Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Transkriptio

1 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten esimerkiksi kuparissa) johde-elektroneja on noin yksi kappale jokaista atomia kohden. Johdeelektronien vaikutuksesta johde kykenee suojautumaan ulkoiselta staattiselta sähkökentältä. Jos johdekappale asetetaan ulkoiseen sähkökenttään kuvan 5.1 mukaisesti, johdeelektronit kulkevat kentän suunnalle vastakkaisesti ja aiheuttavat kappaleen vasemmanpuoleiselle pinnalle indusoituneen negatiivisen varauskatteen (pintavaraustiheyden). Silloin oikeanpuoliselle pinnalle syntyy ytimien varauksista aiheutuva positiivinen varauskate. Elektronien liike jatkuu, kunnes pinnalle indusoituneiden varausten aiheuttama sähkökenttä kumoaa ulkoisen kentän kappaleen sisällä, jolloin kokonaiskenttä johteessa häviää. Johde-elektroneja on niin runsaasti, että johde kykenee suojautumaan suurimmilta mahdollisilta kentiltä, joita kyetään käytännössä saamaan aikaan. - + E = 0 E = 0 E = Kuva 5.1: Varauksen indusoituminen johteen pinnalle. Jos valitaan suljetut Gaussin pinnat kuvan 5.1 osoittamalla tavalla, nähdään, että vuo pinnan lävitse syntyy vain pinnan osasta, joka on johteen ulkopuolella. c Tuomo Nygrén,

2 60 LUKU 5. JOHTEET Vasemmanpuoleisen Gaussin pinnan tapauksessa vuo on negatiivinen ja oikeanpuoleisen pinnan tapauksessa positiivinen. Jos Gaussin pinta leikkaa johteen pinnasta alan S, on pinnan sisään jäävä varaus σ i S, missä σ i on indusoitunut varauskate. Gaussin lain soveltaminen antaa tuloksen mistä ±ES = σ is ε 0, (5.1) σ i = ±ε 0 E. (5.2) Tässä plusmerkki on voimassa, kun sähkökenttä osoittaa pois päin johteesta ja miinusmerkki, kun kenttä osoittaa johteeseen päin. Kuvan 5.1 tilanteessa ulkoinen sähkökenttä on asetettu jo aluksi kohtisuoraan johteen pintaa vastaan. Jos näin ei ole, kentällä on aluksi pinnan suuntainen komponentti. Tämän vaikutuksesta johde-elektronit liikkuvat pinnan suunnassa, jolloin kentän suunta pinnalla muuttuu. Liike jatkuu, kunnes indusoitunut varauskate asettuu sellaiseksi, että sähkökenttä kaikkialla johteen pinnalla on kohtisuorassa pintaa vastaan. Riippumatta siitä, millainen staattinen sähkökenttä aluksi on, tämä on voimassa mielivaltaisen muotoiselle johteelle, joka on asetettu sähkökenttään. Koska sähkökenttä on kohtisuorassa potentiaalin vakioarvopintoja vastaan ja toisaalta kohtisuorassa johteen pintaa vastaan, on johteen pinta potentiaalin vakioarvopinta (ekvipotentiaalipinta). Tarkastellaan origossa olevaa pistevarausta ja sitä ympäröivää onttoa johtavaa pallokuorta, jonka sisäsäde on a ja ulkosäde b (kuva 5.2 a). Lasketaan sähkökenttä Gaussin lain avulla erikseen alueissa 0 < r < a, a < r < b ja r > b. Pallosymmetrian vuoksi sähkökentällä on vain pallokoordinaatiston radiaalikomponentti; siis E = E r (r)u r. Kun S r on r-säteinen pallo ja 0 < r < a, on S r E ds = 4πr 2 E r = ε 0, (5.3) a) b) S b! S a a b 0 a b r Kuva 5.2: Johtavan pallokuoren sisällä oleva pistevaraus ja sen aiheuttama potentiaali.

3 5.1. JOHTEIDEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN 61 joten johtavan kuoren sisällä vaikuttaa vain pistevarauksen kenttä E r (r) = 4πε 0 r. (5.4) 2 Sähkökenttä häviää alueessa a < r < b, mikä on seurausta johteen pinnalle indusoituneista varauksista. Tässä alueessa Gaussin laki saa muodon E ds = + 1 σ i (a)ds = + 4πa2 σ i (a) = 0, (5.5) ε 0 ε 0 ε 0 ε 0 S r S a mistä voidaan ratkaista pinnalle S a indusoitunut varauskate σ i (a) = 4πa. (5.6) 2 Nähdään, että pallokuoren sisäpinnalle indusoitunut kokonaisvaraus on. Pallokuori on kokonaisuudessaan neutraali, joten sisä- ja ulkopinnoille indusoituneiden kokonaisvarausten täytyy kumota toisensa. Näinollen pallokuoren ulkopinnalle S b indusoitunut kokonaisvaraus on ja varauskate on σ i (b) = 4πb. (5.7) 2 Gaussin laki alueessa r > b on E ds = 4πr 2 E r = + =. (5.8) ε 0 ε 0 S r Tässä siis pallokuoren sisäpinnalle ja ulkopinnalle indusoituneet varaukset kumoavat toisensa ja vaikuttamaan jää vain origossa oleva pistevaraus. Sähkökenttä on siis tässäkin alueessa muotoa E r (r) = 4πε 0 r. (5.9) 2 Jos valitaan potentiaali äärettömyydessä nollaksi, on potentiaali alueessa r > b φ(r) = 4πε 0 r. (5.10) Tämä nähdään suoraan siitä, että sähkökenttä on pistevarauksen kentän muotoinen, ja siksi potentiaalinkin täytyy olla pistevarauksen potentiaali. Koska sähkökenttä on nolla alueessa a < r < b ja pallosymmetrisessä tilanteessa dφ = E r dr, potentiaali on pallokuoren sisällä vakio. Erityisesti φ(a) = φ(b), eli φ(a) = 4πε 0 b. (5.11) Alueessa r < a voidaan kirjoittaa φ(r) = φ(a) = r a E r dr = φ(a) 4πε 0 r a dr r 2 = 4πε 0 b 4πε 0 a + 4πε 0 r (b a) 4πε 0 r 4πε 0 ab. (5.12) Potentiaalin käyttäytyminen origosta mitatun etäisyyden funktiona on esitetty kuvassa 5.2 b.

4 62 LUKU 5. JOHTEET 5.2 Kondensaattorit ja kapasitanssi Kapasitanssin määrittely Staattisessa sähkökentässä johteen pinnalle indusoituu varauskate, joka estää sähkökentän tunkeutumisen johteeseen. Neutraalissa johteessa varauskatteen integraali kappaleen pinnan yli nolla. Myös varatun johteen pinnalla on varauskate ja silloin varauskatteen integraali johteen pinnan yli on kappaleen kokonaisvarauksen suuruinen. Siis = σds. (5.13) S Kuvassa 5.3 on joukko sähköisesti varattuja johdekappaleita, jotka aiheuttavat yhdessä sähkökentän. Varauskatteet johteiden pinnoilla asettuvat sellaisiksi, että kentät häviävät johteiden sisällä ja ovat kaikkialla kohtisuorassa johteiden pintoja vastaan. Kokonaissähkökentän voidaan ajatella koostuvan kentistä, joiden lähteinä ovat johteiden pinnoilla olevat pienet varausalkiot. Jos johdekappaleiden varauksia muutetaan, jokaisen varausalkion suuruus muuttuu ja sen myötä sen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus muuttuu. Jos kaikkien johdekappaleiden varauksia muutetaan samalla kertoimella (esimerkiksi kaksinkertaisiksi), jokaisen varausalkion suuruus muuttuu samalla kertoimella ja siten myös sen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus muuttuu samalla kertoimella. Tästä seuraa, että myös kokonaissähkökentän voimakkuus muuttuu samalla kertoimella, mutta sen suunta pysyy samana. Näinollen sähkökentän voimaviivojen muoto ei muutu vaikka kentän voimakkuus muuttuukin. Koska potentiaalin vakioarvopinnat ovat kohtisuorassa sähkökenttää vastaan, niidenkään muoto ei muutu; ainoastaan niiden tiheys kasvaa. Sähkökentän muoto siis riippuu kappaleiden muodoista ja keskinäisestä sijainnista (geometriasta) sekä varausten keskinäisistä suuruussuhteista. Jos avaruudessa on vain yksi varattu johtava kappale (kuva 5.4 a), sen potentiaali Kuva 5.3: Varattujen johdekappalaiden aiheuttama sähkökenttä.

5 5.2. KONDENSAATTORIT JA KAPASITANSSI 63 a) b) - A B Kuva 5.4: a) Varatun johdekappaleen aiheuttama sähkökenttä. b) Vastakkaismerkkisesti varattujen johdekappaleiden aiheuttama sähkökenttä (kondensaattori). on (johtavan kappeleen pinnalla potentiaali on vakio!) φ = rs E ds, (5.14) missä r s on mielivaltainen piste kappaleen pinnalla ja integrointi äärettömyyteen suoritetaan pitkin mielivaltaista tietä, esimerkiksi sähkökentän voimaviivaa pitkin. Tässä potentiaali äärettömyydessä on valittu nollaksi. Edellä esitetyn perusteella sähkökenttä on kaikkialla verrannollinen kappaleen varaukseen eikä voimaviivojen muoto riipu varauksen suuruudesta. Tästä seuraa, että potentiaalin ja varauksen välillä on lineaarinen riippuvuus φ = /C eli = Cφ, (5.15) missä C on johdekappaleen kapasitanssi (äärettömyyden suhteen). Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa avaruudessa on kaksi johtavaa kappaletta (kuva 5.4 b). Kappaleella A on positiivinen varaus ja kappaleella B negatiivinen varaus. Tällöin kappale A on korkeammassa potentiaalissa kuin B ja kappaleiden välinen potentiaaliero on φ A φ B = B A E ds, (5.16) missä integrointi kappaleen A pinnalta kappaleen B pinnalle voidaan suorittaa esimerkiksi sähkökentän voimaviivaa pitkin. Koska kappaleiden varaukset ovat vastalukuja, on sähkökenttä verrannollinen varaukseen, joten voidaan kirjoittaa U AB = φ A φ B = /C eli = CU AB. (5.17) Tässä U AB on kappaleiden A ja B välinen potentiaaliero eli jännite ja C niiden välinen kapasitanssi (helppo muistisääntö saadaan lukemalla yhtälö = CU ääneen:

6 64 LUKU 5. JOHTEET kuu on kuu). Kapasitanssi riippu vain kahden kappaleen muodosta ja keskinäisestä sijainnista; se on siis pelkästään geometriasta riippuva suure. Se on mitta sille, millaisen sähkömäärän johdepari kykenee varastoimaan missäkin jännitteessä. Jos kappaleiden välinen jännite on kiinnitetty, on niiden varastoima sähkömäärä sitä suurempi mitä suurempi kapasitanssi on Pallokondensaattori!(b) a b!(a) Kuva 5.5: Pallokondensaattori. Pallokondensaattori koostuu johtavasta pallosta ja sitä ympäröivästä samankeskisestä johtavasta pallokuoresta. Pallokondensaattorin kapasitanssin tarkka laskeminen on symmetrian vuoksi hyvin yksinkertaista. Oletetaan, että sisäpallon säde on a ja kuoren sisäsäde on b. Kun sisäpallolle annetaan positiivinen varaus, on Gaussin lain perusteella potentiaalikenttä sisäpallon ja kuoren välisessä tilassa pistevarauksen potentiaalikentän muotoinen. Tällöin kondensaattorin jännite on U ab = φ(a) φ(b) = joten kondensaattorin kapasitanssi on C = ( 1 4πε 0 a 1 ) = b (b a) 4πε 0 ab, (5.18) = 4πε 0ab U ab b a. (5.19) Jos annetaan b, saadaan yhtälön (5.18) perusteella U a = /(4πε 0 a), jonka avulla a-säteisen pallon kapasitanssi (äärettömyyden suhteen) on C = U a = 4πε 0 a. (5.20) Jos kondensaattori on täytetty eristeaineella, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε, pienenee kondensaattorin sisällä vaikuttava sähkökenttä ja sen mukana myös potentiaali murto-osaan 1/ε. Tästä seuraa että kapasitanssi kasvaa ε-kertaiseksi. Kun kondensaattorin positiivisen johteen varaus on > 0 ja negatiivisen < 0 sanotaan, että kondensaattorin varaus on.

7 5.2. KONDENSAATTORIT JA KAPASITANSSI Kondensaattorien sarjaankytkentä Jos kaksi kondensaattoria kytketään peräkkäin (sarjaan) ja kykennän toiseen päähän tuodaan varaus sekä toiseen päähän varaus, tulee kummankin kondensaattorin varaukseksi (kuva 5.6 a). Tällöin nimittäin kondensaattorien toisille levyille indusoituu varaukset ja. Tämä on mahdollista, sillä nämä levyt on kytketty toisiinsa ja indusoituneet varaukset kumoavat toisensa. Jos kondensaattorien kapasitanssit ovat C 1 ja C 2 ja jännitteet U 1 ja U 2, on sarjaankytkennän jännite U = U 1 +U 2. Koska = C 1 U 1 = C 2 U 2, on U 1 = /C 1 ja U 2 = /C 2. Näinollen missä C on sarjaankytkennän kapasitanssi. Siis C = C 1 + C 2, (5.21) 1 C = 1 C C 2, mistä C = C 1C 2 C 1 + C 2. (5.22) Tätä voidaan soveltaa myös tilanteeseen jossa kondensaattori on täytetty useammanlaisilla eristeillä. Esimerkki tällaisesta tapauksesta on kuvassa 5.6 b, jossa pallokondensaattori on täytetty kahdesta eristeestä valmistetuilla pallokuorilla. Kondensattorin sisällä vaikuttava kenttä ei muutu, vaikka eristekuorien väliselle pinnalle asetetaan äärettömän ohut johtava pallokuori. Näinollen tilanne voidaan tulkita kahden pallokondensaattorin sarjaankytkennäksi. Kondensaattorien sisäsäteet ovat a ja c ja ulkosäteet c ja b, joten niiden kapasitanssit ovat C ac = 4πε 1ε 0 ac c a ja C cb = 4πε 2ε 0 bc. (5.23) b c Sisäpallon ja ulkokuoren väliseksi kapasitanssiksi saadaan nyt yhtälön (5.22) perusteella C ab = C acc cb 4πε 1 ε 2 ε 0 abc = C ac + C cb ε 1 a(b c) + ε 2 b(c a). (5.24) a) b) - - a c b! 1! 2 C 1 C 2 Kuva 5.6: a) Sarjaan kytketyt kondensaattorit. b) Kahdella eristeellä täytetty pallokondensaattori.

8 66 LUKU 5. JOHTEET Asia voidaan tarkistaa kapasitanssin määritelmän avulla. Pallosymmetrisessä tilanteessa sähkövuon tiheys on kummassakin eristeaineessa D r = /(4πr 2 ), joten sähkökentät eristeessä 1 ja 2 ovat E r1 = 4πε 1 ε 0 r 2 ja E r2 = Näiden avulla saadaan eristeiden yli vaikuttaviksi jännitteiksi U ac = 4πε 1 ε 0 joten kondensaattorin jännite on ( 1 a 1 c ) ja U cb = 4πε 2 ε 0 r 2. (5.25) 4πε 2 ε 0 ( 1 c 1 b ), (5.26) ( 1 U ab = U ac + U cb = 4πε 1 ε 0 a 1 ) + ( 1 c 4πε 2 ε 0 c 1 ) b = ε1a(b c) + ε 2 b(c a). (5.27) 4πε 1 ε 2 ε 0 abc Näinollen C ab = U ab = 4πε 1 ε 2 ε 0 abc ε 1 a(b c) + ε 2 b(c a). (5.28) Kondensaattorien rinnankytkentä Tarkastellaan kahta kondensaattoria, joiden kapasitanssit ovat C 1 ja C 2 ja varaukset 1 ja 2 (kuva 5.7 a). Kondensaattorien rinnankytkentä saadaan yhdistämällä niiden positiivisesti varatut levyt toisiinsa ja negatiivisesti varatut levyt toisiinsa. Näin saadaan kondensaattori, jonka varaus on = Toisiinsa kytketyt levyt muodostavat yhtenäisen johteen ja ovat siksi samassa potentiaalissa. Tämän a) C 1 b)! a 2-2 b! 2 C 2 Kuva 5.7: a) Rinnan kytketyt kondensaattorit. b) Kahdella eristeellä täytetty pallokondensaattori.

9 5.2. KONDENSAATTORIT JA KAPASITANSSI 67 vuoksi kummankin kondensaattorin jännite on sama. Kun C on rinnankytkennän kapasitanssi, on siis voimassa josta = CU = C 1 U + C 2 U, (5.29) C = C 1 + C 2. (5.30) Jos pallokondensaattori täytetään kahdella erilaisella eristeellä kuten kuvassa 5.7 b, syntyy kahden puolipallon muotoisen kondensaattorin rinnankytkentä. Näiden kapasitanssit ovat C 1 = 2πε 1ε 0 ab b a ja C 2 = 2πε 2ε 0 ab b a. (5.31) Tämä johtuu sitä, että kuvan 5.5 mukainen yksinkertainen pallokondensaattori voidaan tulkita kahden puolipallon muotoisen kondensaattorin rinnankytkennäksi, jolloin kummankin puoliskon kapasitanssi on puolet koko kondensaattorin kapasitanssista. Kuvan 5.7 b kondensaattorin kapasitanssi on siis C = C 1 + C 2 = 2π(ε 1 + ε 2 )ε 0 ab. (5.32) b a Tämän tarkistaminen kondensaattorin määritelmän avulla edellyttää jälleen jännitteen laskemista, kun kondensaattorin varaus tunnetaan. Lähtökohtana on tieto, että sähkökentän tangentiaalikomponentin on oltava jatkuva eristeiden välisellä rajapinnalla. Jotta tämä toteutuisi, täytyy sähkökentän olla pallosymmetrinen, jolloin myös jokaisen r-säteisen pallon sisään jäävän varausjakautuman täytyy olla pallosymmetrinen, kun a < r < b. Tämä varausjakatuma koostuu johdepallossa olevasta vapaasta varauksesta ja eristeiden sisäpinnoilla olevasta polarisatiovarauksista. Koska sähkökenttä on kummankin eristeen sisäpinnalla sama ja eristeiden suhteelliset permittiivisyydet (siis myös sähköiset suskeptiivisuudet) ovat eri suuruisia, ovat myös polarisaatiovarauskatteet eri suuruisia. Näinollen sisäpallolla olevan vapaan varauksen täytyy jakautua eri tavoilla pallonpuoliskoiden kesken. Soveltamalla Gaussin lakia puolipallon mutoisiin pintoihin saadaan sähkövuon tiheyksiksi eri eristeissä D r1 = 1 /(2πr 2 ) ja D r2 = 2 /(2πr 2 ), missä 1 ja 2 ovat puolipalloilla sijaitsevat vapaat varaukset. Näitä vastaavat sähkökentät ovat E r1 = 1 2πε 1 ε 0 r 2 ja E r2 = 2 2πε 2 ε 0 r 2. (5.33) Kummankin sähkökentän avulla voidaan laskea kondensaattorin jännite. Siis Tästä ratkaistuna U ab = 1(b a) 2πε 1 ε 0 ab = 2(b a) 2πε 2 ε 0 ab. (5.34) 1 = 2πε 1ε 0 abu ab (b a) ja 2 = 2πε 2ε 0 abu ab, (5.35) (b a)

10 68 LUKU 5. JOHTEET joten sisäpallon kokonaisvaraus on = = 2π(ε 1 + ε 2 )ε 0 abu ab (b a) (5.36) Kondensaattorin kapasitanssi on siis C = = 2π(ε 1 + ε 2 )ε 0 ab, (5.37) U ab (b a) mikä on sama kuin tulos (5.32) Levykondensaattori Levykondensaattori (tasokondensaattori) muodostuu kahdesta lähellä toisiaan olevasta johdelevystä (kuva 5.8 a). Kun toiselle levylle annetaan positiivinen varaus ja toiselle negatiivinen varaus, syntyy levyjen välille sähkökenttä, joka on kondensaattorin keskiosassa homogeeninen ja osoittaa positiivisesti varatusta levystä negatiivisesti varattuun levyyn. Levyjen reunoilla kenttä kaartuu ulkopuoliseen avaruuteen, mutta tämä pullistuma on vähäinen, jos levyt ovat hyvin lähellä toisiaan. Seuraavassa käsittelyssä jätetään kentän kaartuminen huomiotta; oletetaan siis kenttä homogeeniseksi levyjen välissä ja nollaksi kondensaattorin ulkopuolella. Gaussin lain perusteella sähkövuon tiheys on D = σ, (5.38) missä σ on positiivisesti varatun levyn varauskate. Kun kondensaattori on täytetty eristeellä, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε, on sähkökenttä siis ja kondensaattorin jännite on U = E = σ εε 0 (5.39) Eds = Ed = σd εε 0, (5.40) a) b) c) A A A d E d! 1! 2 d 1 d 2 d! 1! Kuva 5.8: Levykondensaattori.

11 5.3. SÄHKÖKENTÄN ENERGIATIHEYS 69 missä d on levyjen välinen etäisyys. Integrointi on suoritettu pitkin kenttäviivaa positiiviselta levyltä negatiiviselle. Kun huomataan, että = σa, missä A on levyjen pinta-ala, tämä saadaan muotoon joten kondensaattorin kapasitanssi on U = d εε 0 A, (5.41) C = U = εε 0A d. (5.42) Jos levyjen väli on täytetty kahdella eristeellä kuten kuvasssa 5.8 b, saadaan kondensaattorin kapasitanssi sarjaankytkennän avulla. Tilanne ei nimittäin muutu, jos eristeiden väliselle rajapinnalle asetetaan äärettömän ohut johtava levy, jolloin syntyy kaksi sarjaan kytkettyä kondensaattoria. Niiden kapasitanssit ovat Sarjaankytkentäkaavan perusteella siis C 1 = ε 1ε 0 A d 1 ja C 2 = ε 2ε 0 A d 2. (5.43) C = ε 1ε 2 ε 0 A ε 1 d 2 + ε 2 d 1. (5.44) Jos taas kondensaattori on täytetty kahdella eristeaineella kuvassa 5.8 c esitetyllä tavalla, kyseessä on kahden kondensaattorin rinnankytkentä. Kummankin kondensaattorin levyjen pinta-ala on A/2, joten kapasitanssit ovat C 1 = ε 1ε 0 A 2d Rinnankytkentäkaavan perusteella siis ja C 2 = ε 2ε 0 A 2d. (5.45) C = ε 1ε 0 A 2d + ε 2ε 0 A 2d = (ε 1 + ε 2 )ε 0 A. (5.46) 2d Tulokset (5.44) ja (5.46) voitaisiin johtaa myös lähtien eri eristeissä vaikuttavista kentistä, mutta johto olisi pitempi. On kuitenkin syytä huomata, että kuvan 5.8 c tapauksessa kondensaattorilevyjen varauskatteet kahden eristeaineen kohdalla ovat erilaiset. Syy tähän on sama kuin kuvan 5.7 b pallokondensaattorin tapauksessa. 5.3 Sähkökentän energiatiheys Kappaleessa 2.6 osoitettiin, että avaruuteen jakautuneen varauksen potentiaalienergia on W = 1 ρ(r)φ(r)dτ. (5.47) 2

12 70 LUKU 5. JOHTEET Tätä johdettaessa ei ajateltu avaruudessa olevan eristeitä. Mikäli avaruudessa on eristeitä, syntyy (vapaiden) varausten siirtämisestä polarisaatiovarauksia, jotka vaikuttavat potentiaalikenttään. Osa työstä, joka tarvitaan vapaan varauksen siirtämiseen paikalleen, kuluu polarisaatiovarausten siirtämiseen. Näinollen polarisaatiovarausten liikkeeseen littyvää työtä ei tarvitse laskea erikseen. Siksi yhtälö (5.47) täytyy eristeiden läsnäollessa kirjoittaa muotoon W = 1 2 ρ f (r)φ(r)dτ. (5.48) Käyttäen hyväksi Gaussin lakia D = ρ f ja vektori- ja skalaarikenttien tulon divergenssiä (Dφ) = φ D + φ D (5.49) voidaan yhtälö (5.48) kirjoittaa muotoon W = 1 2 V (Dφ) dτ 1 2 V φ D dτ, (5.50) missä tilavuusintegraali lasketaan r-säteisen pallon yli ja annetaan pallon säteen lähetä ääretöntä. Tässä ensimmäinen integraali voidaan muuntaa Gaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi ja jälkimmäinen integraali voidaan esittää sähkökentän avulla. Siis W = 1 (φd) ds + 1 E D dτ, (5.51) 2 2 S missä S on integrointitilavuutta V rajoittava pallopinta. Ilmeisesti φ pienenee r:n funktiona vähintään kääntäen verrannollisena r:ään ja D vähintään kääntäen verrannollisena r:n toiseen potenssiin, joten φd pienenee vähintään kääntäen verrannollisena r:n kolmanteen potenssiin. Pinnan S ala sen sijaan kasvaa verrannollisena r:n toiseen potenssiin. Tästä seuraa, että yhtälön (5.51) ensimmäinen integraali lähestyy nollaa r:n lähestyessä ääretöntä, joten potentiaalienergia on W = 1 2 V E D dτ, (5.52) missä integointi suoritetaan yli koko avaruuden. Tämä voidaan tulkita siten, että sähkökentällä on energiatiheys w E = 1 2 E D = 1 2 εε 0E 2. (5.53) ja kentän kokonaisenenergia on energiatiheyden integraali koko avaruuden yli. On tärkeää ymmärtää, että (5.52) esittää varaussysteemin potentiaalienergiaa sähkökentän avulla lausuttuna. Eräs tapa ymmärtää asia väärin on kuvitella, että varaussysteemillä olisi potentiaalienergia ja tämän lisäksi sähkökentällä olisi jokin kenttään liittyvä energia. Tästä ei siis ole kysymys, vaan sama potentiaalienergia voidaan esittää varaustiheyden ja potentiaalin avulla tai vaihtoehtoisesti pelkän sähkökentän (ja sähkövuon tiheyden) avulla.

13 5.3. SÄHKÖKENTÄN ENERGIATIHEYS Kondensaattorin energia Kondensaattorin energia voidaan saada selville laskemalla kondensaattorin varaamiseen tarvittava työ Tilanteessa, jossa kondensaattorin jännite on U, tarvitaan varauksen δ siirtämiseen negatiivisesti varatulta levyltä positiiviselle levylle työ δw = U δ. Koska = CU, saadaan työ muotoon δw = δ /C. Jos siis tyhjä kondensaattori ladataan niin, että se saa varauksen, on tarvittava kokonaistyö W = 1 C 0 d = 2 2C = U 2, (5.54) missä viimeisin tulos on saatu käyttämällä kaavaa = CU. Tässä ei tehty mitään oletuksia kondensaattorin geometriasta tai eristeaineesta, joten se on yleisesti voimassa Varatun pallokuoren energia Tarkastellaan R-säteistä homogeenisesti varattua ohutta pallokuorta, jonka varaus on. Varauksen aiheuttama sähkökenttä on ilmeisesti pallosymmetrinen. Aiemman perusteella sähkökenttä on pallon sisällä nolla ja ulkopuolella pistevarauksen kentän muotoinen. Siis E r (r) =, kun r > R. (5.55) 4πε 0 r2 Kentän energiatiheys pallon ulkopuolella on w E (r) = 1 2 ε 0E 2 r = 2 32π 2 ε 0 r 4. (5.56) Energiatiheys on sama kaikkialla r-säteisen ja δr:n paksuisen pallokuoren sisällä. Tällaisen pallokuoren tilavuus on δτ = 4πr 2 δr. Sähkökentän kokonaisenergia on siis W = w E (r)dτ = 2 8πε 0 R dr r 2 = 2 8πε 0 R. (5.57) Pallosymmetrisessä tapauksessa tilavuusintegraali siis palautuu yksiulotteiseksi integraaliksi, kun tilavuuselementti valitaan yllä esitetyllä tavalla. Todellisuudessa tätä valintaa tehtäessä suoritetaan pintaintegrointi yli r-säteisen pallopinnan. Tämä voidaan tehdä näin yksinkertaisesti siksi, että energiatiheys on pallopinnalla vakio. Sama tulos saadaan käyttämällä hyväksi pallon kapasitanssia äärettömyden suhteen. Yhtälön (5.20) perustella C = 4πε 0 R, joten W = 2 2C = 2 8πε 0 R. (5.58) Tulos (5.58) osoittaa, että varatun pallokuoren potentiaalienergia on kääntäen verrannollinen pallon säteeseen. Jos palloa puristetaan pienemmäksi, pinnalla olevat varaukset lähestyvät toisiaan ja potentiaalienergia kasvaa. Suoraan nähdään,

14 72 LUKU 5. JOHTEET että potentiaalienergia lähenee ääretöntä, kun pallon säteen annetaan lähestyä nollaa. Tämän vuoksi pistevaraus on fysikaalisesti mahdoton, sillä sen luomiseen tarvitaan äärettömän suuri enenrgia. Siitä huolimatta pistevaraus on hyödyllinen käsite sähköopissa, ja se toimii siksi, että varausjakautuman ulkopuolella minkä tahansa pallosymmetrisen varausjakautuman aiheuttama sähkökenttä on kuvitteellisen pistevarauksen kentän muotoinen Potentiaalienergia ja sähköstaattinen voima Sähkökentän konservatiivisuus ja siihen liittyvä potentiaalienergia tarjoavat vaihtoehtoisen tavan laskea sähkökentän aiheuttamia voimavaikutuksia. Jos johonkin objektiin kohdistuu sähkökentän aiheuttama voima F ja objekti liikkuu tämän vaikutuksesta matkan ds, kenttä tekee työn F ds. Tämän työn se tekee potentiaalienergian kustannuksella, joten potentiaalienergian muutos on dw = F ds. (5.59) Systeemin potentiaalienergia on siis objektin paikan funktio (äärellisessä objektissa voidaan kiinnittää jokin piste, jonka paikkakoordinaatteja seurataan). Potentiaalienergian kokonaisdifferentiaali on dw = W ds. (5.60) Muutosten (5.59) ja (5.60) täytyy olla samat riippumatta siitä, minkä suuntainen muutos ds on. Näinollen välttämättä F = W. (5.61) Tämän avulla voidaan helposti laskea esimerkiksi kondensattorilevyjen välinen voima. Kun levykondensaattorin kapasitanssi on C = ε 0 A/x, on potentiaalienergia joten W = 2 2C = 2 x, (5.62) 2ε 0 A F = dw dx u x = 2 2ε 0 A u x. (5.63)