Riemannin integraalista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010

2

Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin integrlist Pro grdu -tutkielm, 46 s. Mtemtiikk Syyskuu 2010 Tiivistelmä Tämän tutkielmn iheen on Riemnnin integrli. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn (1826-1866) oli skslinen mtemtikko j fyysikko, jok kehitti nlyysin lisäksi geometri j lukuteori. Hän omksui iemmst poikkevn tvn lähestyä integrlin käsitettä j ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn j rj-rvon käsitteiden vull. Tutkielmn luksi perehdytään l- j yläsummn käsitteisiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- j lintegrli rjoitetulle funktiolle suljetull j rjoitetull välillä. Luvuss 3.3 esitetään Riemnnin integrlin määritelmä. Funktion snotn olevn Riemnn-integroituv silloin, kun lintegrlin j yläintegrlin rvot ovt yhtäsuuret. Tätä l- j yläintegrlin rvo kutsutn funktion Riemnnin integrliksi. Tutkielmss käydään esimerkkien vull läpi eräitä Riemnn-integroituvi funktioit j esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luvuss 4 osoitetn ensin Riemnnin integrlin nk. linerisuusominisuus. Tämän jälkeen osoitetn, että positiivisen funktion Riemnnin integrlifunktio on myös positiivinen. Luvuss 4.3 osoitetn, että monotoniset funktiot j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Luvuss 4.4 osoitetn, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisrvofunktio j käänteisfunktio ovt Riemnnintegroituvi. Lisäksi osoitetn, että integroituvn funktion potenssifunktio on myös integroituv. Tutkielmn lopuksi osoitetn, että määräämätön integrlifunktio on in jtkuv. Asisnt: Riemnnin integrli, lsumm, yläsumm, lintegrli, yläintegrli. 3

4

Sisältö 1 Johdnto 7 2 Vlmistelevi trksteluj 8 3 Riemnnin integrli 13 3.1 Alsumm j yläsumm..................... 14 3.2 Ylä- j lintegrlit....................... 18 3.3 Riemnnin integrlin määritelmä................ 20 3.4 Esimerkkejä Riemnn-integroituvist funktioist........ 21 3.5 Riemnnin kriteeri integroituvuudelle.............. 25 4 Riemnnin integrlin ominisuuksi 27 4.1 Riemnnin integrlin linerisuus j positiivisuus....... 27 4.2 Integrlin olemssolost.................... 37 4.3 Monotonisten j jtkuvien funktioiden integroituvuus..... 38 4.4 Joitkin integroituvien funktioiden luokn keskeisiä ominisuuksi............................... 40 Viitteet 46 5

6

1 Johdnto Tämän tutkielmn iheen on Riemnnin integrli. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn (1826-1866) oli skslinen mtemtikko j fyysikko (ks. [2, s. 763]). Hän kehitti nlyysin lisäksi geometri j lukuteori. (Ks. [2, s. 774]). 1850-luvull Bernhrd Riemnn omksui uudenlisen j iemmst poikkevn tvn lähestyä integrlin käsitettä. Hän ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn j rj-rvon käsitteiden vull. Bernhrd Riemnnin esimerkkiä seursivt uset muut mtemtikot, jolloin syntyi useit erilisi integrliteorioit. Näistä minittkoon Riemnn-Stieltjesin integrli j Lebesquen integrli, vrt. [1, s. 234,239]. Luvuss 2 käydään läpi tutkielmn iheen knnlt keskeisimmät käsitteet, kuten infimum j supremum. Lisäksi esitetään rj-rvon j jtkuvuuden määritelmät j eräitä tuloksi, joit trvitn pun myöhemmin tutkielmss esitettyjen luseiden todistuksiss j esimerkeissä. Luvuss 3 käsitellään Riemnn-integroituvuutt. Aluksi perehdytään lj yläsummn käsitteisiin j keskeisimpiin l- j yläsummn ominisuuksiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- j lintegrli rjoitetulle funktiolle suljetull j rjoitetull välillä. Luvuss 3.3 esitetään Riemnnin integrlin määritelmä. Funktion snotn olevn Riemnn-integroituv silloin, kun lintegrlin j yläintegrlin rvot ovt yhtäsuuret. Tätä l- j yläintegrlin rvo kutsutn funktion Riemnnin integrliksi. Luvuss 3.4 käydään esimerkkien vull läpi eräitä Riemnn-integroituvi funktioit. Lopuksi esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luvuss 4 osoitetn ensin Riemnnin integrlin nk. linerisuus-ominisuus. Tämän jälkeen osoitetn, että integroituvn positiivisen funktion Riemnnin integrlifunktio on myös positiivinen. Luvuss 4.3 osoitetn, että monotoniset funktiot j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Luvuss 4.4 osoitetn, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisrvofunktio j käänteisfunktio ovt Riemnn-integroituvi. Lisäksi osoitetn, että integroituvn funktion potenssifunktio on myös integroituv. Tutkielmn lopuksi osoitetn, että määräämätön integrlifunktio on in jtkuv. Lukijlt edellytetään rj-rvon perusominisuuksien j ε-δ -tekniikn hllint. Lisäksi lukijlt edellytetään nlyysin peruskurssien sisällön tun- 7

temust j erityisesti infimumin j supremumin käsitteiden ymmärtämistä. Lähdeteoksen käytetään pääsiss Robert G. Brtlen j Donld R. Sherbertin teost Introduction to Rel Anlysis. Willim F. Trenchin teost Introduction to Rel Anlysis on käytetty eräissä kohdiss Robert G. Brtlen j Donld R. Sherbertin teoksen rinnll. 2 Vlmistelevi trksteluj Tässä luvuss esitellään Riemnnin integrlin määrittelemisessä trvittvi keskeisiä käsitteitä. Lisäksi esitetään eräitä tuloksi, joit trvitn pun myöhemmin tutkielmss esitettävien luseiden todistuksiss j esimerkeissä. Määritellään ensin, mitä trkoitetn rjoitetull funktioll j rjoitetull välillä. Tämän jälkeen määritellään käsitteet infimum j supremum. Määritelmä 2.1. [1, s. 59] Piste x R on joukon S R ksutumispiste, jos pisteen x jokinen ε -ympäristö V ε = (x ε,x + ε) sisältää vähintään yhden pisteestä x erovn pisteen. Määritelmä 2.2. [1, s. 120] Olkoon A R. Olkoon f : A R funktio j olkoon c R joukon A ksutumispiste. Funktion f snotn olevn rjoitettu pisteen c ympäristössä, jos on olemss sellinen pisteen c ympäristö U j sellinen vkio M > 0, että f(x) M kikill x A U. Määritelmä 2.3. [1, s. 46] Olkoon joukko S joukon R osjoukko. 1. Luvun u R snotn olevn joukon S ylärj, jos s u kikill luvuill s S. 2. Luvun w R snotn olevn joukon S lrj, jos w s kikill luvuill s S. Huomutus 2.1. [1, s. 46] Jos joukoll S on yksi ylärj, niin sillä on äärettömän mont ylärj. Nimittäin, jos u on joukon S ylärj j v > u, niin tällöin myös v on joukon S ylärj. Smoin voidn todet, että mikäli joukoll S on yksi lrj, niin tällöin sillä on äärettömän mont lrj. 8

Huomutus 2.2. [1, s. 47] Snotn, että joukko S R on ylhäältä rjoitettu, jos joukoll S on olemss jokin ylärj. Smoin, joukko S R on lhlt rjoitettu, jos joukoll S on olemss jokin lrj. Mikäli joukoll S on sekä ylärj että lrj, snotn, että joukko S on rjoitettu. Mikäli joukoll ei ole ylä- ti lrj, snotn, että joukko on rjoittmton. Määritelmä 2.4. [1, s. 47] Olkoon joukko S joukon R osjoukko. 1. Jos joukko S on ylhäältä rjoitettu, sen ylärjn u snotn olevn joukon S supremum eli joukon S pienin ylärj, mikäli u on pienempi kuin mikään muu joukon S ylärj. 2. Jos joukko S on lhlt rjoitettu, sen lrjn w snotn olevn joukon S infimum eli joukon S suurin lrj, mikäli w on suurempi kuin mikään muu joukon S lrj. Huomutus 2.3. Supremumin määritelmä voidn muotoill myös seurvsti [1, s. 47]: Luku u R on joukon S R supremum, jos se toteutt seurvt ehdot: 1. Kikill s S pätee, että s u. 2. Jos s v kikill s S, niin u v. Infimumin määritelmä voidn muotoill vstvll tvll. Luku w R on joukon S R infimum, jos se toteutt seurvt ehdot: 1. Kikill s S pätee, että w s. 2. Jos x s kikill s S, niin x w. Määritelmä 2.5. [1, s. 166] Olkoon A R j olkoon funktio f : A R. Funktio f on tsisesti jtkuv välillä A, jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ(ε) > 0, että kikill x,u A, kun x u < δ(ε), niin f(x) f(u) < ε. Luse 2.1. [1, s. 167]Olkoon I suljettu j rjoitettu väli j olkoon funktio f : I R jtkuv välillä I. Tällöin funktio f on tsisesti jtkuv välillä I. 9

Todistus. Ks. [1, s. 167]. Osoitetn seurvksi kksi luonnollisten lukujen ominisuutt, joit tulln trvitsemn myöhemmin esimerkeissä 3.3 j 3.4, joiss esitellään joitin Riemnn-integroituvi funktioit. Apuluse 2.2. Vrt. [1, s. 20] Kikill luvuill m N pätee, että 1 + 2 + + m = m(m + 1). 2 Todistus. Todistetn induktioll luvun m suhteen. Väite pätee, kun m = 1, sillä 1(1 + 1)/2 = 1. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun m = k. Oletetn siis, että 1 + 2 + + k = k(k + 1). 2 Osoitetn, että väite pätee, kun m = k + 1, eli 1 + 2 + + k + (k + 1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]. 2 Induktio-oletuksen perusteell sdn, että 1 + 2 + + k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1). Muoktn nyt yhtäsuuruusmerkin oikell puolell olev lusekett: k(k + 1) 2 + (k + 1) = = = = k(k + 1) 2(k + 1) + 2 2 k(k + 1) + 2(k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) 2 (k + 1)[(k + 1) + 1]. 2 Induktio-peritteen nojll väite on siis tosi. Apuluse 2.3. Vrt. [1, s. 22, t. 1.3.1] Kikill luvuill m N pätee, että 1 3 + 2 3 + + m 3 = [ ] 2 1 m(m + 1). 2 10

Todistus. Todistetn induktioll luvun m suhteen. Väite pätee, kun m = 1, sillä [ 1 2 1(1+1)]2 = 1. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun m = k. Oletetn siis, että 1 3 + 2 3 + + k 3 = [ ] 2 1 k(k + 1). 2 Osoitetn, että väite pätee, kun m = k + 1, j tällöin { 1 1 3 + 2 3 + + k 3 + (k + 1) 3 = 2 (k + 1)[ (k + 1) + 1 ] } 2. Induktio-oletuksen perusteell sdn, että [ ] 2 1 1 3 + 2 3 + + k 3 + (k + 1) 3 = k(k + 1) + (k + 1) 3. 2 Muoktn nyt yhtäsuuruusmerkin oikell puolell olev lusekett: [ ] 2 1 k(k + 1) + (k + 1) 3 = 1 2 4 k2 (k + 1) 2 + (k + 1)(k + 1) 2 [ ] 1 = (k + 1) 2 4 k2 + (k + 1) = 1 4 (k + 1)2 (k 2 + 4k + 4) = 1 4 (k + 1)2 (k + 2) 2 Induktio-peritteen nojll väite on siis tosi. = 1 4 (k + 1)2[ (k + 1) + 1 ] 2 { 1 = 2 (k + 1)[ (k + 1) + 1 ] } 2. Luse 2.4. [1, s. 20] Jos luku R on sellinen, että 0 < ε jokisell ε R, niin = 0. Todistus. Ks. [1, s. 36] Apuluse 2.5. [1, s. 54, t.2.4.11] Olkoon joukko S R rjoitettu j epätyhjä. 1. Olkoon > 0 j olkoon S = {s s S}. Tällöin () inf(s) = inf S j 11

(b) sup(s) = sup S. 2. Olkoon b < 0 j olkoon bs = {bs s S}. Tällöin () inf(bs) = b sup S j (b) sup(bs) = b inf S. Todistus. 1. () Olkoon w = inf S. Tällöin x w kikill x S j sdn, että x w kikill x S. Näin ollen luku w on joukon S lrj j siis inf(s) w. Olkoon p mikä thns joukon S lrj. Tällöin x p kikill x S. Tästä seur, että x p/ kikill x S. Nyt, kosk w = inf S, sdn, että w p/ j siis w p. On siis osoitettu, että inf(s) = w = inf S. (b) Olkoon u = sups. Tällöin x u kikill x S j sdn, että x u kikill x S. Näin ollen luku u on joukon S ylärj j siis sup(s) u. Olkoon v mikä thns joukon S ylärj. Tällöin x v kikill x S. Tästä seur, että x v/ kikill x S. Nyt, kosk u = sups, sdn, että u v/ j siis u v. On siis osoitettu, että sup(s) = u = sup S. 2. () Olkoon u = sups. Tällöin x u kikill x S j sdn, että bx bu kikill x S. Näin ollen luku bu on joukon bs lrj j siis inf(bs) bu. Olkoon w mikä thns joukon bs lrj. Tällöin bx w kikill x S. Tästä seur, (kosk b < 0), että x w/b kikill x S. Nyt, kosk u = sups, sdn, että u w/b j siis bu w. On siis osoitettu, että inf(bs) = bu = b sup S. (b) Olkoon w = inf S. Tällöin x w kikill x S j sdn, että bx bw kikill x S. Näin ollen luku bw on joukon bs ylärj j siis sup(bs) bw. Olkoon u mikä thns joukon bs ylärj. Tällöin bx u kikill x S. Tästä seur, (kosk b < 0), että x u/b kikill x S. Nyt, kosk w = inf S, sdn, että w u/b j siis bw u. On siis osoitettu, että sup(bs) = bw = b inf S. 12

Apuluse 2.6. [1, s. 54, t.2.4.14] Olkoon joukko X epätyhjä j olkoot f j g funktioit joukolt X joukkoon R. Tällöin 1. sup{f(x) + g(x) x X} sup{f(x) x X} + sup{g(x) x X} j 2. inf{f(x) x X} + inf{g(x) x X} inf{f(x) + g(x) x X}. Todistus. 1. Olkoon sup{f(x) x X} = u j olkoon sup{g(x) x X} = v. Tällöin f(x) u j g(x) v kikill x X. Nyt sdn, että f(x) + g(x) u + v kikill x X. Näin ollen luku u + v on joukon {f(x) + g(x) x X} ylärj j siis sup{f(x) + g(x) x X} u + v = sup{f(x) x X} + sup{g(x) x X}. 2. Olkoon inf{f(x) x X} = p j olkoon inf{g(x) x X} = q. Tällöin f(x) p j g(x) q kikill x X. Nyt sdn, että f(x) + g(x) p+q kikill x X. Näin ollen luku p+q on joukon {f(x)+g(x) x X} lrj j siis inf{f(x) + g(x) x X} p + q = inf{f(x) x X} + inf{g(x) x X}. 3 Riemnnin integrli Tässä luvussss määritellään lintegrli j yläintegrli rjoitetulle funktiolle, rjoitetull j suljetull välillä. Al- j yläintegrlin käsitteet ovt keskeisiä Riemnnin integrlin knnlt, sillä funktiot, jonk l- j yläintegrlien rvot ovt smt, kutsutn Riemnn-integroituvksi j ylä- j lintegrlin rvo funktion Riemnnin integrliksi. Riemnnin integrlin määritelmä esitetään luvuss 3.3. Alintegrlin j yläintegrlin määrittelemisen knnlt on tärkeää tunte l- j yläsummn käsitteet. Tämän vuoksi luvuss 3.1 perehdytään ensin trvittviin merkintöihin j käytössä oleviin nimityksiin j sitten l- j yläsummn käsitteisiin j niiden tärkeimpiin ominisuuksiin. Luvuss 3.4 käydään esimerkkien vull läpi muutmi Riemnn-integroituvi funktioit. Esimerkeissä osoitetn, että funktiot f(x) = c, f(x) = x j f(x) = x 3 ovt integroituvi välillä [0, 1]. 13

Luvuss 3.5 esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Tämän kriteerin perusteell voidn perehtyä trkemmin siihen, milloin Riemnnin integrli on olemss. 3.1 Alsumm j yläsumm Alsummn j yläsummn määrittämiseksi suljettu j rjoitettu väli jetn osväleihin. Aloitetn perehtymällä siihen, mitä välin joll trkoitetn. Trkstelln suljettu j rjoitettu väliä I = [,b] R. Välin I jko on äärellinen j järjestetty joukko P = (x 0,x 1,...,x n ), missä x 0,x 1,...,x n ovt välin I pisteitä siten, että = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Jon P vull väli I voidn siis jk osväleihin [x 0,x 1 ], [x 1,x 2 ],...,[x n 1,x n ], jotk eivät ole päällekäisiä. Olkoon nyt funktio f : I R rjoitettu välillä I j olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Tällöin, kun k = 1, 2,..., n, määritellään m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}. Tämän jälkeen voidn esittää kvt l- j yläsummn lskemiseen. Funktion f jko P vstv lsumm L(P; f) määritellään kvll L(P;f) = m k (x k x k 1 ) j funktion f jko P vstv yläsumm U(P; f) määritellään kvll U(P;f) = M k (x k x k 1 ). Huomutus 3.1. Mikäli funktio f on positiivinen, lsumm L(P;f) voidn kuvt geometrisesti sellisten suorkulmioiden pint-ln, joiden knt on [x k 1,x k ] j korkeus on m k. Vstvsti yläsumm U(P;f) voidn kuvt sellisten suorkulmioiden pint-ln, joiden knt on [x k 1,x k ] j korkeus on M k. Tätä hvinnollistetn esimerkissä 3.1. 14

Esimerkki 3.1. Olkoon I = [0.5, 3] j olkoon P = (0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0) välin I jko. Trkstelln funktiot f(x) = 1/x, jok on välillä I = [0.5, 3] jtkuv j s positiivisi rvoj. Alsumm voidn kuvt geometrisesti kuten kuvss 1. y 2 y = 1 x 1 1 2 3 x Kuv 1. Alsumm L(P;f). Funktion f yläsumm hvinnollist kuv 2. y 2 y = 1 x 1 1 2 3 x Kuv 2. Yläsumm U(P;f). Esimerkin 3.1 perusteell näyttäisi vhvsti siltä, että lsumm on pienempi ti yhtäsuuri kuin yläsumm. Osoitetn seurvksi, että näin todell on. Luse 3.1. Vrt. [1, s. 236] Jos funktio f : I R on rjoitettu j P on välin I mikä thns jko, niin silloin L(P;f) U(P;f). 15

Todistus. Vrt. [1, s. 236] Olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I j olkoon P := (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Tällöin luonnollisesti x k x k 1 > 0, kun k = 1, 2,...,n. Toislt termien m k j M k määrittelyn j määritelmän 2.4 perusteell m k M k, kun k = 1, 2,...,n. Tästä seur, että L(P;f) = m k (x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ) = U(P;f). Seurvksi perehdytään siihen, mitä trkoitetn jon tihennyksellä. Olkoot P = (x 0,x 1,...,x n ) j Q = (y 0,y 1,...,y m ) välin I jkoj. Jko Q on jon P tihennys, jos jokinen jon P piste x k P, kun k = 1, 2,...,n kuuluu myös jkoon Q, eli P Q. Jon P tihennys Q sdn siis lisäämällä äärellinen määrä pisteitä jkoon P. Tällöin voidn jokinen jon P muodostmist osväleistä [x k 1,x k ] kirjoitt sellisten välien yhdisteenä, joiden päätepisteet ovt jon Q pisteitä, eli [x k 1,x k ] = [y j 1,y j ] [y j,y j+1 ] [y h 1,y h ]. Osoitetn seurvksi, että jon tihentäminen ksvtt lsumm j pienentää yläsumm. Luse 3.2. Vrt. [1, s. 236] Olkoon funktio f : I R rjoitettu. Jos P on välin I jko j jos Q on jon P tihennys, niin silloin L(P;f) L(Q;f) j U(Q;f) U(P;f). Todistus. Vrt. [1, s. 237] Osoitetn ensin, että lsumm ksv, kun jko tihennetään. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ). Lisätään jkoon P yksi piste z I siten, että x k 1 < z < x k. Tällöin sdn jko P = (x 0,x 1,...,x k 1,z,x k,...,x n ). Olkoon m k = inf{f(x) x [x k 1,z]} j m k = inf{f(x) x [z,x k ]}. 16

Tällöin, kosk m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]}, on määritelmän 2.4 perusteell m k m k j m k m k. Tästä seur, että m k (x k x k 1 ) = m k (z x k 1 ) + m k (x k z) m k(z x k 1 ) + m k(x k z). Lisätään epäyhtälön molemmille puolille termit m j (x j x j 1 ), kun j k j j = 0,...,n, jolloin sdn L(P;f) = m k (x k x k 1 ) m 1 (x 1 x 0 ) + + m k(z x k 1 ) + m k(x k z) + + m n (x n x n 1 ) = L(P ;f). Jon P tihennys Q sdn lisäämällä jkoon P äärellinen määrä pisteitä, yksi piste kerrlln. Kun toistetn edellä esitettyä menettelyä, päädytään tulokseen L(P;f) L(Q;f). Osoitetn seurvksi, että yläsumm pienenee, kun jko tihennetään. Oletetn ensin, että P on kuten edellä. Olkoot M k = sup{f(x) x [x k 1,z]} j M k = sup{f(x) x [z,x k ]}. Tällöin, kosk M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}, on määritelmän 2.4 perusteell M k M k j M k M k. Tästä seur, että M k (x k x k 1 ) = M k (z x k 1 ) + M k (x k z) M k(z x k 1 ) + M k(x k z). Lisätään epäyhtälön molemmille puolille termit M j (x j x j 1 ), kun j k j j = 0,...,n, jolloin sdn U(P;f) = M k (x k x k 1 ) M 1 (x 1 x 0 ) + + M k(z x k 1 ) + M k(x k z) + + M n (x n x n 1 ) = U(P ;f). Lisätään jkoon P jälleen yksitellen pisteitä siten, että sdn muodostettu tihennys Q j toistetn edellistä menettelyä yläsummn suhteen. Tällöin päädytään tulokseen U(Q;f) U(P;f). 17

Edellä on siis osoitettu, että lsumm on pienempi kuin yläsumm, kun summt on muodostettu käyttäen sm jko. Lisäksi on osoitettu, että jon tihentäminen ksvtt lsumm j pienentää yläsumm. Osoitetn seurvksi, että lsumm on pienempi kuin yläsumm myös silloin, kun lj yläsumm on muodostettu käyttämällä eri jkoj. Luse 3.3. Vrt. [1, s. 238] Olkoon funktio f : I R rjoitettu. Jos P 1 j P 2 ovt kksi välin I mielivltisesti vlittu jko, niin L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). Todistus. Vrt. [1, s. 238] Olkoon Q = P 1 P 2, eli sellinen jko, jok sdn yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Tällöin Q on siis sekä jon P 1 että jon P 2 tihennys. Luseest 3.2 seur, että L(P 1 ;f) L(Q;f) j U(Q;f) U(P 2 ;f). Luseen 3.1 perusteell L(Q; f) U(Q; f). Näin ollen L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). 3.2 Ylä- j lintegrlit Tässä luvuss tutustutn käsitteisiin lintegrli j yläintegrli. Merkinnällä P(I) trkoitetn joukko, johon kuuluvt kikki välin I jot. Jos funktio f : I R on rjoitettu, niin jokinen jko P P(I) määrää kksi luku: lsummn L(P;f) j yläsummn U(P;f). Tästä seur, että joukko P(I) määrää kksi lukujoukko: Toinen lukujoukoist muodostuu lsummist L(P;f), kun P P(I), j sitä merkitään {L(P;f) P P(I)}. Toinen lukujoukko vstvsti muodostuu yläsummist U(P; f), kun P P(I), j sitä merkitään {U(P;f) P P(I)}. Luseen 3.3 tuloksest seur, että mikä thns yläsumm on ylärj lsummien joukolle {L(P;f) P P(I)} j mikä thns lsumm on lrj yläsummien joukolle {U(P;f) P P(I)}. Tämä joht seurvn määritelmään. 18

Määritelmä 3.1. [1, s. 238] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Funktion f lintegrli välillä I on luku L(f) = sup{l(p;f) P P(I)}, j funktion f yläintegrli on luku U(f) = inf{u(p;f) P P(I)}. Huomutus 3.2. [1, s. 238] Trkstelln seurvksi välin I = [, b] trivili jko, jok muodostuu vin pisteistä j b. Olkoot m I = inf{f(x) x I} j M I = sup{f(x) x I}. Kosk funktio f on rjoitettu, luvut m I j M I ovt vrmsti olemss. Trivili jko vstv lsumm on m I (b ) j yläsumm on M I (b ). Luseiden 3.2 j 3.3 perusteell kikill joill P P(I) pätee, että m I (b ) L(P;f) U(P;f) M I (b ). Trkstelemll trivili jko voidn todet, että l- j yläintegrlit ovt olemss j lisäksi huomtn, että m I (b ) L(f) M I (b ) j m I (b ) U(f) M I (b ). Luse 3.4. [1, s. 239] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Tällöin funktioll f on olemss lintegrli L(f) j yläintegrli U(f) välillä I j L(f) U(f). Todistus. [1, s. 239] Olkoot P 1 j P 2 välin I mielivltisi jkoj. Luseest 3.3 seur, että L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). Tällöin U(P 2 ;f) on siis joukon {L(P;f) P P(I)} ylärj. Kosk L(f) = sup{l(p;f) P P(I)}, se toteutt ehdon L(f) U(P 2 ;f). Kosk P 2 on välin I mielivltinen jko, voidn todet, että L(f) on joukon {U(P;f) P P(I)} lrj. Nyt, kosk U(f) = inf{u(p;f) P P(I)}, niin myös sen täytyy totutt ehto L(f) U(f). 19

3.3 Riemnnin integrlin määritelmä Luseess 3.4 osoitettiin, että yläintegrli U(f) j lintegrli L(f) ovt in olemss, jos I on suljettu j rjoitettu väli j funktio f : I R on rjoitettu. Lisäksi osoitettiin, että L(f) U(f). Tässä luvuss perehdytään sellisten funktioiden luokkn, joille L(f) = U(f). Tällisi funktioit kutsutn Riemnn-integroituviksi j lintegrlin L(f) j yläintegrlin U(f) rvo funktion f Riemnnin integrliksi välillä I. Toislt huomtn, että on olemss myös sellisi funktioit, joille L(f) < U(f). Tälliset funktiot eivät ole Riemnn-integroituvi. Määritelmä 3.2. [1, s. 239] Olkoon I = [,b] j olkoon f : I R rjoitettu funktio. Funktion f snotn olevn Riemnn-integroituv välillä I, jos L(f) = U(f). Tällöin l- j yläsummn rvo L(f) = U(f) kutsutn funktion f Riemnnin integrliksi välillä I j sitä merkitään f ti f(x)dx. Lisäksi määritellään, että f = b f j f = 0. Huomutus 3.3. [1, s. 239] Määritelmän 3.2 perusteell voidn siis todet, että mikäli funktion Riemnn-integrli on olemss jollin välillä I, sen rvo on yksikäsitteinen reliluku ylä- j lsummien välissä. Huomutus 3.4. Relisess nlyysissä on useit eri integrliteorioit, joist Riemnnin integrliteori on vin yksi. Kosk tämä tutkielm keskittyy vin Riemnnin integrliteorin, jtkoss termeillä integrli j integroituvuus viittn Riemnnin integrliin j Riemnnin integroituvuuteen, lähdeteoksen tp noudtten. Huomutus 3.5. Ks. [4, s. 120] Funktion f lintegrlist välillä [, b] voidn myös käyttää merkintää 20 f.

Vstvsti, funktion f yläintegrlist välillä [, b] voidn käyttää merkintää 3.4 Esimerkkejä Riemnn-integroituvist funktioist Seurvksi perehdytään esimerkkien vull erilisiin integroituviin funktioihin. Esimerkki 3.2. [1, s. 240] Osoitetn, että vkiofunktio on integroituv. Olkoon f(x) = c, kikill x I = [,b]. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko, missä x 0 = j x n = b. Tällöin m k = M k = c, kikill k = 1, 2,...,n. Funktion f jko P vstvksi lsummksi sdn f. L(P;f) = m k (x k x k 1 ) = c (x k x k 1 ) = c(b ). Funktion f jko P vstvksi yläsummksi sdn U(P;f) = M k (x k x k 1 ) = c (x k x k 1 ) = c(b ). Näin ollen, kosk L(P; f) = U(P; f), funktio f on integroituv välillä I j f(x)dx = c dx = c(b ). Esimerkki 3.3. [1, s. 240] Osoitetn, että funktio f(x) = x on integroituv välillä [0,1]. Olkoon P n välin I = [0, 1] sellinen jko, että P n = ( 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1 Funktio f on ksvv funktio, joten jokisell osvälillä [(k 1)/n, k/n] se s infimumins osvälin vsemmss päätepisteessä j supremumins osvälin oikess päätepisteessä, joten m k = k 1 n j M k = k n. 21

Lisäksi, kosk jokisen osvälin pituus x k x k 1 = 1/n, sdn jko P n vstvksi lsummksi L(P n ;f) = m k (x k x k 1 ) = 0 + 1 n 2 + 2 n 2 + + n 1 n 2 = (0 + 1 + + (n 1))/n 2. Jko P n vstvksi yläsummksi sdn U(P n ;f) = M k (x k x k 1 ) = 1 n 2 + 2 n 2 + + n n 2 = (1 + 2 + + n) /n 2. Apuluseess 2.2 osoitettiin, että 1 + 2 + + m = m(m + 1)/2, kikill m N. Tämän perusteell sdn lsummksi ( ) (n 1)(n 1 + 1) 1 L(P n ;f) = 2 n = 1 ( ) n 2 n = 1 2 2 n 2 2 j yläsummksi ( ) n(n + 1) 1 U(P n ;f) = 2 n = 1 ( ) n 2 + n = 1 2 2 n 2 2 ( 1 1 ) n ( 1 + 1 ). n Joukko {P n n N} on välin I kikkien jkojen joukon P(I) osjoukko, joten määritelmän 3.1 j luseen 3.2 perusteell sdn, että L(f) = sup{l(p;f) P P(I)} sup{l(p n ;f) n N} = 1 2 j U(f) = inf{u(p;f) P P(I)} inf{u(p n ;f) n N} = 1 2. Nyt 1 L(f) U(f) 1, eli L(f) = U(f) = 1. Täten f on integroituv 2 2 2 välillä I = [0, 1] j 1 0 f(x)dx = 1 0 22 x dx = 1 2.

Esimerkki 3.4. [1, s. 244, t.6.1.5] Osoitetn, että funktio f(x) = x 3 on integroituv välillä [0,1]. Olkoon P n välin I = [0, 1] jko kuten esimerkissä 3.3, eli P n = ( 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1 Funktio f on ksvv funktio, joten jokisell osvälillä [(k 1)/n, k/n] se s infimumins osvälin vsemmss päätepisteessä j supremumins osvälin oikess päätepisteessä, eli m k = ( k 1 n )3 j M k = ( k n )3. Lisäksi, kosk jokisen osvälin pituus x k x k 1 = 1/n, sdn jko P n vstvksi lsummksi L(P n ;f) = m k (x k x k 1 ) = 0 + ( ) 3 1 1 n n + ( ) 3 2 1 n n + + = [ 0 + 1 3 + 2 3 + + (n 1) 3] /n 4. Jko P n vstvksi yläsummksi sdn U(P n ;f) = = M k (x k x k 1 ) ( 1 n ) 3 1 n + ( ) 3 2 1 n n + + = [ 1 3 + 2 3 + + n 3] /n 4. ( n 1 n ( ) 3 n 1 n n Apuluseess 2.3 osoitettiin, että 1 3 + 2 3 + + m 3 = kikill m N. Tämän perusteell sdn lsummksi [ ] 2 1 1 L(P n ;f) = (n 1)[(n 1) + 1] 2 n 4 = 1 4n 4(n 1)2 (n) 2 = 1 2n + 1) 4n 2(n2 = 1 4 1 2n + 1 4n 2. 23 ) 3 1 n [ 1 2 m(m + 1) ] 2,

Yläsummksi sdn [ ] 2 1 1 U(P n ;f) = (n)(n + 1)] 2 n 4 = 1 (n + 1) 2 4n 4(n)2 = 1 + 2n + 1) 4n 2(n2 = 1 4 + 1 2n + 1 4n 2. Joukko {P n n N} on välin I kikkien jkojen joukon P(I) osjoukko, joten määritelmän 3.1 j luseen 3.2 perusteell sdn, että L(f) = sup{l(p;f) P P(I)} sup{l(p n ;f) n N} = 1 4 j U(f) = inf{u(p;f) P P(I)} inf{u(p n ;f) n N} = 1 4. Nyt 1 L(f) U(f) 1, eli L(f) = U(f) = 1. Täten f on integroituv 4 4 4 välillä I = [0, 1] j 1 0 f(x)dx = 1 0 x 3 dx = 1 4. Esitetään seurvksi esimerkki funktiost, jok ei ole integroituv. Tämä sm esimerkki löytyy useist nlyysi käsittelevistä teoksist (ks. myös [4, s. 122]). Esimerkki 3.5. [1, s. 241] Olkoon väli I = [0, 1] j olkoon funktio f : I R Dirichlet n funktio, jok määritellään seurvsti: { 1, jos x on rtionlinen, f(x) = 0, jos x on irrtionlinen. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I mikä thns jko. Kosk mikä thns trivilist välistä poikkev väli sisältää sekä rtionli- että irrtionlilukuj (ks. [1, s. 53]), sdn, että m k = 0 j M k = 1, jolloin L(P;f) = 0 j U(P;f) = 1. Tästä seur, että L(f) = 0 j U(f) = 1. Kosk L(f) U(f), niin funktio f ei ole integroituv välillä [0, 1]. 24

3.5 Riemnnin kriteeri integroituvuudelle Luvun 3.4 esimerkkien perusteell huomtn, että integroituvuutt käsitellessä nousee esille kksi merkittävää kysymystä. Ensimmäiseksi herää kysymys, onko jollekin funktiolle olemss integrlifunktio j toiseksi, kuink integrlin rvo voidn määrittää. Perehdytään seurvksi lisää kysymykseen integrlin olemssolost j esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luse 3.5. [1, s. 242] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Funktio f on integroituv välillä I, jos j vin jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen välin I jko P ε, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Todistus. [1, s. 242] Oletetn ensin, että funktio f on integroituv, j osoitetn, että tällöin on olemss sellinen välin I jko P ε, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Integroituvuudest seur, että L(f) = U(f). Olkoon ε > 0. Määritelmän 3.1 perusteell on olemss sellinen välin I jko P 1 että L(f) ε/2 < L(P 1 ;f). Smoin on olemss sellinen välin I jko P 2 että U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. Olkoon jko P ε = P 1 P 2. Tällöin P ε on sekä jon P 1 että jon P 2 tihennys j luseen 3.2 perusteell L(f) ε/2 < L(P 1 ;f) L(P ε ;f) j U(P ε ;f) U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. Luseen 3.3 perusteell L(P ε ;f) U(P ε ;f), jolloin sdn, että L(f) ε/2 < L(P 1 ;f) L(P ε ;f) U(P ε ;f) U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. 25

Kosk L(f) = U(f), niin vrmsti U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Oletetn sitten, että jokisell ε > 0 on olemss välin I jko P ε, j osoitetn, että tällöin funktio f on integroituv välillä I. Huomioidn ensin, että millä thns välin I joll P pätee, että L(P;f) L(f) j siis L(f) L(P;f). Smoin millä thns välin I joll P pätee, että U(f) U(P;f). Tällöin U(f) L(f) U(P;f) L(P;f). Oletetn, että jokisell ε > 0 on olemss välin I jko P ε siten, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Tällöin U(f) L(f) U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Kosk ε > 0 on vlittu mielivltisesti, niin luseen 2.4 perusteell voidn päätellä, että U(f) L(f). Toislt, luseen 3.4 perusteell L(f) U(f). Täytyy siis oll, että L(f) = U(f). Tällöin funktio f on integroituv. Seurus 3.6. [1, s. 243] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Jos joukko {P n n N} on välin I jkojen joukko siten, että niin funktio f on integroituv j lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = 0, n lim L(P n;f) = n Todistus. Seur suorn luseest 3.5. f = lim n U(P n ;f). Esimerkki 3.6. [1, s. 244] Olkoon funktio f välillä I = [0, 1] määritelty siten, että f(x) = x. Olkoon P n välin I sellinen jko, että ( P n = 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1. Esimerkin 3.3 lskelmien perusteell lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = lim n n 1 = lim n n = 0. 26 [ ( 1 1 + 1 ) 1 ( 1 1 ) ] 2 n 2 n

Tällöin sdn, että 1 0 1 xdx = lim U(P n ;f) = lim n n 2 ( 1 + 1 ) = 1 n 2. Esimerkki 3.7. Olkoon funktio f välillä I = [0, 1] määritelty siten, että f(x) = x 3. Olkoon P n välin I sellinen jko, että ( P n = 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1. Esimerkin 3.4 lskelmien perusteell [ 1 lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = lim n n 4 + 1 2n + 1 4n (1 2 4 1 2n + 1 ] 4n 2) 1 = lim n n = 0. Tällöin sdn, että 1 [ 1 x 3 dx = lim U(P n ;f) = lim n n 4 + 1 2n + 1 ] = 1 4n 2 4. 0 4 Riemnnin integrlin ominisuuksi Tässä luvuss käsitellään Riemnnin integrlin ominisuuksi, kuten linerisuutt j positiivisuutt. Lisäksi osoitetn, että monotoniset j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Tämän perusteell voidn todet, että Riemnnin integrli voidn määrittää suurelle luoklle rjoitettuj funktioit. 4.1 Riemnnin integrlin linerisuus j positiivisuus Riemnnin integrlin linerisuudell viittn usein luseen 4.1 ntmiin ominisuuksiin. Luse 4.1. [1, s. 245] Olkoon I = [,b] j olkoot f,g : I R integroituvi funktioit välillä I. Jos k R, niin funktiot kf j f + g ovt integroituvi välillä I j (1) (2) kf = k (f + g) = f f + g. 27

Todistus. 1. Jos k = 0, niin kf = 0 j väite on trivilisti tosi. Trkstelln tpust k < 0. Vrt.[1, s. 244]. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että m j = inf{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k sup{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k M j. Muodostetn funktion kf lsummn L(P,kf) luseke, jolloin tuloksest m j = k M j seur, että L(P,kf) = m j (x j x j 1 ) = = k j=1 k M j (x j x j 1 ) j=1 M j (x j x j 1 ) = ku(p,f). j=1 Huomttiin siis, että L(P,kf) = ku(p,f). Kosk k < 0, sdn tämän perusteell, että L(kf) = sup{l(p;kf) P P(I)} = sup{ku(p,f) P P(I)} = k inf{u(p;f) P P(I)} = ku(f). Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että M j = sup{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k inf{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k m j. Muodostetn seurvksi funktion kf yläsummn U(P, kf) luseke, jolloin tuloksest M j = k m j seur, että U(P,kf) = M j (x j x j 1 ) = = k j=1 k m j (x j x j 1 ) j=1 m j (x j x j 1 ) = kl(p,f). j=1 28

On siis osoitettu, että U(P,kf) = kl(p,f). Kosk k < 0, sdn tämän perusteell, että U(kf) = inf{u(p;kf) P P(I)} = inf{kl(p;f) P P(I)} = k sup{l(p;f) P P(I)} = kl(f). Kosk funktio f on integroituv, niin U(f) = L(f), jolloin L(kf) = ku(f) = kl(f) = U(kf). Näin ollen funktio kf on integroituv välillä I j kf = k Trkstelln sitten tpust k > 0. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko, kuten edellä. Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että m j,kf = inf{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k inf{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k m j,f. Muodostetn funktion kf lsummn L(P,kf) luseke, jolloin tuloksest m j,kf = k m j,f seur, että L(P,kf) = = = k f. m j,kf (x j x j 1 ) j=1 k m j,f (x j x j 1 ) j=1 m j,f (x j x j 1 ) = kl(p,f). j=1 Huomttiin siis, että L(P,kf) = kl(p,f). Kosk k > 0, sdn tämän perusteell, että L(kf) = sup{l(p;kf) P P(I)} = sup{kl(p,f) P P(I)} = k sup{l(p;f) P P(I)} = kl(f). 29

Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että M j,kf = sup{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k sup{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k M j,f Muodostetn funktion kf yläsummn U(P, kf) luseke, jolloin tuloksest M j,kf = k M j,f seur, että U(P,kf) = = = k M j,kf (x j x j 1 ) j=1 k M j,f (x j x j 1 ) j=1 M j,f (x j x j 1 ) = ku(p,f). j=1 Huomttiin siis, että U(P,kf) = ku(p,f). Kosk k > 0, sdn tämän perusteell, että U(kf) = inf{u(p;kf) P P(I)} = inf{ku(p,f) P P(I)} = k inf{u(p;f) P P(I)} = ku(f). Kosk funktio f on integroituv, niin U(f) = L(f), jolloin L(kf) = kl(f) = ku(f) = U(kf). Näin ollen funktio kf on integroituv välillä I j kf = k 2. [1, s. 246] Luseen 2.6 perusteell inf{f(x) x [x j 1,x j ]} + inf{g(x) x [x j 1,x j ]} inf{(f + g)(x) x [x j 1,x j ]} j sup{f(x) x [x j 1,x j ]} + sup{g(x) x [x j 1,x j ]} sup{(f + g)(x) x [x j 1,x j ]}. f. 30

Tällöin lsummn j yläsummn määrittelystä seur, että millä thns välin I joll P P(I) pätee, että L(P,f) + L(P,g) L(P,f + g) j U(P,f + g) U(P,f) + U(P,g). Vlitn nyt mielivltinen ε > 0. Kosk funktio f on integroituv, on olemss sellinen välin I jko P 1,ε, että U(P 1,ε,f) L(P 1,ε,f) + 1 2 ε. Smoin, kosk funktio g on integroituv, on olemss sellinen välin I jko P 2,ε, että U(P 2,ε,g) L(P 2,ε,g) + 1 2 ε. Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε. Tällöin, kosk jko P ε on sekä jon P 1,ε että jon P 2,ε tihennys, on luseen 3.2 perusteell U(P ε,f) U(P 1,ε,f), U(P ε,g) U(P 2,ε,g),L(P ε,f) L(P 1,ε,f) j L(P ε,g) L(P 2,ε,g). Tällöin sdn, että U(P ε,f + g) U(P ε,f) + U(P ε,g) U(P 1,ε,f) + U(P 2,ε,g) L(P 1,ε,f) + 1 2 ε + L(P 2,ε,g) + 1 2 ε L(P ε,f) + L(P ε,g) + ε L(P ε,f + g) + ε. Näin ollen, luseen 3.5 perusteell funktio f + g on integroituv j (f + g) = f + g. Seurus 4.2. [1, s. 247] Oletetn, että funktio f i : I R on integroituv välillä I = [,b], j oletetn, että k i R, kun i = 1, 2,...,n. Silloin n k if i on integroituv välillä I j k i f i = k i f i. 31

Todistus. Tulos seur luseest 4.1. Summn kirjoittminen vttuun muotoon hvinnollist si, vrt. [4, s. 136]. Tällöin sdn, että k i f i = (k 1 f 1 + k 2 f 2 + + k n f n )dx = k 1 f 1 + k 2 f 2 + + k n f n. Trkstelln seurvksi funktiot f, jok s välillä I vin positiivisi rvoj. Todistetn, että tällöin myös f on positiivinen välillä I. Luse 4.3. [1, s. 247] Olkoon I = [,b] j olkoon f : I R integroituv funktio välillä I. Jos f(x) 0 kikill x I, niin f 0. Todistus. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Silloin m j = inf{f(x) x [x j 1,x j ]} 0, kun j = 1,...,n. Tällöin jko P vstv lsumm L(P,f) = m j (x j x j 1 ) 0. j=1 Funktion f integrliksi välillä I sdn f = sup{l(p,f) P P(I)} 0. Seurus 4.4. [1, s. 247] Olkoot f,g : I R integroituvi funktioit välillä I = [,b] j olkoon f(x) g(x) kikill x I. Silloin f Todistus. Luseen 4.1 nojll funktio g f on integroituv välillä I j (g f) = g. g 32 f.

Kosk oletuksen perusteell f(x) g(x) kikill x I, niin g(x) f(x) 0. Näin ollen luseen 4.3 nojll (g f) = g f 0, jolloin f g. Seurus 4.5. [1, s. 248] Olkoon funktio f : I R integroituv välillä I = [,b] j olkoon m f(x) M kikill x I. Tällöin m(b ) Todistus. Esimerkin 3.2 perusteell f M(b ). m dx = m(b ) Luseest 4.4 seur, että j M dx = M(b ). m dx f(x)dx M dx, eli m(b ) f M(b ). Osoitetn seurvksi, että tietyin ehdoin integrlej voidn lske yhteen. Tämä ominisuus on käytännön sovelluksiss hyvin trpeellinen. Luse 4.6. [1, s. 248] Olkoon I = [,b] j olkoon c välin [,b] piste siten, että < c < b. Olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Funktio f on integroituv välillä I, jos j vin jos se on integroituv molemmill väleillä I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin f = c f + c f. 33

Luseen 4.6 todistmiseen trvitn kksi putulost, jotk todistetn ensin. (Vihtoehtoinen tp todist tämä luse löytyy teoksest Elementry Rel Anlysis [3, s. 355]). Apuluse 4.7. [1, s. 248] Olkoon L j (f) funktion f lintegrli välillä I j kun j = 1, 2. Silloin L(f) = L 1 (f) + L 2 (f). Todistus. [1, s. 248] Osoitetn ensin, että L(f) L 1 (f) + L 2 (f). Olkoon P j välin I j jko j olkoon L j (P j,f) välin I j jko P j vstv funktion f lsumm. Olkoon P välin I = I 1 I 2 sellinen jko, jok muodostuu yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Muodostetn lsummien L 1 (P 1,f) j L 2 (P 2,f) summ p L 1 (P 1,f) + L 2 (P 2,f) = m k (x k x k 1 ) + m l (z l z l 1 ). l=1 Välit I 1 j I 2 on määritelty siten, että I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin x 0 =, x n = z 0 = c j z p = b. Merkitään, että x n+1 = z 1,x n+2 = z 2,..., x n+p = z p = b. Tällöin voidn kirjoitt,että L 1 (P 1,f) + L 2 (P 2,f) = m k (x k x k 1 ) + n+p = m k (x k x k 1 ) = L(P,f). p m l (z l z l 1 ) l=1 Välin I j kikill joill P j pätee luseen 3.2 perusteell, että L 1 (P 1,f) L 1 (f) j L 2 (P 2,f) L 2 (f). Tällöin välin I, jok sisältää pisteen c, jokisell joll P L(P,f) L 1 (f) + L 2 (f). Nyt L(f) = sup{l(p,f) P P(I)} L 1 (f) + L 2 (f). Osoitetn sitten, että L(f) L 1 (f)+l 2 (f). Olkoon ε > 0 j olkoot P 1,ε j P 1,ε välien I 1 j I 2 selliset jot, että L 1 (f) L 1 (P 1,ε,f) + 1 2 ε j L 2(f) L 2 (P 2,ε,f) + 1 2 ε. 34

Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε välin I = I 1 I 2 jko. Tällöin L 1 (f) + L 2 (f) L 1 (P 1,ε,f) + 1 2 ε + L 2(P 2,ε,f) + 1 2 ε = L(P ε,f) + ε L(f) + ε. Kosk ε > 0 vlittiin mielivltisesti, L(f) L 1 (f) + L 2 (f). Nyt L(f) L 1 (f)+l 2 (f) j L(f) L 1 (f)+l 2 (f), joten L(f) = L 1 (f)+ L 2 (f). Apuluse 4.8. Olkoon U j (f) funktion f yläintegrli välillä I j kun j = 1, 2. Silloin U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Todistus. Osoitetn ensin, että U(f) U 1 (f) + U 2 (f). Olkoon P j välin I j jko j olkoon U j (P j,f) välin I j jko P j vstv funktion f lsumm. Olkoon P välin I = I 1 I 2 sellinen jko, jok muodostuu yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Muodostetn yläsummien U 1 (P 1,f) j U 2 (P 2,f) summ p U 1 (P 1,f) + U 2 (P 2,f) = M k (x k x k 1 ) + M l (z l z l 1 ) l=1 Välit I 1 j I 2 on määritelty siten, että I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin x 0 =, x n = z 0 = c j z p = b. Merkitään, että x n+1 = z 1, x n+2 = z 2,..., x n+p = z p = b. Tällöin voidn kirjoitt,että U 1 (P 1,f) + U 2 (P 2,f) = M k (x k x k 1 ) + n+p = M k (x k x k 1 ) p M l (z l z l 1 ) = U(P,f). Välin I j kikill joill P j pätee luseen 3.2 perusteell, että U 1 (P 1,f) U 1 (f) j U 2 (P 2,f) U 2 (f). Tällöin välin I, jok sisältää pisteen c, jokisell joll P U(P,f) U 1 (f) + U 2 (f). 35 l=1

Nyt U(f) = inf{u(p,f) P P(I)} U 1 (f) + U 2 (f). Osoitetn sitten, että U(f) U 1 (f)+u 2 (f). Olkoon ε > 0 j olkoot P 1,ε j P 1,ε välien I 1 j I 2 selliset jot, että U 1 (f) U 1 (P 1,ε,f) 1 2 ε j U 2(f) U 2 (P 2,ε,f) 1 2 ε. Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε välin I = I 1 I 2 jko. Tällöin U 1 (f) + U 2 (f) U 1 (P 1,ε,f) 1 2 ε + U 2(P 2,ε,f) 1 2 ε = U(P ε,f) ε U(f) ε. Kosk ε > 0 vlittiin mielivltisesti, sdn U(f) U 1 (f) + U 2 (f). Nyt U(f) U 1 (f) + U 2 (f) j U(f) U 1 (f) + U 2 (f), joten U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Todistetn nyt luse 4.6 edellä stujen tulosten vull. Todistus. Oletetn ensin, että funktio f on integroituv väleillä I 1 j I 2. Silloin L 1 (f) = U 1 (f) j L 2 (f) = U 2 (f). Apuluseiden 4.7 j 4.8 perusteell U(f) = U 1 (f) + U 2 (f) = L 1 (f) + L 2 (f) = L(f). Näin ollen funktio f on integroituv välillä I j f = c f + c Oletetn sitten, että funktio f on integroituv välillä I. Tämän oletuksen j puluseiden 4.7 j 4.8 perusteell L 1 (f) + L 2 (f) = L(f) = U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Luseen 3.4 mukn L 1 (f) U 1 (f) j L 2 (f) U 2 (f). Jos L 1 (f) < U 1 (f), niin L 2 (f) > U 2 (f), mikä on ristiriidss luseen 3.4 knss. (Smoin jos L 2 (f) < U 2 (f), syntyy ristiriit.) Näin ollen L 1 (f) = U 1 (f) j L 2 (f) = U 2 (f), joten funktio f on integroituv väleillä I 1 j I 2 j f = c f + c f. f. 36

Seurus 4.9. Olkoon P = (x 1,x 2,...,x n ) välin I = [,b] jko j olkoon funktio f integroituv välillä I. Silloin f = xk x k 1 f. Todistus. Tulos seur luseen 4.6 tuloksest. 4.2 Integrlin olemssolost Pltn nyt käsittelemään kysymystä integrlin olomssolost. Jott Riemnnin integrliteorist sdn käyttökelpoinen, trvitn sellinen lj j helposti tunnistettviss olev funktioiden luokk, jolle integroituvuus on tttu. Tärkein työklu tämän osoittmisess on Riemnnin kriteeri integroituvuudelle (ks. luse 3.5). Muotoilln tätä kriteeriä ensin hiemn, jott sen käyttö on mukvmp. Jos funktio f : I R on rjoitettu välillä I = [,b] j P = (x 0,x 1,...,x n ) on välin I jko, niin käytetään jo edellä tutuksi tulleit merkintöjä m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}, kun k = 1, 2,...,n. Vrt. [1, s. 247]. Luse 4.10. [1, s. 250] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Tällöin seurvt kohdt ovt yhtäpitäviä: 1. Funktio f on integroituv välillä I. 2. Jokiselle ε > 0 on olemss välin I jko P ε = (x 0,x 1,...,x n ) siten, että (M k m k )(x k x k 1 ) < ε. 3. Jokiselle ε > 0 on olemss välin I jko P ε = (x 0,x 1,...,x n ) siten, että w k (x k x k 1 ) < ε, missä w k = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]}, kun k = 1, 2,...,n. 37

Todistus. [1, s. 250] Osoitetn ensin, että (1) (2). Kun m k j M k on määritelty kuten edellä, sdn, että U(P ε,f) L(P ε,f) = = M k (x k x k 1 ) m k (x k x k 1 ) (M k m k )(x k x k 1 ), jost voimme päätellä, että (1) (2). Osoitetn sitten, että (2) (3). Huomtn, että M k m k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]} inf{f(x) x [x k 1,x k ]} = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]} = w k. 4.3 Monotonisten j jtkuvien funktioiden integroituvuus Osoitetn seurvksi monotonisten funktioiden integroituvuus. Luse 4.11. [1, s. 251]Olkoon I = [, b] j olkoon funktio f : I R monotoninen välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. Vrt. [1, s. 251]. Oletetn ensin, että funktio f on ksvv välillä I. Olkoon P n = (x 0,x 1,...,x n ) välin I sellinen jko, jok jk välin I siten, että jokinen väleistä on yhtäsuuri, eli [x k x k 1 ] = (b )/n, kun k = 1, 2,...,n. Kosk funktio f on ksvv välillä [x k 1,x k ], on f(x k 1 ) < f(x k ). Näin ollen m k = f(x k 1 ) j M k = f(x k ). Tällöin (M k m k )(x k x k 1 ) = = b n (f(x k ) f(x k 1 ))( b n ) (f(x k ) f(x k 1 )) = b n (f(x 1) f(x 0 ) + f(x 2 ) f(x 1 ) + + f(x n ) f(x n 1 )) = b n (f(x n) f(x 0 )) = b (f(b) f()). n 38

Vlitn ε > 0 j vlitn n N siten, että n > (b )(f(b) f())/ε. Nyt sdn, että (M k m k )(x k x k 1 ) = b n < b (b )(f(b) f()) ε (f(b) f()) (f(b) f()) = ε. Nyt luseen 4.10 kohdn 2 perusteell ksvv funktio f on integroituv välillä I. Oletetn sitten, että f on vähenevä välillä I. Olkoon P n = (x 0,x 1,...,x n ) jälleen välin I sellinen jko, jok jk välin I n:ään yhtä suureen osn, eli [x k x k 1 ] = (b )/n, kun k = 1, 2,...,n. Kosk funktio f on vähenevä välillä [x k 1,x k ], on f(x k ) < f(x k 1 ). Näin ollen m k = f(x k ) j M k = f(x k 1 ). Tällöin sdn (M k m k )(x k x k 1 ) = = b n (f(x k 1 ) f(x k ))( b n ) (f(x k 1 ) f(x k )) = b n (f(x 0) f(x 1 ) + f(x 1 ) f(x 2 ) + + f(x n 1 ) f(x n )) = b n (f(x 0) f(x n )) = b (f() f(b)) n Vlitn ε > 0 j vlitn n N siten, että n > (b )(f() f(b))/ε. Nyt sdn, että (M k m k )(x k x k 1 ) = b n < b (b )(f() f(b)) ε (f() f(b)) (f() f(b)) = ε. Nyt luseen 4.10 kohdn 2 perusteell vähenevä funktio f on integroituv välillä I. Osoitetn seurvksi jtkuvien funktioiden integroituvuus. 39

Luse 4.12. [1, s. 251] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R jtkuv välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 251] Luseen 2.1 perusteell funktio f on tsisesti jtkuv välillä I. Oletetn, että x, y I. Vlitn mielivltinen ε > 0. Tällöin on olemss sellinen δ(ε) > 0, että mikäli x y < δ, niin f(x) f(y) < ε/(b ). Olkoon n N sellinen, että n > (b )/δ(ε) > 0, j olkoon P n = (x 0,...,x n ) välin I sellinen jko, että x k x k 1 = (b )/n < δ(ε). Nyt Tällöin, kun k = 1, 2,...n, sdn, että w k = M k m k = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]} ε/(b ). ε (b ) w k (x k x k 1 ) n (b ) n = ε. Luseen 4.10 kohdn 3 perusteell funktio f on integroituv välillä I. 4.4 Joitkin integroituvien funktioiden luokn keskeisiä ominisuuksi Luse 4.13. [1, s. 252] Olkoon I = [,b] j olkoon J = [c,d]. Oletetn, että funktio f : I R on integroituv välillä I. Oletetn lisäksi, että ϕ : J R on jtkuv j että f(i) J. Tällöin yhdistetty funktio ϕ f : I R on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 252] Olkoon ε > 0, olkoon K = sup{ ϕ(t) : t J} j olkoon ε = ε/(b + 2K). Funktio ϕ on tsisesti jtkuv välillä J. Tällöin on olemss sellinen δ > 0, jolle pätee, että δ < ε j jos s,t J j s t < δ niin ϕ(s) ϕ(t) < ε. Kosk funktio f on integroituv välillä I j δ 2 > 0, niin on olemss sellinen välin I jko P = (x 0,x 1,...,x n ), että U(P;f) L(P;f) < δ 2. Osoitetn seurvksi, että jolle P pätee, että U(P;ϕ f) L(P;ϕ f) ε. 40

Vlitun ε > 0 mielivltisuudest seur tällöin, että luseen 3.5 perusteell funktio ϕ f on integroituv. Olkoon m k = inf{f(x) : x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) : x [x k 1,x k ]}. Erotetn sitten jon P indeksien joukko {0, 1,...,n} joukko khdeksi osjoukoksi siten, että A = {k : M k m k < δ} j B = {k : M k m k δ}. Olkoon nyt m k = inf{ϕ f(x) : x [x k 1,x k ]} j Mk = sup{ϕ f(x) : x [x k 1,x k ]}. Tällöin huomtn, että M k m k = sup{ϕ f(x) ϕ f(y) : x,y [x k 1,x k ]}. (Vrt. luseen 4.10 kohdn 3 todistus.) Trkstelln ensin tpust, joss k A j x,y [x k 1,x k ]. Tällöin f(x) f(y) < δ, mistä seur oletusten nojll, että ϕ f(x) ϕ f(y) < ε. Siis myös M k m k ε. Näin ollen, ( M k m k )(x k x k 1 ) ε (b ). k A Toislt, jos k B, voidn oletusten perusteell päätellä vin, että M k m k 2K. Näin ollen k B( M k m k )(x k x k 1 ) 2K k B (x k x k 1 ). Kuitenkin, kosk k B, tiedetään, että δ M k m k, joten k x k 1 ) k B(x 1 δ (M k m k )(x k x k 1 ) k B 1 (M k m k )(x k x k 1 ) δ k B 1 δ (U(P;f) L(P;f)) 1 δ δ2 = δ < ε. 41

Tällöin sdn, että ( M k m k )(x k x k 1 ) 2Kε. k B Yhdistämällä sdut rviot, sdn U(P;ϕ f) L(P;ϕ f) = ( M k m k )(x k x k 1 ) + k A k B( M k m k )(x k x k 1 ) ε (b ) + 2Kε = ε (b + 2K) = ε. Näin ollen luseen 3.5 perusteell funktio ϕ f on integroituv. Käyttämällä pun edellä sdun luseen 4.13 tulost hyväksi, voidn nyt osoitt funktioiden f, f n j 1 integroituvuus. Smoin voidn osoitt, f että khden integroituvn funktion f j g tulofunktio fg on integroituv. Luse 4.14. [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Funktion f integroituvuudest välillä I seur, että on olemss sellinen K > 0, että f(x) K jokisell lkioll x I. Määritellään funktio ϕ 1 (t) = t, kun t J = [ K,K]. Funktio ϕ 1 on jtkuv välillä J j voidn muodost yhdistetty funktio ϕ 1 f = f. Näin ollen luseen 4.13 perusteell f on integroituv. Luse 4.15. [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R on integroituv välillä I. Jos n N, niin funktio f n on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254]Olkoon f(x) K, kun x I, j olkoon ϕ 2 (t) = t n, kun t J = [ K,K]. Tällöin yhdistetty funktio ϕ 2 f = f n j luseen 4.13 perusteell f n on integroituv. Luse 4.16. [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Jos on olemss sellinen δ > 0, että f(x) δ kikill x I, niin 1/f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Olkoon δ f(x) K, kun t I, j olkoon ϕ 3 (t) = 1/t, kun t J = [δ,k]. Tällöin yhdistetty funktio ϕ 3 f = 1/f j luseen 4.13 perusteell 1/f on integroituv. 42

Luse 4.17. [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoot funktiot f,g : I R integroituvi välillä I. Tällöin niiden tulo fg on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Luseiden 4.1 j 4.15 perusteell funktiot f +g, (f +g) 2, f 2 j g 2 ovt integroituvi välillä I. Kosk (f + g) 2 = f 2 + 2fg + g 2, niin fg = 1 2 (f + g)2 f 2 g 2. Luseen 4.1 perusteell funktio fg on siis integroituv välillä I. Edellä sdut tulokset tkvt, että on olemss sellinen lj luokk funktioit, joille integrlifunktion olemssolo on tttu. Seurv esimerkki osoitt, että oletust funktion ϕ jtkuvuudest ei kuitenkn void korvt integroituvuudell, sillä khden integroituvn funktion yhdistetty funktio ei välttämättä ole integroituv. Esimerkki 4.1. [1, s. 254] Osoitetn, että khden integroituvn funktion yhdiste ei välttämättä ole integroituv. Olkoon I = [0, 1]. Määritellään funktio f : I R siten, että f(0) = 1, f(x) = 0, jos x I on irrtionlinen, j f(m/n) = 1/n, jos m,n N j luvuill m j n ei ole yhteisiä tekijöitä. Osoitetn, että funktio f on integroituv. (Vrt. [4, s. 122]) Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I = [0, 1] mielivltinen jko. Nyt m j = 0, kun 1 j n, joten L(P;f) = 0 j täten myös L(f) = 0. Kosk U(P;f) > 0, niin määritelmästä 3.1 seur, että myös U(f) 0. Tulee vielä siis osoitt, että U(f) 0, jott sdn osoitettu, että L(f) = U(f) = 0. Vlitn mielivltinen ε > 0. Tällöin on olemss vin äärellinen määrä sellisi rvoj x I, joille f(x) ε/2. Olkoon k tämä äärellisten lukujen määrä. Olkoon P 0 välin I sellinen jko, että P 0 = mx 1 i n (x i x i 1 ) < ε/(2k). Muodostetn yläsumm U(P;f) = n j=1 M j(x j x j 1 ). Nyt sellisi j:n rvoj, joille M j ε/2 on enintään k kpplett, j näillekin pätee, että M j 1. Näiden termien vikutus summn, on vähemmän kuin k(ε/(2k)) = ε/2. Kosk kikill muill j:n rvoill M j < ε/2, näiden muiden termien summ on pienempi kuin ε (x j x j 1 ) = ε 2 2 (x n x 0 ) = ε 2 (1 0) = ε 2. j=1 43

Näin ollen U(f) < ε. Luvun ε mielivltisest vlinnst seur, että U(f) = 0. Määritellään funktio g : I R siten, että g(0) = 0 j g(x) = 1, kun x (0, 1]. Tällöin g on integroituv välillä I j jtkuv kikkill muull pitsi pitsi pisteessä 0. Nyt yhdiste g f(x) = 0, kun x I on irrtionlinen j g f(x) = 1, kun x I on rtionlinen. Näin ollen funktio g f on Dirichlet n funktio, jok ei ole integroituv, kuten esimerkissä 3.5 osoitettiin. Apuluse 4.18. [1, s. 256] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Jos f(x) K kikill x I, niin Todistus. [1, s. 257] f f K(b ). Luseeen 4.14 perusteell funktion f integroituvuudest välillä I seur, että funktio f on integroituv välillä I. Kosk f f f, niin luseen 4.4 perusteell Tästä sdn, että Luseest 4.5 seur, että f f f f. f K(b ). f. Trkstelln nyt funktiot f : I R, jok on integroituv välillä I = [,b]. Olkoon x b. Kun funktio f rjoitetn välille [,x], on luseen 4.6 perusteell funktio f vrmsti integroituv myös välillä [, x]. Määritellään nyt funktio F : I R funktion f vull seurvsti: F (x) = x f, kun x I. Näin määriteltyä funktiot F kutsutn funktion f määräämättömäksi integrliksi välillä I. 44

Integroituvn funktion f ei välttämättä trvitse oll jtkuv. Määräämätön integrlifunktio F on kuitenkin in jtkuv, kuten seurvksi osoitetn. Luse 4.19. [1, s. 257] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Tällöin funktio F : I R, F (x) = on tsisesti jtkuv välillä I. x f, kun x I, Todistus. [1, s. 257] Vlitn x,y I siten, että x < y. Tällöin luseen 4.6 nojll voidn päätellä, että F (y) F (x) = = = y x y x f f + x y x Funktion f integroituvuudest välillä I seur, että funktioll f on olemss sellinen rj K, että luseen 4.18 perusteell sdn F (y) F (x) f. y x f f x f f K(y x). Vlitn nyt ε > 0 j olkoon δ(ε) = ε/k. Tällöin jos x, y I j x y < δ, niin F (y) F (x) < ε. Näin ollen funktio F on tsisesti jtkuv välillä I. 45

Viitteet [1] Brtle, Robert G., Sherbert, Donld R.,Introduction to Rel Anlysis. New York: John Wiley nd Sons, Inc. 1982. [2] Boyer, Crl, suom. Pietiläinen, Kimmo. Tieteiden kuningtr Mtemtiikn histori, os 2. Kolms Pinos. John Wiley nd Sons, Inc. 1991. [3] Thomson, Brin S., Bruckner, Judith B., Bruckner Andrew M., Elementry Rel Anlysis. New Jersey: Perentice-Hll, Inc. 2001. [4] Trench, Willim F., Introduction to Rel Anlysis. New Jersey: Person Eduction, Inc. 2003. 46