HYPERSTAATTISET RAKENTEET

Transkriptio

1 HYPERSTAATTISET RAKENTEET Yleistä Sauva ja palkkirakenne on on isostaattinen, jos tasapainoehdot yksin riittävät sen tukireaktioiden ja rasitusten määrittämiseen. Jos näiden voimasuureiden määrittäminen edellyttää muodonmuutosten ja siirtymien yhteensopivuusehtojen käyttämistä, on kyseinen rakenne hyperstaattinen. Jos rakenteen tukireaktioita ei voida määrittää pelkästään tasapainoehtojen avulla, on rakenne ulkoisesti hyperstaattinen. Jos rakenteen rasitusten määrittämiseen eivät tasapainoehdot riitä, on rakenne sisäisesti hyperstaattinen. Hyperstaattisesta rakenteesta käytetään myös sanoja staattisesti määräämätön. Kuvan tasokehä on ulkoisesti kaksi kertaa hyperstaattinen, sillä tukireaktiokomponentteja on 5 ja tasossa on käytettävissä vain 3 tasapainoyhtälöä. Rakenne on sisäisesti kolme kertaa hyperstaattinen, sillä suljettu lenkki tasossa sisältää aina kolme rasitussuuretta ( M, QN, t ), joita ei voi ratkaista tasapainoyhtälöillä. Rakenne on näin yhteensä viidesti hyperstaattinen. 1

2 Hyperstaattisuuden kertaluvun määrittäminen Kehärakenteen hyperstaattisuuden tunnistamiseen on olemassa eräs yksinkertainen, niin sanottu puumenetelmä. Kuvan tasorakenne muodostaa puun, joka on yhdestä kohdasta jäykästi kiinnitetty, eikä sen haarat muodosta umpinaisia renkaita. Rakenne on haarautuva ulokerakenne ja siten aina isostaattinen. Puumenetelmässä valitaan jokin tuettu kohta puun tyveksi täydentämällä kiinnitystä siten, että siitä tulee jäykkä kiinnitys ja poistetaan kaikkien muiden tukien kiinnitykset. Lopuksi katkaistaan mahdolliset renkaat ja estetään mahdolliset sisäiset liikemahdollisuudet (nivelet, luistit). Alkuperäisestä rakenteesta on näin muodostunut eräs isostaattinen puu. Jos puuta muodostettaessa poistettujen kiinnitysten lkm on n P ja lisättyjen, on alkuperäisen rakenteen hyperstaattisuuden kertaluku n L r n n P L Jos r 0, rakenne on hyperstaattinen, jos r 0, on rakenne isostaattinen ja jos r 0, rakenne on liikkuva. Tasoristikolle hyperstaattisuusehto on 2nsr missä n on nivelten, s sauvojen ja r tukireaktiokomponenttien lkm. (Avaruusristikolle on ehto 3nsr ) 2

3 VOIMAMENETELMÄ Isostaattinen perusmuoto Voimamenetelmässä rakenteen hyperstaattiset suureet ovat voimasuureita, tukireaktiokomponentteja tai leikkaussuureita (käsittävät myös tukimomentin tai taivutusmomentin muussa kohdassa). Menetelmässä poistetaan niin monta tukisuuretta (tai leikkaussuuretta), että rakenne muuttuu isostaattiseksi. Tämä voidaan periaatteessa tehdä äärettömän monella eri tavalla. Kuvan palkki on tehty isostaattiseksi kolmella eri tavalla poistamalla vuorotellen yksi pystytukireaktioista. Mikä perusmuoto kulloinkin kannattaa laskennassa valita, riippuu tehtävästä. Kuvan rakenne on tällä kertaa tehty isostaattiseksi nivelellä eri kohdissa. Sellaiset isostaattiset perusmuodot ovat käyttökelpoisimpia, joissa kuormituksen aiheuttamat siirtymät ovat helpoiten laskettavissa superpositio periaatetta tai taulukoita käyttäen. Tarkastellaan seuraavaksi hyperstaattisen palkin periaattellista ratkaisemista voimamenetelmällä. 3

4 Voimamenetelmän perusyhtälöt Tarkastellaan mielivaltaisen kuormituksen rasittamaa kolmitukista palkkia (a). Valitaan isostaattiseksi perusmuodoksi (ISPM) kuvan b palkki, josta on poistettu keskimmäinen tuki B (pystytukireaktio X 1 ). Ulkoinen kuormitus aiheuttaa pisteessä B taipuman 10. Tukireaktion arvo X1 1 aiheuttaa isostaattiselle perusmuodolle taipuman 11, joten tukireaktion X 1 aiheuttama taipuma on X. Pisteen B kokonaistaipuma on X1 11 Huomautus: Tuntemattoman voimasuureen suunta on valittu tarkoituksellisesti samaan suuntaan, johon lasketaan kuormituksen aiheuttamia siirtymiä, että voidaan käyttää samaa 1 voiman suuntaa. Taipuman yhteensopivuus tuen kanssa merkitsee sitä, että taipuma tukipisteessä B on nolla, joten kuormituksen ja tuntemattoman tukireaktion X 1 yhteensä aiheuttama taipuma häviää. Yhteensopivuusehto on siis X josta X X 1 Kun hyperstaattinen suure nyt tunnetaan, muut tukireaktiot saadaan tasapainoehdoista ja rakenteen rasitukset voidaan laskea tavalliseen tapaan. Toinen mahdollisuus on käyttää superpositiota. Esimerkiksi tukireaktio C y C C X C y y0 1 y1 4

5 Tarkastellaan kuvan nelitukista palkkia, joka kaksi kertaa hyperstaattinen. Valitaan hyperstaattisiksi suureiksi keskimmäiset tukireaktiot X1 ja X2. Palkin ISPM on kuvassa b. Ulkoiset kuormitukset aiheuttavat hyperstaattisten suureiden kohdalle ja suunnassa siirtymät ja Hyperstaattinen suureen arvo X1 1 aiheuttaa siirtymät 11 ja 21, joten X 1 aiheuttaa siirtymät X1 11 ja X1 21. Vastaavasti X 2 aiheuttaa siirtymät X ja X Siirtymät hyperstaattisten suureiden kohdalle saadaan superpositioperiaatteella 1 10 X111 X221 0 X X jotka häviävät tukien kohdalla. Näin on saatu yhtälöryhmä tuntemattomien tukireaktioiden ratkaisemiseksi. Nämä ovat tehtävän yhteensopivuusyhtälöt, joista ratkaistaan tuntemattomat voimasuureet. Jos rakenne on n kertaa hyperstaattinen, voidaan yhteensopivuusehdot kirjoittaa muodossa X1 11 X Xn1n 10 X X... X n 2n 20 X X... X n n1 2 n2 n nn n0 5

6 x x x0 i xi y y0 i yi i=1 i=1 n n x x0 i xi x x0 i xi i=1 i=1 n x x0 i xi i=1 n M M X M C C X C Q Q X Q X N N X N n (Yllä olevissa kaavoissa x viittaa paikkaan palkissa, ei suuntaan.) ESIMERKKI 1 Ratkaise kuvan ulokepäästä tuettu palkki voimamenetelmällä. Määritä ja piirrä rasituskuviot. RATKAISU Kaikki muut suureet voidaan lausua ratkaistujen hyperstaattisten suureiden avulla tasapainoehtoja käyttäen. Toinen mahdollisuus on käyttää superpositioperiaatetta. Rasitukset M x, Qx, Nx, tukireaktio Cy ja taipuma esimerkiksi ovat Valitaan isostaattiseksi perusmuodoksi palkki, josta ulokepään tuki on poistettu. Sen taivutusmomenttipinta on esitetty viereisessä kuvassa. Siirtymän 10 laskemiseksi on ulokepäähän asetettava 1 voima. 6

7 X Taipuman 10 t1 laskeminen: EI M M x 10 t0 d 4m ( 4 m)( 160 knm) 640 knm 4 Taipuman 11 laskeminen: EI M m t11m t1d x 4 11 ( 4m) 2133, m 3 Yhteensopivuusyhtälö on 10 X111 0 josta ratkaistaan EI knm, kn 10 EI 640, m Lasketaan tukireaktiot tasapainoehdoilla: : A x 2 MA / 2 0 MA 40kNm : A A 50kN y 0 Tulosten perusteella laaditut rasituspinnat on esitetty viereisessä kuvassa. y 7

8 ESIMERKKI 2 Ratkaise kuvan 2 aukkoinen palkki voimamenetelmällä. Määritä ja piirrä rasituskuviot. Palkin taivutusjäykkyys EI on sama koko palkissa. RATKAISU Valitaan isostaattiseksi perusmuodoksi palkki, josta keskimmäinen tuki on poistettu. Sen taivutusmomenttipinta on esitetty viereisessä kuvassa. Siirtymän 10 laskemiseksi on asetettava 1 voima poistetun tuen kohdalle. Yhteensopivuusyhtälö: 10 X Lasketaan siirtymät L EI M M x 10 0 t t d ja ,, ,,, knm, , 2 3 EI , 3794, m 3 EI, knm X, kn EI , m

9 Lasketaan tukireaktiot Ay ja Cy : A x 0 2 By 62, 4262, / 21815, 20 2 By 71, 65kN Ay 62, 4262, / ,, 0 A 7249, kn ( : 7, , 571, 65426, 2 0, 00) y ESIMERKKI 1 Ratkaise kuvan kehärakenteen hyperstaattiseksi valitsemasi voimasuure. Määritä ja piirrä rasituskuviot. RATKAISU Valitaan isostaattiseksi perusmuodoksi kehä, josta ulokepään B tuki on poistettu. Sen taivutusmomenttipinta on esitetty seuraavalla sivulla. Siirtymien 10 ja 11 laskemiseksi on ulokepäähän asetettava 1 voima. Taivutusmomenttipinta myös tästä on seuraavalla sivulla. 9

10 Siirtymien laskeminen: , m ( 4 m) ( 36, knm) 2EI 1 18, 2 ( 4m) ( 22, m) ( 36, knm) EI 6 3 EI 36, 216kNm 10 EI , m ( 4 m) 4 ( 4 m) 49333, m Yhteensopivuus tuella B X X1 0, 7341kN B y 0, 7341kN 11 Rasituskuviot 10

11 TEHTÄVÄ 1 Ratkaise kuvan 2 aukkoinen palkki voimamenetelmällä. Määritä ja piirrä rasituskuviot. Palkin taivutusjäykkyys EI on sama koko palkissa. RATKAISU V: B 145, 88 kn y TEHTÄVÄ 2 Ratkaise kuvan 2 aukkoinen palkki voimamenetelmällä. Määritä ja piirrä rasituskuviot. Palkin taivutusjäykkyys EI on sama koko palkissa. RATKAISU: 11

12 TEHTÄVÄ 3 Ratkaise kuvan kehärakenne voimamenetelmällä. Määritä ja piirrä taivutusmomenttikuvio. Yksikköjärj. kn,m RATKAISU V: B 347. kn ( ) x TEHTÄVÄ 4 Ratkaise kuvan kehärakenne voimamenetelmällä. Määritä ja piirrä taivutusmomenttikuvio. Yksikköjärj. kn,m RATKAISU 12