S 1 a b Kuva 2.15 Dkenttä on siis jatkuva pinnalla, joka on kohtisuorassa kenttää vastaan ja jolla ei ole vapaita varauksia. Kuvan tapauksessa D on siis vakio kondensaattorilevyjen välissä. Sähkökentälle saadaan eri alueissa arvot E 1 = D/ε 0, E 2 = D/(εε 0 )=E 1 /ε. Potentiaaliero levyjen välillä on V = E 1 (a b)e 2 b = E 1 (a b b/ε). Varaustiheydet levyjen pinnoilla ovat ±ε 0 E 1 ja varaukset ±Q = ±ε 0 E 1 A, missä A
23 2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 87 on levyjen pintaala. Kapasitanssiksi saadaan siis C = Q V = ε 0 E 1 A E 1 (a b b/ε) = ε 0 A a b b/ε. D, E ja Pkentät ovat siis seuraavan kuvan mukaiset ja kaikkialla on voimassa D = ε 0 E P. D E Kuva 2.16 P b) Kenttä vinossa asennossa rajapintaa vastaan
24 88 Tarkastellaan kahden aineen rajapintaa S tilanteessa, jossa sähkövuon tiheys muodostaa kulmat θ 1 ja θ 2 rajapinnan normaalin kanssa. Valitaan tilavuuselementti δτ siten, että se leikkaa S:stä elementin δs, ja sen pintojen normaalit δs 1 ja δs 2 ovat S:n normaalin suuntaiset. Jos pinnalla ei ole vapaita varauksia, on D:n vuo δτ:n rajapinnan läpi nolla. Jos δτ:n annetaan lähetä nollaa siten, että δs 1 ja δs 2 lähestyvät δs:ää kummaltakin puolelta, jäävät vuointegraaliin vaikuttamaan vain δs 1 :n ja δs 2 :n läpi kulkevat vuot, ja D 1 δs 1 D 2 δs 2 =0. δs 1 δs ε 2 D 1 θ 1 θ 2 ε 1 δs 2 Kuva 2.17 D 2 Käytetään D 1 :n ja D 2 :n pintaa S vastaan kohtisuorista komponenteista merkintöjä D 1 ja D 2. Tällöin D 1 δs 1 = D 1 δs ja D 2 δs 2 = D 2 δs, joten e.o. yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon D 1 = D 2, (2.23) eli sähkövuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva kahden aineen rajapinnalla. Jotta D:n suuntien θ 1 ja θ 2 välinen riippuvuus tunnettaisiin, tarvitaan myös ehto
25 2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 89 D:n tangentiaalikomponenttien D 1 ja D 2 välille. Tämä voidaan johtaa sähkökentän avulla. Valitaan suorakulmion muotoinen silmukka, jonka S:n suuntaiset sivut ovat δl 1 ja δl 2. Koska E on konservatiivinen, on sen kiertointegraali tämän silmukan ympäri nolla. Annetaan silmukan pintaalan lähetä nollaa siten, että δl 1 ja δl 2 lähenevät S:ää kummaltakin puolelta, jolloin kiertointegraaliin jäävät vaikuttamaan vain termit E 1 δl 1 ja E 2 δl 2. Silloin inegraaliksi saadaan E 1 δl 1 E 2 δl 2 =0. Koska δl 1 = δl 2 = δl, one 1 δl 1 = E 1 δl ja E 2 δl 2 = E 2 δl, joten E 1 = E 2, (2.24) ε 1 E 1 δs 1 θ 1 δl 1 eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva kahden aineen rajapinnalla. Yhtälöiden (2.23) ja (2.24) avulla voidaan johtaa kenttäviivojen taittumislaki kahden aineen rajapinnalla. Nimittäin ε 2 δl 2 δs 2 θ 2 Kuva 2.1 E 2 (2.23) D 1 cos θ 1 = D 2 cos θ 2 ε 1 E 1 cos θ 1 = ε 2 E 2 cos θ 2 (2.24) E 1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2, mistä jakamalla puolittain saadaan
26 90 ε 1 cot θ 1 = ε 2 cot θ 2. Tämä on sama tulos kuin optiikasta tuttu valon taittumista kuvaava Snelliuksen laki. 2.4 Eristeen vaikutus systeemin potentiaalienergiaan Jos kondensaattorissa, jonka jännite on V siirretään infinitesimaalinen varaus dq levyltä toiselle, on tehty työ ja samalla kondensaattorin potentiaalienergian muutos du = V dq. Koska Q = CV ja C on vakio, varauksen muutos dq aiheuttaa kondensaattorin jännitteen muutoksen dv,jadq = CdV, joten du = CV dv. Samalla tapahtuu automaattisesti vähäinen polarisaatiovarausten liike kondensaattorilevyjen välisessä eristeessä. Kun varaamaton kondensaattori ladataan jännitteeseen V, saa se potentiaalienergian U = du = V CV dv = 1 2 CV 2 = 1 QV. (2.25) 2 0 Tämä tulos on sama kuin (1.38), joka johdettiin olettaen kondensaattorilevyjen olevan tyhjiössä. Eriste kuitenkin vaikuttaa kondensaattorin kapasitanssiin, joten
27 2.4. ERISTEEN VAIKUTUS SYSTEEMIN POTENTIAALIENERGIAAN 91 jännitteeseen V ladatun kondensaattorin potentiaalienergia riippuu siitä, mitä eristettä levyjen välissä on. Levykondensaattorille 1 2 CV 2 = 1 2 εε 0 A d V 2. Koska kondensaattorin tilavuus on Ad, on kentän energiatiheys 1 2 εε A 0 d V 2 Ad = 1 2 εε 0E 2 = 1 2 DE. Näyttää siis siltä, että eristeessä olevan sähkökentän energiatiheys on D E/2 ja tilavuudessa V oleva sähköstaattinen energia on U = 1 2 V D E dτ. (2.26)
Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon
30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
LisätiedotHarjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.
SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen
LisätiedotSähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Kondensaattorit ja kapasitanssi
Sähköstatiikka ja magnetismi Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 1.5.13 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja
LisätiedotMagneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
LisätiedotFY6 - Soveltavat tehtävät
FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
Lisätiedot12. Eristeet Vapaa atomi. Muodostuva sähköinen dipolimomentti on p =! " 0 E loc (12.4)
12. Eristeet Eristeiden tyypillisiä piirteitä ovat kovalenttiset sidokset (tai vahvat ionisidokset) ja siitä seuraavat mekaaniset ja sähköiset ominaisuudet. Makroskooppisen ulkoisen sähkökentän E läsnäollessa
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
Lisätiedot12. Eristeet Vapaa atomi
12. Eristeet Eristeiden tyypillisiä piirteitä ovat kovalenttiset sidokset (tai vahvat ionisidokset) ja siitä seuraavat mekaaniset ja sähköiset ominaisuudet. Makroskooppisen ulkoisen sähkökentän E läsnäollessa
Lisätiedot1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla
PERMITTIIVISYYS Johdanto Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä. Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset +Q ja Q ja levyjen
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotTermodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki
Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
Lisätiedottyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot1 Voima ja energia sähköstatiikassa
1 Voima ja energia sähköstatiikassa ähköstatiikassa tarkastellaan levossa olevia sähkövarauksia. 1.6 ähkövaraus Ranskalainen fyysikko Charles Coulomb osoitti kokeillaan v. 1785, että sähköllä varattujen
LisätiedotPERMITTIIVISYYS. 1 Johdanto. 1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla . (1) , (2) (3) . (4) Permittiivisyys
PERMITTIIVISYYS 1 Johdanto Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset ja ja levyjen välillä
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 3 Tavoitteet Sähköpotentiaali Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin määrittäminen Tasapotentiaalipinnat Potentiaaligradientti
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut
A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotLuento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
LisätiedotCoulombin laki ja sähkökenttä
Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;
Lisätiedot76132S Sähkömagneettinen säteily 1
763 ähkömagnttinn säti. MAXWELLIN YHTÄLÖT Kaikki sähkömagnttisia knttiä koskvat kassist imiöt voidaan johtaa njästä htäöstä. Thjössä nämä sähköknttää E ja magnttiknttää B kuvaavat htäöt saavat suraavan
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka vastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V.
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotFy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13
Fy06 Koe ratkaisut 9.5.0 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/3 Koe. Yksilöosio. 6p/tehtävä.. Kun 4,5 V:n paristo kytketään laitteeseen, virtapiirissä kulkee,0 A:n suuruinen sähkövirta ja pariston napojen välinen
Lisätiedoton myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
Lisätiedot4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus
LisätiedotHALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA
1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotFysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto
Fysiikka Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 4..3 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja jännitteen suhe Yksikkö
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
LisätiedotLämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 5 / versio 6. lokakuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.6 4.11) Johteet ja eristeet Ohmin ja Joulen lait Reunaehdot Kapasitanssi Sähköstaattinen
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotLuku Sähköinen polarisoituma
Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Tässä luvussa tutustutaan sähkökenttään väliaineessa (RMC luku 4, CL luku 4; esitiedot KSII luku 2, osa 2.9). Väliaineiden sähköisiin ja magneettisiin ominaisuuksiin tutustutaan
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus
AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio
Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotTeddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
Lisätiedot