TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka Mell (2004) 2 Kokoastodeäkösyys ja : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa kahta hyödyllstä todeäkösyyslaskea a, kokoastodeäkösyyde a ja Bayes a. Molemmlle kaavolle estetää todstus, mutta lsäks kaavoja motvodaa sovellusesmerkke avulla. yhteydessä määrtellää s. Bayeslasessa tlastoteteessä keskeset pror-todeäkösyyde ja posterortodeäkösyyde kästteet. ekä kokoastodeäkösyyde lle että lle estetää myös systeemteoreettset tulkat. Kokoastodeäkösyys ja : Estedot Estedot: ks. seuraava lukuja: Todeäkösyyslaskea peruskästteet Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt TKK (c) Ilkka Mell (2004) 3 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 4 Kokoastodeäkösyys ja >> Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Kokoastodeäkösyys ja : Johdato vasaat Ehdolle todeäkösyys Idusotu ostus Kokoastodeäkösyyde Laaduvalvota Ostus Tosesa possulkevat tapahtumat Tulosäätö Yhteelaskusäätö TKK (c) Ilkka Mell (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 6
TKK (c) Ilkka Mell (2004) 7 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta /0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 2/0 Ruuvtehtaalla o kaks koetta ja B, jolla tehdää samalasa ruuveja. - ja B-koee valmstamat ruuvt sekotetaa ja pakataa laatkoh. Koska -koe tom htaamm, laatkoh tulee - ja B-koede valmstama ruuveja suhteessa 3:5. Osa kummak koee valmstamsta ruuvesta o vallsa: () 5 % -koee valmstamsta ruuvesta o vallsa. () 8 % B-koee valmstamsta ruuvesta o vallsa. Valtaa satuasest laatkolle ruuveja tutkttavaks. Pomtaa valtusta laatkosta satuasest ruuv tutkttavaks. Kysymyksä: () Mkä o todeäkösyys, että pomttu ruuv o valle? () Mkä o todeäkösyys, että ruuv o valmstaut -koe, jos ruuv osottautuu vallseks? () Mkä o todeäkösyys, että ruuv o valmstaut B-koe, jos ruuv osottautuu vallseks? TKK (c) Ilkka Mell (2004) 8 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 3/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 4/0 Merktöjä: Otosavaruus muodostuu laatkollsesta ruuveja Tapahtuma Ruuv o valmstaut -koe Tapahtuma B Ruuv o valmstaut B-koe Tapahtuma V Ruuv o valle euraavat todeäkösyydet tuetaa: Pr() 3/8 Pr(V ) 0.05 Pr(B) 5/8 Pr(V B) 0.08 euraava todeäkösyyksä kysytää: Pr(V) Pr( V) Pr(B V) Tapahtumat ja B muodostavat otosavaruude ostukse: () ja B ovat epätyhjä: ja B () ja B ovat psteverata: B () Joukkoje ja B yhdsteeä saadaa perusjoukko : B TKK (c) Ilkka Mell (2004) 9 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 5/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 6/0 Ostus B duso ostukse tapahtumaa V, mllä tarkotetaa seuraavaa: () Jos V o epätyhjä el V, aak toe joukosta V ja V B o epätyhjä: V ta V B () V ja V B ovat psteverata: (V ) (V B) koska B () Joukkoje V ja V B yhdsteeä saadaa joukko V: V (V ) (V B) V V B B V TKK (c) Ilkka Mell (2004) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 2
TKK (c) Ilkka Mell (2004) 3 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 7/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 8/0 Tosesa possulkeve tapahtume yhteelaskusääö mukaa: Pr(V) Pr(V ) + Pr(V B) () Ylese tulosääö mukaa: Pr(V ) Pr()Pr(V ) (2) Pr(V B) Pr(B)Pr(V B) (3) jottamalla lausekkeet (2) ja (3) a () saadaa todeäkösyydeks, että satuasest pomttu ruuv o valle: Pr(V) Pr()Pr(V ) + Pr(B)Pr(V B) (3/8) 0.05 + (5/8) 0.08 0.06875 6.875 % Todeäkösyyde Pr(V) lauseketta saotaa kokoastodeäkösyyde ks. Ehdollse todeäkösyyde määrtelmä perusteella Pr( V) Pr(V )/Pr(V) (4) Pr(B V) Pr(V B)/Pr(V) (5) Ylese tulosääö mukaa Pr(V ) Pr(V )Pr() (6) Pr(V B) Pr(V B)Pr(B) (7) Edellä o todettu, että Pr(V) Pr()Pr(V ) + Pr(B)Pr(V B) (8) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 4 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 9/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 0/0 jottamalla lausekkeet (6) ja (8) a (4) saadaa ehdollseks todeäkösyydeks Pr( V): Pr( V ) Pr( V) Pr( V ) Pr( )Pr( V ) Pr( )Pr( V ) + Pr( B)Pr( V B) 3 0.05 8 3 0.27 3 5 0.05 + 0.08 8 8 Ehdollse todeäkösyyde Pr( V) lauseketta saotaa Bayes ks. jottamalla lausekkeet (7) ja (8) a (5) saadaa ehdollseks todeäkösyydeks Pr(B V): Pr( V B) Pr( BV) Pr( V ) Pr( B)Pr( V B) Pr( )Pr( V ) + Pr( B)Pr( V B) 5 0.08 8 8 0.73 3 5 0.05 + 0.08 8 8 Ehdollse todeäkösyyde Pr(B V) lauseketta saotaa Bayes ks. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 6 Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato >> Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta vasaat Idusotu ostus Kokoastodeäkösyyde Ostus Rppumattomuus Tosesa possulkevat tapahtumat Tulosäätö Yhteelaskusäätö TKK (c) Ilkka Mell (2004) 7 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 8
TKK (c) Ilkka Mell (2004) 9 Otosavaruude ostus Otosavaruude epätyhjät osajoukot B, B 2,, B muodostavat otosavaruude ostukse tosesa possulkev tapahtum, jos () B,, 2,, () B B j, j () B B 2 B B B 2 B 5 Otosavaruude ostus: Kommetteja Otosavaruude ostus B, B 2,, B muodostaa avaruude alkode luokkajao, koska: () Joukot B, B 2,, B ovat epätyhjä. () Joukot B, B 2,, B ovat paretta psteverata. () B Jos tapahtumat B, B 2,, B muodostavat otosavaruude ostukse, täsmällee yks tapahtumsta B, B 2,, B sattuu aa, ku se satuaslmö, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus kuvaa, estyy. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 20 Otosavaruude ostukse dusoma ostus : Määrtelmä /2 Olkoo, otosavaruude osajoukko. Olkoo B, B 2,, B otosavaruude ostus. Ostus B, B 2,, B duso ostukse joukkoo : ( B ) ( B j ), j ja ( B ) ( B 2 ) ( B ) B B 2 B 2 B 3 B 4 Olkoo otosavaruude osajoukko. Olkoo B, B 2,, B otosavaruude ostus. Olkoo ( B ), ( B 2 ),,( B ) ostukse B, B 2,, B dusoma ostus joukkoo. Yhteelaskusääö perusteella Pr( ) Pr( B ) () B B 2 B 2 B 3 B 4 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 2 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 22 : Määrtelmä 2/2 : Kommetteja Ylese tulosääö perusteella Pr( B) Pr( B)Pr( B), 2,, jottamalla ämä lausekkeet a (), saadaa kokoastodeäkösyyde Pr( ) Pr( B) Pr( B) B B 2 B 2 B 3 B 4 lmasee otosavaruude osajouko todeäkösyyde Pr() otosavaruude ostukse B, B 2,, B määrääme todeäkösyykse Pr(B ) ja ehdollste todeäkösyykse Pr( B ) avulla. o käyttökelpoe sellasssa tlatessa, jossa todeäkösyydet Pr(B ) ja ehdollset todeäkösyydet Pr( B ) ovat tuettuja. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 23 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 24
TKK (c) Ilkka Mell (2004) 25 Rppumattomuus ja kokoastodeäkösyyde Jos tapahtuma o rppumato jokasesta tapahtumasta B, B 2,, B, kokoastodeäkösyyde sta e ole hyötyä tapahtuma todeäkösyyttä määrättäessä. Rppumattomuus ja kokoastodeäkösyyde : Perustelu Jos B,, 2,, Pr( B ) Pr( ) Pr( B ),,2,, Tällö koska Pr( ) Pr( B ) Pr( ) Pr( B ) B Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( B ) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 26 Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato >> Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta vasaat Ehdolle todeäkösyys Idusotu ostus Kokoastodeäkösyyde Käätestodeäkösyys Ostus Posteror-todeäkösyys Pror-todeäkösyys Rppumattomuus TKK (c) Ilkka Mell (2004) 27 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 28 : Määrtelmä /2 : Määrtelmä 2/2 Olkoo, otosavaruude osajoukko. Olkoo B, B 2,, B otosavaruude ostus. Ehdollse todeäkösyyde määrtelmä mukaa Pr( B ) Pr( B ) Pr( ) Pr( B) Pr( B) Pr( ) B B 2 B 2 B 3 B 4 oveltamalla mttäjää kokoastodeäkösyyde a saadaa Bayes : Pr( B)Pr( B) Pr( B ) Pr( B)Pr( B) B B 2 B 2 B 3 B 4 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 29 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 30
TKK (c) Ilkka Mell (2004) 3 : Kommetteja /3 todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa tavallsest pror-todeäkösyydeks. pror (lat.), edeltävä, akasemp Todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa prortodeäkösyydeks, koska se kuvaa eakkokästystä tapahtuma B todeäkösyydestä, ee ku o saatu tetää, että tapahtuma o sattuut. : Kommetteja 2/3 todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa tavallsest posteror-todeäkösyyksks. posteror (lat.), jälkee tuleva, myöhemp Todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa posterortodeäkösyydeks, koska se kuvaa stä mte eakkokästystä tapahtuma B todeäkösyydestä kaattaa muuttaa se jälkee, ku o saatu tetää, että tapahtuma o sattuut. Posteror-todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa use käätestodeäkösyydeks, koska se o käätee tuettuu todeäkösyytee Pr( B ) ähde. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 32 : Kommetteja 3/3 kertoo mte eakkokästystä tapahtuma B todeäkösyydestä o järkevää korjata se jälkee, ku tapahtuma o havattu. kertoo mte tetoa tapahtuma sattumsesta vodaa käyttää hyväks tapahtuma B todeäkösyyde arvossa. o käyttökelpoe sellasssa tlatessa, jossa todeäkösyydet Pr(B ) ja ehdollset todeäkösyydet Pr( B ) ovat tuettuja. Rppumattomuus ja Jos tapahtuma o rppumato jokasesta tapahtumasta B, B 2,, B, teto tapahtuma sattumsesta e muuta pror-todeäkösyyksä Pr(B ): Jos B, B 2,, B, Pr( B ) Pr( B ),,2,, TKK (c) Ilkka Mell (2004) 33 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 34 Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato >> Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta vasaat lkutla Ehdolle todeäkösyys Kokoastodeäkösyyde Lopputla Posteror-todeäkösyys Pror-todeäkösyys ysteem Verkkodagramm Vältla TKK (c) Ilkka Mell (2004) 35 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 36
TKK (c) Ilkka Mell (2004) 37 Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle /4 Oletetaa, että systeemssä o alkutla L, vältlat B, B 2,, B ja yks se lopputlosta o. Oletetaa, että alkutlasta L vodaa päästä lopputlaa va käymällä jossak vältlosta B, B 2,, B. Olkoot Pr(B ) Pr(Käydää vältlassa B ) Pr( B ) Pr(Vältlasta B päästää lopputlaa ) Pr() Pr(Päästää lopputlaa ) Pr(B ) Pr(Lopputlaa tullaa vältla B kautta) Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle 2/4 ysteemä vodaa havaollstaa seuraavalla verkkodagrammlla: L Pr(B ) Pr(B ) Pr(B ) B B B Pr( B ) Pr( B ) Pr( B ) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 38 Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle 3/4 mukaa Pr( ) Pr( B ) Pr( B)Pr( B) Pr() o todeäkösyys slle, että päästää lopputlaa. mukaa todeäkösyys Pr() saadaa laskemalla yhtee alkutlasta L lopputlaa vältloje B,, 2,, kautta kulkeve rette todeäkösyydet Pr( B ) Pr(B )Pr( B ) Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle 4/4 mukaa Pr( B) Pr( B) Pr( B ) Pr( ) Pr( B) Pr( ) B B Pr( B)Pr( B ) Pr( B)Pr( B) Pr( )Pr( ) Pr(B ) o ss ehdolle todeäkösyys slle, että o käyty vältlassa B, ku ehtotapahtumaa o se, että o päästy lopputlaa. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 39 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 40