S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että tiloilla ei ole sisäistä eergiariippumatota vapausastetta ( g i = ). Systeemissä o 4 hiuasta ja se ooaiseergia o ε. Käyttäe Maxwell-Boltzma jaaumaa lase termodyaamista tasapaiotilaa vastaavat miehitysluvut. OHJE: Käytä yväsi hiuaste ooaismäärää ja eergia säilymistä. Rataisu Miehitysluvuille voidaa irjoittaa Maxwell Boltzma jaauma muaa α β α = e = e = e = e α βε α βε Meritsemällä x + x+ x = 4 ja ooaiseergiasi ( x) ε + ( x )ε = ε. = e βε saamme miehitysluuje summa muodossa jaetaa yhtälöt eseää, jolloi saadaa 4 + x+ x = x+ x. Rataisemalla toise astee yhtälöstä yhtälöstä x =.57 (vai positiivie juuri elpaa misi?). Sijoittamalla yt x taaisi miehitysluuihi saamme = 77 = 46 = 577 missä pyöristimme tulose ooaisluvuisi, site että hiuaste ooaismäärä o 4.. Eräässä Maxwell-Boltzma (MB) systeemissä hiuaste sallitut eergiat ovat, / T ε,ε,ε,4ε,... Osoita, että systeemi partitiofutio o ( g i = ) Z = ( e ε ). Lase hiuaste esimääräie eergia, uε << T. Opastus: Partitiofutio voidaa lasea helposti geometrise sarja summa avulla.
Rataisu: Partitiofutio voidaa siis irjoittaa / T e ε Z = ( ) () Kute aiemmi osoitettii ooaiseergia saadaa yhtälöstä d U = NT (l Z). () dt Sijoittamalla ε / T d ( ε / T ) e ε l Z = = dt ε/ T ε/ T e T e (4) jote sisäeergiasi saadaa U = Nε e ε / T (5) Koreissa lämpötiloissa ε / T o piei, jote espoettifutio voidaa ehittää Taylori sarjasi. Jos otamme asi esimmäistä termiä U = T. N e ε / T + ε / T saamme esimääräisesi eergiasi. Jos tiedämme taraa suuree L z arvo, emme voi samaaiaisesti tietää ulmaliiemäärä muide ompoettie arvoja. Voimme uitei määrätä taraa suuree L + L arvo. Määrää tämä suuree arvo vattiluuje l ja m avulla. Rataisu x y x y z l L + L = L L = l( l+) m jote x y l L + L = l( l+) m. Lx + Ly o ulmaliiemäärävetori xy-taso sutaise projetio itseisarvo. Se suuri arvo saavutetaa u mageettie vattiluu m l =. Tällöi ulmaliiemäärävetori z- ompoetti o olla, jote vetori projetio itseisarvo xy- tasossa o x y L + L = l( l+) = L.
4. a) Lase upari Fermieergia u tiedetää, että vapaide eletroie tiheys o uparissa 8 8,45 m. b) Lase eletroi esimääräie eergia lämpötilassa K. Käytä 4π eletroitiloje tiheydelle lauseetta ( ) / / ge ( ) = m E. h a) Fermieergia voidaaa lasea itegroimalla johtavuuseletroie ooaistiheys yhtälöstä E F = gede ( ). Rataisemalla tästä Fermieergia saadaa / 4/ / π EF =. () m 8 Sijoittamalla = 8,45 m saadaa Fermieergiasi E F = 7,eV. b) Eletroi esimääräie eergia saadaa odotusarvoa (huomaa, että miehitystodeäöisyys f( E ) = Fermieergiaa saaa ja f( E ) = se ylöpuolella) : E F = N Eg( E) de / NE missä ge ( ) = o tilatiheys iteessä, jossa o N eletroia. (ertaa tilastollise / E F fysiia urssi tai Blatt s ). Sijoittamalla ja lasemalla itegraali saamme = EF. 5 5. Tarastellaa ysiatomista lieaarista hilaa. Atomie massa o M ja atomie väliste sidoste voimavaio β. Osoita, että hilavärähtelyje omiaistaajuudet saadaa yhtälöstä ω = β / M si a, missä a o hilavaio. Rataisu Ks. irja esimeri 7. Oletamme että idettiset atomit ovat lepotilassa etäisyydellä a toisistaa. Atomi oordiaatti x-aselilla voidaa tällöi esittää muodossa x = a. Meritää luvulla ξ atomi siirtymää tasapaioasemastaa. Alimmassa approsimaatiossa voimme olettaa että ui atomi vuorovaiuttaa aioastaa ahde aapurisa assa. Tällöi atomi ja atomi ( + ) välie etäisyys asvaa määrällä ξ+ ξ. Jos meritsemme atomie välise voima voimavaiota β atomii ohdistuvat atomi ( + ) aiheuttama voima o tällöi β( ξ + ξ ).
Tässä yhtälössä olemme tietei olettaeet että atomie välie voima o harmoie, miä oi alimmassa ertaluvussa hyvä approsimaatio. atomii ohdistama voima o Vastaavasti voimme osoittaa että atomi ( ) vastaavasti muotoa β( ξ ) ξ meaiia muaise liieyhtälö muodossa. Nyt voimme irjoittaa atomille lassise d ξ M dt ( ) ( ) ( ) = β ξ ξ β ξ ξ = β ξ + ξ ξ + +. (7.) Jos oletamme että etju o äärettömä pitä, voimme jättää aii reuaefetit huomiotta ja etsimme liieyhtälö 7. rataisua tasoaaltomuodossa i( t a e ω + ξ = ξ ). (7.) Tässä vaiheteijä a muistuttaa tasoaallo vaiheteijää x jatuvassa aieessa eteevässä tasoaallossa. Sijoittamalla yrite 7. yhtälöö 7. ja elimioimalla yhteiset teijät saamme ia ia ( ) 4 si Mω = β e + e = β a, mistä rataisemalla taajuude aaltovetori futioa Kuva 7- Hilavärähtelyje taajuus aaltovetori futioa. ω = β M si a. (7.) Tämä yhtälö ertoo atomietjussa eteevä värähtely taajuude se aallopituude futioa. Taajuude masimiarvo saavutetaa u = π a. Kulmataajuude riippuvuus aaltovetorista o esitetty uvassa 7-. 6. Lase liiemäärä odotusarvo Blochi tilassa Rataisu ψ ψ ( ) = u ( ) e i r r r. ( ) u ( ) e i r r = r, u ( + ) = u ( ) p ˆ = i o liiemääräoperaattori. Liiemäärä odotusarvo o r T r, T o hilavetori.
ir ( ) ψ ( ) ir p = ψ i dr = u e i u e dr ( ) ir ir ir = i u e e u + i u e dr = i u u dr+ u u dr Jos ψ o ormoitu, o uud r = ja liiemäärä odotusarvo saadaa muotoo p = i u udr. VAKIOITA 7 7 7 e p 9 8 4 4 m = 9, 9 g m =, 675 g m =, 6748 g amu =, 665 g e =, 6 C c =, 9979 m / s =, 545 Js µ B = 9, 7 JT - - 6 ε = 8, 8544 C N m Ke = / 4πε µ =, 566 mgc Km = µ / 4π - - - γ = 6, 67 Nm g N = 6, 5 mol R = 8,4 JK mol =,85 JK A