Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
|
|
- Tuula Hukkanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma, Joukko, Klassinen todennäköisyys, Komplementtitapahtuma, Leikkaus, Mahdoton tapahtuma, Otosavaruus, Riippumattomuus, Symmetrisyys, Todennäköisyys, Toisensa poissulkevuus, Tulosääntö, Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö 1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on jossa S = { x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6} x = 1. heiton tulos y = tulos Otosavaruutta S voidaan kuvata seuraavalla taulukolla: Määritellään joukot A = { S y = 3} B = { S x 5} C = { S x + y = 6} D = { S x y = 3} E = { S y x 3} Ilkka Mellin (2004) 1/16
2 Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: A, B, C, D, E (b) A C = Joukkojen A ja C yhdiste B E = Joukkojen B ja E leikkaus Tehtävässä kysytyt joukot on varjostettu alla oleviin taulukoihin. A = { S y = 3} B = { S x 5} C = { S x + y = 6} Ilkka Mellin (2004) 2/16
3 D = { S x y = 3} E = { S y x 3} (b) A C = { S A tai C} Ilkka Mellin (2004) 3/16
4 B E = { S B ja E} = 1.2. Jatkoa tehtävälle 1.1. Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: D c = Joukon D komplementti (b) B \ C = Joukkojen B ja C erotus C \ B = Joukkojen C ja B erotus Tehtävässä kysytyt joukot on varjostettu alla oleviin taulukoihin. D c = { S D} Ilkka Mellin (2004) 4/16
5 (b) B \ C = { S B ja C} C \ B = { S C ja B} 1.3. Jatkoa tehtävälle 1.1. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.1. kohdissa määritellyille tapahtumille. Käytämme klassisen todennäköisyyden määritelmää. Sen mukaan tapahtuman A todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten jossa Pr(A) = n(a)/n(s) n(a) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä Tehtävän 1.1. otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten n(s) = 36 Ilkka Mellin (2004) 5/16
6 Koska n(a) = 6, niin Pr(A) = 6/36 = 1/6 Koska n(b) = 12, niin Pr(B) = 12/36 = 1/3 Koska n(c) = 5, niin Pr(C) = 5/36 Koska n(d) = 3, niin Pr(D) = 3/36 = 1/12 Koska n(e) = 6, niin Pr(E) = 6/36 = 1/6 (b) Koska n(a C) = 10, niin Pr(A C) = 10/36 = 5/18 Sama tulos saadaan yleisen yhteenlaskusäännön Pr(A C) = Pr(A) + Pr(C) Pr(A C) avulla: Pr(A) = 6/36 Pr(C) = 5/36 Pr(A C) = 1/36 koska A C = {(2,5)} Siten Pr(A C) = 6/36 + 5/36 1/36 = 10/36 Koska B D =, niin Pr(B D) = 0 Ilkka Mellin (2004) 6/16
7 1.4. Jatkoa tehtävälle 1.2. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.2. kohdissa määritellyille tapahtumille. Käytämme klassisen todennäköisyyden määritelmää kuten tehtävässä 1.3. Koska n(d c ) = 4, niin Pr(D c ) = 4/36 = 1/9 Sama tulos saadaan myös komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan Pr(D c ) = 1 Pr(D) avulla: Pr(D) = 3/36 = 1/12 Siten Pr(D c ) = 1 1/12 = 11/12 (b) Koska n(b \ C) = 11, niin Pr(B \ C) = 11/36 Koska n(c \ B) = 4, niin Pr(C \ B) = 4/36 = 1/ Jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta z = x y jossa x = 1. heiton tulos y = tulos Määritellään lisäksi tapahtumat A = {1. nopalla saadaan 5} B = {2. nopalla saadaan 5} C = {Erotus on 4} Määrää silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus. Ilkka Mellin (2004) 7/16
8 (b) (d) Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(A B) ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia? Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C A ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja A riippumattomia? Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C B ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja B riippumattomia? 1. nopanheiton tulokseen x liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. nopanheiton tulokseen y liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia erotuksia z = x y kuvaava aputaulukko: z = x y Aputaulukosta nähdään, että kahden nopanheiton silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus on { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Ilkka Mellin (2004) 8/16
9 Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.) aputaulukosta saadaan erotuksille z = x y seuraavat todennäköisyydet: z Pr 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 (b) Käyttämällä apuna tehtävän 1.1. otosavaruutta S = { x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6} kuvaavaa taulukkoa on helppo nähdä klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.), että Koska Pr(A) = 1/6 Pr(B) = 1/6 A B = {1. nopalla saadaan 5 ja 2. nopalla saadaan 5} niin klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.) Pr(A B) = 1/36 Siten ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella nähdään, että Koska Pr(A B) = Pr(A B)/Pr(B) = (1/36)/(1/6) = 1/6 Pr(A B) = Pr(A) = 1/6 tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Tehtävän voi ratkaista myös käyttämällä apuna ennen -kohdan ratkaisua esitettyä taulukkoa rajoittumalla tarkastelemaan niitä soluja, joissa 2. nopalla saadaan 5. Näitä soluja on 6 ja täsmälleen yksi niistä vastaa sitä, että 1. nopalla on saatu 5. Ilkka Mellin (2004) 9/16
10 Siten suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. tehtävä 1.3.) nähdään, että Pr(A B) = 1/6 Vaikka tehtävä voidaan siis ratkaista käyttämällä ym. aputaulukkoa, on syytä oppia käyttämään ehdollisen todennäköisyyden kaavaa. Alkeistapahtumien taulukointi ja niiden lukumäärien laskeminen oikein ei ole helppoa, jos otosavaruus on iso. Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = { S z = x y = 4} kun tapahtuma on sattunut. A = {x = 5} Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraava: Jos A on sattunut, jäljellä on 6 vaihtoehtoa, joista erotus z = x y voi saada arvon 4 vain yhdellä tavalla, kun y saa arvon 1. Siten Pr(C A) = 1/6 Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Koska Pr(C A) = Pr(C A)/Pr(A) = (1/36)/(1/6) = 1/6 Pr(C) = 2/36 Pr(C A) tapahtumat C ja A eivät ole riippumattomia. (d) Tehtävässä kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = { S z = x y = 4} kun tapahtuma on sattunut. B = {y = 4} Kohdan (b) otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraava: Jos B on sattunut, erotus z = x y ei voi saada arvoa 4. Siten Pr(C B) = 0 Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Pr(C B) = Pr(C B)/Pr(B) = (0/36)/(1/6) = 0/6 = 0 Ilkka Mellin (2004) 10/16
11 1.6. Olkoot Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Määrää tapahtuman A B todennäköisyys, kun Pr(A B) = 0.1 (b) A ja B ovat toisensa poissulkevia Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Jos Pr(A B) = 0.1, niin Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) = = 0.7 (b) Koska A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin A B =. Tällöin Pr(A B) = 0, koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) = = Olkoot Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6 kuten tehtävässä 1.5. Määrää tapahtuman A B todennäköisyys, kun A ja B ovat riippumattomia (b) Pr(A B) = 0.2 Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Koska A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(A B) = Pr(A)Pr(B). Siten Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) = = 0.68 (b) Yleisen tulosäännön mukaan Pr(A B) = Pr(A B)Pr(B). Siten Pr(A B) = = 0.68 Ilkka Mellin (2004) 11/16
12 1.8. Uurnassa on 8 keltaista ja 4 sinistä palloa. (b) Opastus: Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla. Tällöin uurnasta nostetaan palloja yksi pallo kerrallaan ja jokainen nostettu pallo palautetaan ennen seuraavan pallon nostoa takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme sinistä palloa? Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Tällöin uurnasta nostettuja palloja ei palauteta takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme sinistä palloa? Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittava pallo on sininen, jos kaksi edellistä ovat olleet keltaisia? Sovella -kohdassa riippumattomien tapahtumien tulosääntöä ja (b)-kohdassa yleistä tulosääntöä. Olkoon A i = {i. pallo on sininen} A c i = {i. pallo on keltainen} Kysytty todennäköisyys on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 )Pr(A 3 ) = (4/12) 3 = 1/27 = mikä nähdään todeksi, koska poiminnan jokaisessa vaiheessa uurnassa on 12 palloa, joista 4 on sinistä. (b) Kysytty todennäköisyys on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 1 A 2 ) = (4/12) (3/11) (2/10) = 1/55 = Ilkka Mellin (2004) 12/16
13 Laskutoimitusta voidaan perustella seuraavalla tavalla: (i) (ii) Ensimmäistä palloa poimittaessa uurnassa on 12 palloa, joista 4 on sinistä. Jos ensimmäisenä poimittu pallo oli sininen, toista palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 11 palloa, joista 3 on sinistä. (iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut pallot olivat sinisiä, kolmatta palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 10 palloa, joista 2 on sinistä. Kysytty todennäköisyys on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) Jos uurnassa on aluksi 8 keltaista ja 4 sinistä palloa ja 2 keltaista otetaan pois, jäljelle jää 6 keltaista ja 4 sinistä palloa. Siten todennäköisyys saada sininen pallo kolmantena on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) = 4/10 = Erään liikeyrityksen johto on harkinnut sulautumista toiseen yritykseen. Johto on selvittänyt osakkaiden mielipiteet sulautumisesta ja luokitellut osakkaat kolmeen luokkaan osakkaiden omistamien osakkeiden lukumäärän ja mielipiteen mukaan. Luokittelun tuloksena saadut frekvenssit on annettu alla olevassa taulukossa. Osakkeiden lukumäärä Lukumäärä Mielipide sulautumisesta Puolesta Ei mielipidettä Vastaan < < Määrää todennäköisyydet seuraaville tapahtumille: (b) (d) Satunnaisesti valitulla osakkaalla on alle 200 osaketta. Satunnaisesti valittu osakas on sulautumista vastaan. Satunnaisesti valitulla osakkaalla on osaketta ja hän on sulautumisen puolesta. Satunnaisesti valitulla osakkaalla on osaketta tai hän on sulautumisen puolesta. (e) Satunnaisesti valittu osakas on sulautumista vastaan ehdolla että hänellä on alle 200 osaketta. Kysymys: Ovatko se, että osakkaalla on alle 200 osaketta ja se, että osakas on sulautumista vastaan tapahtumina riippumattomia? Ilkka Mellin (2004) 13/16
14 (f) Satunnaisesti valitulla osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla että hän on sulautumisen puolesta. Määrätään ensin taulukon solujen rivi- ja sarakesummat sekä kokonaissumma: Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan Yhteensä < < Yhteensä Vastaavat todennäköisyydet saadaan jakamalla kaikki taulukon luvut osakkaiden kokonaislukumäärällä 250. Tuloksena saadaan seuraava taulukko: Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan Yhteensä < < Yhteensä Esimerkiksi: Pr(Osakkaalla osaketta) = Pr(Osakas on sulautumisen puolesta ja osakkaalla on yli 1000 osaketta) = Todennäköisyyksien taulukosta saadaan: Pr(Osakkaalla on alle 200 osaketta) = Ilkka Mellin (2004) 14/16
15 (b) Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 Pr(Osakkaalla on osaketta ja osakas on sulautumisen puolesta) = (d) Yleisen yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(Osakkaalla on osaketta tai osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on osaketta) + Pr(Osakas on sulautumisen puolesta) Pr(Osakkaalla on osaketta ja osakas on sulautumisen puolesta) = = (e) Käyttämällä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää, saadaan: Pr(Osakas on sulautumista vastaan ehdolla, että osakkaalla on alle 200 osaketta) = Pr(Osakas on sulautumista vastaan ja osakkaalla on alle 200 osaketta) /Pr(Osakkaalla on alle 200 osaketta) = 0.116/0.304 = (b)-kohdan mukaan Koska tapahtumat ja Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 Pr(Osakas on sulautumista vastaan ehdolla, että osakkaalla on alle 200 osaketta) = = Pr(Osakas on sulautumista vastaan) {Osakas on sulautumista vastaan} {Osakkaalla on alle 200 osaketta} eivät ole riippumattomia. Ilkka Mellin (2004) 15/16
16 (f) Käyttämällä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää saadaan: Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla, että osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ja osakas on sulautumisen puolesta) /Pr(Osakas on sulautumisen puolella) = ( )/0.400 = Huomaa, että Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla, että osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän) = Siten tieto siitä, että ehtotapahtuma Osakas on sulautumisen puolesta on sattunut sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun määräämme tapahtuman Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän todennäköisyyttä. Ilkka Mellin (2004) 16/16
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
LisätiedotB. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen
LisätiedotA. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
LisätiedotKurssin puoliväli ja osan 2 teemat
Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin osa 1 keskittyi mittaukseen, tiedonkeruuseen ja kuvailevaan tilastotieteeseen. Osassa 2 painottuu tilastollinen päättely, joka puolestaan rakentuu voimakkaasti
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta
LisätiedotA = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto
Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
Lisätiedot2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut
2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotKurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten
Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyys ja sen määritteleminen Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
Lisätiedot9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma
9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotTodennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko
Todennäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Todennäköisyyslaskennan juuret ovat ~1650-luvun uhkapeleissä. Kreivi de Mérén noppapelit: Jos noppaa heitetään 4 kertaa, niin kannattaako lyödä vetoa sen puolesta,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
Lisätiedot1. Matkalla todennäköisyyteen
1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
.9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449
Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
Lisätiedot1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.
TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun
Lisätiedotvkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)=
JÄRJESTYSKORRELAATIO 1. Hannu ja Kerttu pitävät karamelleista, mutta heidän mieltymyksensä poikkeavat hieman. Hannun mielestä punaiset karkit ovat parhaita ja keltaiset miellyttävät häntä vähiten. Kerttu
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Lisätiedot