Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Transkriptio

1 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa vain kahden seuraavan viikon aikana. Ratkaisut 3 Tehtävä 1 Piirrä tyypillisen rakenneteräksen jännitys-venymäkuvaaja ja merkitse siihen a) kimmokerroin E b) ylempi myötöraja R eh ja alempi myötöraja R el c) myötölujittuminen ja murtolujuus R m d) kuroutuminen ja murtovenymä A sekä selitä lyhyesti, mitä nämä tarkoittavat. Ratkaisu: a) Useimpien käytännön rakennemateriaalien käyttäytyminen lineaarisesti kimmoisasti karakterisoidaan kimmokertoimen E avulla. Kimmokerroin E voidaan määrittää σε käyrän lineaariselta alueelta seuraavasti: E = tanϕ = σ [P a] ε b) Ylempi myötöraja R eh ja alempi myötöraja R el on merkitty kuvaan. Ylempi myötöraja sijaitsee siinä kuvaajan pisteessä, jonka jälkeen jännitystä σ ei tarvitse lisätä venymän ε kasvattamiseksi. Alempi myötöraja on pienin jännitys plastisen muodonmuutoksen aikana myötörajavaiheessa. Kaikilla teräksillä selvää eroa ylemmän ja alemman myötörajan välillä ei ole havaittavissa. Ylemmän myötörajan kohdalla ε 0, 2% ja myötövaiheen lopussa ε 0, 2%. 1

2 c) Myötölujittumisvaiheella tarkoitetaan myötövaiheen jälkeistä kuvaajan osaa, jolla jännitystä joudutaan jälleen lisäämään venymän kasvattamiseksi. Murtolujuus R m on se kuvaajan piste, jonka jälkeen jännitystä ei enää tarvitse kasvattaa vetosauvan katkaisemiseksi. Murtolujuutta vastaavaa venymää kutsutaan tasavenymäksi. d) Kuroutumisessa vetosauvan poikkipinta-ala pienenee voimakkaasti, ja sauva venyy vielä lisää ennen katkeamistaan. Murtovenymä A on se venymä, jolla sauva katkeaa. Tyypillisesti A 20%. Tehtävä 2 Loven muotoluku on pyöristykselle α p = 1, 4 ja ellipsin muotoiselle reiälle se voidaan laskea kaavasta α e = 1 + 2( a b ), jossa a on se ellipsin säde, joka on voiman vaikutussuuntaan nähden kohtisuorassa ja b on se ellipsin säde, joka on voiman suuntainen. Kuvassa on esitetty sauva, jonka suurin sallittu normaalijännitys on σ sallittu = 170 MP a. Määritä suurin sallittu sauvaa vetävä voima P kuvan tapaukselle. Mitat on esitetty kuvassa. (Valinnainen osatehtävä: tutki miten käy, kun kuvan tapauksen ellipsi on pyöräytetty 90 astetta, tasossa). Ratkaisu: Sauvan suurimman vetojännityksen selvittämisessä tulee huomioida sekä reiän että pyöristyksen vaikutusta normaalijännityksen jakaumaan, sillä normaalijännitys saavuttaa (lokaali)huippuarvonsa näissä kohdissa. Muistamme normaalijännityksen kaava σ = P A (1) Loven vaikutus normaalijännitykseen huomioidaan muotoluvun α (kirjan kappale 14 kaava [6]) avulla, joka on määritelty normaalijännityksen arvoista seuraavasti Pyöristyksestä johtuva jännityshuippu: α = σ max σ nim (2) Yhtälöstä (3) ratkaistaan voima P p, jolloin saadaan σ nim = P p A p = σ max α p (3) P p = σ max A p α p = 170 N (20 mm (60 30) mm) mm 2 72 kn (72857, 14) (4) 1, 4 2

3 Reiästä johtuva jännityshuippu: Muotoluku α r kuvan tapaukselle on σ nim = P r A r = σ max α r (5) α r = /2 24/2 = = 2 (6) Ratkaisemalla voima P r yhtälöstä (5) ja sijoittamalla muotoluvun arvo α r = 2, saadaan P r = σ max A r α r = 170 N (20 mm (60 12) mm) mm 2 = N (7) 2 Laskujen perusteella mitoittava voima on P = P p 72 kn Valinnainen osa: reiästä johtuva jännityshuippu: Saadaan siis P r = σ max A r α r Nähdään, että mitoittava voima on P = P r 24 kn. α r = /2 12/2 = = 5 (8) = 170 N (20 mm (60 24) mm) mm 2 = N (9) 5 Tehtävä 3 Kuvan putken sisäsäde r = 12, 5 mm ja sen vaipan paksuus t = 5 mm. Kuumaa kaasua liikkuu sen läpi, jolloin putken lämpötila muuttuu lineaarisesti arvosta T A = 60 C arvoon T B = 15 C. Määritä seinämiin kohdistuva kuormitus, kun putki asennettiin seinien väliin lämpötilassa T = 15 C ilman esijännitystä. Materiaalin (pronssi) kimmomoduli E = 103GP a ja lämpö-laajenemiskerroin α = [ 1 C ]. Ratkaisu: Tehtävänannosta arvot: L r t R = 3 m = 12, 5 mm = 5 mm = r + t = (12, 5 + 5) mm = 17, 5 mm 3

4 Putken pinta-ala T A T B E = 60 C = 15 C = 103 GP a A = π (R 2 r 2 ) (10) Lämpötila muuttuu lineaarisesti putkea pitkin aksiaalisuunnassa. Lämpötilan muutos x:n funktiona on T (x) = (45 + T B T A L x) C = (45 15x) C (11) Putken lämpötilan muutoksen (nousun) seurauksena putki pyrkii lämpölaajenemaan (kts. kuva a)). Koska sauva on asennettu jäykkien seinien väliin, aksiaalinen siirtymä on estetty (nolla*). Näin seinästä aiheutuu tukivoima, joka estää putken laajeneminen (kts. kuva b)). Tästä seuraa, että putkeen syntyy aksiaalijännitys. Sauvan kokonaisvenymä on jossa elastinen venymä ε = ε T + ε e (12) ε e = σ E (13) ja terminen venymä ε T = α T (x) (14) Tehtävää ei voida tarkastella insinöörivenymän avulla, sillä lämpötila ei ole vakio putken pituudella. Kirjan kappaleen 5 kaava [13] nojalla Yhdistämällä kaavat (12) ja (15) ε x = u x (15) Sijoittamalla kaavat (13) ja (14) saadaan u x = εt + ε e (16) Nyt integroimalla yhtälö (17) muuttuja x:n suhteen sauvan yli x=l0 x=0 u x = σ x + α(45 15x) (17) E du = x=l0 x=0 σ x E + α(45 15x) dx (18) 4

5 u(x = L 0 ) u(x = 0) = σ x E x x=l 0 x=0 + α(45x x2 ) x=l 0 x=0 (19) u = σ x E L 0 + α(45l L2 0) (20) Sijoittamalla σ = P A yhtälöön (20) saadaan Nyt koska siirtymä (pituuden muutos) u = 0 saadaan voima u = P L 0 EA + α(45l L2 0) (21) Sijoittamalla lukuarvot P = 103GP a (π(0, , )m 2 ) 3 Saadaan siis P 18 kn P = EA L 0 α(45l L2 0) (22) C (45 3 ) m C (23) 2 5

6 6