KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

Transkriptio

1 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla (esimerkki 5.3.5, luento 11) Tänään johdetaan ensin laatan voimatasapainoyhtälöt integroimalla paksuuden yli Laatan tasapainoyhtälöistä saadaan helposti palkkiyhtälöt yksinkertaistamalla tarkastelu 1D tapaukseen Lopuksi käydään läpi, miten palkkiyhtälöistä saadaan ratkaistua palkin siirtymät 1

2 Tasapainoyhtälöiden soveltamisesta (3D) Yleisistä jännitystasapainoyhtälöistä voidaan johtaa paljon käytettävien rakenneosien kuten laatan ja palkin voimatasapainoyhtälöt. Tässä yhteydessä kertaamme kuinka osittaisintegrointi toimii. Kyseessä on yksi kontinuumimekaniikan keskeisimmistä matemaattisista työkaluista. Rakentamisessa palkeilla kannatetaan mm. lattialaattaa, välipohjaa, yläpohjaa, kattoa, ovi- tai ikkuna-aukkoa. Tuulivoimalat ovat palkkirakenteita virtauskentässä. Palkit ja laatat Matemaattis-fysikaalisessa mielessä palkki on yksiulotteinen malli ( viivamalli ) kolmiulotteisesta rakenteesta. Siirtymät vain x:n funktioita Laatta taas on kaksiulotteinen malli ( tasomalli ) kolmiulotteisesta rakenteesta. Keskitason siirtymäkomponentit vain x:n ja y:n funktioita. z x y 2

3 Osittaisintegrointi Tulon derivointisääntö kerran integroituna tuottaa Alempaa yhtälöä sovellettaessa puhutaan osittaisintegroinnista. Intergrointirajojen ja funktioargumenttien kanssa voidaan kirjoittaa Tasapainoyhtälöt - Esimerkki Käsitellään suorakaidelaattaa, jonka paksuus on h. Kerrotaan ylin 3D-tasapainoyhtälö tekijällä z ja integroidaan laatan paksuuden yli (koordinaatisto keskitasossa) Integrointi laatan paksuuden yli pelkistää käsittelyn laatan keskitasoon (3D 2D). Derivointien ja integrointien järjestys voidaan vaihtaa (koska x, y ja z ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden) Momentti dz Vääntömomentti (twist) osittaisintegroidaan Momentti Leikkausvoima Leikkausvoimat ylä- ja alapinnalla Kukin voimaresultantti on summa todellisesta jännitysjakaumasta tai jakauman tuottamasta momentista laatan sivulla (keskipinnan suhteen). 3

4 Tasapainoyhtälöt - Esimerkki Keskimmäinen tasapainoyhtälö voidaan käsitellä samalla tavalla Yhtälöt kuvaavat laatan momenttitasapainoa Leikkausvoimat ylä- ja alapinnalla: Laatta- ja palkkiteorioissa nämä termit ovat tarpeettomia ja asetetaan aina nolliksi. (Käytännön sanelemaa) Kukin resultantti M ja Q vaikuttaa koko sivun pituudella Tasapainoyhtälöt - Esimerkki Integroidaan alin tasapainoyhtälö laatan paksuuden yli. Yhtälö kuvaa laatan pystysuunnan voimatasapainoa. Vaakasuunnan tarkastelu tuottaisi ns. kalvotilan ja kaksi yhtälöä lisää. Useimmiten ollaan kiinnostuneita kuitenkin vain laatan taivutuksesta ja leikkauksesta. Palkin tapauksessa vaakasuunta tuottaa sauvayhtälön. Painekuorma ylä- ja alapinnoilla 4

5 Tasapainoyhtälöt - Esimerkki Tasapainoyhtälöt palkille saadaan laattayhtälöistä. Palkki ei koe laatalle tyypillistä vääntymää: Joten rajoittuen esim. suuntaan x: Tasapainoyhtälöt Esimerkki - Yhteenveto Voimatasapainoyhtälöt muodostavat perustan palkki- ja laattateorioille. Integrointi laatan paksuuden yli pelkistää käsittelyn tasoon (3D 2D). Integrointi tarkoittaa myös Saint Venant n periaatteen soveltamista. Jotta voisimme laskea laattarakenteiden siirtymiä, venymiä ja jännityksiä, täytyisi laatalle muodostaa kinemaattinen kuvaus, jonka avulla voimaresultanttisuureet ilmaistaisiin. Kuvauksessa siirtymäkomponentit määritetään laatan keskitasossa ja ne ovat ainoastaan x:n ja y:n funktioita. Asiaan palataan myöhemmillä kursseilla. Osittaisintegroinnin merkitys korostuu myöhemmin virtuaalisen työn yhteydessä. 5

6 Mitä voimatasapainoyhtälöillä tehdään? Laatan kinemaattisen kuvauksen muodostaminen ei kuulu kurssin aihepiiriin Palkille sen sijaan muodostimme kinemaattisen kuvauksen luennolla 4 (esimerkki 3.2.3, Bernoullin palkkiteoria) Tuloksena saatiin, että ainoa nollasta poikkeava venymäkomponentti on ε xx ε xx = z d2 w dx 2 Missä w on palkin y-akselin suuntainen siirtymä josta käytetään nimitystä taipuma Kun ainoa nollasta poikkeava venymä on ε xx, Hooken laki antaa jännityksen σ xx = Eε xx Kirjoitetaan taivutusmomentti taipuman suhteen Missä I on pinnan neliömomentti (second moment of area) Leikkausvoima on vastaavasti 6

7 Palkin voimatasapainoyhtälöt ovat (ratkaistu esimerkissä sekä edellä) Sijoittamalla momentin lauseke kolmanteen yhtälöön saadaan neljännen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joka kuvaa palkin taipumaa Yhtälön ratkaisemiseksi tarvitaan neljä reunaehtoa Taipuma ratkaistaan integroimalla yhtälö puolittain neljästi. 1. Integrointi antaa leikkausvoiman: d 2 dx 2 (EI d2 w ) dx = q(x) dx dx2 = V 7

8 Taipuma ratkaistaan integroimalla yhtälö puolittain neljästi. 2. Integrointi antaa taivutusmomentin: d dx (EI d2 w dx 2 ) dx = q x dx + C 1 dx = M Taipuma ratkaistaan integroimalla yhtälö puolittain neljästi. 3. Integrointi antaa palkin taipuman derivaatan jota kutsutaan kääntymäksi: d 2 w dx 2 dx = 1 EI q x dx dx + C 1 x + C 2 dx dw dx = 8

9 Taipuma ratkaistaan integroimalla yhtälö puolittain neljästi. 4. Integrointi antaa palkin taipuman: dw dx dx = 1 EI q x dx dx dx + C 1 x EI dx + C 2 1 EI dx + C 3 dx w = Integrointivakiot C 1, C 2, C 3, C 4 määritellään reunaehtojen avulla. Reunaehdot tarkoittavat tunnettua taipumaa w, kääntymää dw/dx, taivutusmomenttia M = EI( d2 w dx2) tai leikkausvoimaa V = dm/dx Esimerkki: Vapaasti tuettu palkki 9

10 Esimerkki Vapaasti tuettu palkki Reunaehdot: Ratkaistaan ensin taivutusmomentin reunaehdot. Jakautunut voima q on vakio q 0 M x = EI d2 w dx 2 = q x dx dx + C 1x + C 2 = q 0x C 1x + C 2 Siten C 1 = q 0 L/2 ja C 2 = 0, ja taivutusmomentti on M x = EI d2 w dx 2 = q 0 x(l x) 2 Esimerkki Vapaasti tuettu palkki Jos EI on vakio: Integroimisvakiot ovat siten C 4 = 0 ja C 3 = q 0 L 3 /24EI. Taipuman lauseke on: 10

11 Esimerkki Vapaasti tuettu palkki Kun taipuman lauseke tunnetaan, voidaan ratkaista venymä, jännitys, taivutusmomentti ja leikkausvoima. (Alla olevat yhtälöt ovat voimassa kaikille palkeille tuennasta riippumatta) Ponnahduslaudan suunnittelu, luento 1 Leikkausvoimasta (ei jakautunutta voimaa q = 0): V = d dx EI d2 w dx 2 = q x dx + C 1 = C 1 V L = W C 1 = W δ = 4WL3 Ebh 3 Ponnahduslautaa voidaan tarkastella palkkina, joka on toisesta päästään jäykästi tuettu ja toisesta päästään vapaa. Vapaassa päässä vaikuttaa pistevoima W (sukeltajan paino). Taivutusmomentista: M = EI d2 w dx 2 = q x dx dx + C 1x + C 2 = Wx C 2 M L = 0 C2 = WL Reunaehdot: w 0 = 0 dw dt x=0 = 0 M(L) = 0 V L = W 11

12 Ponnahduslaudan suunnittelu, luento 1 Kääntymästä (EI on vakio): dw dx = 1 EI q x dx dx dx + C 1 x EI dx + C 2 1 EI dx + C x 2 3 = C 1 2EI + C x 2 EI + C 3 = W x2 2EI WL x EI + C 3 dw dt x=0 = 0 C 3 = 0 Taipumasta: w = 1 EI q x dx dx dx dx + C 1 x EI dx dx + C 2 1 EI dx dx + C x 3 3x + C 4 = C 1 6EI + C x 2 2 2EI + C 3x + C 4 = W x3 x2 WL 6EI 2EI + C 4 w(0) = 0 C 4 = 0 Ponnahduslaudan suunnittelu, luento 1 Suurin taipuma saadaan ponnahduslaudan päässä, jossa: w L = WL3 3EI δ = 4WL3 Ebh 3 Neliömomentti I on: I = bh3 12 Sijoitetaan reunaehdot ja saadaan taipuman lauseke: w x = W x3 x2 WL 6EI 2EI w L = 4WL3 Ebh 3 Palkin pään siirtymän suuruus on δ = w L = 4WL3 Ebh 3 Taipuma on negatiivinen, koska pistevoiman positiivinen suunta määritellään ylöspäin. Mitä olemme tehneet päästäksemme tänne asti? Mitä oletuksia tulos pitää sisällään? 12

13 Viikko 5 Yhteenveto Lineaariselastisessa lujuusopissa (elastisuusteoriassa) on käytössä: 6 kinemaattista yhtälöä (siirtymä-venymäyhteydet) 6 konstitutiivista yhtälöä (jännitys-venymäyhteydet) 3 tasapainoyhtälöä Teoriassa on siis 15 yhtälöä ja niin ikään 15 (tuntematonta) suuretta. Lisäksi hyödyllisiä periaatteita ovat mm. superpositio ja Saint Venant. 1D-sovelluksena käsittelimme sauvaa ja sen siirtymää u(x). 2D:ssä tutkailimme tasovenymä- ja tasojännitystiloja; u x (x,y), u y (x,y). 3D-tilasta saimme 2D-laatan ja 1D-palkin tasapainoyhtälöt. Lisäksi ratkaisimme palkin taipuman voimatasapainoyhtälöistä. Aihepiiriä käsitellään laajemmin muilla kursseilla. Lähteet Karttunen, A., von Hertzen, R. Exact theory for a linearly elastic interior beam. International Journal of Solids and Structures. In press. Reddy, J.N. Principles of continuum mechanics. Kappale Pitkäranta, J. TKK:n laaja matematiikka 2. Kappale IX 13