MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset ovat niin pieniä rakenteen mittoihin verrattuna, että kuormituksen voidaan katsoa vaikuttavan alkuperäiseen kuormittamattomaan rakenteeseen (geometrinen lineaarisuus). 5. Rakenteen staattinen systeemi ei muutu muodonmuutosten tapahtuessa. 6. Edellisistä seuraa, että superpositioperiaate on voimassa myös muodonmuutossuureisiin nähden.
Palkkialkion kimmoiset muodonmuutokset Normaalivoima: Toisaalta palkkialkiolle on Joten Leikkausvoima: on keskimääräinen leikkausjännitys v ds on muotokerroin Joten v ds
Taivutusmomentti: M t a I z Toisaalta Kuvan perusteella M EI t z E EI M t a ds M t joten ds EI ad a ds z ds a d z ds a ds josta d M EI t z ds Työ ja energiakäsitteet Voiman tekemä työ W F s s Fcos s Voiman tekemä työ = voiman vaikutuspisteen siirtymä kerrottuna voiman projektiolla siirtymän suunnassa Huomautus: Voiman arvo ja suunta eivät saa muuttua siirtymän tapahtuessa. 3
Yleisemmin: Jos voima on funktio siirtymästä, eli F F() s, on sen alkion ds kohdalla suorittama työ dw F() s ds ja kokonaistyö s W F() s ds 0 Jos voiman arvo riippuu siirtymästä lineaarisesti lähtien nollasta loppuarvoonsa F, on voiman tekemä työ W F s s 4
Momentin suorittama työ Korvataan momentti ekvivalentilla voimasysteemillä, voimaparilla ja lasketaan sen tekemä työ M W c M c Siirtymä 5
Siirtymien indeksit: ii pisteen i siirtymän projektio siinä vaikuttavan voiman F i suunnassa voimasta F i ik pisteen i siirtymän projektio siinä vaikuttavan voiman F i suunnassa voimasta F k Siirtymän ik tapahtuessa voima Fi on vakio ja suorittaa siis siirtymätyön W F i ik Siirtymätyön kannalta on täysin yhdentekevää, mistä siirtymä ik aiheutuu. Se voi olla kuviteltu (virtuaalinen). Tällöin kysymyksessä on virtuaalinen siirtymätyö W F i ik 6
Virtuaalisen siirtymän on oltava pieni, tasapainotilasta tapahtuva ja rakenteelle mahdollinen ts. toteutettava rakenteen tuki ja jatkuvuusehdot. Tilanne voi olla myös päinvastainen ts. voima voi olla virtuaalinen, jolloin W F missä Fi i ik ik virtuaalinen voima todellinen siirtymä Siirtymätyötä tekevät voimat muodostavat ns. kuormatilan Fi ja niistä aiheutuvat muodostavat siirtymä Voimat siirtymät tilan. F k F k ik 7
Siirtymän ii tapahtuessa Fi kasvaa 0:sta loppuarvoonsa samassa tahdissa siirtymän kanssa. Tällöin tehdään todellinen siirtymätyö W F i ii Kaikki voimat kasvavat samassa tahdissa loppuarvoonsa W F F F n n n Fi i i= Ulkoisen momentin suorittama todellinen työ on W M i ii Ulkoisen momentin suorittama virtuaalinen siirtymätyö W M i ik 8
Muodonmuutostyö ja energia. Normaalivoiman tekemä muodonmuutostyö Jos normaalivoima N aiheuttaa pituuden muutoksen, tehdään todellinen muodonmuutostyö dw Nds N ds EA Jos pituuden muutos ds on virtuaalinen, on tehty työ dw N ds. Leikkausvoiman tekemä muodonmuutostyö Jos leikkausvoima Q aiheuttaa pituuden muutoksen, tehdään todellinen muodonmuutostyö dw Qv Q ds GA Jos pystysiirtymän muutos virtuaalinen, on tehty työ dw Q v v on 9
. Leikkausvoiman tekemä muodonmuutostyö Jos taivutusmomentti M t aiheuttaa kulman muutoksen d, tehdään todellinen muodonmuutostyö dw Mt d M t ds EIz Jos pystysiirtymän muutos v on virtuaalinen, on tehty työ dw M d t Koko rakenteen muodonmuutostyö (= muodonmuutos tai kimmoenergia) saadaan laskemalla kaikissa alkioissa tehty työ yhteen. Todellinen työ M t Q N U ds EIz GA EA Virtuaalinen työ t U M d Qv Nds M M QQ NN ds ds ds EI GA EA t t z 0
Virtuaalisen työn eli virtuaalisen työn periaate W U Tasapainossa olevassa rakenteessa on ulkoisten kuormitusten suorittama virtuaalinen siirtymätyö yhtä suuri kuin sisäisten voimien suorittama virtuaalinen muodonmuutostyö. Sauvarakenteen virtuaaliseksi työyhtälöksi tulee M M QQ NN t t Fii Mii ds ds ds EIz GA EA Tavallisesti palkkirakenteissa kaksi viimeistä termiä voidaan jättää pois niiden pienuuden vuoksi. Leikkausmuodonmuutoksen vaikutus on olematon ja sauvan aksiaalisen venymän vaikutus on niin pieni, että käsin suoritettavissa laskelmissa sitä ei tarvitse tavanomaisissa rakenteissa huomioida. Jos rakenteeseen liittyy ainoastaan normaalivoiman rasittamia sauvoja, on normaalivoiman osuus arvioitava erikseen. Esimerkiksi
Työyhtälö saa näin muodon MM t t Fi i Mi i ds EIz Jos muodonmuutostyön merkki määritellään negatiiviseksi (työtä tehdään voimaa vastaan), voidaan virtuaalisen työn periaate kirjoittaa yleisemmin esitettyyn muotoon W U 0 eli tasapainossa olevan rakenteen saadessa mielivaltaisen virtuaalisen siirtymän, on ulkoisten ja sisäisten voimien suorittama työ yhteensä nolla. Maxwell in sääntö: F F i ik k ki Jos lisäksi Fi Fk ik ki Tämä tunnetaan Maxwell in sääntönä.
Siirtymien (kiertymien) määrittäminen virtuaalisen työn periaatteen avulla (työyhtälön avulla): M,( N, Q ), d, v, ds t ia ja voimat Fmuodostavat todellisen siirtymätilan i Valitaan virtuaalinen kuormatila siten, että työyhtälöstä saadaan ratkaistua mahdollisimman helposti: sen muodostaa ia pisteeseen i asetettu siirtymän suuntainen virtuaalinen voima ia F i M,( N, Q ), d, v, ds t Työyhtälö saa muodon ia MM t t ds EI jota kutsutaan ykkösvoimaperiaatteeksi. Ykkösvoimalla ei ole yksikköä. z 3
Jos halutaan määrittää kiertymä (=kiertymäkulma) jossakin kohdassa, asetetaan kyseiseen kohtaan ulkoinen virtuaalinen momentti Mi Työyhtälö on nyt i MM t t ds EI z ESIMERKKI Määritä voimaperiaatteella kuvan ulokepalkin ulokepään a) taipuma A b) kiertymä A Palkin taivutusjäykkyys on EI. RATKAISU a) Taivutusmomentti kuormittavasta voimasta F M t Fx Taivutusmomentti voimasta x M t 4
b) voima periaate: L L L MM t t F A d d d EI EI EI 0 0 0 F L 3 F 3 3 / 3 x ( L 0 ) 0 EI x Fx x x x x 3EI 3 FL A 3EI Taivutusmomentti kuormittavasta voimasta F on edelleen M t Fx Taivutusmomentti momentista M t voima periaate: L L MM t t F A d d d EI EI EI 0 0 x Fx x x x F F EI EI FL A EI L / x ( L 0 ) 0 5
ESIMERKKI Määritä voimaperiaatteella kuvan tasaisella kuormituksella kuormitetun yksiaukkoisen palkin keskipisteen taipuma. Palkin taivutusjäykkyys on EI. RATKAISU Taivutusmomentin lauseke tasaisesta kuormituksesta q ( ) ql qx Mt x x Taivutusmomentti voimasta välille 0 x L/ M ( x) x t voima periaatteella saadaan Välille L/ x L lausekkeeksi tulee M ( x) x ( x L/ ) t L x L L/ MM t t x ql qx k d d EI EI 0 0 L x x x L xql qx x dx EI L/ Usein kannattaa laskea EI kertaista siirtymää, jolloin ei tarvitse kuljettaa /EI kerrointa mukana. Tehdään niin seuraavassa. 6
Lasketaan eteenpäin L/ 3 L 3 Lx x L x Lx x EIk q d d 4 4 xq 4 4 4 x 0 L/ L/ 3 4 L 3 4 Lx x L x Lx x q / q / 0 6 L/ 8 6 4 4 4 4 4 4 4 4 L L L L L L L L q q q 8 66 8 6 84 8 66 4 4 4 0 5 ql 8 3 96 8 48 4 6 3 ql ql 768 768 384 k 5 384 4 ql EI ESIMERKKI 3 Määritä voimaperiaatteella kuvan ulokepalkin ulokepään Mohrin integraalitaulukoita käyttäen a) taipuma A b) kiertymä A Palkin taivutusjäykkyys on EI. RATKAISU a) voimaperiaate L L t t A t t EI EI 0 0 MM d x MM d x 7
Tulointegraalitaulukon avulla (. sarake,. rivi) L L M M dx L FL EI 3 A t t EI 0 3 FL A 3EI bkohy b) voimaperiaate L L t t A t t EI EI 0 0 MM d x M M d x L ( ) ( FL) (. sar.,. rivi) EI FL A EI 8
ESIMERKKI 4 Määritä voimaperiaatteella kuvan yksiaukkoisen palkin keskipisteen taipuma. Käytä Mohrin tulointegraalitaulukkoa. Palkin taivutusjäykkyys on EI. RATKAISU voimaperiaate L L MM t t A d x M t M td x EI EI 0 0 L L L ql ( L ) EI 3 L 4 8 4 L 5 L ql 5qL A EI 3 4 4 8 384EI ESIMERKKI 5 Määritä kuvan kehän pisteen B a) pystysiirtymä b) vaakasiirtymä Taivutusjäykkyys EI 000 knm. Suhteelliset jäykkyydet on merkitty kuvaan. RATKAISU voimaperiaate: asetetaan pisteeseen B vuorotellen haluttujen siirtymien suuntaiset voimat ja lasketaan virtuaalisen työn lausekkeella siirtymät. 9
a) pisteen B pystysiirtymä v L M M t t B d EI 0 x 3,5,8 M M dx M M dx EI t t t t EI 0 0 EIvb 35, m ( 8, m) ( 36, knm) 8, m + ( 8, m) ( 36, knm)=5,8knm 3 v 3 b 5, 8kNm 5, 8mm 000kNm b) pisteen B vaakasiirtymä u L M M t t B d EI 0 x 3,5,8 M M dx M M dx EI t t t t EI 0 0, m EIu 35 b ( 35, m) ( 36, knm) 0,05kNm u 3 b, 05kNm, 05mm 000kNm 0
ESIMERKKI 6 Määritä kuvan ulokepalkin pään C a) pystysiirtymä v C b) kiertymä C Taivutusjäykkyys EI 5000 knm. RATKAISU Taivutusmomentin arvo palkin tyvessä tasaisesta kuormituksesta: M m t kn/m m 4 A 0 4 60kNm a) pisteen C pystysiirtymä v C Asetetaan pisteeseen C voima alaspäin. voimaperiaate: d d 0d 4m EIC m 3 ( 6m) ( 60kNm) 3 067kNm L 4m 6m MtMt C x M t M t x M t x EI EI 0 0 4m 3 067 knm C 708, mm 5000 knm
b) palkin kiertymä C Asetetaan pisteeseen C momentti myötäpäivään: L 4m MtMt C d x M t M td x 0 EI EI 0 0 4m EIC 3 ( ) ( 60kNm) 3,3kNm, knm 3 3 3 C 4035, 0 (rad!) 5000 knm TEHTÄVÄ Määritä kuvan palkin taipumat pistevoiman kohdalla ja palkin keskellä. Palkin taivutusjäykkyys EI 60000kNm. RATKAISU
TEHTÄVÄ Määritä kuvan palkin taipumat pistevoiman kohdalla ja palkin keskellä. Palkin taivutusjäykkyys EI 00000 knm. RATKAISU V: C 7, 75mm TEHTÄVÄ 3 Määritä kuvan kehän pisteen B a) pystysiirtymä b) vaakasiirtymä Taivutusjäykkyys EI 300000 knm. Suhteelliset jäykkyydet on merkitty kuvaan. RATKAISU V: vb 780, mm 3
TEHTÄVÄ 4 Määritä kuvan palkin pisteiden B ja C taipumat. Palkin osien suhteelliset jäykkyydet on merkitty kuvaan. EI 00000 knm RATKAISU V: vc 575, mm TEHTÄVÄ 5 Määritä kuvan palkin vasemman kentän keskipisteen D ja palkin ulokepään C taipumat. Palkin EI 08kNm. RATKAISU V: vc 8, 44mm v 675, mm D 4
TEHTÄVÄ 6 Määritä kuvan palkin vasemman kentän keskipisteen D ja palkin ulokepään C taipumat. Palkin EI 08kNm. RATKAISU V: vc 0587, mm v 486, mm D TEHTÄVÄ 7 Määritä kuvan kehän a) siirtymät ub ja vb b) kiertymä C Taivutusjäykkyys EI 60000 knm. Suhteelliset jäykkyydet on merkitty kuvaan. RATKAISU V: v X mm B 5
TEHTÄVÄ 8 Määritä kuvan nivelkehän nivelpisteen C taipuma v C. Kehä on valmistettu kuumamuovatusta IPE80 profiilista, 7 4 jonka Iy, 370 mm ja kimmomoduli E 0GPa. RATKAISU V: v C 6, 03mm TEHTÄVÄ 8 Määritä kuvan nivelkehän nivelpisteen C taipuma v C. Kehä on valmistettu kuumamuovatusta IPE40 profiilista, 6 4 jonka Iy 38, 90 mm ja kimmomoduli E 0GPa. RATKAISU V: v C 3, 48mm 6
TEHTÄVÄ 0 Määritä kuvan palkin nivelpisteen C taipuma. Palkin valmistettu kuumamuovatusta IPE70, jonka 6 4 Iy 57, 900 mm. Kimmomoduuli E 0GPa. RATKAISU V: vc 3, 6mm RISTIKON SIIRTYMIEN LASKEMINEN Työyhtälöä M M QQ NN t t Fii Mii ds ds ds EIz GA EA käytetään seuraavalla tavalla: Ristikon sauvoissa ei ole taivutusmomenttia eikä leikkausvoimaa, joten työyhtälön oikealta puolelta jää kaksi ensimmäistä termiä pois. Ristikon niveliin voi kohdistaa ainostaan pistevoimia, josta seuraa, että vasemmalta puolelta toinen termi jää pois. Työyhtälöksi jää NN Fi i ds EA 7
Käytetään virtuaalista voimaa ulkoisena kuormatilana. Näin saadaan voimaperiaate ristikolle (pisteessä i, suunta a) NN ia ds EA Ristikon sauvoissa on tavallisesti vakiopoikkileikkauksia sauvoja (useimmiten keskenään erisuuruiset poikkipinta alat), joten rakenteen sisäisen työn integraali oikealla puolella voidaan laskea sauva kerrallaan. Kun vielä otetaan huomioon, että normaalivoimat (todellisesta ja virtuaalisesta kuormituksesta) ovat vakioita sauvan pituudella, niin saadaan s Lk s NN k i NN k k ia NN ds d s L k EA ( EA) ( EA) k k 0 k k voimaperiaate ristikolle on siis ia n k S S L ( EA) k k k k missä S k S k L k ( EA) k on sauvan k sauvavoima voimasta on sauvan k sauvavoima todellisesta kuormituksesta on sauvan k pituus on sauvan k vetojäykkyys 8
ESIMERKKI 7 Laske kuvan ristikon nivelen D pystysiirtymä voimaperiaatteella. Kaikki sauvat ovat lautaa (x5x00). Sauvat on tuettu siten, että nurjahdusta ei tapahdu. Materiaalin kimmomoduli E 6000MPa p RATKAISU Sauvavoimat kuormituksesta saadaan nivelpisteiden tsp menetelmällä: S 8, 333kN S 6, 667kN S3 0kN S4 8, 333kN S 6667, kn 5 Sauvavoimat voimasta nivelessä D (nivelten tsp menetelmällä) S S 0, 8333 S 0, 6667 S 0, 8333 3 4 S5 06667, E 6000N/mm A 500 5000mm Taipuma lasketaan kaavalla v D 5 k S S L E A k k k k k Laskenta on tehty seuraavan sivun taulukossa. 9
Taulukko: Taipuman laskeminen: Robotohjelmiston antama tulos: 30