Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
|
|
|
- Joonas Majanlahti
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
2 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden kaava Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
3 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 1/10 Ruuvitehtaalla on kaksi konetta A ja B, joilla tehdään samanlaisia ruuveja. A- ja B-koneen valmistamat ruuvit sekoitetaan ja pakataan laatikoihin. Koska A-kone toimii hitaammin, laatikoihin tulee A- ja B-koneiden valmistamia ruuveja suhteessa 3:5. Osa kummankin koneen valmistamista ruuveista on viallisia: (i) (ii) 5 % A-koneen valmistamista ruuveista on viallisia. 8 % B-koneen valmistamista ruuveista on viallisia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
4 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 2/10 Valitaan satunnaisesti laatikollinen ruuveja tutkittavaksi. Poimitaan valitusta laatikosta satunnaisesti 1 ruuvi tutkittavaksi. Kysymyksiä: (i) (ii) (iii) Mikä on todennäköisyys, että poimittu ruuvi on viallinen? Mikä on todennäköisyys, että ruuvin on valmistanut A-kone, jos ruuvi osoittautuu vialliseksi? Mikä on todennäköisyys, että ruuvin on valmistanut B-kone, jos ruuvi osoittautuu vialliseksi? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
5 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 3/10 Merkintöjä: Otosavaruus S muodostuu laatikollisesta ruuveja Tapahtuma A = Ruuvin on valmistanut A-kone Tapahtuma B = Ruuvin on valmistanut B-kone Tapahtuma V = Ruuvi on viallinen Seuraavat todennäköisyydet tunnetaan: Pr(A) = 3/8 Pr(V A) = 0.05 Pr(B) = 5/8 Pr(V B) = 0.08 Seuraavia todennäköisyyksiä kysytään: Pr(V) Pr(A V) Pr(B V) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
6 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 4/10 Tapahtumat A ja B muodostavat otosavaruuden S osituksen: (i) (ii) A ja B ovat epätyhjiä: A ja B A ja B ovat pistevieraita: A B = (iii) Joukkojen A ja B yhdisteenä saadaan perusjoukko S: S = A B TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
7 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 5/10 Ositus S = A B indusoi osituksen tapahtumaan V, millä tarkoitetaan seuraavaa: (i) (ii) Jos V on epätyhjä eli V, ainakin toinen joukoista V A ja V B on epätyhjä: V A tai V B V A ja V B ovat pistevieraita: (V A) (V B) = koska A B = (iii) Joukkojen V A ja V B yhdisteenä saadaan joukko V: V = (V A) (V B) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
8 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 6/10 A B V A V B V S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
9 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 7/10 Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan: Pr(V) = Pr(V A) + Pr(V B) (1) Yleisen tulosäännön mukaan: Pr(V A) = Pr(A)Pr(V A) (2) Pr(V B) = Pr(B)Pr(V B) (3) Sijoittamalla lausekkeet (2) ja (3) kaavaan (1) saadaan todennäköisyydeksi, että satunnaisesti poimittu ruuvi on viallinen: Pr(V) = Pr(A)Pr(V A) + Pr(B)Pr(V B) = (3/8) (5/8) 0.08 = = % Todennäköisyyden Pr(V) lauseketta sanotaan kokonaistodennäköisyyden kaavaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
10 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 8/10 Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella Pr(A V) = Pr(V A)/Pr(V) (4) Pr(B V) = Pr(V B)/Pr(V) (5) Yleisen tulosäännön mukaan Pr(V A) = Pr(V A)Pr(A) (6) Pr(V B) = Pr(V B)Pr(B) (7) Edellä on todettu, että Pr(V) = Pr(A)Pr(V A) + Pr(B)Pr(V B) (8) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
11 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 9/10 Sijoittamalla lausekkeet (6) ja (8) kaavaan (4) saadaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi Pr(A V): Pr( AV) Pr( V A) = Pr( V ) Pr( A)Pr( V A) = Pr( A)Pr( VA) + Pr( B)Pr( VB) = = = Ehdollisen todennäköisyyden Pr(A V) lauseketta sanotaan Bayesin kaavaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
12 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Esimerkki laadunvalvonnasta 10/10 Sijoittamalla lausekkeet (7) ja (8) kaavaan (5) saadaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi Pr(B V): Pr( BV) Pr( V B) = Pr( V ) Pr( B)Pr( V B) = Pr( A)Pr( VA) + Pr( B)Pr( VB) = = = Ehdollisen todennäköisyyden Pr(B V) lauseketta sanotaan Bayesin kaavaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
13 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto >> Kokonaistodennäköisyyden kaava Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
14 Kokonaistodennäköisyyden kaava Otosavaruuden ositus Otosavaruuden S osajoukot B 1, B 2,, B n muodostavat otosavaruuden S osituksen toisensa poissulkeviin tapahtumiin, jos (i) B i, i = 1, 2,, n (ii) B i B j =, i j (iii) S = B 1 B 2 B n B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
15 Kokonaistodennäköisyyden kaava Otosavaruuden ositus: Kommentteja Otosavaruuden S ositus B 1, B 2,, B n muodostaa avaruuden S alkioiden luokkajaon, koska: (i) Joukot B 1, B 2,, B n ovat epätyhjiä. (ii) Joukot B 1, B 2,, B n ovat pareittain pistevieraita. (iii) S = B i Jos tapahtumat B 1, B 2,, B n muodostavat otosavaruuden S osituksen, täsmälleen yksi tapahtumista B 1, B 2,, B n sattuu aina, kun se satunnaisilmiö, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa, esiintyy. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
16 Kokonaistodennäköisyyden kaava Otosavaruuden osituksen indusoima ositus Olkoon A S, A otosavaruuden S osajoukko. Olkoon B 1, B 2,, B n otosavaruuden S ositus. Ositus B 1, B 2,, B n indusoi osituksen joukkoon A: (A B i ) (A B j ) =, i j ja A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B n ) B 1 B 2 A B 2 A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
17 Kokonaistodennäköisyyden kaava Kokonaistodennäköisyyden kaava: Määritelmä 1/2 Olkoon A S, A otosavaruuden S osajoukko. Olkoon B 1, B 2,, B n otosavaruuden S ositus. Olkoon (A B 1 ), (A B 2 ),, (A B n ) osituksen B 1, B 2,, B n indusoima ositus joukkoon A. Yhteenlaskusäännön perusteella n Pr( A) = Pr( A Bi ) (1) i= 1 B 1 B 2 A B 2 A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
18 Kokonaistodennäköisyyden kaava Kokonaistodennäköisyyden kaava: Määritelmä 2/2 Yleisen tulosäännön perusteella Pr( A Bi) = Pr( Bi)Pr( A Bi) i = 1, 2,, n Sijoittamalla nämä lausekkeet kaavaan (1), saadaan kokonaistodennäköisyyden kaava n Pr( A) = Pr( Bi) Pr( A Bi) i= 1 B 1 B 2 A B 2 A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
19 Kokonaistodennäköisyyden kaava Kokonaistodennäköisyyden kaava: Kommentteja Kokonaistodennäköisyyden kaava ilmaisee otosavaruuden S osajoukon A todennäköisyyden Pr(A) otosavaruuden S osituksen B 1, B 2,, B n määräämien todennäköisyyksien Pr(B i ) ja ehdollisten todennäköisyyksien Pr(A B i ) avulla. Kokonaistodennäköisyyden kaava on käyttökelpoinen sellaisissa tilanteissa, joissa todennäköisyydet Pr(B i ) ja ehdolliset todennäköisyydet Pr(A B i ) ovat tunnettuja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
20 Kokonaistodennäköisyyden kaava Riippumattomuus ja kokonaistodennäköisyyden kaava Jos tapahtuma A on riippumaton jokaisesta tapahtumasta B 1, B 2,, B n, kokonaistodennäköisyyden kaavasta ei ole hyötyä tapahtuman A todennäköisyyttä määrättäessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
21 Kokonaistodennäköisyyden kaava Riippumattomuus ja kokonaistodennäköisyyden kaava: Perustelu Jos A B i, i = 1, 2,, n niin Tällöin koska Pr( A B ) = Pr( A) Pr( B ), i = 1,2, K, n n Pr( A) = Pr( A B ) = Pr( A) Pr( B ) n i= 1 i i i= 1 i= 1 n = Pr( A) Pr( B ) = Pr( A) Pr( B ) = 1 i i= 1 i i n i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
22 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden kaava >> Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
23 Bayesin kaava Bayesin kaava: Määritelmä 1/2 Olkoon A S, A otosavaruuden S osajoukko. Olkoon B 1, B 2,, B n otosavaruuden S ositus. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan Pr( A Bi ) Pr( Bi A) = Pr( A) = Pr( Bi) Pr( ABi) Pr( A) B 1 B 2 A B 2 A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
24 Bayesin kaava Bayesin kaava: Määritelmä 2/2 Soveltamalla nimittäjään kokonaistodennäköisyyden kaavaa saadaan Bayesin kaava: Pr( Bi)Pr( ABi) Pr( Bi A) = n Pr( B )Pr( AB) i= 1 i i B 1 B 2 A B 2 A B 3 A B 4 B 3 B 4 A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
25 Bayesin kaava Bayesin kaava: Kommentteja 1/3 Bayesin kaavan todennäköisyyttä Pr(B i ) kutsutaan tavallisesti priori-todennäköisyydeksi. prior (lat.), edeltävä, aikaisempi Todennäköisyyttä Pr(B i ) kutsutaan prioritodennäköisyydeksi, koska se kuvaa ennakkokäsitystä tapahtuman B i todennäköisyydestä, ennen kuin on saatu tietää, että tapahtuma A on sattunut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
26 Bayesin kaava Bayesin kaava: Kommentteja 2/3 Bayesin kaavan todennäköisyyttä Pr(B i A) kutsutaan tavallisesti posteriori-todennäköisyydeksi. posterior (lat.), jälkeen tuleva, myöhempi Todennäköisyyttä Pr(B i A) kutsutaan posterioritodennäköisyydeksi, koska se kuvaa sitä miten ennakkokäsitystä tapahtuman B i todennäköisyydestä kannattaa muuttaa sen jälkeen, jos on saatu tietää, että tapahtuma A on sattunut. Posteriori-todennäköisyyttä Pr(B i A) kutsutaan usein käänteistodennäköisyydeksi, koska se on käänteinen tunnettuun todennäköisyyteen Pr(A B i ) nähden. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
27 Bayesin kaava Bayesin kaava: Kommentteja 3/3 Bayesin kaava kertoo miten ennakkokäsitystä tapahtuman B i todennäköisyydestä on järkevää korjata sen jälkeen, kun tapahtuma A on havaittu. Bayesin kaava kertoo miten tietoa tapahtuman A sattumisesta voidaan käyttää hyväksi tapahtuman B i todennäköisyyden arvioinnissa. Bayesin kaava on käyttökelpoinen sellaisissa tilanteissa, joissa todennäköisyydet Pr(B i ) ja ehdolliset todennäköisyydet Pr(A B i ) ovat tunnettuja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
28 Bayesin kaava Riippumattomuus ja Bayesin kaava Jos tapahtuma A on riippumaton jokaisesta tapahtumasta B 1, B 2,, B n, tieto tapahtuman A sattumisesta ei muuta priori-todennäköisyyksiä Pr(B i ): Jos A B 1, B 2,, B n, niin Pr( B A) = Pr( B ), i = 1,2, K, n i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
29 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden kaava Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
30 Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta Systeemiteoreettinen tulkinta kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavoille 1/4 Oletetaan, että systeemissä on alkutila L, välitilat B 1, B 2,, B n ja yksi sen lopputiloista on A. Oletetaan, että alkutilasta L voidaan päästä lopputilaan A vain käymällä jossakin välitiloista B 1, B 2,, B n. Olkoot Pr(B i ) = Pr(Käydään välitilassa B i ) Pr(A B i ) = Pr(Välitilasta B i päästään lopputilaan A) Pr(A) = Pr(Päästään lopputilaan A) Pr(B i A) = Pr(Lopputilaan A tullaan välitilan B i kautta) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
31 Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta Systeemiteoreettinen tulkinta kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavoille 2/4 Systeemiä voidaan havainnollistaa seuraavalla verkkodiagrammilla: L Pr(B 1 ) Pr(B i ) Pr(B n ) B 1 B i B n Huomaa, että kuvioon ei ole merkitty sitä, että välitiloista B 1, B 2,, B n voidaan päästä myös muihin tiloihin kuin lopputilaan A. M M Pr(A B 1 ) Pr(A B i ) Pr(A B n ) A TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
32 Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta Systeemiteoreettinen tulkinta kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavoille 3/4 Kokonaistodennäköisyyden kaavan mukaan n Pr( A) = Pr( A B) = Pr( B)Pr( A B) i i i i= 1 i= 1 Pr(A) on todennäköisyys sille, että päästään lopputilaan A. Kokonaistodennäköisyyden kaavan mukaan todennäköisyys Pr(A) saadaan laskemalla yhteen alkutilasta L lopputilaan A välitilojen B i, i = 1, 2,, n kautta kulkevien reittien todennäköisyydet Pr(A B i ) = Pr(B i )Pr(A B i ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
33 Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen systeemiteoreettinen tulkinta Systeemiteoreettinen tulkinta kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavoille 4/4 Bayesin kaavan mukaan Pr( A Bi) Pr( A Bi) Pr( Bi A) = = n Pr( A) Pr( A B) Pr(B i A) on siis ehdollinen todennäköisyys sille, että on käyty välitilassa B i, kun ehtotapahtumana on se, että on päästy lopputilaan A. i= 1 Pr( Bi)Pr( ABi) Pr( Bi)Pr( ABi) = = n Pr( A) Pr( B )Pr( AB) i= 1 i i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
B. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta
A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan
031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
A = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä
(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449
Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.
D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
![D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]](/thumbs/55/37411593.jpg "D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]")
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot
T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa,
2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut
2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)
Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:
RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%
1. Matkalla todennäköisyyteen
1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1
Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyys ja sen määritteleminen Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
Todennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat
TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kalle Kytölä, Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015,
Mallintamisesta. Mallintamisesta
Laajasti ymmärtäen jonkin tarkasteltavan ilmiön kuvaamista (esim. matemaattista) kuhunkin tarkoitukseen (ennustaminen, analysointi, visualisointi) parhaiten sopivalla tavalla. Ilmiön pukemista helposti
8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien):
8.1. Tuloperiaate Katseltaessa klassisen todennäköisyyden määritelmää selviää välittömästi, että sen soveltamiseksi on kyettävä määräämään erilaisten joukkojen alkioiden lukumääriä. Jo todettiin, ettei
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Osaamistavoitteet
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I
β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Kevät 2016, periodi III Stochastics and
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
1. Matkalla todennäköisyyteen (kertausta TN I)
1. Matkalla todennäköisyyteen (kertausta TN I) Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!??
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
D ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden