Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Transkriptio

1 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa. Harjoitus 1 Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. a) normaalivoima ja normaalijännitys b) leikkausvoima ja leikkausjännitys c) Liimasauman pituus a = 20 mm ja liitettävien levyjen leveys b = 30 mm. Voima P on suuruudeltaan 20 kn. Ratkaise liimasauman keskimääräinen leikkausjännitys. a) Normaalivoima ja normaalijännitys Pinnan normaalin suuntaista voimaa N kutsutaan normaalivoimaksi. Normaalivoima on positiivinen silloin, kun se pyrkii kasvattamaan sauvan pituutta. Vastaavasti puristusta aiheuttava normaalivoima on suuruudeltaan negatiivinen. Materiaalin rasituksen suuruutta kuvaava normaalijännitys σ saadaan normaalivoimasta yhteydellä σ = N A missä A on poikkileikkauksen pinta-ala. Suureiden SI-yksiköt ovat [N] = N (newton), [A] = m 2 (neliömetri) ja [σ] = N = P a (pascal). m 2 b) Leikkausvoima ja leikkausjännitys Pinnan suuntaista voimaa Q kutsutaan leikkausvoimaksi. Leikkausvoiman etumerkki riippuu valitusta koordinaatistosta. 1

2 Materiaalin rasituksen suuruutta kuvaava leikkausjännitys τ (tau) saadaan leikkausvoimasta yhteydellä τ = Q A missä A on poikkileikkauksen pinta-ala. Suureiden SI-yksiköt ovat [N] = N (newton), [A] = m 2 (neliömetri) ja [σ] = N = P a (pascal). m 2 c) Yhden liimasauman pinta-ala A = a b = 600 mm 2. Keskimmäisen levyn ylä- ja alapinnalla on liimasauma. Voima P jakautuu kahdelle liimapinnalle. Näin ollen yhtä liimasaumaa kuormittaa voima P/2 (kts. kuva) ja liimasauman keskimääräinen leikkasujännitys voidaan laskea seuraavasti τ kesk = P 2A = N 16, 67 MP a 17 MP a (1) 1200 mm2 Tehtävä 2 a) Kuvan 1 sauvan paksumman osan poikkileikkauksessa vallitsee voiman P aiheuttama normaalijännitys σ = 30MP a. Laske sauvan ohuemmassa osassa vaikuttava normaalijännitys. Sauvan poikkileikkauksessa vaikuttava normaalijännitys σ, normaalivoima F ja poikkipintaalan A liittyvät toisiinsa yhteydellä σ = P A (2) 2

3 Merkitsemällä paksua sauvaa alaindeksillä 1 ja ohutta alaindeksillä 2 voidaan sauvoissa vaikuttaville normaalijännityksille kirjoittaa yhtälöt σ 1 = P A 1 = 30 MP a (3) σ 2 = P A 2 (4) Kaavasta (3) saadaan ratkaistua voimaksi joka kaavaan (4) sijoittamalla antaa P = σ 1 A 1 (5) σ 2 = σ 1 A 1 A 2 = 30 MP a (6) Pyöreän sauvan pinta-ala saadaan kaavalla A = 1 4 πd2, joten kaavasta (6) saadaan ( ) 2 D1 σ 2 = σ 1 = 30 MP a D 2 ( ) 60mm 2 = 120MP a (7) 30mm b) Kaksi levyä on kiinnitetty ruuvilla kuvan 2 mukaisesti. Levyissä vaikuttaa vetovoima P = 10 kn. Laske ruuviin kohdistuva keskimääräinen leikkausjännitys τ. Levyn paksuus t = 10 mm, ja Ruuvin halkaisija d = 12 mm. Symmetrian nojalla levy-ruuvi yhdistelmä voidaan jakaa kahteen osaan (kts. kuva alla), jolloin riittää tarkastella vain toista osaa. Jännityksen laskemiseksi tarvitaan ruuvin poikkipinta-ala. Poikkileikkaukseltaan pyöreän ruuvin pinta-ala saadaan kaavalla A = 1 4 πd2, ja näin saadaan ( ) ( ) τ = Q A = Q 10 kn 1 = 4 πd2 1 4 π122 mm 2 88, 42 MP a 88 MP a (8) 3

4 Tehtävä 3 Kaksi hoikkaa teräspalkin pätkää halutaan liittää yhteen käyttäen kuvan 3 mukaista liimasaumaa. Valmistaja ilmoittaa teräksen vetolujuudeksi 200 MPa, ja palkin mitat ovat: a = 75 ja b = 45. Liiman leikkauslujuus on 20 MP a. Laske kuinka suuri kulman φ on oltava, jotta liimasauma kestää saman voiman kuin eheä palkki. Piirretään vapaakappalekuva palkin puolikkaasta Kuvassa (a) on esitetty liimapinnan suuntainen P y voimakomponentti ja sitä vastaan kohtisuorassa oleva voimakomponentti P x. Näitä voimakomponentteja vastaavat jännityskomponentit on esitetty kuvassa (b). Kuvissa näkyvä kulma θ = 90 o φ. Voimakomponenttien suuruudet saadaan trigonometriasta: N φ = sin(φ) P (9) 4

5 Itse voima P saadaan laskettua vetolujuuden perusteella Sauman pinta-ala voidaan laskea trigonometrian avulla seuraavasti Q φ = cos(φ) P (10) P = σ max a b (11) A s = b sin(φ) a (12) Nyt yhdistämällä kaavat (8) (12) saadaan sauman leikkausjännityksen lausekkeeksi τ φ = Q φ = cos(φ) σ max a b = 1 A a b s 2 sin(2 φ) σ max (13) sin(φ) Ratkaisemalla φ kaavasta (13) ja sijoittamalla teräksen vetolujuus σ max = 200 MP a ja leikkauslujuus τ φ = 20 MP a saadaan tälle arvoksi φ = 1 20 arcsin , 10 rad ( 5, 70o ) (14) Todellisuudessa liimasauma joutuu kantamaan myös normaalijännityksen. Tällaisessa tapauksessa sauman myötötarkastelu joudutaan tekemään käyttäen myötöehtoja (esim. Von Mises tai pääjännitys). 5