1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

Transkriptio

1 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6} Olkoon A = {1. nopalla saadaan 4 tai enemmän} B = {Heittotulosten summa on 10 tai enemmän} C = {Molemmilla nopilla saadaan sama silmäluku} Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: a) A B b) A C c) C c d) B \ C Otosavaruutta S kuvaa seuraava lukupareista (x, y) muodostuva taulukko: 1.noppa 2. noppa (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) A = {(x, y) x = 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(a) = 18; Pr(A) = 18/36 = 1 2 B = {(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}; n(b) = 6; Pr(B) = 6/36 = 1/6 C = {(x, y) x = y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(c) = 6; Pr(C) = 6/36 = 1/6 a) Tässä tapauksessa A B = A, joten Pr(A B) = Pr(A) = 1 2. b) Nyt A C = {(4, 4), (5, 5), (6, 6)} ja n(a C) = 3, joten Pr(A C) = 3/36 = 1/12. c) C c = {(x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6; x y} Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan: Pr(C c ) = 1 Pr(C) = 1 1/6 = 5/6 d) B \ C = {(4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5)} ja n(b \ C) = 4, joten Pr(B \ C) = 4/36 = 1/9 D2. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman A B todennäköisyys, kun a) Pr(A B) = 0.1 b) A ja B ovat toisensa poissulkevia c) A ja B ovat riippumattomia d) Pr(A B) = 0.1

2 Yleisen yhteenlaskulauseen mukaan: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) a) Sijoittamalla saadaan Pr(A B) = = 1 eli tapahtuma A B on varma. b) Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia eli A B =, on P r(a B) = 0, jolloin Pr(A B) = = 1.1 > 1 mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat siis ristiriitaisia. c) Jos A ja B ovat riippumattomia on P r(a B) = P r(a)p r(b), jolloin Pr(A B) = = 0.8 d) Yleisen tulosäännön mukaan P r(a B) = P r(a B)P r(b), jolloin Pr(A B) = = 1.04 mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat siis jälleen ristiriitaisia. D3. Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgentutkimus), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on annettu alla olevassa taulukossa. Taulukon luvut ovat todennäköisyyksiä. Ikä Mammografia tehty Mammografiaa ei ole tehty alle tai yli a) Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: A = {Potilas on alle 65-vuotias} B = {Potilas on 65-vuotias tai vanhempi} C = {Potilaalle on tehty mammografia} D = {Potilaalle ei ole tehty mammografiaa} b) Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia? c) Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut 65-vuotias tai vanhempi. a) Kysytyt todennäköisyydet saadaan laskemalla taulukosta reunatodennäköisyydet eli rivija sarakesummat: Ikä Mammografia tehty Mammografiaa ei ole tehty Summa alle P r(a) = tai yli P r(b) = Summa Pr(C) = Pr(D) = b) Jos tapahtumat B ja C ovat riippumattomia on P r(b C) = P r(b) P r(c). Taulukosta saadaan P r(b C) = = P r(b) P r(c), joten tapahtumat B ja C eivät ole riippumattomia. c) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan: Pr(C A) = Pr(C A)/Pr(A) = 0.321/0.445 = Pr(C B) = Pr(C B)/Pr(B) = 0.365/0.555 = eli tämän perusteella nuoremmat potilaat pääsevät mammografiaan helpommin kuin vanhemmat potilaat.

3 P4. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tarkastellaan silmälukujen summaa satunnaisilmiönä. a) Mikä on silmälukujen summan otosavaruus? b) Mikä on todennäköisyys tapahtumalle A = {Summa on 1}? c) Mikä on todennäköisyys tapahtumalle B = {Summa on 8}? d) Olkoon C = {1. nopalla saadaan 1}. Mikä on ehdollinen todennäköisyys tapahtumalle B ehdolla, että C on tapahtunut? e) Olkoon D = {1. nopalla saadaan 5}. Mikä on ehdollinen todennäköisyys tapahtumalle B ehdolla, että D on tapahtunut? 2 p. Muodostetaan silmälukujen summalle aputaulukko: 1.noppa 2. noppa a) Aputaulukosta nähdään, että kahden nopan heiton silmälukujen summan otosavaruus (l. tapahtuma-avaruus) on {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. b) Tapahtuma A = {Summa on 1} on mahdoton joten Pr(A) = 0. c) Tapahtuma B = {Summa on 8} voi tulla tulokseksi viidellä tavalla B = {x+y (x,y) = (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} Koska alkeistapahtumat ovat toisensa poissulkevia ja kaikkien todennäköisyys on 1/36 saadaan tapahtuman B todennäköisyydeksi: Pr(B) = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 5/36 d) Summaksi ei voi tulla 8 jos 1. nopalla saadaan 1, joten tapahtuma B on mahdoton, jos C on tapahtunut. Siten P r(b C) = 0. e) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Pr(B D) = Pr(B D) Pr(D) = = 1 6 P5. Laatikossa on 8 hehkulamppua, joista 3 on viallista. a) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia? b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia? 1 p. Olkoon A i = {i. lamppu on viallinen}. a) Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 ovat riippumattomia. Riippumattomien tapahtumien yleistetyn tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 )Pr(A 3 ) = (3/8) 3 = 27/ b) Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 eivät ole riippumattomia. Siten Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 1 A 2 ) (3/8) (2/7) (1/6) = 6/

4 P6. Eräässä yliopistossa on opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden sukupuolija ikäjakaumaa. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet todennäköisyyden frekvenssitulkintaa käyttäen: a) Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen. b) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on vuotias. c) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on vuotias. 1 p. Ikä Mies Nainen Olkoon A = {Opiskelija on nainen} ja B = {Opiskelija on vuotias}. Tällöin A c = {Opiskelija on mies}. Muodostetaan rivi- ja sarakesummat sisältävä aputaulukko: Ikä Summa Mies Nainen Summa a) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön perusteella: Pr(A) = ( )/10000 = 0.6 tai suoraan taulukosta P r(a) = n(n ainen)/n(oppilaat) = 6000/10000 = 0.6 b) Kuten a)-kohdassa saadaan nyt: Pr(B) = ( )/10000 = 0.26 Taulukosta nähdään, että Pr(A c B) = 1100/10000 = 0.11 Ehdollisen todennäköisyyden kaavaa soveltamalla: Pr(A c B) = Pr(A c B)/Pr(B) = 0.11/ > 0.4 = Pr(A c ) (Pr(A c ) = 1 Pr(A)) c) Yleisen yhteenlaskulauseen perusteella: Pr(A c B) = Pr(A c ) + Pr(B) Pr(A c B) = = 0.55 L7. Uurnassa on 10 palloa, joista 3 on valkoisia ja 7 mustia. a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että toisena poimittu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä poimittu on musta? b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kaksi palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että toisena poimittu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä poimittu on musta? Olkoon A 1 = {1. pallo on musta} ja B 2 = {2. pallo on valkoinen}. a) Koska poiminta tapahtuu takaisinpanolla, tapahtumat A 1 ja B 2 ovat riippumattomia ja siten: Pr(A 1 ) = 7/10 ja Pr(B 2 A 1 ) = Pr(B 2 ) = 3/10 b) Koska poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, tapahtumat A 1 ja B 2 eivät ole riippumattomia ja siten: Pr(A 1 ) = 7/10 ja Pr(B 2 A 1 ) = 3/9

5 L8. Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittu vuonna 1988) kokoonpanoa. Edustajat on luokiteltu puoluekannan (2 luokkaa) ja edustjanaoloajan mukaan (3 luokkaa). Taulukossa on annettu ainoastaan ne todennäköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan kun puoluekantaa ja edustajanaoloaikaa tarkastellaan erillisinä. Täytä taulukon puuttuvat solut, kun oletetaan, että puoluekanta ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan. Edustajanaoloaika Demokraatti Republikaani Yhteensä < 2 vuotta vuotta vuotta Yhteensä Taulukon todennäköisyydet saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella kertomalla kutakin solua vastaavat reunatodennäköisyydet keskenään: Edustajanaoloaika Demokraatti Republikaani Yhteensä < 2 vuotta = = vuotta = = vuotta = = Yhteensä