(x, y) 2. heiton tulos y

Transkriptio

1 Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Alkio, Ehdollinen todennäköisyys, Ehtotapahtuma, Empiirinen todennäköisyys, Erotustapahtuma, Frekvenssi, Frekvenssitulkinta, Joukko, Klassinen todennäköisyys, Koetoisto, Komplementti, Komplementtitapahtuma, Leikkaus, Lukumääräfunktio, Mahdoton tapahtuma, Mitta, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta, Otosavaruus, Perusjoukko, Pistevieraus, Riippumattomuus, Sattuma, Satunnaisilmiö, Satunnaiskoe, Satunnaisotanta, Suhteellinen frekvenssi, Suhteellinen osuus, Suotuisa alkeistapahtuma, Symmetrisyys, Tapahtuma, Todennäköisyys, Toisensa poissulkevuus, Tyhjä joukko, Tulosääntö, Unioni, Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Tehtävä 1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, heittotuloksiin liittyvä perusjoukko voidaan määritellä kaavalla S = {(x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6} jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Perusjoukkoa S voidaan kuvata seuraavalla lukukaaviolla: 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Virheettömän nopan tapauksessa voimme ajatella, että jokaisella heittotulosten parilla (x, y), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Määritellään joukot A = {(x, y) S x = 2} B = {(x, y) S y > 4} Ilkka Mellin (2008) 1/5

2 C = {(x, y) S x + y = 7} D = {(x, y) S x y = 2} E = {(x, y) S x y 2} Merkitse otosavaruutta S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: (a) A, B, C, D, E (b) A C = Joukkojen A ja C yhdiste (c) B D = Joukkojen B ja D leikkaus Tehtävä 1.2. Tehtävä 1.2. on jatkoa tehtävälle 1.1. Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: (a) E c = Joukon E komplementti (b) B \ C = Joukkojen B ja C erotus (c) C \ B = Joukkojen C ja B erotus Tehtävä 1.3. Tehtävä 1.3. on jatkoa tehtävälle 1.1. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.1. kohdissa (a) (c) määritellyille tapahtumille. Tehtävä 1.4. Tehtävä 1.3. on jatkoa tehtävälle 1.2. Määrää todennäköisyydet tehtävän 1.2. kohdissa (a) (c) määritellyille tapahtumille. Tehtävä 1.5. Tehtävä 1.5. on jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan silmälukujen summaa z = x + y jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Määritellään tapahtumat A = {Summa on 1} B = {Summa on 11} C = {1. nopanheitolla saadaan 2} D = {1. nopanheitolla saadaan 5} (a) Määrää silmälukujen summan z = x + y otosavaruus. (b) Määrää tapahtuman A todennäköisyys. (c) Määrää tapahtuman B todennäköisyys. (d) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma C on sattunut. Ilkka Mellin (2008) 2/5

3 (e) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma D on sattunut. Tehtävä 1.6. Tehtävä 1.6. on jatkoa tehtävälle 1.1. Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta z = x y jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Olkoon (a) (b) (c) (d) A = {1. nopalla saadaan 6} B = {2. nopalla saadaan 6} C = {Erotus on 2} Määrää silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus. Pr(A B) ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat A ja B Pr(C A ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja A Pr(C B ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja B Tehtävä 1.7. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.3. Määrää tapahtuman A B todennäköisyys, kun (a) Pr(A B) = 0.1 (b) A ja B ovat toisensa poissulkevia (c) A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(A B) = 0.1 Tehtävä 1.8. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman A B todennäköisyys, kun (a) Pr(A B) = 0.1 (b) A ja B ovat toisensa poissulkevia (c) A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(A B) = 0.1 Ilkka Mellin (2008) 3/5

4 Milloin tämä on mahdollista? Tehtävä 1.9. Uurnassa on 3 valkoista ja 7 mustaa palloa. (a) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa takaisinpanolla eli palauttaen. Tällöin uurnasta nostetaan palloja yksi pallo kerrallaan ja jokainen nostettu pallo palautetaan ennen seuraavan pallon nostoa takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on ollut musta? (b) Poimitaan uurnasta satunnaisesti kaksi palloa ilman takaisinpanoa palauttamatta. Tällöin uurnasta nostettuja palloja ei palauteta takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että toisena nostettu pallo on valkoinen, jos ensimmäisenä nostettu pallo on ollut musta? Tehtävä Uurnassa on 5 punaista ja 7 sinistä palloa. (a) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa? (b) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme punaista palloa? (c) Poimit uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittava pallo on punainen, jos kaksi edellistä ovat olleet sinisiä? Tehtävä Laatikossa on 10 hehkulamppua, joista 3 on viallista. (a) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia? (b) Poimitaan laatikosta satunnaisesti kolme hehkulamppua ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme lamppua ovat viallisia? Ilkka Mellin (2008) 4/5

5 Tehtävä Eräässä yliopistossa on opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden sukupuoli- ja ikäjakaumaa. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet todennäköisyyden frekvenssitulkintaa käyttäen: (a) Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen. (b) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on vuotias. (c) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on vuotias. Ikä Mies Nainen Tehtävä Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittiin vuonna 1988) kokoonpanoa. Kongressiedustajat on luokiteltu taulukossa puoluekannan mukaan kahteen luokkaan ja edustajanaoloajan mukaan kolmeen luokkaan. Taulukossa on annettu ainoastaan ne todennäköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan, kun puoluekantaa ja edustajanaoloaikaa tarkastellaan erillisinä. Täytä taulukon puuttuvat solut, jos oletamme, että puoluekanta ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan. Todennäköisyys Edustajana -oloaika Demokraatti Puoluekanta Republikaani Yhteensä < 2 vuotta vuotta vuotta Yhteensä Ilkka Mellin (2008) 5/5