Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Transkriptio

1 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa vain kahden seuraavan viikon aikana. Harjoitus Tehtävä 1 Palkin resultanttitaivutusmomentin ja -normaalivoiman lausekkeiksi on määritetty M x = q 0 L 3 x3 1 L x ja N x x = 7q 0 L. Palkin pituus on L ja poikkileikkaus neliö, jonka sivun pituus on b. Määritä palkin normaalijännitysjakauma σ x x, y sekä itseisarvoltaan suurin palkkia rasittava normaalijännitys. Ratkaisu Puhtaan taivutuksen tapauksessa palkin materiaalipisteessä vallitseva normaalijännitys voidaan määrittää yhtälöstä Poikkipinta-ala ja jäyhyysmomentti tehtävän poikkileikkaukselle ovat σ x x, y = N xx Ax + M x I x y 1 A = b b = b Sijoittamalla tulokset yhtälöön 1 saadaan lauseke I = bh3 1 = b b3 1 = b 1 3 σ x x, y = 7q 0x 3 b L y q 0Lx b y b Selvitetään normaalijännityksen paikalliset ääriarvot derivoimalla yhtälöä x:n suhteen: Lasketaan derivaatan nollakohdat: σ x x, y x = 1q 0x b L y q 0L b y 5 1q 0 x b L y q 0L b y = 0, x = ±L Negatiivinen juuri täytyy hylätä, koska x [0, L] Normaalijännityksen suurin arvo sijaitsee siis joko derivaatan nollakohdassa 1 L tai jommassakummassa välin päätepisteistä x = 0 tai x = L. Lisäksi suurimman normaalijännityksen täytyy sijaita joko palkin yläpinnalla y = b/ tai alapinnalla y = b/. Lasketaan normaalijännityksen arvot kaikissa kuudessa valitussa pisteessä: 1

2 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 σ x 0, b = 7q b b q 0L 0 L b b b = 7q 0L b σ x 0, b = 7q b L b q 0L 0 b b b = 7q 0L b σ x L, b = 7q 0 L 3 b b q 0L L L b b b = q 0L 3b 3 b σ x L, b = 7q 0 L 3 b L b q 0L L b b b = q 0L 3b 3 b σ x L, b = 7q 0 L 3 b b q 0L L L b b b = 33q 0L b 3 b σ x L, b = 7q 0 L 3 b L b q 0L L b b b = 33q 0L b 3 b Itseisarvoltaan suurin normaalijännitys sijaitsee pisteessä x, y = L, b jossa σ x L, b = 33q 0L b 3 b Tehtävä Määritä oheisen kuvan mukaisen poikkileikkauksen leikkausjännityksen τ xy lauseke tasossa y = 0. Palkkia rasittavien jännitysresultanttien arvot ovat Q y x ja M x. Laske jäyhyysmomentti I ja staattinen momentti S integroimalla.

3 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Ratkaisu Lasketaan jäyhyysmomentti I x : I x = I x = A h/ y da h/ y dy e/ b/ d + 1 c/ h/ e/ y dy e/ d + h/ c/ e/ y dy e/ d 3 h/ + h/ y dy b/ e/ d 7 8 Alla kuvassa on havainnollistettu integrointialueet, joihin viitataan numeroin. Luonnollisesti integroinnin voi suorittaa myös monella muulla tavalla. Kuvan ainoa tarkoitus on havainnollistaa malliratkaisun integrointirajoja, eikä sitä näin ollen vaadittu. Tämän jälkeen ratkaisu etenee mekaanisesti: I x = 1 h/ e/ 3 h/ y3 + 1 c/ e/ b/ 3 h/ y3 + 1 h/ e/ e/ 3 c/ y3 + 1 h/ b/ e/ 3 h/ y3 9 e/ [ {h I x = 1 } 3 3 [ {h { h } 3 ] [{e } ] 3 { c } [{ 3 e } I x = 3 } { e { b }] I x = bh3 1 ec3 1 }] [ {h [ ] bh 3 8 eh3 8 + eh3 8 ec3 8 [ {c } 3 { } ] h 3 [{ e } 3 { } ] h 3 [{ b } } { e } ] { }] e Samaan lopputulokseen päästään käyttämällä kirjan kappaleen. reikäsääntöä. Tällöin vähennetään alueen bh jäyhyysmomentista reiän ec jäyhyysmomentti. 3

4 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Staattinen momentti tasossa y=0: Kurssikirja.: S x, y = yda A 1 10 S y = 0 = c/ 0 ydy be b+e d + }{{} S y = 0 = 1 c/ be 0 y 1 b+e + 1 S y = 0 = c 8 b e + h h/ c/ ydy b/ b/ d h/ c/ y b/ 8 c b/ b 13 Alla kuvassa on havainnollistettu integrointialuetta. Pinta-ala on pinnan y = 0 alapuolella oleva poikkipintaala. Resultanttitaivutusmomentin arvo ei vaikuta leikkausjännityksiin. Leikkausjännityksen arvo saadaan kaavasta τ xy = S yq y x I by 1 Tasossa y = 0 leveys on. Sijoitukset kaavaan: τ xy = 3 h b c eq y x bh 3 ec 3 b e Tehtävä 3 Kuvan palkin kaksoissymmetristä poikkileikkausta rasittaa taivutusmomentti 30 knm. Reiät ovat identtiset, halkaisija d = 50mm. a Määritä poikkileikkauksen jäyhyysmomentti I ja I y. b Laske kohdan A-A normaalijännitys sekä suurin normaalijännitys. Missä suurin normaalijännitys sijaitsee?

5 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Ratkaisu a. Kirjan kappaleen. reikäsääntöä soveltaessa tulee huomata, että käyttöön liittyy tiettyjä ehtoja: perusmuotojen ja reikien y-akselien tulee yhtyä [laskettaessa jäyhyysmomenttia I x] tai perusmuotojen ja reikien -akselien tulee yhtyä [laskettaessa jäyhyysmomenttia I y x]. Jäyhyysmomentti I : Keskimmäisen ympyrän tapauksessa voidaan soveltaa kirjan kappaleen. reikäsääntöä. Muiden ympyröiden tarkastelussa tulee ottaa huomioon Steinerin sääntö kirjan kappale.. I x = y da 15 A b I x = y da y da y da y da 1 A umpi A r1 A r A r3 I x = I umpi I r1 I r I r3 17 Kuvan perusteella voidaan todeta, että painopistekoordinaatit y ja y r1 yhtyvät, joten voidaan käyttää reikäsääntöä. Koska jäyhyysmomentin oletetaan säilyvän vakiona pituuden suhteen, merkitään I x = I. Ylimmän ja alimman reiän y-akselin koordinaatit eroavat painopistekoordinaatistosta. Tällöin tulee huomioida Steinerin sääntö I = I Σ eỹ A b 18 jonka avulla voidaan määrittää I r1 ja I r3 painopisteakselin suhteen: I r1 = πd + e 1A r1 19 I r = πd + e A r3 0 5

6 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Nyt e = ±90 mm, h = 330 mm ja b = 90 mm. Sijoitetaan arvot kaavaan 17 I = bh3 πd 1 + e πd πd πd + e πd I = 90mm330mm3 1 3π50mm 90mm π50mm 371, cm Jäyhyysmomentti I y : Nyt reikien -akselit yhtyvät. Voidaan soveltaa suoraan reikäsääntöä. I y = bh3 1 3πd I y = 330mm90mm3 1 3π50mm 1913, 0cm b. Normaalijännitys [kirjan kpl 3, kaava 17] σ x x, y = N xx Ax + M x I x y 1 Tehtävän tapauksessa vaikuttaa ainoastaan taivutusmomentti N x x = 0. Kohdassa A-A y = 90mm σ AA = M x I x y = Nmm 90mm 11, MP a 37988mm Suurin normaalijännityksen itseisarvo sijaitsee poikkileikkauksen ala- ja yläpinnalla. σ max = M x I x y = Nmm 15mm 0, 9MP a mm