DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

HTML
DOWNLOAD

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi"

Jaana Korpela
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen

1 DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön koordinaatistosta riippumaton muoto on T Ñ l( T) Ñ T + Q Cp t Yhtälön vasemman puolen ensimmäisen termin, joka edustaa johtumalla siirtyvää lämpötehoa tilavuusyksikköä kohti, yksiköksi saadaan W K W éëñ l( T) Ñ Tù 3 m mk m m Yhtälön vasemman puolen toinen termi, Q, edustaa generoituvaa lämpötehoa tilavuusyksikköä kohti (W/m 3 ), ja yhtälön oikean puolen termi on ominaislämpöön varastoituva lämpöteho tilavuusyksikköä kohti Myös ominaislämpökapasitti C p on annettava tilavuusyksikköä kohti, eli yksiköltään J/(m 3 K), koska tällöin yhtälön oikean puolen yksiköksi saadaan é T ù J K J/s W êcp t ú ë m K s m m Useissa taulukkokirjoissa ominaislämpökapasiteetti ilmaistaan massayksikköä kohti, C pm Tällöin suureen yksikkö on J/(kgK) Jotta ominaislämpökapasiteetti saadaan lämmönjohtumisen yleisen osittaisdifferentiaaliyhtälön kannalta oikeaan yksikköön, C pm on kerrottava tarkasteltavan aineen tiheydellä r t : J kg J éc r ù kgk m m K ë pm t 3 3 Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, karteesinen koordinaatisto Tehtävänä on ratkaista kuvan mukaisen tilanteen maksimivirta I max siten, ettei lämpötila ylitä missään kohdassa kuparikiskoa arvoa o C Kuva Malli tarkasteltavasta tilanteesta

2 Tehtävän ratkaisussa tehdään seuraavat oletukset: Tilannetta tarkastellaan yhdessä dimensiossa, mikä tarkoittaa kuvan perusteella sitä, että lämpöä johtuu vain x-suunnassa Haetaan sitä virran maksimiarvoa, johon kuparikiskon lämpötilajakauma tasaantuu Tällöin kyseessä on jatkuvuustilan tarkastelu, mikä tarkoittaa sitä, että lämpötila ei muutu ajan suhteen Kuparikiskon virrantiheysjakauma on homogeeninen Tällöin virrantiheys saadaan, kun kiskoon syötettävä virta jaetaan kiskon poikkipinta-alalla Lämmönjohtavuus ei riipu lämpötilasta Lämmönjohtumisen osittaisdifferentiaaliyhtälö on karteesisessa koordinaatistossa muotoa æ ö é æ T T T öù T ç i+ j+ k êl( T) ç i+ j+ k ú+ Q Cp è x y z ø ë è x y z ø t Edellä lueteltujen oletusten perusteella se voidaan kirjoittaa muodossa æ ö æ T ö lç i+ j+ k ç i+ j+ k + è x y z ø è x ø J C dt Û l - rj dx 0 0 r p 0 Kyseessä on toisen kertaluokan differentiaaliyhtälö, joka saadaan ratkaistua integroimalla: d T r J dt rj - ò Û - x + C ò dx l dx l rj Û T( x) - x + Cx+ C l Vakioiden C ja C ratkaisemiseen tarvitaan kaksi reunaehtoa, jotka saadaan tunnetuista lämpötiloista kohdissa x 0 ja x 03 m: ( ) ì T x 0 C í 76 0 ( I ( 96 0 )) T( x ) - + C + î ì C 94 Û -8 - í ( I ( 96 0 )) C î Koska kiskon molemmat päät ovat samassa lämpötilassa, lämpötilan maksimi löytyy kiskon keskeltä, eli kohdasta x 0 m Kun nyt haetaan se virran arvo, jolla lämpötila on kiskon keskellä o C, saadaan

3 rj T( x ) - + C + C l Û ( I ( )) ( I ( )) é -8-8 ù Û I ê - ú 00 ê - - ( 96 0 ) ( 96 0 ) ú ë Û I» 7378 Û I» 7 Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, sylinterikoordinaatisto Tehtävänä on ratkaista kuvan mukaisen sähkövastuksen keskustan lämpötila Kuva Malli tarkasteltavasta tilanteesta Tämän tehtävän ratkaisussa tehdään seuraavat oletukset: Tilannetta tarkastellaan yhdessä dimensiossa, mikä tarkoittaa kuvan perusteella sitä, että lämpöä johtuu vain r-suunnassa Vastuksen lämpötilan oletetaan siis olevan vakio sekä z- että f-suunnassa, joista jälkimmäinen tarkoittaa kulmaa, jolla r kiertyy vastuksen pituusakselin ympäri Tarkastellaan jatkuvuustilaa Lasketaan siis se vastuksen lämpötilajakauma, johon tilanne tasaantuu ajan kuluessa Täten lämpötila ei muutu ajan suhteen Vastuksen tehojakauma on homogeeninen Lämmönjohtumisen yleisessä differentiaaliyhtälössä esiintyvä muuttuja Q siis saadaan, kun vastuksen teho jaetaan vastuksen tilavuudella Lämmönjohtavuus ei riipu lämpötilasta Tehtävä voitaisiin ratkaista karteesisessa koordinaatistossa Jos oletetaan, että x ja y ovat koordinaatit vastuksen poikkipinta-alalla, tällöin z olisi vastuksen pituusakselin suuntainen koordinaatti Seuraus olisi, että tehtävästä tulisi kaksidimensioinen, eli toisin sanoen lämpötila riippuisi vastuksen poikkipinnalla sekä x- että y-suunnasta 3

4 Tällöin tehtävän ratkaisu olisi kynällä ja paperilla kovin hankalaa, ellei jopa mahdotonta Ongelmasta päästään eroon, kun tarkastelu tehdään sylinterikoordinaatistossa Kyse on siitä, että vastuksen poikkipinnan koordinaatit ovat jo edellä mainitut r ja f, joista jälkimmäinen tarkoittaa vastuksen pituusakselia kiertävää kulmaa Kuvaa katsomalla on havaittavissa, että tarkastelu voidaan tehdä nyt yhdessä dimensiossa, sillä voidaan hyvällä tarkkuudella olettaa, ettei lämpötila muutu f:n suhteen Sylinterikoordinaatistossa lämmönjohtumisen yleinen differentiaaliyhtälö on é T T T T ( T) r ( T) ( T) Q Cp r r l ù é r r f l ù é f z l ù ê ê ú ë ú ê z ú ë ë t Edellä mainittujen oletusten perusteella yhtälö sievenee nyt muotoon é T ù lr + [ l 0] + [ l 0] + Q Cp 0 r r ê ë r ú r f z Û d é r dt ù l Q r dr ê - ë dr ú Kerrotaan yhtälö puolittain r:llä ja integroidaan: d é dt ù lr Qr dr ê - ë dr ú ò dr Û dt Q Û r dr l lr dr dt Q dr T r - Q r ln l r + B l r - r + : ( lr ) ò Û ( ) ( ) Vakioiden ja B ratkaisemiseen tarvitaan kaksi reunaehtoa Toinen saadaan vastuksen pintalämpötilasta, joka tunnetaan Toisaalta tiedetään myös, että vastus on kuumimmillaan kohdassa r 0 Toisin sanoen lämpötilan derivaatta r:n suhteen on nolla vastuksen keskellä: ì Q T( r 000) ln ( 000) + B 378 l í dt Q Q Ql - r+ 0 Û r Û r îdr r 0 l lr lr l l Jälkimmäisesta ehdosta saadaan, että menee nollaksi, kun r saa arvon nolla Nyt voidaan ratkaista vakio B: Q 0 T( r 000) ln ( 000) B l ( p 000 0) Û B »

Täten vastuksen lämpötila noudattaa r:n funktiona lauseketta Q - + 399, ( ) r T r joten kohdassa r 0 lämpötilaksi saadaan o T( r 0) 399 K» 6 C Lämpöresistanssi Lämpöresistansseja voidaan käyttää,

5 Täten vastuksen lämpötila noudattaa r:n funktiona lauseketta Q , ( ) r T r joten kohdassa r 0 lämpötilaksi saadaan o T( r 0) 399 K» 6 C Lämpöresistanssi Lämpöresistansseja voidaan käyttää, kun: tilanne voidaan mallintaa yksidimensioisena, lämmönjohtumista vastaan kohtisuorien pintojen on oltava vakiolämpötilassa, lämpötila ei riipu ajasta Kun yllä mainitut oletukset ovat voimassa kuvan 3 mukaiselle tilanteelle, tarkastelu voidaan tehdä lämpövastusten avulla Kuva 3 Periaatekuva tehtävässä tarkasteltavasta tilanteesta Jos uunista huoneilmaan siirtyvä kokonaislämpövirta olisi tarpeen mallintaa lämpövastuksilla, tällöin syntyisi neljän vastuksen sarjaankytkentä Sarjaankytketyt vastukset vasemmalta oikealle edustaisivat: konvektiivista lämmönsiirtoa uunista muoviin B, lämmönjohtumista muovissa B, lämmönjohtumista muovissa, konvektiivista lämmönsiirtoa muovista huoneilmaan Lähtökohta on, että lämpötilaero DT synnyttää lämpövirran q, joten lämpöresistanssille R voidaan kirjoittaa D T Rq Û DT R, q jossa yksiköt ovat: [DT] K, [q] W ja [R] K/W Huomaa analogia sähkötekniikkaan: resistanssi R U/I DV/I eli jännite U (potentiaaliero DV) synnyttää resistanssiin R sähkövirran I

6 Lämmönjohtumiseen liittyväksi lämpöresistanssiksi R j saadaan DT DT L R, j q DT l l L jossa L on kappaleen pituus, poikkipinta-ala ja l lämmönjohtavuus Jälleen on havaittavissa sähkötekniikka-analogia: resistanssi saadaan lausekkeesta R rl/, jossa r on resistiivisyys, eli sähkönjohtavuuden käänteisluku Vastaavasti lämpökonvektioon liittyväksi lämpöresistanssiksi R k saadaan R k DT DT, q hdt h jossa h on konvektiivinen lämmönsiirtokerroin Tässä tapauksessa konvektiiviseen lämmönsiirtoon liittyviä vastuksia ei kuitenkaan tarvita, sillä komposiitti-ikkunan reunojen lämpötilat tunnetaan Täten tarkasteltava tilanne on yksinkertaisesti mallinnettavissa kuvan 4 mukaisesti kahden vastuksen sarjaankytkennällä Kuva 4 Uunin komposiitti-ikkunan lämmönjohtavuuksia mallintava vastusverkko Kuvan 4 mukaiselle tilanteella voidaan kirjoittaa æ L L ö Rtotq DT Û ( RB + R) q T-T Û ç B + q T-T èlb lø Lq Lq Û B T T l - - l Û Lq ( T-T B ) l-lq l l Û B B é( T-T) l-lqù ë Û lb l l Lq B B W Û l B mk llq T-T -Lq ( ) B l 6

Samankaltaiset tiedostot

2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( )

2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( ) DEE- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjoitus (3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t t () ()()