ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 6 Inegrli j deriv 6. Inegrli ylärjns funkion. Olkoon Määriä kun () [, ], (b) ], 3]., kun [, ],, kun ], 3]. f() d, [, 3],. Osoi, eä jos funkio f on Riemnn-inegroiuv välillä [, b] j f() kikill [, b], niin funkio on ksvv välillä [, b]. f() d ( [, b]) 3. Olkoon f sellinen välillä [, ] Riemnn-inegroiuv funkio, eä f() kikill [, ]. Osoi, eä on olemss sellinen luku ], [, eä f() d = Vihje: Voi ole ehävän uloksen unneuksi. f() d. 4. Derivoi funkio sin( ) d, g() = sin( ) d j h() = 5. Määriä F () j G (), kun F () = sin( ) d j 3 6. Olkoon funkio f jkuv kikill R j F () = Osoi, eä F () = f() kikill R. ( )f() d. e d. sin( ) d.
7. Olkoon funkio f jkuv kikill R. Osoi, eä ( ) f(u) du d = f()( ) d kikill R. 8. Osoi, eä jos >, niin r n d = π log. 9. Osoi, eä sin d = sin R, j määriä ää ulos käyäen sin d Vihje: sin = sin os kikill R.. Määriä j sin d. sin(rn ) d, (b) lim + sin( ) d.. Määriä r n( ) d, 5 (b) lim o sin( ) d. sin 3. Osoi, eä 3. Määriä lim + sin(5) r sin( ) d = π. 4 r sin(3) os(π ) d, (b) lim 3 + d sekä käyäen inegrlilskennn välirvoluse eä käyäen l Hospilin säänöä. 4. Osoi, eä funkio () on idosi ksvv, kun >. d, (b) log log d
5. Tuki, onko funkio monooninen välillä ], [. 5 r o d 6. Määriä funkion () 3 ( )e d, (b) pikllise äärirvokohd j äärirvojen lu. 7. Määriä funkion log log d pikllise äärirvokohd j äärirvojen lu välillä [, [. 8. Tuki, missä piseessä (i piseissä) funkio svu suurimmn rvons välillä ], ]. e d ( > ) ( ) os d + 9. Olkoon f(, ) sellinen (muuujn suheen) välillä [, b] Riemnn-inegroiuv funkio, eä sen deriv f muuujn suheen on jkuv välillä I. Osoi, eä d b b f(, ) d = f d (, ) d kikill I. Vihje: Differenililskennn välirvoluse.. Osoi ehävän 9 ulos käyäen, eä funkio on vähenevä koko relilukujoukoss. 6. Inegrlifunkio. Määriä sellise vkio j b, eä funkio e d F () = e ( sin + b os ) on funkion e sin inegrlifunkio.
. Tuki, onko F jonkin funkion f inegrlifunkio välillä [, ], kun os, kun, os, kun, () F () = (b) F () =, kun <, +, kun <. 3. Ann esimerkki sellises funkion e inegrlifunkios F, eä () F () 5, (b) F (5) = 3. 4. Olkoon f välillä [, b] Riemnn-inegroiuv funkio j F sellinen välillä [, b] jkuv j välillä ], b[ derivoiuv funkio, eä F () = f() kikill ], b[. Osoi, eä b f() d = F (b) F (). Vihje: Differenililskennn välirvoluse j Riemnnin summn rj-rvo. 5. Ann esimerkki sellises välillä [, ] määriellysä funkios, eä funkio ei ole Riemnn-inegroiuv välillä [, ], mu funkioll on inegrlifunkio () välillä ], [, (b) välillä [, ]. Vihje: Riemnn-inegroiuv funkio on rjoieu. 6. Olkoon f välillä [, b] Riemnn-inegroiuv funkio. Osoi, eä jos funkioll f on inegrlifunkio välillä [, b], niin myös f() d ( [, b]) on funkion f on inegrlifunkio välillä [, b]. Voi ole ehävän 4 uloksen unneuksi. 7. Kosk j d rn( 3 n ) = d 3 + 3 n os + sin = os + 3 sin = os ( + 3 n ), niin inegrlilskennn pääluseen nojll d + sin = + 3 n os d = π / rn( 3 n ) 3 =. Miksi ulos ei voi oll oike j missä virhe phui?
8. Olkoon f sellinen funkio, eä f() = j f on jkuv välillä [, b]. Osoi, eä (b ) b missä M = supf() b}. Vihje: Cuhy-Shwrzin epäyhälö. (f ()) d M, 9. Olkoon f sellinen funkio, eä f() kikill R. Määriä f( ) j f(4). d = os(π). Osoi, eä oinen rj-rvois on äärellinen j oinen ääreön. lim d j lim d z + z z + z